انتقال حرارت

از ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مقدمه‌ای بر جابه جایی[ویرایش]

style="color:ORANGE;"

معادلات لایه مرزی 
Boundary layer visualization, showing transition from laminar to turbulent condition

پیش بینی و بررسی جریان سیال برای مطالعات مهندسی در زمینه انتقال حرارت و مکانیک سیالات از اهمیت زیادی برخوردار است. به طور کلی بررسی حرکت سیال از طریق مطالعات تجربی و تئوری امکان‌پذیر می‌باشد. حل معادلات مربوط به لایه مرزی و به دست آوردن پارامترهای لایه مرزی همواره مورد توجه بوده است و روش‌های متعدد تجربی، تحلیلی و عددی برای محاسبه این پارامترها توسط افراد مختلف به کار گرفته شده است. البته معادلات مذکور در حالت کلی با دشواری زیاد همراه بوده و با در نظر گرفتن فرضیات مناسب سعی در حل معادلات شده است.

استنباط معادلات لایه مرزی شاید یکی از مهمترین پیشرفت‌ها در مکانیک سیالات باشد. با استفاده از یک سری تحلیل‌های مقداری، توابع معروف ناویر استوکس سیال ویسکوز، جریان می‌تواند در طول لایه مرزی ساده شود. به طور برجسته مشخصه معادلات دیفرانسیل جزئی بیشتر از بیضی همه معادلات ناویراستوکس سهمی وار شدند. این حل معادلات را ساده می‌کند. با ساخت تخمینی لایه مرزی، جریان به یک بخش غیر ویسکوز (که با روش‌های متعددی حل آن ساده است) و لایه مرزی که تابعی برای حل PDE می‌باشد. پیوستگی و معادلات ناویر استوکس برای یک جریان تراکم ناپذیر پایای دوبعدی در مختصات کارتزین عبارت است از :

 {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0
 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}\left({\partial^2 u\over \partial x^2}+{\partial^2 u\over \partial y^2}\right)
 u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial y}+{\nu}\left({\partial^2 v\over \partial x^2}+{\partial^2 v\over \partial y^2}\right)

که در آن u و V اجزای سرعت، \rho چگالی، P فشار، و \nu ویسکوزیته جنبشی سیال در یک نقطه می‌باشند.
حالت‌های نزدیکی که برای یک عدد رینولدز به اندازه کافی بالا، جریان می‌تواند روی یک سطح به یک ناحیه خارجی جریان غیرویسکوز ساده شده به وسیله ویسکوزیته (بیشتر جریان)، و یک ناحیه نزدیک به سطح که ویسکوزیته در آن مهم است (لایه مرزی) تبدیل شود. بگذارید U و V به ترتیب سرعت‌های جریان معقول و متقاطع درون لایه مرزی باشند. با استفاده از تحلیل‌های مقیاسی، می‌توان نشان داد که معادلات کاهش حرکت بالا درون لایه مرزی می‌شود :

 {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0
 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

و اگر سیال تراکم ناپذیر باشد (به عنوان مثال مایعاتی که زیر شرایط استاندارد هستند):

 {1\over \rho} {\partial p \over \partial y}=0

تحلیل‌های asymptotic همچنین نشان می‌دهد که V، سرعت متقاطع، در مقایسه با u، سرعت معقول، کوچکتر می‌باشد و آن اختلافات در ویژگی‌ها در جهت جریان معقول معمولاً خیلی پایین‌تر از جهت جریان متقاطع می‌باشد.
تا زمانی که فشار استاتیکی p مستقل از yاست، فشار لبه لایه مرزی فشار سراسر لایه مرزی در یک موقعیت جریان معقول داده شده است. فشار اضافی ممکن است از میان یک کاربردمعادله برنولی به دست آید.  u_0 را سرعت سیال خارج از لایه مرزی، جایی که u و  u_0 هر دو موازی هستند قرار دهید. اگر P را جاگذاری کنیم:

 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=u_0{\partial u_0 \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

با شرط مرزی:

 {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0

برای یک جریان فشار استاتیکی P در جهت جریان تغییر نمی‌کند پس:

 {\partial p\over\partial x}=0

بنابراین  u_0 ثابت می‌ماند :
در نتیجه معادله حرکت ساده می‌شود:

 u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}={\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

