انتقال حرارت تشعشعی

از ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

الگو:طبقهبندی

ضریب دید[ویرایش]

ضریب دید برای محاسبه تبادل تشعشع بین دو سطح ، ابتدا ضریب دید را ( که به آن ضریب وضعیت یا ضریب شکل نیز گویند ) تعریف می‌کنیم. ضریب دیدI.JPG کسری از تشعشع خروجی از سطح j است که توسط سطح i دریافت می‌شود. برای تعیین عبارت کلی Fij ، سطوح Ai و Aj را که وضعیت آنها به طور اختیاری است در نظر می‌گیریم. مساحتهای جزیی هر سطح ،dAi و dAj ، با خطی به طول R به هم وصل شده‌اند. این خط با عمودهای ni و nj وارده بر سطوح ، به ترتیب ، زوایای قطبیO.JPG و P.JPG را می‌سازد . مقادیر R ، teta1 و teta2 با تغییر مکان جزء مساحت روی Ai و Aj تغییر می‌کنند . از تعریف شدت تشعشع ، معادله آهنگ تشعشعی را که از dAi خارج و توسط dAj دریافت می‌شود به صورت زیر می‌توان بیان کرد:


Indexx.jpg

\begin{align}
  & {{Q}_{d{{A}_{1}}}}_{\to d{{A}_{2}}}={{I}_{1}}\cos {{\theta }_{1}}d{{A}_{1}}d{{w}_{12}} \\ 
 & d{{w}_{12}}=\frac{ds}{{{r}^{2}}}=\frac{d{{A}_{2}}\cos {{\theta }_{2}}}{{{r}^{2}}} \\ 
 & {{Q}_{d{{A}_{1}}}}=\int\limits_{semi-sphere}{{{Q}_{d{{A}_{1}}\to d{{A}_{2}}}}=\pi {{I}_{1}}d{{A}_{1}}}\text{             } \\ 
 & {{Q}_{d{{A}_{1}}}}=\int{{{Q}_{d{{A}_{1}}}}=\pi {{I}_{1}}{{A}_{1}}} \\ 
 & {{Q}_{{{A}_{1}}\to {{A}_{2}}}}=\iint\limits_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{\frac{{{I}_{1}}\cos {{\theta }_{1}}\cos {{\theta }_{2}}d{{A}_{1}}d{{A}_{2}}}{{{r}_{12}}}} \\ 
 & {{F}_{1-2}}=\frac{{{Q}_{{{A}_{1}}\to {{A}_{2}}}}}{{{Q}_{{{A}_{1}}}}}=\frac{1}{{{A}_{1}}}\iint\limits_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{\frac{\cos {{\theta }_{1}}\cos {{\theta }_{2}}}{\pi {{r}_{12}}}d{{A}_{1}}d{{A}_{2}}} \\ 
 & {{F}_{2\to 1}}=\frac{1}{{{A}_{2}}}\iint\limits_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}{\frac{\cos {{\theta }_{1}}\cos {{\theta }_{2}}d{{A}_{1}}d{{A}_{2}}}{\pi {{r}_{12}}}} \\ 
 &  \\ 
 &  \\ 
 &  \\ 
\end{align}



با برابر قرار دادن انتگرال‌ها رابطه مهم تقابل بدست می‌آید. در واقع برای تعیین یک ضریب دید از روی ضریب دید دیگر می‌توان از رابطه تقابل استفاده نمود. این رابطه به صورت زیر می‌باشد:


                                       A_{i}F_{ij}=A_{j}F_{ji}


همچنین قانون جمع زنی زیر را برای هر یک از N سطح داخل یک محفظه می‌توان بکار برد:


                                   \sum\limits_{j=1}^{N}{F_{ij}=1}



ضریب دید:


{{F}_{i\to j}}={{F}_{ij}}= میزان تابش دریافتی سطح j از سطح i به روی کل تابش سطح i



ّ {{F}_{ii}}

برای سطوح صاف = 0

برای سطوح محدب = 0

برای سطوح مقعر >0


برای یک محفظه بسته n سطحی:تعداد مجهولات:


{{n}^{2}}


تعداد معادلات قانون جمع:

n

تعداد معادلات قانون عکس:


\frac{n(n-1)}{2}


جمع کلیه روابط:


\frac{n(n+1)}{2}


مثال)


محفظه سه سطحی:

تعداد مجهولات = 9

قانون جمع = 3

قانون عکس = 3

3 مجهول باید با استفاده از حل معادله تعیین شود.




حفاظ تشعشعی[ویرایش]

حفاظ‌های تشعشعی از موادی با ضریب صدور کم ساخته می‌شوند و برای کاهش انتقال خالص تشعشع بین دو سطح بکار می‌برند.بدون وجود حفاظ تشعشعی نرخ خالص انتقال تشعشع بین سطوح 1 و2 افزایش می‌یابد.توجه کنید که ضریب صدور یک طرف حفاظ شاید با ضریب صدور یک طرف دیگر متفاوت باشد.با جمع کردن این مقاومت‌ها داریم:

{{{\dot{Q}}}_{12,noshield}}=\frac{A\sigma ({{T}_{1}}^{4}-{{T}_{2}}^{4})}{\frac{1}{{{\varepsilon }_{1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}}-1}

و در صورتی که حفاظ داشته باشیم:


{{{\dot{Q}}}_{12,oneshield}}=\frac{{{E}_{b1}}-{{E}_{b2}}}{\frac{1-{{\varepsilon }_{1}}}{{{A}_{1}}{{\varepsilon }_{1}}}+\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}+\frac{1-{{\varepsilon }_{31}}}{{{A}_{3}}{{\varepsilon }_{31}}}+\frac{1-{{\varepsilon }_{32}}}{{{A}_{3}}{{\varepsilon }_{32}}}+\frac{1}{{{A}_{3}}{{F}_{32}}}+\frac{1-{{\varepsilon }_{2}}}{{{A}_{2}}{{\varepsilon }_{2}}}}


\begin{align}
  & {{F}_{13}}={{F}_{23}}=1 \\ 
 & {{A}_{1}}={{A}_{2}}={{A}_{3}}=A \\ 
 & {{Q}_{12,oneshield}}=\frac{A\sigma ({{T}_{1}}^{4}-{{T}_{2}}^{4})}{(\frac{1}{{{\varepsilon }_{1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}}-1)+(\frac{1}{{{\varepsilon }_{31}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{32}}}-1)} \\ 
\end{align}

پس در حالت کلی و با در نظر گرفتن N حفاظ تشعشعی می‌توانیم بنویسیم:

\begin{align}
  & {{Q}_{12,Nshield}}=\frac{A\sigma ({{T}_{1}}^{4}-{{T}_{2}}^{4})}{(\frac{1}{{{\varepsilon }_{1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}}-1)+(\frac{1}{{{\varepsilon }_{31}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{32}}}-1)+....+(\frac{1}{{{\varepsilon }_{N1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{N2}}}-1)} \\ 
 & {{{\dot{Q}}}_{12,Nshield}}=\frac{1}{N+1}\frac{A\sigma ({{T}_{1}}^{4}-{{T}_{2}}^{4})}{\frac{1}{{{\varepsilon }_{1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}}-1}=\frac{1}{N+1}{{{\dot{Q}}}_{12,noshield}} \\ 
\end{align}



تبادل گرمایی بین اجسام غیر سیاه


در جسم سیاه تمام انرژی تابشی فرودی جذب می‌شود در حالی که در جسم غیر سیاه اینطور نیست و بخشی از انرژی جذب می‌شود و بخشی دیگر به سمت سطحی دیگر منعکس می‌شود و ممکن است بخشی از آن به کلی از سیستم خارج شود. برای اثبات فرمولها دو پارامتر زیر را تعریف می‌کنیم : G : پرتوگیری ( شدت تابش ورودی ) J : شدت تابش خروجی

J=\in {{E}_{b}}+\rho G


\in ضریب گسیل


{{E}_{b}} توان گسیل جسم سیاه


\rho ضریب انعکاس


\rho =1-\alpha =1-\in


J=\in {{E}_{b}}+(1-\in )G


\frac{q}{A}=J-G=\in {{E}_{b}}+(1-\in )G-G


q=\frac{\in A}{1-\in }({{E}_{b}}-J)


q=\frac{{{E}_{b}}-J}{{}^{(1-\in )}\!\!\diagup\!\!{}_{\in A}\;}


اگر مخرج کسر بالا را مقاومت سطح در برابر انتقال گرمای تابشی و صورت کسر را اختلاف پتانسیل آنگاه می‌توان یک شبکه مانند شکل دید.

Tasvire 1.jpg


تبادل انرژی تابشی توسط دو سطح A1 و A2 را در نظر بگیرید.

بخشی از کل مقدار تابش که از سطح1 به سطح2 می‌رسد :


{{J}_{1}}{{A}_{1}}{{F}_{12}}


بخشی از کل مقدار تابش که از سطح2 به سطح1 می‌رسد :


{{J}_{2}}{{A}_{2}}{{F}_{21}}


تبادل خالص بین دو سطح از رابطه زیر بدست می‌آید :


{{q}_{1-2}}={{J}_{1}}{{A}_{1}}{{F}_{12}}-{{J}_{2}}{{A}_{2}}{{F}_{21}}


{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}


{{q}_{1-2}}=({{J}_{1}}-{{J}_{2}}){{A}_{1}}{{F}_{12}}=({{J}_{1}}-{{J}_{2}}){{A}_{2}}{{F}_{21}}


\to {{q}_{1-2}}=\frac{{{J}_{1}}-{{J}_{2}}}{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}\;}


{{q}_{1-3}}=\frac{{{J}_{1}}-{{J}_{2}}}{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}\;}





انتقال گرمای تشعشی در گازها[ویرایش]

مثالی از قانون بیر :نور لیزر سبز در محلولی از Rhodamine 6B. شدت پرتو هنگام عبور از محلول کاهش می‌یابد.

انتقال گرمای تشعشعی در گازها ناشی از انرژی چرخشی مولکول‌ها و نوسان‌های اتمی داخل مولکول هاست.

جذب و صدور تشعشع در گازها بر خلاف سطوح جامد در محدوده‌ای کوچک از طول موج‌ها صورت می‌گیرد. ب طور کلی گازهایی مانند هیدروژن هلیوم اکسیژن در دماهای پایین نسبت به تشعشع ،شفاف هستند.در صورتی که گازهایی مانند دی اکسید کربن و مونواکسید کربن درای تشعشع هستند.

می‌توان گفت معمولا گازهایی که دارای ساختمان قطبی هستند در دماهای پایین نسبت به تشعشع شفافند.

در حالت کلی ضرایب صدور و جذب گارها پایین است.مثلا ضریب صدور بخار آب و یا دی اکسید کربن کمتر از 0.1 است که اگر آن را با ضریب صدور دوده که 0.95 است مقایسه کنیم بسیار پایین است.

در حالتی که مخلوط دو گاز را داشته باشیم تشعشع کلی مخلوط دو گاز کمتر از تشعشع هر گاز به صورت تنها خواهد بود،چون ممکن است هر یک از گازها نسبت به تشعشع گاز دیگر کدر باشد.

قانون بیر (Beer) موقعی که اشعه تابشی از توده گازی عبور می‌کند به تدریج توان نشر آن کم می‌شود .قانون بیر نشان می‌دهد که این کاهش به صورت نمایی است. لازم به ذکر است که عامل تعیین کننده ضرایب صدور و جذب در یک فضا ،تعداد کل مولکول‌های تابشی موجود در آن فضا است.

ضریب صدور یک گاز به دما ،فشار جزیی ،جنس گاز ،شکل هندسی توده گاز و طول موج وابسته‌است و با افزایش فشار کل گاز ضریب صدور آن افزایش می‌یابد،ولی با افزایش دما ضریب صدور گاز کاهش می‌یابد.