این تخمین‌ها در یک نوع مسائل جریان کاربردی علمی و منافع مهندسی استفاده شده‌اند. تحلیل‌های بالا برای هر لایه مرزی لمینار یا توربولانس می‌باشد. اما عمدتاً در مطالعات جریان لمینار استفاده شده است نظر به اینکه جریان اصلی جریان آنی است زیرا درصد نوسان سرعتی وجود ندارد.

span style="color: ORANGE;">لایه مرزی توربولانس</span[ویرایش]

رفتار لایه‌های مرزی توربولانس به دلیل تغییر وابسته به زمان ویژگی‌های جریان به مراتب دشوارتر است. یکی از بیشترین تکنیک‌های استفاده شده در نگه داشتن جریان‌های توربولانس به کار بردن تجزیه رینولدز می‌باشد. در اینجا ویژگی‌های جریان آنی به یک جزء اصلی و نوسان دار تبدیل شده است. با استفاده از این تکنیک برای معادلات لایه مرزی معادلات لایه مرزی توربولانت پر را می‌دهد نه آن چیزی که در نوشتجات به دست می‌آید.

 {\partial \overline{u}\over\partial x}+{\partial \overline{v}\over\partial y}=0
 \overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+ \nu \left({\partial^2 \overline{u}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'^2})
 \overline{u}{\partial \overline{v} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{v} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial y}+\nu \left({\partial^2 \overline{v}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{v}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{v'^2})

با استفاده از همان سری تحلیل‌های فراوان به عنوان مثال برای معادلات آنی، این معادلات لایه مرزی توربولانس عموماً برای رسیدن به شکل کلاسیک خود کاهش می‌یابند:

 {\partial \overline{u}\over\partial x}+{\partial \overline{v}\over\partial y}=0
 \overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'})
 {\partial \overline{p} \over \partial y}=0

اصطلاح اضافی \overline{u'v'} در معادلات لایه مرزی توربولانس به عنوان تنش برشی رینولدز معروف است نه به عنوان یک مقایسه. بنابراین حل معادلات لایه مرزی توربولانس ما را مجبور به استفاده از یک مدل توربولانس می کندکه تنش برشی رینولدز را به عنوان مشتقات متغیر جریان بیان می‌کند. عدم دقت و عمومیت برخی مدل‌ها یک مانع اصلی در پیشنهاد موفق آمیز ویژگی‌های جریان توربولانس در دینامیک سیالات مدرن است.

--Hamed alizadeh ‏۲۰ ژوئن ۲۰۰۹، ساعت ۱۵:۰۶ (UTC)


جریان کوئیت(Couette flow)[ویرایش]

در مکانیک سیالات جریان کوئیت به جریانی گفته می‌شود که در جریان آرام و سیال ویسکوز بین دو صفحهٔ موازی که یکی نسبت به دیگری دارای حرکت است به وجود می آیدجریان به وسیلهٔ خاصیت نیروی درگ ویسکوز که بر روی سیال اعمال میشودوهمچنین گرادیان فشار اعمالی رانده می‌شود. این نوع جریان به افتخار دانشمند فرانسوی موریس ماری آلفرد کوئیت جریان کوئیت نامگزاری شده است.Laminar shear.png

شرح ریاضی: جریان کوئیت غالبا در فیزیک دورهٔ کارشناسی ورشته‌های مهندسی به منظور تبیین حرکت سیال تحت نیروی برشی بیان می‌شود. ساده ترین مفهوم آن دو صفحهٔ بی‌نهایتی است که به فاصلهٔ hاز هم قرار دارند. یکی از صفحه‌ها، فرض کنید صفحهٔ بالایی، با سرعت u0در صفحهٔ خودش حرکت می‌کند. با صرف نظر از گرادیان‌های فشار، معادلهٔ ناویر استوکس (Navier-Stokes equations)به صورت زیر ساده می‌شود:


   \frac{d^2 u}{d y^2} = 0,

که yمحور نرمال فضایی و Uyتوزیع سرعت را نشان می‌دهد. این معادله نشان می‌دهد که حرکت سیال تک محوریست. اگر yاز سطح پایینی سنجیده شود شرایط مرزی عبارتند از: u(0) = ۰ u(h) = u0 ورابطهٔ اصلی عبارت است از:


u (y) = u_0\frac{y}{h}

که می‌توان با دو بار انتگرال گیری و استفادده از شرایط مرزی به آن رسید.