جذب حجمی:

ذب طیفی تشعشع در گاز‌ها یا در مایعات و جامدات نیمه شفاف تابعی از ضریب جذب k_{\lambda} و ضخامت L محیط است. اگر نور تک فامی با شدت I_{\lambda,0} بر محیط بتابد شدت ان بر اثر جذب کاهش می‌یابد و کاهش حاصل را در لایه بی نهایت کوچکی به ضخامت dx به صورت زیر می‌توان بیان کرد:



{{I}_{\lambda}}(x+dx)-{{I}_{\lambda}}(x)={k_{\lambda}}{{I}_{\lambda}}(x)dx

قابلیت جذب : k_{\lambda}

با جدا کردن متغییر‌ها و انتگرال گیری روی تمام لایه خواهیم داشت:

\int\frac{d{{I}_{\lambda}}}{{{I}_{\lambda}}}=-\int k_{\lambda}dx

که در آن فرض می‌شود {k_{\lambda}} مستقل x از است.

\frac{{{I}_{\lambda,L}}}{{{I}_{\lambda,0}}}=e^{-k_{\lambda}L}

به این کاهش نمایی قانون بیر گفته می‌شود که وسیله مفیدی برای تحلیل تقریبی تشعشع است. مثلا از آن برای جذب مندی طیفی کلی محیط می‌توان استفاده کرد.به خصوص با تعریف عبور پذیری به صورت زیر:

\tau_{\lambda}=\frac{{{I}_{\lambda,L}}}{{{I}_{\lambda,0}}}=e^{-k_{\lambda}L}

برای جذب مندی داریم:

\alpha_{\lambda}=1-\tau_{\lambda}=1-\frac{{{I}_{\lambda,L}}}{{{I}_{\lambda,0}}}=1-e^{-k_{\lambda}L}


هرگاه گازی با دمای Tg و ضریب جذب {\propto }_g و ضریب صدور {\varepsilon }_g با یک سطح جامد با دمای Ts تبادل تشعشی کند ،نرخ خالص تبادل تشعشع از رابطه زیر بدست می‌آید.


                                               q=\ A_s\ \sigma \ ({\ \varepsilon }_{g\ }T^4_g-\ {\propto }_gT^4_s\ )


انتقال گرمای مرکب[ویرایش]

در اغلب کاربردها، هدایت و یا جابه‌جایی با تشعشع قابل مقایسه‌اند و باید در تجربه و تحلیل انتقال گرما لحاظ شوند. شکل زیر را در نظر بگیرید، فرض کنید که این صفحه توسط یک گرمکن الکتریکی گرم می‌شود و از طریق هدایت و جابه‌جایی و تابش با محیط انتقال حرارت دارد.

A1001.jpg

از موازنه انرژی سطحی داریم :


{{q}_{i,ext}}={{q}_{i,rad}}+{{q}_{i,conv}}+{{q}_{i,cond}}

در این رابطه {{q}_{i,rad}} نرخ خالص انتقال تشعشع از سطح بوده و {{q}_{i,cond}} و {{q}_{i,conv}}به ترتیب نرخ انتقال حرارت هدایت و جابه‌جایی از سطح است. {{q}_{i,ext}} هم گرمای انتقال یافته به سطح است. به طور کلی {{q}_{i,rad}} از یکی از دو رابطه زیر بدست می‌آید و {{q}_{i,cond}} و {{q}_{i,conv}} هم با توجه به شرایط از روابط مربوط به خود بدست می‌آیند.

\begin{align}
  & {{q}_{i}}=\frac{{{E}_{bi}}-{{J}_{i}}}{\left( 1-{{\varepsilon }_{i}} \right)/{{\varepsilon }_{i}}{{A}_{i}}} \\ 
 &  \\ 
 & {{q}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{N}{{{A}_{i}}{{F}_{ij}}\left( {{J}_{i}}-{{J}_{j}} \right)=\sum\limits_{j=1}^{N}{{{q}_{ij}}}} \\ 
\end{align}

مدار تشعشعی نظیر شکل قبل به صورت زیر خواهد بود.

A1002.jpg

باید توجه داشت که {{q}_{i,cond}} و {{q}_{i,conv}} با اختلاف بین دماها متناسب‌اند ولی {{q}_{i,rad}} با اختلاف توان چهارم دماها تناسب دارد. اگر پشت سطح عایقبندی باشد، شرایط مسئله ساده‌تر می‌شود و در این حالت {{q}_{i,cond}}=0 است. علاوه بر این اگر گرمایش خارجی وجود نداشته و جابه‌جایی ناچیز باشد، سطح بازتابنده خواهد بود.


مثال ها[ویرایش]

مثال1)

Pic1.jpg

مطابق جدول 2-13 کتاب ضریب دید برای دیسکهای موازی هم محور مطابق فرمول داده شده‌است.

Afaf.jpg \begin{align}
  & {{R}_{1}}=\frac{{{r}_{1}}}{L} \\ 
 & {{\text{R}}_{2}}=\frac{{{r}_{2}}}{L} \\ 
 & S=1+\frac{1+{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}} \\ 
 & {{F}_{1\to 2}}=\frac{1}{2}\left\{ S-{{\left[ {{S}^{2}}-4{{\left( \frac{{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{1}{2}}} \right\} \\ 
\end{align}


مثال2) محاسبه ضریب دید برای دو کره که یکی درون دیگری قرار گرفته‌است:


Exa2.jpg


\begin{align}
  & F_{11}=0 \\ 
 & F_{11}+F_{12}=1\,\,\,\to \,\,\,F_{12}=1 \\ 
 & A_{2}F_{21}=A_{1}F_{12}\,\,\,\to \,\,\,F_{21}=\frac{A_{1}}{A_{2}}=\left( \frac{D_{1}}{D_{2}} \right)^{2} \\ 
 & F_{21}+F_{22}=1\,\,\,\to \,\,\,F_{22}=1-\frac{A_{1}}{A_{2}} \\ 
\end{align}


مثال3) ضریب دید سطوح مثلث متساوی الاضلاع داده شده را بیابید؟

Adam23.jpg

\begin{align}
  & {{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\mapsto {{F}_{11}}=0\Rightarrow {{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1 \\ 
 & {{F}_{21}}+{{F}_{22}}+{{F}_{23}}=1\mapsto {{F}_{22}}=0\Rightarrow {{F}_{21}}+{{F}_{23}}=1 \\ 
 & {{F}_{31}}+{{F}_{32}}+{{F}_{33}}=1\mapsto {{F}_{33}}=0\Rightarrow {{F}_{31}}+{{F}_{32}}=1 \\ 
 &  \\ 
 & {{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}} \\ 
 & {{A}_{2}}{{F}_{23}}={{A}_{3}}{{F}_{32}} \\ 
 & {{A}_{3}}{{F}_{31}}={{A}_{1}}{{F}_{13}} \\ 
\end{align}



مثال4) دو صفحه عمود بر هم بی نهایت را در نظر بگیرید.اگر صفحه عمودی را 1 در نظر بگیریم  {{\rm F}}_{{\rm 12}} را بدست آورید.

حل:

یک سطح سوم را در نظر می‌گیریم به شکلی که یک محفظه بسته تشکیل شود.

 A: {{\rm F}}_{{\rm 11}}={{\rm F}}_{{\rm 22}}={{\rm F}}_{{\rm 33}}=0

  B: {{\rm F}}_{{\rm 11}}+{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 C:{\rm \ }{{\rm F}}_{{\rm 21}}+{{\rm F}}_{{\rm 22}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

  D:{\rm \ }{{\rm F}}_{{\rm 31}}+{{\rm F}}_{{\rm 32}}+{{\rm F}}_{{\rm 33}}=1

با ساده سازی معادلات بالا داریم:

 {{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 {{\rm F}}_{{\rm 21}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

  {{\rm F}}_{{\rm 32}}+{{\rm F}}_{{\rm 31}}=1

حال از قانون عکس استفاده می‌کنیم:

 E:{{\rm L}}_{{\rm 1}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}={{\rm L}}_{{\rm 2}}{{\rm F}}_{{\rm 21}}

 F: {{\rm L}}_{{\rm 1}}{{\rm F}}_{{\rm 13}}={{\rm L}}_{{\rm 3}}{{\rm F}}_{{\rm 31}}

 G:{\rm \ }{{\rm L}}_{{\rm 2}}{{\rm F}}_{{\rm 23}}={{\rm L}}_{{\rm 3}}{{\rm F}}_{{\rm 32}}

از این سه رابطه برای ساده کردن سه معادله قبل بهره می‌بریم:

  {{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

   \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

با رابطه اول یک دستگاه دو مجهولی ایجاد می‌کنیم:

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm (1-F}}_{{\rm 12}}) +\frac{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

حال باحذف یک مجهول از دستگاه داریم:

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm (1-F}}_{{\rm 12}}) +\frac{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}\left[{\rm 1-}\frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}\right]=1

 {{\rm F}}_{{\rm 12}}{\rm =}  \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}{\rm +}{{\rm L}}_{{\rm 2}}{\rm -}{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm 2}{{\rm L}}_{{\rm 1}}}

که در اینجا

 {{\rm L}}_{{\rm 3}}={\left[{{\rm L}}^{{\rm 2}}_{{\rm 1}}{\rm +}{{\rm L}}^{{\rm 2}}_{{\rm 2}}\right]}^{\frac{{\rm 1}}{{\rm 2}}}


مثال5)

برای شکل زیر F_{12} را بدست آورید.
                                                 

Exa3.jpg


\begin{align}
  & F_{11}=0\,\,\,,\,\,\,F_{22}=0\,\,\,,\,\,\,F_{33}=0 \\ 
 & F_{11}+F_{12}+F_{13}=1 \\ 
 & F_{21}+F_{22}+F_{23}=1 \\ 
 & F_{31}+F_{32}+F_{33}=1 \\ 
 & L_{1}F_{12}=L_{2}F_{21} \\ 
 & L_{1}F_{13}=L_{3}F_{31} \\ 
 & L_{2}F_{23}=L_{3}F_{32} \\ 
 & F_{12}=\frac{L_{1}+L_{2}-L_{3}}{2L_{1}} \\ 
\end{align}


مثال6)

مقدار  {{\rm F}}_{{\rm 12}}  را بیابید.

8797nn.jpg

حل: یک سطح کمکی می‌گیریم به طول 2L آن را  
{{\rm L}}_{{\rm 3}} می‌نامیم. فاصله خالی را  
{{\rm L}}_{{\rm 4}} می‌نامیم. از مثال قبل نیز استفاده می‌کنیم.

 {{\rm F}}_{{\rm 13}}{\rm =}  \frac{{\rm L+2L-}\sqrt{{\rm 5L}}}{{\rm 2}{\rm L}}

{{\rm F}}_{{\rm 13}}{\rm =}{{\rm F}}_{{\rm 14}}{\rm +}{{\rm F}}_{{\rm 12}}

 {{\rm F}}_{{\rm 14}}= \frac{{\rm L+L-}\sqrt{{\rm 2L}}}{{\rm 2}{\rm L}}  =1-\frac{\sqrt{{\rm 2}}}{2}

 {{\rm F}}_{{\rm 13}}{\rm -}{{\rm F}}_{{\rm 14}}{\rm =}{{\rm F}}_{{\rm 12}}

 {{\rm F}}_{{\rm 12}}{\rm =}\frac{{\rm 1-}\sqrt{{\rm 5}}{\rm +}\sqrt{{\rm 2}}}{{\rm 2}}



مثال7) برای شکل زیر F_{12} را بدست آورید.

Exa5-1.jpg

با تشکیل یک محفظه بسته مستطیلی شکل می‌توان قانون جمع را نوشت:

Exa5-2.jpg

F_{11}+F_{12}+F_{13}+F_{14}=1


با رسم خط فرضی R یک مثلث تشکیل داده و خواهیم داشت:

Exa5-3.jpg

F_{13}=\frac{L_{1}+L_{2}-R_{1}}{2L_{1}}\,\,\,\,\,,\,(R_{1}=\sqrt{L_{1}^{2}+L_{2}^{2}})


به شکلی مشابه مطابق شکل خط R_{2} را رسم کرده و خواهیم داشت:

Exa5-4.jpg

_{F_{14}=\frac{L_{1}+L_{2}-R_{2}}{2L_{1}}\,\,\,\,\,,\,(R2=\sqrt{L_{1}^{2}+L_{2}^{2}})}\,\,\,\,\,

و نهایتا با توجه به اینکه F_{11}=0 خواهیم داشت:

F_{12}=1-\frac{L_{1}+L_{2}-\sqrt{L_{1}^{2}+L_{2}^{2}}}{L_{1}}=\sqrt{1+\left( \frac{L_{2}}{L_{1}} \right)^{2}}\,\,-\,\frac{L_{2}}{L_{1}}




مثال8)

برای شکل زیر F_{12} و F_{22} را محاسبه کنید.


Exa6-1.jpg

با استفاده از جدول 1-13 کتاب انتقال حرارت اینکروپرا (ویرایش چهارم) ضریب دید برای دو دیسک موازی هم محور به طریق زیر محاسبه می‌شود:


Exa6-2.jpg


\begin{align}
  & R_{j}=\frac{r_{j}}{L}=0.25 \\ 
 & S=1+\frac{1+R_{j}^{2}}{R_{i}^{2}}=18 \\ 
 & F_{ij}=F_{13}=\frac{1}{2}\left[ S-\left[ S^{2}-4\left( {r_{j}}/{r_{i}}\; \right)^{2} \right]^{\frac{1}{2}} \right]=0.056 \\ 
\end{align}


با نوشتن قانون جمع:

\begin{align}
  & F_{11}+F_{12}+F_{13}=1 \\ 
 & F_{11}=0 \\ 
 & F_{12}=1-F_{13}=0.944 \\ 
\end{align}


\begin{align}
  & F_{11}+F_{12}+F_{13}=1 \\ 
 & F_{11}=0 \\ 
 & F_{12}=1-F_{13}=0.944 \\ 
\end{align}


\begin{align}
  & F_{21}+F_{22}+F_{23}=1 \\ 
 & A_{2}F_{21}=A_{1}F_{12}\,\,\,\to \,\,\,F_{21}=\frac{\frac{\pi }{4}D^{2}}{\pi DL}F_{12}=0.944 \\ 
\end{align}


از تقارن خواهیم داشت:


F_{23}=F_{21}


F_{22}=1-2F_{21}=0.764


مثال9)

دو صفحه عمود بر هم بی نهایت را در نظر بگیرید.اگر صفحه عمودی را 1 در نظر بگیریم  {{\rm F}}_{{\rm 12}} را بدست آورید.

حل:

یک سطح سوم را در نظر می‌گیریم به شکلی که یک محفظه بسته تشکیل شود.

 A: {{\rm F}}_{{\rm 11}}={{\rm F}}_{{\rm 22}}={{\rm F}}_{{\rm 33}}=0

  B: {{\rm F}}_{{\rm 11}}+{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 C:{\rm \ }{{\rm F}}_{{\rm 21}}+{{\rm F}}_{{\rm 22}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

  D:{\rm \ }{{\rm F}}_{{\rm 31}}+{{\rm F}}_{{\rm 32}}+{{\rm F}}_{{\rm 33}}=1

با ساده سازی معادلات بالا داریم:

 {{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 {{\rm F}}_{{\rm 21}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

  {{\rm F}}_{{\rm 32}}+{{\rm F}}_{{\rm 31}}=1

حال از قانون عکس استفاده می‌کنیم:

 E:{{\rm L}}_{{\rm 1}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}={{\rm L}}_{{\rm 2}}{{\rm F}}_{{\rm 21}}

 F: {{\rm L}}_{{\rm 1}}{{\rm F}}_{{\rm 13}}={{\rm L}}_{{\rm 3}}{{\rm F}}_{{\rm 31}}

 G:{\rm \ }{{\rm L}}_{{\rm 2}}{{\rm F}}_{{\rm 23}}={{\rm L}}_{{\rm 3}}{{\rm F}}_{{\rm 32}}

از این سه رابطه برای ساده کردن سه معادله قبل بهره می‌بریم:

  {{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

   \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

با رابطه اول یک دستگاه دو مجهولی ایجاد می‌کنیم:

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm (1-F}}_{{\rm 12}}) +\frac{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

حال باحذف یک مجهول از دستگاه داریم:

 \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm (1-F}}_{{\rm 12}}) +\frac{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{{\rm L}}_{{\rm 3}}}\left[{\rm 1-}\frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}}{{{\rm L}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}\right]=1

 {{\rm F}}_{{\rm 12}}{\rm =}  \frac{{{\rm L}}_{{\rm 1}}{\rm +}{{\rm L}}_{{\rm 2}}{\rm -}{{\rm L}}_{{\rm 3}}}{{\rm 2}{{\rm L}}_{{\rm 1}}}

که در اینجا

 {{\rm L}}_{{\rm 3}}={\left[{{\rm L}}^{{\rm 2}}_{{\rm 1}}{\rm +}{{\rm L}}^{{\rm 2}}_{{\rm 2}}\right]}^{\frac{{\rm 1}}{{\rm 2}}}


مثال10)


دو صفحه موازی بینهایت در مقابلا یکدیگر به فاصله L قرار دارند. مقدار  
{{\rm F}}_{{\rm 12}} را بیابید.

Exa4-1.jpg

حل: یک سطح کمکی می‌گیریم به طول 2L آن را  
{{\rm L}}_{{\rm 3}} می‌نامیم. فاصله خالی را  
{{\rm L}}_{{\rm 4}} می‌نامیم. از مثال قبل نیز استفاده می‌کنیم.

 {{\rm F}}_{{\rm 13}}{\rm =}  \frac{{\rm L+2L-}\sqrt{{\rm 5L}}}{{\rm 2}{\rm L}}

{{\rm F}}_{{\rm 13}}{\rm =}{{\rm F}}_{{\rm 14}}{\rm +}{{\rm F}}_{{\rm 12}}

 {{\rm F}}_{{\rm 14}}= \frac{{\rm L+L-}\sqrt{{\rm 2L}}}{{\rm 2}{\rm L}}  =1-\frac{\sqrt{{\rm 2}}}{2}

 {{\rm F}}_{{\rm 13}}{\rm -}{{\rm F}}_{{\rm 14}}{\rm =}{{\rm F}}_{{\rm 12}}

 {{\rm F}}_{{\rm 12}}{\rm =}\frac{{\rm 1-}\sqrt{{\rm 5}}{\rm +}\sqrt{{\rm 2}}}{{\rm 2}}


مثال11)


یک استوانه به ارتفاع 2 متر وقطر 1 متر در نظر بگیرید. اگر سطح بالا 1 و اطراف 2و زیر را 3 بنامیم.مقدار {{\rm F}}_{{\rm 22}} و  {{\rm F}}_{{\rm 12}} را بیابید.

حل:

 {{\rm F}}_{{\rm 11}}={{\rm F}}_{{\rm 33}}=0

{{\rm F}}_{{\rm 13}}=\frac{{\rm 1}}{{\rm 2}}\left[{\rm s-}{\left[{{\rm s}}^{{\rm 2}}{\rm -}{\rm 4(}{\frac{{{\rm r}}_{{\rm j}}}{{{\rm r}}_{{\rm i}}}{\rm )}}^{{\rm 2}}\right]}^{\frac{{\rm 1}}{{\rm 2}}}\right]

 {{\rm R}}_{{\rm i}}=\frac{{{\rm r}}_{{\rm i}}}{{\rm L}}=\frac{{\rm D}}{{\rm 2L}}=0.25

 {{\rm R}}_{{\rm j}}=\frac{{{\rm r}}_{{\rm j}}}{{\rm L}}=\frac{{\rm D}}{{\rm 2L}}=0.25

 S=1+\frac{{\rm 1+}{{{\rm R}}_{{\rm j}}}^{{\rm 2}}}{{{{\rm R}}_{{\rm i}}}^{{\rm 2}}}=18

 {{\rm F}}_{{\rm 13}}{\rm =0.056}

 {{\rm F}}_{{\rm 11}}+{{\rm F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 {{\rm \ \ \ F}}_{{\rm 12}}+{{\rm F}}_{{\rm 13}}=1

 {{\rm F}}_{{\rm 21}}={{\rm F}}_{{\rm 23}}

 {{\rm F}}_{{\rm 21}}+{{\rm F}}_{{\rm 22}}+{{\rm F}}_{{\rm 23}}=1

{{\rm F}}_{{\rm 23}} +2{{\rm F}}_{{\rm 21}}=1

 {{\rm F}}_{{\rm 21}}{\rm =}\frac{{{\rm A}}_{{\rm 1}}}{{{\rm A}}_{{\rm 2}}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}=\frac{\pi {{\rm D}}^{{\rm 2}}}{{\rm 4}\pi {\rm DL}}{{\rm F}}_{{\rm 12}}=0.118

 {{\rm F}}_{{\rm 22}}=1-2{{\rm F}}_{{\rm 21}}=0.764


مثال 12 شکل زیر را در نظر بگیرید.دمای محیط اطراف 300 درجه کلوین است.سطح 2 عایق است و به سطح 1 که در دمای 700 درجه کلوین است شار گرمایی q داده می‌شود.دمای سطح 2 و مقدار q داده شده به سطح یک را حساب کنید.مساحت سطوح با هم برابر و برابر واحد است.

A111.JPG

حل: در نظر یگیریم که به منظور حل این مسئله ابتدا باید سطح سوم که همچون سیاه بوده و هم دما با دمای محیط است را به شکل اضافه کنیم تا محفظه بسته داشته باشیم و بهتر بتوانبم مسئله را حل کنیم.


\begin{align}
  & {{F}_{11}}={{F}_{22}}={{F}_{33}}=0 \\ 
 & {{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1 \\ 
 & {{F}_{21}}+{{F}_{22}}+{{F}_{23}}=1 \\ 
 & {{F}_{31}}+{{F}_{32}}+{{F}_{33}}=1 \\ 
\end{align}

با ساده سازی داریم

\begin{align}
  & {{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1 \\ 
 & {{F}_{21}}+{{F}_{23}}=1 \\ 
 & {{F}_{31}}+{{F}_{32}}=1 \\ 
\end{align}

مساحت‌ها با هم برابر است؛

{{F}_{12}}{{A}_{1}}={{F}_{21}}{{A}_{2}}\Rightarrow {{F}_{12}}={{F}_{21}}

از طرفی هم با توجه به روابط بالا داریم: {{F}_{13}}={{F}_{23}}

در نتیجه با توجه به جدول 13-1 کتاب


{{F}_{12}}={{F}_{21}}=\frac{L+L-\sqrt{2}L}{2L}=0.29


{{F}_{23}}=\frac{L-\sqrt{2}L-L}{2L}=0.71

نمودار معادل این جسم به شکل زیر است A-11-sd.PNG


{{R}_{12}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}=3.41{{m}^{-2}},{{R}_{13}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}=1.41{{m}^{-2}},{{R}_{23}}=\frac{1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}=1.41{{m}^{-2}}


344-33.PNG


دمای سطوح یک و سه مشخص است. پس می‌توانیم با نوشتن رابطه بین این دو سطح به مقدار q سطح یک دسترسی پیدا کنیم. ابتدا مقاومت معادل بین این دو سطح را حساب می‌کنیم و سپس مقدار q سطح یک را به دست می‌آوریم.


\begin{align}
  & {{R}_{tot}}=\frac{{{R}_{13}}\times ({{R}_{12}}+{{R}_{23}})}{{{R}_{13}}+{{R}_{12}}+{{R}_{23}}}=1.09{{m}^{-2}} \\ 
 & {{q}_{1}}=\frac{{{E}_{b,1}}-{{E}_{b,3}}}{{{R}_{tot}}}=\frac{\sigma }{{{R}_{tot}}}(T_{1}^{4}-T_{3}^{4})=12.25kw \\ 
\end{align}


{{E}_{b,2}}=-({{q}_{1}}-\frac{\sigma (T_{1}^{4}-T_{3}^{4})}{{{R}_{tot}}}){{R}_{12}}+\sigma T_{1}^{4}=4.421\Rightarrow {{T}_{2}}=528k


مثال13

برای کوره ی موجود در شکل زیر که سطح کناره ی آن عایق است، دمای سطح 1 را به دست آورید. دمای هوای اطراف 300 کلوین است و قسمت بالایی کوره آزاد است.