'نیروی برشی ثابت'Constant shear:

نکتهٔ قابل ذکر این است که در دامنهٔ سیال تنش برشی ثابت است.

به طور ویژه مشتق اول سرعتu0 / hثابت است که به صورت خطوط با شیب صفر در شکل نشان داده شده است.

بر طبق قانون ویسکوزیتهٔ نیوتن Newton's Law of Viscosity،Newtonian fluid)تنش برشی و سرعت ثابت سیال به این دلیل ایجاد می‌شود.

جریان کوئیت همراه با گرادیان فشار: وضعیت عمومی تر جریان کوئیت وقتی پیش ما آید که از گرادیان فشار صرف نظر نکنیم. در این مورد معادلهٔ ناویر استوک اینگونه ساده می‌شود:


   \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{dp}{dx},

که dp\!/\!dxگرادیان فشار موازی با صفحات و\muویسکوزیتهٔ سیال می‌باشد. اگر مانند مورد قبل از معادلهی بالا دو بار انتگرال بگیریم وشرایط مرزی را اعمال کنیم به معادلهٔ دقیق زیر می‌رسیم:


u (y) = u_0\frac{y}{h} + \frac{1}{2\mu} \left(\frac{dp}{dx}\right) \left(y^2 - hy\right).

شکل نمودار سرعت بالا بستگی به پارامترهای بدون بعد دارد


P = -1 \frac{h^2}{2\mu u_0} \left(\frac{dp}{dx}\right).

گرادیان فشار می‌تواندمثبت (گرادیان فشار ناسازگار) یا منفی (گرادیان فشارسازگار) باشد. مدل ایده ال شدهٔ تیلور: پیکره بندی شکل آن چنان که باید قابل فهم نیست، همچنان که دو صفحه نمی‌توانند به طور نا متناهی در جهت جریان توسعه پیدا کنند.

آقای گئوفری تیلورکه به سیال‌های تحت تنش برشی علاقه داشت، سیلندرهای محوری در حال چرخش را مورد مطالعه قرار دادو در سال ۱۹۲۳نتیجهٔ ریاضی را ارائه داد و نشان داد که منحنی جهت سیال به این شکل است:


u (r) = C_1 r + \frac{C_2}{r} ,

که C1وC2ثابت‌هایی هستند که به نرخ چرخش سیلندرها بستگی دارند2

--کاربرAref bagheri ‏۲۲ ژوئن ۲۰۰۹، ساعت ۱۲:۳۱ (UTC)

مقدمه‌ای برجابه جایی

ما تا به حال فقط جابه جایی راتنها به عنوان شرط مرزی ممکن در مسایل رسانش ذر نظرگرفته بودیم ازواژه جابه جایی برای توصیف انتقال انرژی بین یک سطح وسیالی که روی سطح حرکت می‌کند استفاده می‌کنیم گرچه مکانیزم پخش دراین نوع انتقال سهم دارد ولی سهم اصلی ازان حرکت کپه‌ای ذرات حرکت سیال است در بررسی جابه جایی دوهدف اصلی رادنبال می‌کنیم ۱) درک مکانیزم‌های فیزیکی انتقال گرمایی جابه جایی ۲) تعیین روشهایی محاسباتی این پدیده در این فصل عمدتا به موضوع اول می‌پردازیم سیالی با سرعتV ودمای بی‌نهایت از روی سطحی باشکل اختیاری و با مساحت As جریان دارد فرض می‌کنیم سطح در دمای یکنواخت است میدانیم که اگر دمای سطح بادمای بینهایت مساوی نیست انتقال گرمایی جابه جایی روی می‌دهد. شار گرمای محلی که دران h ضریب جابه جایی محلی است به علت تغییر شرایط ازیک نقطه تانقطه دیگر روی سطح شار گرما وضریب جابه جایی در امتداد سطح تغییرمیکند اهنگ کل انتقال گرمایی راباانتگرال گیری شار محلی روی تمام سطح می‌توان به دست می‌توان بیان کرد یعنی باتعریف جابه جایی متوسط برای تمام سطح اهنگ انتقال گرمای کل رابه صورت زیر می‌توان بیان کرد که ضریب جابه جایی متوسط ومحلی دارای رابطه زیر هستند