2323-12.PNG


حل: سطح 3 با خصوصیات جسم سیاه و با دمای هوای اطراف را به شکل اضافه می‌کنیم. برای محاسبه ضریب دید سطح 1 نسبت به سطح 3 از فرمول‌های جدول 2-13 کتاب استفاده می‌کنیم.سپس با نوشتن رابطه تقابل بین سطوح و همچنین رابطه مجموع ضریب دید سطوح محفظه می‌توانیم ضریب‌های دید مجهول را به دست آوریم. با توجه به شکل نمودار معادل این مسئله نیاز هست که پس از پیدا کردن ضریب سطوح،مقومت‌های بین سطوح هم محاسبه شود.

\begin{align}
  & {{F}_{21}}={{F}_{33}}=0,{{q}_{2}}=0 \\ 
 & {{R}_{1}}=\frac{{{r}_{1}}}{L}=\frac{0.5}{2}0.25,{{R}_{3}}=\frac{{{r}_{3}}}{L}=\frac{0.5}{2}0.25 \\ 
 & S=1+\frac{1+{{(0.25)}^{2}}}{{{(0.25)}^{2}}}=18\Rightarrow {{F}_{13}}=\frac{1}{2}\left\{ 18-{{[{{18}^{2}}-4{{(\frac{0.5}{0.5})}^{2}}]}^{\frac{1}{2}}} \right\}=0.055 \\ 
 & {{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\Rightarrow {{F}_{12}}=1-0.055=0.945 \\ 
 & {{F}_{22}}+{{F}_{23}}+{{F}_{21}}=1,{{F}_{21}}={{F}_{23}},{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\Rightarrow {{F}_{21}}=0.12 \\ 
 & \Rightarrow {{F}_{22}}=1-2{{F}_{21}}=0.54 \\ 
 & {{R}_{12}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}=1.34{{m}^{-2}},{{R}_{13}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}=23.141{{m}^{-2}},{{R}_{32}}=\frac{1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}=1.34{{m}^{-2}} \\ 
 &  \\ 
\end{align}

نمودار معادل این کوره به شکل روبروست. A-11-sd.PNG

نمودار معادل بین سطح 1 و سطح 3 به شکل زیر است که در آن دارریم:

4-yatr.PNG


\begin{align}
  & {{R}_{tot}}=\frac{{{R}_{13}}\times ({{R}_{12}}+{{R}_{23}})}{{{R}_{13}}+{{R}_{12}}+{{R}_{23}}}=2.4{{m}^{-2}} \\ 
 & {{q}_{1}}=\frac{{{E}_{b,1}}-{{E}_{b,3}}}{{{R}_{tot}}}\Rightarrow {{E}_{b,1}}={{R}_{tot}}{{q}_{1}}+\sigma T_{3}^{4}=94{}^{kw}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{2}}}\; \\ 
\end{align}


{{E}_{b,1}}=\sigma T_{1}^{4}\Rightarrow {{T}_{1}}=1134k


--habib-sheikh ‏۱۶ ژوئن ۲۰۱۱، ساعت ۱۲:۲۳ (UTC)


مثال14 در صورتی که ضریب دید تشعشعی بین دو صفحه بالا و پایین یک مکعب برابر 0.25 باشد ضریب دید صفحه بالایی مکعب با یکی از صفحات جانبی چقدر می‌شود؟

ره حل سوال 1: بطور کلی در حل ضرایب دید برای سطوح مکعب شکل و کلیه سطوحی که به نوعی تقارن دارند اگر تقارن را درست تشخیص دهیم مسئله خیلی ساده حل می‌شود: سطح بالایی مکعب را سطح شماره 1 سطح پایین مکعب را سطح شماره 2 و سطوح جانبی را شماره 3 تا 6 نامگذاری می‌کنیم از قانون جمع داریم:


{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}+{{F}_{14}}+{{F}_{15}}+{{F}_{16}}=1

میدانیم : {{F}_{11}}=0

از طرفی به لحاظ تقارن داریم: {{F}_{13}}={{F}_{14}}={{F}_{15}}={{F}_{16}}

بنابر این :


0.25-4{{F}_{13}}=1


{{F}_{13}}=\frac{3}{16}


مثال15

سطوح بالایی و جانبی یک کوره ی مکعبی ، سیاه در نظر گرفته می‌شوند و در دمای ثابت نگه داری می‌شوند .نرخ انتقال حرارت خالص تشعشعی به سطح کف از سطوح بالایی و جانبی را تعیین کنید.
فرض : شرایط عملکرد پایا و سطوح کدر و پخشی و خاکستری هستند و حرارت جابجایی در نظر گرفته نمی‌شود .
آنالیز : سطح پایینی را سطح 1 و سطح بالایی را 2 و سطح جانبی را 3 در نظر می‌گیریم .سیلندر مکعبی می‌تواند به عنوان یک سطح بسته سه تایی با شبکه تشعشعی زیر نشان داده شده‌است

  {{\rm A}}_{{\rm 1}}={{\rm A}}_{{\rm 2}}=100{ft^2}
 {{\rm A}}_{{\rm 3}}=400{ft^2}


 {{E}_{b}}(T1)=\sigma {{T1}^{4}}={0.1714*{10^{-8}}}*{800^4}=702
{{E}_{b}}(T2)=\sigma {{T2}^{4}}={0.1714*{10^{-8}}}*{1600^4}=1233
 {{E}_{b}}(T3)=\sigma {{T3}^{4}}={0.1714*{10^{-8}}}*{2400^4}=56866

ضریب دید از کف به سطح بالایی مکعب  {{\rm F}}_{{\rm 12}}={0.2} است و از قانون جمع زنی ضرایب دید این گونه محاسبه می‌شوند .


{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=0


{{F}_{13}}=1-{{F}_{12}}=1-0.2=0.8


از آن جا که سطح کف تخت است {{\rm F}}_{{\rm 11}}= بنابراین مقاومت‌های تشعشعی به صورت زیر تعیین می‌شوند.

 {{R}_{1}}=\frac{1-{{\varepsilon }_{1}}}{{{A}_{1}}{{\varepsilon }_{1}}}=0.0043 {{R}_{12}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}=0.05{{ft}^{-2}},{{R}_{13}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}=0.0125{{ft}^{-2}}>


با توجه به این که سطوح جانبی و بالایی سیاه هستند ، بنابراین گسیلندگی آن‌ها برابر با توان خروجی آن هاست

 
\frac{{{E}_{b,1}}-{{j}_{1}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{E}_{b,2}}-{{j}_{1}}}{{{R}_{12}}}+\frac{{{E}_{b,3}}-{{E}_{j,1}}}{{{R}_{13}}}=0

 
\frac{702-{{j}_{1}}}{{0.0043}}+\frac{11233-{{j}_{1}}}{{0.500}}+\frac{56860-{{j}_{1}}}{{0.0125}}=0



نرخ خالص انتقال حرارت تشعشعی میان کف و سطوح جانبی



{{Q}_{31}}=\frac{{{E}_{b,3}}-{{j}_{1}}}{{{R}_{13}}}=\frac{{5866-15054}}{{0.0125}}=3.3*{10^{6}}

نرخ خالص انتقال حرارت تشعشعی میان کف از سطح بالایی 


{{Q}_{12}}=\frac{{{j}_{1}}-{{E}_{b,1}}}{{{R}_{12}}}=\frac{{15054-11233}}{{0.05}}=7.6*{10^{4}}

نرخ خالص انتقال حرارت به کف سرانجام این گونه محاسبه می‌شود



{{Q}_{1}}={{Q}_{21}}+{{Q}_{31}}=-76420+3344960=3.2*{10^{6}}



بحث : نتایج مشابه این گونه محاسبه می‌شود

{{Q}_{1}}=\frac{{15054-702}}{{0.0043}}= 3.338*{10^{6}}


مثال16

یک کوره را در نظر که گرما با نرخ 50 kw/m2 به کف آن داده می‌شود و اطراف آن یک کویل آب سرد پیچیده شده‌است. اگر دمای سطح جانبی کوره 400K باشد و دهانه کوره نیز به محیط باز باشد، دمای کف کوره T1 و گرمای انتقال یافته به آب سرد q2 را بدست آورید. دمای محیط 300K است و قطر و طول کوره به ترتیب 1 m و 2 m است. برای حل مسئله ابتدا باید یک سطح فرضی در دهانه کوره در نظر بگیریم (سطح 3).


A1003.jpg


داده‌های مسئله

{{T}_{sur}}={{T}_{3}}=300K

{{T}_{2}}=400K

{{{{q}''}}_{1}}=50kw/{{m}^{2}}

مقادیر ضریب شکل برای این کوره به صورت زیر است :

{{F}_{13}}=0.055

{{F}_{12}}={{F}_{32}}=0.945

{{F}_{21}}={{F}_{23}}=0.12

{{F}_{22}}=0.76

حل مسئله


A1004.jpg


{{R}_{12}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}=1.34{{m}^{-2}}

{{R}_{32}}=\frac{1}{{{A}_{3}}{{F}_{32}}}=1.34{{m}^{-2}}

{{R}_{13}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}=23.14{{m}^{-2}}

{{q}_{1}}={{{{q}''}}_{1}}\times {{A}_{1}}=39.26kw

{{q}_{1}}=\frac{{{E}_{b1}}-{{E}_{b2}}}{{{R}_{12}}}+\frac{{{E}_{b1}}-{{E}_{b3}}}{{{R}_{13}}}=\frac{\sigma \left( T_{1}^{4}-T_{2}^{4} \right)}{{{R}_{12}}}+\frac{\sigma \left( T_{1}^{4}-T_{3}^{4} \right)}{{{R}_{12}}}


\Rightarrow \underline{{{T}_{1}}=980K}


{{q}_{1}}=\frac{{{E}_{b2}}-{{E}_{b1}}}{{{R}_{21}}}+\frac{{{E}_{b2}}-{{E}_{b3}}}{{{R}_{23}}}=\frac{\sigma \left( T_{2}^{4}-T_{1}^{4} \right)}{{{R}_{21}}}+\frac{\sigma \left( T_{2}^{4}-T_{3}^{4} \right)}{{{R}_{23}}}

\Rightarrow \underline{{{q}_{2}}=-29.67kw}



مثال17

یک کوره استوانه‌ای داریم ، که دیواره آن عایق شده و بالای آن باز است .


Zarib did3.jpg

فرضیات : دمای سطوح یکنواخت است.

سطوح را جسم سیاه فرض کنید .

جابجایی آزاد را برای دیواره داخلی لحاظ کنید . h= 10

مطلوب :

حرارت مورد نیاز برای اینکه دمای سطح در 1000 کلوین ثابت بماند .

B3d2775.jpg

حل به کمک نرم افزار ees

پاسخ نرم افزار :


\begin{align}
  & \text{A=3}\text{.14  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{D=1  }\!\![\!\!\text{ m }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{L=1  }\!\![\!\!\text{ m }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{h=10  }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{.k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 12=1}\text{.53  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 13=7}\text{.49  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 32=1}\text{.53  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{E }\!\!\_\!\!\text{ b1=56696 }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{E }\!\!\_\!\!\text{ b2=17803 }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{  } \\ 
 & \text{E }\!\!\_\!\!\text{ b3=459}\text{.2  }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{q }\!\!\_\!\!\text{ 1=32929 }\!\![\!\!\text{ w }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{q }\!\!\_\!\!\text{ 2= 0  }\!\![\!\!\text{ w }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{q }\!\!\_\!\!\text{ 3=-18844   }\!\![\!\!\text{ w }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{T }\!\!\_\!\!\text{ 1=1000  }\!\![\!\!\text{ k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{T }\!\!\_\!\!\text{ 2=748}\text{.6  }\!\![\!\!\text{ k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{T }\!\!\_\!\!\text{ inf=300  }\!\![\!\!\text{ k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
\end{align}


مثال 18

مثال 17 را با فرضیات زیر در نظر بگیرید:

فرضیات جدید :

دمای سطوح یکنواخت است.

سطوح را جسم خاکستری فرض کنید . e = 0.7

جابجایی آزاد را برای دیواره داخلی لحاظ کنید . h= 10

مطلوب :

حرارت مورد نیاز برای اینکه دمای سطح در 1000 کلوین ثابت بماند ؟

B3d2774.jpg

حل به کمک نرم افزار ees

پاسخ نرم افزار :

\begin{align}
  & \text{A=3}\text{.14  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{D=1  }\!\![\!\!\text{ m }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{L=1  }\!\![\!\!\text{ m }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{h=10  }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{.k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 1=0}\text{.546  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 12=1}\text{.53  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 13=7}\text{.49  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 2=0}\text{.137  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{R }\!\!\_\!\!\text{ 32=1}\text{.53  }\!\![\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{E }\!\!\_\!\!\text{ b1=56696 }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{E }\!\!\_\!\!\text{ b2=13659 }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{  } \\ 
 & \text{E }\!\!\_\!\!\text{ b3=459}\text{.2  }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{j }\!\!\_\!\!\text{ 1=42657  }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{j }\!\!\_\!\!\text{ 2=11935  }\!\![\!\!\text{ w/}{{\text{m}}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{q }\!\!\_\!\!\text{ 1=25713  }\!\![\!\!\text{ w }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{q }\!\!\_\!\!\text{ 2=12579  }\!\![\!\!\text{ w }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{q }\!\!\_\!\!\text{ 3=-13135  }\!\![\!\!\text{ w }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 &  \\ 
 & \text{T }\!\!\_\!\!\text{ 1=1000  }\!\![\!\!\text{ k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{T }\!\!\_\!\!\text{ 2=700}\text{.6  }\!\![\!\!\text{ k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \text{T }\!\!\_\!\!\text{ inf=300  }\!\![\!\!\text{ k }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
\end{align}


مثال19

دو ورق موازی به ابعاد 5/0 متر در 1متر به فاصله 5/0متر از یکدیگر قرار دارند. دمای دیواره اتاق 300 کلوین می‌باشد. اندیس 1 برای صفحه بالایی و اندیس 2 برای صفحه پایینی می‌باشد.انتقال گرمای خالص به هرکدام از ورق‌ها را بیابید.


{{T}_{1}}=1273K\bullet {{T}_{2}}=773K\bullet {{T}_{3}}=300K


{{A}_{1}}={{A}_{2}}=0.5{{m}^{2}}\bullet {{\in }_{1}}=0.2\bullet {{\in }_{2}}=0.5

می‌توان اتاق را سطح فرضی 3 در نظر گرفت که شرایط زیر را دارد :


{{\in }_{3}}=1\bullet {{E}_{b3}}={{J}_{3}}


با استفاده از جداول ضریب شکل و روابط جبری ضریب شکل و حل مساله داریم:


Tasvire 2.jpg

{{F}_{12}}=0.285={{F}_{21}}


{{F}_{13}}=1-{{F}_{12}}=0.715\bullet {{F}_{23}}=1-{{F}_{21}}=0.715


\frac{1-{{\in }_{1}}}{{{\in }_{1}}{{A}_{1}}}=\frac{1-0.2}{0.2*0.5}=8


\frac{1-{{\in }_{2}}}{{{\in }_{2}}{{A}_{2}}}=2\bullet \frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}=7.018\bullet \frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}=2.797\bullet \frac{1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}=2.797


با مرتب کردن جمع جبری جریانهای گرمایی وارد شده به گره‌های J1 و J2 و مساوی قرار دادن آنها با صفر داریم :


\frac{{{E}_{b1}}-{{J}_{1}}}{8}+\frac{{{J}_{2}}-{{J}_{1}}}{7.018}+\frac{{{E}_{b3}}-{{J}_{1}}}{2.797}=0


\frac{{{J}_{1}}-{{J}_{2}}}{7.018}+\frac{{{E}_{b3}}-{{J}_{2}}}{2.797}+\frac{{{E}_{b2}}-{{J}_{2}}}{2}=0


{{E}_{b1}}=\sigma {{T}_{1}}^{4}=148.87kW/{{m}^{2}}


{{E}_{b2}}=\sigma {{T}_{2}}^{4}=20.241kW/{{m}^{2}}


{{E}_{b3}}=\sigma {{T}_{3}}^{4}=0.459kW/{{m}^{2}}


با قرار دادن مقادیر فوق در معادله‌های بالا J1 و J2 بدست می‌آیند :


{{J}_{1}}=33.469kW/{{m}^{2}}\bullet {{J}_{2}}=15.054kW/{{m}^{2}}


{{q}_{1}}=\frac{{{E}_{b1}}-{{J}_{1}}}{{}^{(1-{{\in }_{1}})}\!\!\diagup\!\!{}_{{{\in }_{1}}{{A}_{1}}}\;}=14.425kW


{{q}_{2}}=\frac{{{E}_{b2}}-{{J}_{2}}}{{}^{(1-{{\in }_{2}})}\!\!\diagup\!\!{}_{{{\in }_{2}}{{A}_{2}}}\;}=2.594kW


{{q}_{3}}=\frac{{{J}_{1}}-
{{J}_{3}}}{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}\;}+\frac{{{J}_{2}}-{{J}_{3}}}{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}\;}=17.02kW


مثال 20 برای کوره ی نشان داده شده در شکل زیر دمای سطح 2 و سطح 3 را محاسبه کنید. سطح جداره کناری کوره عایق است و سقف کوره باز است.ضریب گسیلمندی سطح شماره 2 برابر با 0.5 و ضریب گسیلمندی سطح ز برابر با 0.8 می‌باشد.


R-231.PNG

حل: سطح بالایی کوره را جسم سیاه فرض کرده و دمای آن را دمای محیط با300 کلوین در نظر می‌گیریم.

\begin{align}
  & {{F}_{21}}={{F}_{33}}=0 \\ 
 & {{q}_{2}}=0 \\ 
 & {{R}_{1}}=\frac{{{r}_{1}}}{L}=\frac{0.5}{2}0.25,{{R}_{3}}=\frac{{{r}_{3}}}{L}=\frac{0.5}{2}0.25 \\ 
 & S=1+\frac{1+{{(0.25)}^{2}}}{{{(0.25)}^{2}}}=18\Rightarrow {{F}_{13}}=\frac{1}{2}\left\{ 18-{{[{{18}^{2}}-4{{(\frac{0.5}{0.5})}^{2}}]}^{\frac{1}{2}}} \right\}=0.055 \\ 
 & {{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\Rightarrow {{F}_{12}}=1-0.055=0.945 \\ 
 & {{F}_{22}}+{{F}_{23}}+{{F}_{21}}=1,{{F}_{21}}={{F}_{23}},{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\Rightarrow {{F}_{21}}=0.12 \\ 
 & \Rightarrow {{F}_{22}}=1-2{{F}_{21}}=0.54 \\ 
\end{align}


{{q}_{3}}=-{{q}_{1}}=-29.7


34-23D.PNG


\begin{align}
  & {{R}_{12}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{12}}}=1.34{{m}^{-2}},{{R}_{13}}=\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}}=23.141{{m}^{-2}},{{R}_{32}}=\frac{1}{{{A}_{2}}{{F}_{23}}}=1.34{{m}^{-2}} \\ 
 & {{R}_{tot}}=\frac{{{R}_{13}}\times ({{R}_{12}}+{{R}_{23}})}{{{R}_{13}}+{{R}_{12}}+{{R}_{23}}}=2.4{{m}^{-2}},{{R}_{1}}=\frac{1-0.8}{0.8\pi {{(0.5)}^{2}}}=0.318{{m}^{-2}} \\ 
\end{align}

64q34g.PNG



\begin{align}
  & {{q}_{1}}=\frac{{{E}_{b,1}}-{{E}_{b,3}}}{{{R}_{1}}+{{R}_{tot}}}\Rightarrow {{E}_{b,1}}=({{R}_{tot}}+{{R}_{1}}){{q}_{1}}+\sigma T_{3}^{4}=539.99{}^{kw}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{2}}}\; \\ 
 & {{E}_{b,1}}=\sigma T_{1}^{4}\Rightarrow {{T}_{1}}=1756.72k \\ 
\end{align}


\begin{align}
  & {{J}_{1}}=-{{q}_{1}}{{R}_{1}}+{{E}_{b,1}}=530.55{}^{kw}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{2}}}\; \\ 
 & {{q}_{13}}=\frac{{{J}_{1}}-{{E}_{b,3}}}{{{R}_{13}}}=3.1kw \\ 
 & {{q}_{12}}={{q}_{1}}-{{q}_{13}}=26.6\to {{q}_{12}}=\frac{{{J}_{1}}-{{E}_{b,2}}}{{{R}_{12}}}\Rightarrow {{E}_{b,2}}=517.79{}^{kw}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{2}}}\;\to {{T}_{2}}=1738.37 \\ 
\end{align}


مثال 21 برای کوره ی نشان داده شده در شکل زیر دمای سطح 2 و مقدار q را محاسبه کنید. سطح جداره کناری کوره عایق است و سقف کوره باز است.ضریب گسیلمندی سطح شماره 2 برابر با 0.5 و ضریب گسیلمندی سطح ز برابر با 0.18 می‌باشد. (ضمنا داخل کوره وات بر مترمربع درجه کوین h=450 )

Untitlegd.png

حل :

\begin{align}
  & {{F}_{11}}={{F}_{22}}={{F}_{33}}=0.3 \\ 
 & {{F}_{13}}=0.383 \\ 
 & {{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1 \\ 
 & {{F}_{12}}=1-{{F}_{13}}=0.62={{F}_{23}} \\ 
 & {{R}_{13}}=(\frac{1}{{{A}_{1}}{{F}_{13}}})=0.843{{m}^{-2}} \\ 
 & {{R}_{32}}=(\frac{1}{{{A}_{3}}{{F}_{32}}})=0.51{{m}^{2}}={{R}_{12}}={{R}_{23}} \\ 
 & {{R}_{1}}=(\frac{1-{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}{{A}_{1}}})=0.08{{m}^{-2}} \\ 
\end{align}

2d.png معادلات حاکم:


\begin{align}
  & q=(\frac{-{{j}_{1}}+{{E}_{{{b}_{1}}}}}{{{R}_{1}}}) \\ 
 & {{q}_{2}}=(\frac{{{j}_{2}}-{{E}_{{{b}_{2}}}}}{{{R}_{2}}}) \\ 
 & {{q}_{3}}={{q}_{13}}+{{q}_{23}} \\ 
 & {{q}_{12}}={{q}_{2}}+{{q}_{23}} \\ 
 & {{q}_{13}}=(\frac{{{j}_{1}}-{{E}_{{{b}_{3}}}}}{{{R}_{13}}}) \\ 
 & {{q}_{23}}=(\frac{{{j}_{2}}-{{E}_{{{b}_{3}}}}}{{{R}_{23}}}) \\ 
 & {{q}_{2}}=hA({{T}_{2}}-{{T}_{3}}) \\ 
 & q={{q}_{12}}+{{q}_{13}} \\ 
 & {{q}_{12}}=(\frac{{{j}_{1}}-{{j}_{2}}}{{{R}_{12}}}) \\ 
\end{align}

پس از حل توسط نرم افزار EES جواب ها به شرح زیر بدست می آید:


\begin{align}
  & q=116.550kw \\ 
 & {{T}_{2}}=310.5K \\ 
\end{align}


مثال 22 در صورتی که ضریب دید تشعشعی بین دو صفحه بالا و پایین یک مکعب برابر 0.25 باشد ضریب دید صفحه بالایی مکعب با یکی از صفحات جانبی چقدر می‌شود؟

ره حل سوال 1: بطور کلی در حل ضرایب دید برای سطوح مکعب شکل و کلیه سطوحی که به نوعی تقارن دارند اگر تقارن را درست تشخیص دهیم مسئله خیلی ساده حل می‌شود: سطح بالایی مکعب را سطح شماره 1 سطح پایین مکعب را سطح شماره 2 و سطوح جانبی را شماره 3 تا 6 نامگذاری می‌کنیم از قانون جمع داریم:


{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}+{{F}_{14}}+{{F}_{15}}+{{F}_{16}}=1

میدانیم : {{F}_{11}}=0

از طرفی به لحاظ تقارن داریم: {{F}_{13}}={{F}_{14}}={{F}_{15}}={{F}_{16}}

بنابر این :


0.25-4{{F}_{13}}=1


{{F}_{13}}=\frac{3}{16}


مثال 23 یک جسم سیاه داریم که با محیط اطراف تشعشع می‌کند.خالص خروجی از سطح چقدر است؟

حل: عدد 2 را به محیط اطراف نسبت می‌دهیم.