\overline{h}=\frac{\int_{0}^{x}{hdA}}{\int_{0}^{x}{dA}}=\frac{\int_{0}^{x}{h\times 1\times dx}}{\int_{0}^{x}{1\times dx}}

ضریب جابه جایی محلی و متوسط محلی علاوه بر وابستگی به چند پارامتر سیال ازقبیل چگالی ویسکوزیته رسانندگی گرمایی وگرمای ویژه به هندسه سطح وشرایط جریان نیزبستگی دارند. تعداد متغیرهای مستقل ناشی از این واقعیت است که انتقال جا به جایی توسط لایه‌های مرزی که روی سطح به وجود می‌آیند.

لایه‌های مرزی جا به جایی وقتی ذرات سیال با سطح تماس می‌گیرند سرعت آن‌ها به صفر می‌رسد سپس این ذرات در جهت کاهش سرعت ذرات لایه مجاور عمل می‌کنند و ذرات جدید نیز حرکت ذرات لایه بعدی را کند می‌سازند تا اینکه این اثر در فاصله y = δ از سطح ناچیز می‌شود. این شتاب منفی ناشی از تنش‌های برشی است که در صفحات موازی با سرعت سیال اثر می‌کند. روی سطح جسم سرعت صفر است در فاصله بالاتر از سطح جسم سرعت سیال برابر با سرعت جریان آزاد می‌باشد این تغییرات سرعت از صفر به سرعت بی‌نهایت به ناگهان انجام نمی‌گیرد و دارای یک توزیع می‌باشد این ناحیه که سرعت از مقدار صفر روی صفحه به مقدار سرعت بی‌نهایت می‌رسد را لایه مرزی سرعت می‌گویند. هر قدر در امتداد صفحه حرکت نماییم ضخامت لایه مرزی افزایش می‌یابد در نتیجه شیب توزیع سرعت در امتداد صفحه کاهش می‌یابد. چون لایه مرزی به سرعت سیال مربوط می‌شود هر جا که جریان سیال روی سطح وجود دارد این لایه تشکیل می‌شود و در مسایل جا به جایی بسیار اهمیت اساسی دارد. این لایه برای مهندسان از این نظر اهمیت دارد که با تنش برشی در سطح و لذا با اثر اصطکاکی در سطح ارتباط دارد. در جریان‌های خارجی این لایه مبنای تعیین ضریب اصطکاک محلی است. ضریب اصطکاک پارامتر بی بعد مهمی است که از آن می‌توان دراگ اصطکاکی در سطح را به دست‌آورد. با فرض اینکه سیال نیوتنی است تنش‌های برشی در سطح را از شیب سرعت در سطح می‌توان یافت. لایه مرزی گرمایی لایه مرزی گرمایی وقتی تشکیل می‌شود که جریان آزاد سیال و سطح با هم اختلاف دما داشته باشند . لایه مرزی گرمایی عینا شبیه لایه مرزی سرعت است روی سطح جسم دمای سیال برابردمای سطح می‌باشد در فاصله دوردست از سطح جسم در فاصله دوردست ازسطح جسم دمای سیال برابر ودمای جریان ازاد می‌باشد این تغییرات دما (توزیع دما درراستای قایم) دریک بازه مکانی اتفاق می‌افتد که به ان لایه مرزی دما می‌گوییم. هرقدر در امتداد صفحه حرکت نماییم ضخامت لایه مرزی دماافزایش می‌یابد درنتیجه شیب توزیع دما کم شده وضریب جابه جایی نیزکاهش می‌یابد رابطه بین شرایط درلایه مرزی وضریب انتقال گرمایی جابه جایی رابه سهولت می‌توان به دست اورد در هرفاصله ایکس ازلبه ابتدایی شارگرمای محلی راباکاربرد قانون فوریه برای سیال می‌توان به دست اورد. Asd0;.png

این عبارت درستی است زیرا سیال در سطح حرکتی ندارد وانتقال انرژی فقط بارسانش روی میدهدترکیب معادله قبل بامعادله سرمایش نیوتون معادله ذیر می‌دهد Shahroz.png