 {{\rm F}}_{{\rm 11}}=0

 {{\rm F}}_{{\rm 12}}=1

 {{\rm q}}_{{\rm 12}}{\rm =}{{\rm A}}_{{\rm 1}}\delta\  ({{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 1}}{\rm -}{{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm Surr}})


مثال 24

سیالی با دمای ورودی 300کلوین وارد لوله داخلی یک مبدل تشعشعی می‌شود.با توجه به اطلاعات داده شده دمای خروجی سیال را بیابید.Exa2.jpg

دبی جرمی سیال1kg/s

 
{{\rm C}}_{{\rm p}}=4005

h=100w/squre meter

 
{{\rm T}}_{{\rm 2}}=cte

 {{\rm D}}_{{\rm 1}}{\rm =5cm}

 {\rm \ }{{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm =10cm}

طول=1m

 ?={{\rm T}}_{{\rm out}}

حل:

 {{\rm A}}_{{\rm 2}}{{\rm F}}_{{\rm 21}}={\rm \ }\pi {{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm L}\times{{\rm F}}_{{\rm 12}}({{\rm F}}_{{\rm 12}}{\rm =1)}

 {{\rm q}}_{{\rm 12}}=\frac{{{\rm E}}_{{\rm b1}}{\rm -}{{\rm E}}_{{\rm b2}}}{{{\rm R}}_{{\rm 12}}}

 {{\rm R}}_{{\rm 12}}{\rm =}\frac{{\rm 1}}{\pi {{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm L}}

 {{\rm q}}_{{\rm 12}}{\rm =\ }\pi {{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm L}({{\rm E}}_{{\rm b1}}{\rm -}{{\rm E}}_{{\rm b2}})

 {{\rm q}}_{{\rm 12}}{\rm =}h{{\rm A}}_{{\rm 2}}\Delta {{\rm T}}_{{\rm ln}}


 \Delta {{\rm T}}_{{\rm ln}}=\frac{{\rm \ }\left({{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm i}}\right){\rm -}{\rm (}{{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm out}}{\rm )}}{{\rm ln}\frac{{{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm i}}}{{{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm out}}}}


 {{\rm q}}_{{\rm 12}}{\rm =\ }\pi {{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm L}({{\rm E}}_{{\rm b1}}{\rm -}{{\rm E}}_{{\rm b2}}) = \dot{{\rm m}}{{\rm c}}_{{\rm p}}({{\rm T}}_{{\rm out}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm in}})


 {{\rm E}}_{{\rm b1}}{\rm =} {{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 1}}\delta= 5.67\times{{\rm 10}}^{{\rm -}{\rm 8}}\times{{\rm 1000}}^{{\rm 4}}= 5.67({{\rm 10}}^{{\rm 4}})


  \pi {{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm L(} 5.67({{\rm 10}}^{{\rm 4}})-{\rm \ }{{\rm E}}_{{\rm b2}}) =1\times4000({{\rm T}}_{{\rm out}}{\rm -}{\rm \ 300})


 \pi {{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm L(} 5.67({{\rm 10}}^{{\rm 4}})-{\rm \ }{{\rm E}}_{{\rm b2}}) =h{\rm \ }\pi {{\rm D}}_{{\rm 2}}{\rm L}\frac{{\rm \ }\left({{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm i}}\right){\rm -}{\rm (}{{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm out}}{\rm )}}{{\rm ln}\frac{{{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm i}}}{{{\rm T}}_{{\rm 2}}{\rm -}{\rm \ }{{\rm T}}_{{\rm out}}}}

حال بایستی با سعی و خطا  {{\rm T}}_{out} و  {{\rm T}}_{2} را بدست آورد.


مثال 25

در یک لامپ 100 واتی با ضریب صدور0.2 و با فرض جابجایی آزاد دمای سطح لامپ را بیابید؟


حل تمرین با استفاده از نرم افزار EES انجام گرفته، بدین صورت که در این نرم افزار معادلات حاکم بر مسئله داده می شود و نرم افزار به صورت سعی و خطا مسئله را حل نموده و جواب را به ما می دهد.

همانطور که می دانید برنامه EES یک برنامه حل دستگاه معادلات می باشد، که ما می توانیم معادلات و معلومات مسئله خود را به صورت معادله به آن داده و در نهایت برنامه با روش سعی و خطا دستگاه را برای ما حل می کند. اگر در کد زیر دقت کنید، داده های مسئله مثل دما، قطر و ... به نرم افزار داده شده ، سپس معدلات موازنه انرژی، عدد ناسلت برای کره، عدد رایلی و ... و در نهایت پارامتر های لازم برای حل مسئله مثل عدد پرانتل، لزجت ، چگالی و ضریب رسانش که در معادلات استفاده شده، تعریف کرده ایم. کد مسئله به صورت زیر است:

T=300[K]
D=0.1[m]
P=101[kpa]
Nu=Mio/Den
a=0.6
q=100[W]
A_1=0.03[m^2]
epsilon=0.2
T_f=(T_s+T)/2
Beta=1/T_f
Ra=((g*Beta*(T_s-T_infinity)*(D^3))*Pr)/(Nu^2)
Nusselt=2+((0.589*(Ra^(1/4)))/((1+((0.469/Pr)^(9/16)))^(4/9)))
h=(Nusselt*k)/D
(a*q)/A_1=(epsilon*5.67*(10^(-8))*(T_s^4-T_infinity^4))+(h*(T_s-T_infinity))
Pr=PRANDTL(Air,T=T_f)
Mio=VISCOSITY(Air,T=T_f)
Den=DENSITY(Air,T=T_f,P=P)
K=CONDUCTIVITY(Air,T=T_f)

جواب حاصل از حل معادلات بالا توسط نرم افزار به صورت زیر است:


\begin{align}
  & {{A}_{1}}=0.03[{{m}^{2}}] \\ 
 & \beta =0.00\text{2536 }\!\![\!\!\text{ 1/K }\!\!]\!\!\text{ } \\ 
 & \rho =0.\text{8924 }\!\![\!\!\text{ Kg/}{{\text{m}}^{3}}] \\ 
 & h=7.661[W/{{m}^{2}}K] \\ 
 & K=0.002536 \\ 
 & \mu =0.00002269 \\ 
 & Nu=23.62 \\ 
 & P=101[Kpa] \\ 
 & \Pr =0.7071 \\ 
 & q=100[W] \\ 
 & Ra=5.129\times {{10}^{6}} \\ 
 & {{T}_{\infty }}=300[K] \\ 
 & {{T}_{f}}=394.3[K] \\ 
\end{align}


منبع: جزوه دکتر فاتحی دانشگاه خلیج فارس


مثال 26

راهنمایی سپر تابشی با شماره 3 نامگذاری شده‌است


{{F}_{23}}={{F}_{13}}=1


اگر جسم سیاه باشند

انتقال گرما در حالت بدون سپر تابشی

(mmmm1) (1).png


{{q}_{0}}=\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})

انتقال گرما با وجود سپر تابشی


(mmmm1) (2).png


{{q}_{13}}=\sigma A(T_{1}^{4}-T_{3}^{4})


{{q}_{32}}=\sigma A(T_{3}^{4}-T_{2}^{4})


{{q}_{32}}={{q}_{13}}


{{T}_{3}}={{(\frac{T_{1}^{4}+T_{2}^{4}}{2})}^{\frac{1}{4}}}


{{q}_{1}}=\sigma A(T_{1}^{4}-\frac{T_{1}^{4}+T_{2}^{4}}{2})=\frac{1}{2}\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})=\frac{1}{2}{{q}_{0}}

بنابراین اگر nسپر تابشی قرار دهیم داریم:


{{q}_{n}}=\frac{1}{n+1}{{q}_{0}}

اگر جسم سیاه نباشند

مانند حالت قبل داریم


(mmmm1) (3).png

(mmmm1) (4).png


{{R}_{12}}={{R}_{13}}={{R}_{32}}=\frac{1}{A}

اما مقادیر

{{R}_{1}}

و

{{R}_{2}}

و

{{R}_{3}}

بصورت زیر محاسبه می‌شوند:


{{R}_{i}}=\frac{1-{{\varepsilon }_{i}}}{{{\varepsilon }_{i}}A}

انتقال گرما در حالت بدون سپر:


{{q}_{0}}=\frac{\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{\frac{1-{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}}+1+\frac{1-{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{2}}}}=\frac{\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{\frac{1}{{{\varepsilon }_{1}}}+1+\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}}}


انتقال گرما با وجود سپر:


(mmmm1) (5).png


(mmmm1) (6).png


{{q}_{1}}=\frac{\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{\frac{1}{{{\varepsilon }_{1}}}+\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}}+\frac{2}{{{\varepsilon }_{3}}}-2}


اگر

{{\varepsilon }_{1}}={{\varepsilon }_{2}}={{\varepsilon }_{3}}=\varepsilon

آنگاه:

{{q}_{0}}=\frac{\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{\frac{2}{\varepsilon }-1}

{{q}_{1}}=\frac{\sigma A(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{\frac{4}{\varepsilon }-2}=\frac{1}{2}{{q}_{0}}


مثال 27

یک استوانه که سطح جانبی آن عایق است در نظر بگیرید.

ارتفاع استوانه 2متر و قطر آن 1 متر است.

شارورودی از کف استوانه چقدر باشد تا دمای سطح جانبی 1000 کلوین بماند.

سطح بالای استوانه به محیط باز است و دمای محیط اطراف 300 کلوین است.


حل:


سطح پایین را 1 و سطح اطراف را 2 می‌نامیم. بالای استوانه را فرض می‌کنیم با یک جسم سیاه که همدمای محیط است پوشیده شده‌است و این سطح را 3 می‌نامیم.


 A: {{\rm q}}_{{\rm 1}}{\rm =}{{\rm q}}_{{\rm 12}}{\rm +}{{\rm q}}_{{\rm 13}}

 B: {{\rm q}}_{{\rm 12}}={{\rm F}}_{{\rm 12}}{{\rm A}}_{{\rm 1}}\delta ({{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 1}}{\rm -}{{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 2}})

 C: {{\rm q}}_{{\rm 13}}={{\rm F}}_{{\rm 13}}{{\rm A}}_{{\rm 1}}\delta ({{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 1}}{\rm -}{{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm Surr}})

 D: {{\rm q}}_{{\rm 2}}={{\rm q}}_{{\rm 21}}+{{\rm q}}_{{\rm 23}}=0

 E: {{\rm q}}_{{\rm 21}}{\rm =-}{{\rm q}}_{{\rm 12}}={{\rm F}}_{{\rm 12}}{{\rm A}}_{{\rm 1}}\delta  ({{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 2}}{\rm -}{{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 1}})

 F: {{\rm q}}_{{\rm 23}}={{\rm F}}_{{\rm 23}}{{\rm A}}_{{\rm 2}}\delta  ({{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 2}}{\rm -}{{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 3}})

 {{\rm q}}_{{\rm 3}}{\rm =}{{\rm q}}_{{\rm 31}}{\rm +}{{\rm q}}_{{\rm 32}}=-{{\rm q}}_{{\rm 1}}


از معادله F داریم:

 pi {\rm DL}{\rm \times }0.118\times5.67\times {{\rm 10}}^{{\rm -}{\rm 8}}({{\rm 1000}}^{{\rm 4}}-{{\rm 300}}^{{\rm 4}}) =41700W

از معادله E داریم:

 {{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 1}}={{\rm T}}^{{\rm 4}}_{{\rm 2}}-\frac{{{\rm q}}_{{\rm 21}}}{\pi \frac{{{\rm D}}^{{\rm 2}}}{{\rm 4}}{\rm 0.944*5.67*}{{\rm 10}}^{{\rm -}{\rm 8}}}

با حل معادله داریم:

 {{\rm T}}_{{\rm 1}}=1188K

از معادله D داریم:

 {{\rm q}}_{{\rm 21}}=-{{\rm q}}_{{\rm 23}}=-41700W

از معادله C داریم:

 \pi \frac{{{\rm D}}^{{\rm 2}}}{{\rm 4}}{\rm 0.056*5.67*}{{\rm 10}}^{{\rm -}{\rm 8}}({{\rm 1188}}^{{\rm 4}}-{{\rm 300}}^{{\rm 4}}) =4950W

پس

  {{\rm q}}_{{\rm 1}}=41800w+4950w =46650w

حل EESمسئله


مثال 28

دمای k در مثال بالا چقدر گرما بدهیم تا دمای کف به 1000k برسد؟دمای دیواده در این حالت چقدر است؟ دمای سطوح ثابت و سطوح جسم سیاه هستند اثرات جابجایی اجباری را لحاظ کنید.


برای حل مسئله توسط این نرم افزار مقادیر توان تشعشعی سطوح 1،3 و مقادیر مقاومت گرمایی بین سطوح 12،13،32،23، مقدار ضریب جایجایی، سطح مقطع و دمای سطح 3 به برنامه داده شده است، همچنین معادلات موازنه انرژی و توان تشعشع سطح 2 داده شده است. همانطور که می دانیم نرم افزار ees دستگاه معادلات زیر را با روش سعی و خطا حل می نماید. کد معادلات نوشته شده در نرم افزار حل عددی EES :

E_b_1=Sigma*(1000^4)
E_b_2=Sigma*(T_2^4)
E_b_3=Sigma*(300^4)
R_12=1.53[m^-2]
R_13=7.49[m^-2]
R_32=1.53[m^-2]
R_23=1.53[m^-2]
h=12[W/m^2*K]
A=3.14[m^2]
T_3=300[k]
q_1=((E_b_1-E_b_2)/R_12)+((E_b_1-E_b_3)/R13)
((E_b_2-E_b_1)/R_12)+((E_b_2-E_b_3)/R_23)+h*A*(T_2-T_3)=0
q_3=((E_b_3-E_b_1)/R_31)+((E_b_3-E_b_2)/R_32)

جواب نرم افزار EES:


\begin{align}
  & {{E}_{{{b}_{1}}}}=56696 \\ 
 & {{E}_{{{b}_{2}}}}=16163 \\ 
 & {{E}_{{{b}_{3}}}}=459.2 \\ 
 & h=12[W/{{m}^{2}}K] \\ 
 & {{q}_{1}}=34001[W] \\ 
 & {{q}_{3}}=-17772[W] \\ 
 & {{T}_{2}}=730.7[K] \\ 
 & {{T}_{3}}=300 \\ 
\end{align}



مثال 29 یک کوره رنگ پزی به صورت یک مجرای طویل با مقطع مثلثی ساخته شده‌است که سطح گرم ان در دمای 1000کلوین نگه داشته می‌شود ودسطح دیکر ان عایق بندی شده‌است. صفحات رنگ شده با دمای 500 کلوین سطح سوم مجرا را تشکیل می‌دهند. طول هر یک از اضلاعمثلث 1 متر بوده و ضریب صدور سطوح گرم وعایق برابر 0.8 است . ضریب صدور صفحات رنگ شده 0.4 است . در حالت دایم برای برای آن که دمای سطح گرم در1200 کلوین باقی بماند چه مقدار انرژی بر واحد طول مجرا باید به این سطح داده شود؟ دمای سطح عایق بندی شده را نیز بدست اورید؟

حل

داده : خواص سطحی یک مجرای طویل مثلثی که از یک طرف دارای عایق بوده و در دو طرف دیگر سرد و گرم می‌شود

خواسته:1-نرخ گرمایی که باید بر طول واحد مجرا به آن داده شود.2-دمای سطح عایق بندی شده

شکل

Sheklmasale.JPG

فرضیات :1 – انتقال گرما دایم است .2 – کلیه سطوح خاکستری و کدر و دیفیوزر بوده و شدت تشعشع خروجی آنها یکنواخت است .3 – اثرات جابجایی ناچیز است .4 – سطح عایق بازتابنده‌است .5 – از اثرات انتهایی صرفنظر می‌شود

تحلیل : 1 – سیستم را می‌توان به صورت یک محفظه سه سطحی با یک سطح بازتابنده در نظر گرفت . 2-نرخ انرژی داده شده به سطح گرم شده از معادله زیر تعیین می‌شود Madaremoadelmasale.JPG

\begin{align}
  & q_{1}=\frac{E_{b1}-E_{b2}}{\frac{1-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}A_{1}}+\frac{1}{A_{1}F_{12}+\left[ \frac{1}{A_{1}F_{1R}}+\frac{1}{A_{2}F_{2R}} \right]^{-1}}+\frac{1-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}A_{2}}} \\ 
 & F_{12}=F_{1R}=F_{2R}=0.5 \\ 
 & A_{1}=A_{2}=W.L \\ 
 & {q}'_{1}=\frac{q_{1}}{L}=\frac{5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}(1200^{4}-500^{4})K^{4}}{\frac{1-0.8}{0.8(1m)}+\frac{1}{1m(0.5)+(2+2)^{-1}m}+\frac{1-0.4}{0.4(1m)}} \\ 
 & {q}'_{1}=37kW/m=-{q}'_{2} \\ 
\end{align}


دمای سطح عایق شده را می‌توان بدست آورد ولی برای از رابطه زیر باید جی‌ها معلوم باشند . بااعمال موازنه انرژی سطحی داریم



\begin{align}
  & J_{R}=E_{bR} \\ 
 & J_{1}=E_{b1}-\frac{1-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}W}{q}'_{1}=5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}(1200K)^{4}-\frac{1-0.8}{0.8(1m)}(37000W/m) \\ 
 & J_{1}=108323W/m^{2} \\ 
 & J_{2}=E_{b2}-\frac{1-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}W}{q}'_{2}=5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}(500K)^{4}-\frac{1-0.4}{0.4(1m)}(-37000W/m) \\ 
 & J_{2}=59043W/m^{2} \\ 
\end{align}

از موازنه انرژی برای سطح بازتابنده نتیجه می‌شود



\begin{align}
  & \frac{108323-J_{R}}{\frac{1}{W.L(0.5)}}-\frac{J_{R}-59043}{\frac{1}{W.L(0.5)}}=0 \\ 
 & J_{R}=83683W/m^{2}=E_{bR}=\sigma T_{R}^{4} \\ 
 & T_{R}=(\frac{83683W/m^{2}}{5.67(10)^{-8}W/m^{2}.K^{4}})^{\frac{1}{4}}=1102K \\ 
\end{align}


توضیحات :

1- توجه داشته باشید که ناپیوستگی‌های دما و شدت تشعشع خروجی نمی‌تواند 

در گوشه‌ها وجود داشته باشدوفرض یکنواخت بودن دما و شدت تشعشع خروجی در این ناحیه‌ها ضعیف است .

2- این مثال را می‌توان با استفاده از روش ماتریس معکوس نیز کرد . در این روش ابتدا سه تا مجهول تعیین می‌شوند.معادلات حاکم به صورت زیر نوشته می‌شوند


\begin{align}
  & \frac{E_{b1}-J_{1}}{\frac{1-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}A_{1}}}=\frac{J_{1}-J_{2}}{(A_{1}F_{12})^{-1}}+\frac{J_{1}-J_{R}}{(A_{1}F_{1R})^{-1}} \\ 
 & \frac{E_{b2}-J_{2}}{\frac{1-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}A_{2}}}=\frac{J_{2}-J_{1}}{(A_{2}F_{21})^{-1}}+\frac{J_{2}-J_{R}}{(A_{2}F_{2R})^{-1}} \\ 
 & 0=\frac{J_{R}-J_{1}}{(A_{R}F_{R1})^{-1}}+\frac{J_{R}-J_{2}}{(A_{R}F_{R2})^{-1}} \\ 
\end{align}


با حذف سطح شماره یک اولین معادله تبدیل می‌شود به


\begin{align}
  & \frac{117573-J_{1}}{0.25}=\frac{J_{1}-J_{2}}{2}+\frac{J_{1}-J_{R}}{2} \\ 
 & 10J_{1}-J_{2}-J_{R}=940584 \\ 
 & \frac{3544-J_{2}}{1.5}=\frac{J_{2}-J_{1}}{2}+\frac{J_{2}-J_{R}}{2} \\ 
 & -J_{1}+3.33J_{2}-J_{R}=4725 \\ 
 & 0=\frac{J_{R}-J_{1}}{2}+\frac{J_{R}-J_{2}}{2} \\ 
 & -J_{1}-J_{2}+2J_{R}=0 \\ 
\end{align}


ماتریس‌های ضرایب با توجه به معادلات بالا عبارتند از



\begin{align}
  & \left( \begin{matrix}
   a_{11} & a_{12} & a_{1R}  \\
   a_{21} & a_{22} & a_{2R}  \\
   a_{31} & a_{32} & a_{3R}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   10 & -1 & -1  \\
   -1 & 3.33 & -1  \\
   -1 & -1 & 2  \\
\end{matrix} \right) \\ 
 & \left( \begin{align}
  & C_{1} \\ 
 & C_{2} \\ 
 & C_{R} \\ 
\end{align} \right)=\left( \begin{align}
  & 940584 \\ 
 & 4725 \\ 
 & 0 \\ 
\end{align} \right) \\ 
 & J_{1}=108328W/m^{2}\cdots J_{2}=59018W/m^{2}\cdots J_{R}=83673W/m^{2} \\ 
 & J_{R}=\sigma T_{R}^{4}\Rightarrow T_{R}(\frac{J_{R}}{\sigma })^{\frac{1}{4}}=(\frac{83673W/m^{2}}{5.67(10)^{-8}W/m^{2}K^{4}})^{\frac{1}{4}}=1102K \\ 
\end{align}


مثال 30

اتاقی به صورت زیر نشان داده شده‌است .سقف (1) دارای گسیلمندی 0.8 است و توسط المنت‌های الکتریکی که در درون آن قرار دارند در 40 درجه سانتیگراد نگه داشته می‌شود.از المنت‌ها برای نگه داشتن سطح کف( 2 )با گسیلمندی 0.9 در 50 درجه سانتیگراد نیز استفاده می‌شود .دیوار سمت راست (3 ) با گسیلمندی0.7 در یک روز سرد زمستان به 15 درجه سانتیگراد می‌رسد . دیوار سمت چپ (4) و دیوارهای انتهایی به خوبی عایق اند برای ساده کردن تحلیل دو دیوار انتهایی را به صورت سطح تنهای (5) در نظر بگیرید . اگر سطوح را پخشی و خاکستری بگیریم انتقال حرارت خالص تشعشعی را از هر سطح بیابید