برای جریان روی سطح روی هرسطح همیشه یک لایه مرزی سرعت وبه موجب ان اصطکاک درسطح به وجود دارد. ولی لایه مرزی گرمایی وازاین رو انتقال گرمای جابجایی فقط وقتی وجود دارد که سطح وجریان ازاد اختلاف دما داشته باشند

Asd;.png

جریان لایه‌ای وجریان متلاطم دربررسی مسایل جابجایی ابتدا باید تعیین کنیم که لایه مرزی لایه‌ای ای است یامتلاطم. اصطکاک در سطح واهنگ انتقال جابجایی شدیدا بستگی دارند به اینکه کدام یک ازاین دوحالت وجود دارد تفاوت‌های بارزی که بین لایه مرزی جریان لایه‌ای ومتلاطم وجود دارد درلایه مرزی لایه‌ای حرکت سیال خیلی منظم است ومیتوان خطوط جریان راکه ذرات در امتداد انها حرکت می‌کنند مشخص کرد حرکت سیال در امتداد یک خط جریان بامولفه‌های سرعت مشخص می‌گردد چون مولفه‌ای ازسرعت کهدرامتداد عمود برسطح است می‌تواند در انتقال تکانه یاانتقال انرژی ازطریق لایه مرزی سهم قابل توجهی داشته باشدحرکت سیال درامتدادعمود برسطح ازرشدلایه مرزی ذرامتداد محور افقی ناشی می‌شود. درمقابل حرکت سیال در لایه مرژی متلاطم خیلی نامنظم است وبا افت وخیزهای سرعت مشخص می‌شود به علت امیختگی ناشی ازافت وخیزها ضخامت لایه مرزی بزرگتر است ونمایه‌های سرعت ودما درلایه مرزی متلاطم ازنمایه هادر لایه مرزی لایه‌ای صاف ترند در محاسبه رفتارلایه مرزی اغلب می‌توان فرض کرد که گذار درمکانی مانند Xc شروع می‌شود این مکان باگروه بی بعدی ازمتغیرها به نام عدد رینولدز تعیین می‌شود که در ان برای یک صفحه تخت طول مشخصه ایکس از لبه ابتدایی است عدد رینولدزبحرانی مقداری است که به ازای ان گذار شروع می‌شود مقدار ان برای یک صفحه تخت برحسب زبری سطح ومیزان تلاطم جریان ازاد از۱۰۵تا ۱۰۶*۳تغییر می‌کند

معادلات لایه مرزی

جریان پایای دوبعدی سیال ویسکوز وتراکم ناپذیری رادر دستگاه کارتزین در نظر می‌گیریم ومعادله‌های دیفرانسیل میدان سرعت ودما در سیال رامی یابیم این معادلات باکاربرد قانون پایستاری وقانون دوم نیوتون برای یک حجم کنترل دیفرانسیلی در سیال تعیین می‌شوند باواردکردن تقریبهای مربوط به شرایط لایه مرزی ساده می‌کنیم که تقریبهای لایه مرزی عبارتند از تقریب لایه مرزی سرعت یعنی مولفه سرعت ذر امتداد سطح بزرگتر ازمولفه سرعت در امتداد عمود برسطح است وشیب‌های عمود برسطح خیلی بیشتر ازشیبها ذر امتداد سطح است همچنین اهنگ رسانش در جهت عمودی بزرگتر ازاهنگ ان در جهت افقی است تقریب لایه مرزی گرمایی وهمچنین اینکه فشار در جهت عمود برسطح تغییر نمی‌کند وفشار در لایه مرزی فقط به مولفه ایکس بستگی دارد وبافشار در جریان ازاد خارج لایه مرزی برابراست به این ترتیب معادلات پیوستگی وانرژی ساده می‌شود حتی درمعادله انرژی ازترم ویسکوز می‌توان صرف نظر کرد وفقط برای جریان‌های صوتی وروغن‌های روانکار باسرعت زیاد نمی‌توان از ترم ویسکوز صرف نظر کرد ازبه دست اوردن معادلات لایه مرزی دوهدف ذتبال می‌شود اول درک فرایندهای فیزیکی که درلایه مرزی رخ می‌دهد دوم پارامترهای تشابه درلایه مرزی وهمچنین قیاس مهم بین انتقال گرما وتکانه ازاین معادلات استفاده می‌شود

Asd1;.png x+y=۲

"""معرفی عدد رینولدز"""