Sheklmf.png


\begin{align}
  & q_{i}=\sum\limits_{j=1}^{5}{A_{i}F_{ij}(J_{i}-J_{j})} \\ 
 &  \\ 
 & \frac{E_{bi}-J_{i}}{\frac{1-\varepsilon _{i}}{\varepsilon _{i}A_{i}}}=\sum\limits_{j=1}^{5}{\frac{J_{i}-J_{j}}{(A_{i}F_{ij})^{-1}}\propto i=1,2,3} \\ 
 &  \\ 
 & q_{i}=\sum\limits_{j=1}^{5}{\frac{J_{i}-J_{j}}{(A_{i}F_{ij})^{-1}}=0\propto i=4,5} \\ 
 &  \\ 
 & \frac{X}{L}=\frac{10}{4}=2.5\propto \frac{Y}{L}=\frac{6}{4}=1.5\Rightarrow F_{12}=F_{21}=0.39 \\ 
 & \frac{Z}{X}=\frac{4}{10}=0.4\propto \frac{Y}{X}=\frac{6}{10}=0.6\Rightarrow F_{13}=F_{14}=0.19 \\ 
 & \frac{X}{L}=\frac{10}{6}=1.66\propto \frac{Y}{L}=\frac{4}{6}=0.67\Rightarrow F_{34}=F_{43}=0.19 \\ 
 & \frac{Z}{X}=\frac{4}{10}=0.4\propto \frac{Y}{X}=\frac{6}{10}=0.6\Rightarrow F_{24}=F_{13}=0.19 \\ 
 & F_{32}=\frac{A_{2}}{A_{3}}F_{23}=\frac{A_{2}}{A_{3}}F_{13}=\frac{60}{40}(0.19)=0.285\propto F_{31}=\frac{A_{1}}{A_{3}}F_{13}=\frac{60}{40}(0.19)=0.285 \\ 
 & F_{51}=\frac{A_{1}}{A_{5}}F_{15}=\frac{60}{48}(0.23)=0.288\propto F_{53}=\frac{A_{1}}{A_{3}}F_{35}=\frac{40}{48}(0.25)=0.208 \\ 
 & F_{15}=1-F_{12}-F_{13}-F_{14}=1-0.39-0.19-0.19=0.23 \\ 
 & F_{35}=1-F_{31}-F_{32}-F_{34}=1-0.285-0.285-0.19=0.24 \\ 
 & E_{b}=\sigma T^{4} \\ 
 & \frac{544.2-J_{1}}{\frac{1-0.8}{0.8(60)}}=\frac{J_{1}-J_{2}}{\frac{1}{60(0.39)}}+\frac{J_{1}-J_{3}}{\frac{1}{60(0.19)}}+\frac{J_{1}-J_{4}}{\frac{1}{60(0.19)}}+\frac{J_{1}-J_{5}}{\frac{1}{60(0.23)}} \\ 
 & \Rightarrow -1.2500J_{1}+0.0975J_{2}+0.0475J_{3}+0.0475J_{4}+0.570J_{5}=-544.2 \\ 
 &  \\ 
 & \frac{617.2-J_{2}}{\frac{1-0.9}{0.9(60)}}=\frac{J_{2}-J_{1}}{\frac{1}{60(0.39)}}+\frac{J_{2}-J_{3}}{\frac{1}{60(0.19)}}+\frac{J_{2}-J_{4}}{\frac{1}{60(0.19)}}+\frac{J_{2}-J_{5}}{\frac{1}{60(0.23)}} \\ 
 & \Rightarrow +0.0433J_{1}-1.111J_{2}+0.02111J_{3}+0.02111J_{4}+0.02556J_{5}=-617.2 \\ 
 &  \\ 
 & \frac{390.1-J_{3}}{\frac{1-0.7}{0.7(40)}}=\frac{J_{3}-J_{1}}{\frac{1}{40(0.285)}}+\frac{J_{3}-J_{2}}{\frac{1}{40(0.285)}}+\frac{J_{3}-J_{4}}{\frac{1}{40(0.19)}}+\frac{J_{3}-J_{5}}{\frac{1}{40(0.24)}} \\ 
 & \Rightarrow +0.122J_{1}+0.122J_{2}-1.4284J_{3}+0.08143J_{4}+0.1028J_{5}=-390.1 \\ 
 &  \\ 
 & 0=\frac{J_{4}-J_{1}}{\frac{1}{40(0.285)}}+\frac{J_{4}-J_{2}}{\frac{1}{40(0.285)}}+\frac{J_{4}-J_{3}}{\frac{1}{40(0.19)}}+\frac{J_{4}-J_{5}}{\frac{1}{40(0.24)}} \\ 
 & \Rightarrow +0.285J_{1}+0.285J_{2}+0.19J_{3}-1.0J_{4}+0.24J_{5}=0 \\ 
 &  \\ 
 & 0=\frac{J_{5}-J_{1}}{\frac{1}{48(0.288)}}+\frac{J_{5}-J_{2}}{\frac{1}{48(0.288)}}+\frac{J_{5}-J_{3}}{\frac{1}{48(0.208)}}+\frac{J_{5}-J_{4}}{\frac{1}{48(0.208)}} \\ 
 & \Rightarrow +0.288J_{1}+0.288J_{2}+0.208J_{3}+0.208J_{4}-0.992J_{5}=0 \\ 
 &  \\ 
 & A=\left[ \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   -1.25 & 0.0975  \\
\end{matrix} & 0.0475 & 0.0475 & 0.0575  \\
   \begin{matrix}
   0.0433 & -1.111  \\
\end{matrix} & 0.0211 & 0.0211 & 0.0255  \\
   \begin{matrix}
   0.1221 & 0.1221  \\
\end{matrix} & -1.4284 & 0.0814 & 0.1028  \\
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   0.2850  \\
   0.2880  \\
\end{matrix} & \begin{matrix}
   0.2850  \\
   0.2880  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} & \begin{matrix}
   0.190  \\
   0.2080  \\
\end{matrix} & \begin{matrix}
   -1.000  \\
   0.2080  \\
\end{matrix} & \begin{matrix}
   0.240  \\
   -0.992  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right] \\ 
 &  \\ 
 & C=\left[ \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   -544.2  \\
   -617.2  \\
\end{matrix}  \\
   -390.1  \\
   0  \\
   0  \\
\end{matrix} \right]\Rightarrow J=\left[ \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   545.1  \\
   607.9  \\
\end{matrix}  \\
   441.5  \\
   542.3  \\
\end{matrix}  \\
   5410  \\
\end{matrix} \right]W/m^{2} \\ 
 &  \\ 
 & q_{1}=A_{1}F_{12}(J_{1}-J_{2})+A_{1}F_{13}(J_{1}-J_{3})+A_{1}F_{14}(J_{1}-J_{4})+A_{1}F_{15}(J_{1}-J_{5}) \\ 
 & q_{1}=60m^{2}\left[ 0.39(545.1-607.9)\text{+0}\text{.19(545}\text{.1-441}\text{.5) + 0}\text{.19(545}\text{.1-542}\text{.3) + 0}\text{.23(545}\text{.1-541}\text{.0)} \right]W/m^{2}\text{= - 200 W} \\ 
 & q_{2}=60m^{2}\left[ \text{0}\text{.39(607}\text{.9-545}\text{.1)+0}\text{.19(607}\text{.9-441}\text{.5) + 0}\text{.19(607}\text{.9-542}\text{.3) + 0}\text{.23(607}\text{.9-541}\text{.0)} \right]W/m^{2}\text{=5037 W} \\ 
 & q_{3}=\text{40 m}^{2}\text{ }\!\![\!\!\text{ 0}\text{.285(441}\text{.5-545}\text{.1) + 0}\text{.285(441}\text{.5-607}\text{.9)+0}\text{.19(441}\text{.5-542}\text{.3) + 0}\text{.24(441}\text{.5-541}\text{.0) }\!\!]\!\!\text{  W/m}^{2}\text{ = - 4799 W} \\ 
 & q_{4}=q_{5}=0 \\ 
\end{align}


مثال 31 کوره‌ای کروی به قطر نیم متر حاوی مخلوط گازی با فشار 1 اتمسفر و با دمای 1400 کلوین است.مخلوط حاوی دی اکسیدکربن با فشار جزیی 0.25 اتمسفر و نیترو‍ژن با فشار جزیی 0.75 است. اگر دیواره کوره سیاه باشد ، آهنگ سرمایش آن چقدر باشد تا در دمای 500 کلوین بماند؟

M1s.png


\begin{align}
  & {{{{q}''}}_{c}}={{E}_{g}}-{{\alpha }_{g}}{{E}_{b}}({{T}_{s}}) \\ 
 & {{{{q}''}}_{c}}={{\varepsilon }_{g}}\sigma T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}\sigma T_{s}^{4} \\ 
 & {{q}_{c}}={{A}_{s}}\sigma ({{\varepsilon }_{g}}T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}T_{s}^{4}) \\ 
 & Table13.4\therefore \because \therefore \to {{L}_{e}}=0.65D=0.65\times 0.5=0.325m=1.066ft \\ 
 & {{p}_{e}}{{L}_{e}}=0.25atm\times 1.066ft=0.267ft.atm \\ 
 & from13.18\to {{\varepsilon }_{g}}={{\varepsilon }_{c}}=0.09 \\ 
 & {{\alpha }_{g}}={{\alpha }_{c}}={{C}_{c}}{{\left( \frac{{{T}_{g}}}{{{T}_{s}}} \right)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{c}}({{T}_{s}},{{p}_{e}}{{L}_{e}}\left[ {}^{{{T}_{s}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{T}_{g}}}\; \right] \\ 
 & Fig13.19\to {{C}_{c}}=1 \\ 
 & {{\alpha }_{g}}=1{{({}^{1400}\!\!\diagup\!\!{}_{50}\;)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{c}}(500k,0.095ft.atm) \\ 
 & Fig13.18\to {{\varepsilon }_{c}}=0.067 \\ 
 & \Rightarrow {{\alpha }_{g}}=0.106 \\ 
 & \Rightarrow \Rightarrow {{q}_{c}}=15.1kW \\ 
\end{align}


مثال 32

محفظه احتراق یک توربین گازی را به صورت لوله ی بلندی به قطر 0.4 متر می‌توان گرفت.گاز احتراق در دمای 1000 درجه سانتیگراد و فشار 1 اتمسفر و دمای سطح محفظه 500 درجه‌است.اگر محصولات احتراق دی اکسید کربن و آب با کسر مولی 0.15 باشد ،شار گرمای تشعشعی خالص بین گاز و سطح محفظه چقدر است؟(سطح محفظه را سیاه در نظر بگیرید)

M2s.JPG

\begin{align}
  & {{q}_{net}}={{A}_{s}}\sigma ({{\varepsilon }_{g}}T_{g}^{4}-{{\alpha }_{g}}T_{s}^{4}) \\ 
 & From\text{  }Table\text{ 13}\text{.4    }\to \text{ }{{\text{L}}_{e}}=0.95D=0.95\times 0.4=038m=1.25ft \\ 
 & {{p}_{w}}{{L}_{e}}={{p}_{e}}{{L}_{e}}=0.152atm\times 1.25ft=0.187\text{   }atm.ft \\ 
 & Fig13.16({{T}_{g}}=1273K) \\ 
 & Fig13.18({{T}_{g}}=1273K) \\ 
 & Fig13.20({}^{{{p}_{w}}}\!\!\diagup\!\!{}_{({{p}_{c}}+{{p}_{w}})}\;=0.5,{{L}_{c}}({{p}_{w}}+{{p}_{c}})=0375,{{T}_{g}}\ge 930{}^\circ ),\to \Delta \varepsilon \ge 0.01 \\ 
 & FromEq.13.38 \\ 
 & {{\varepsilon }_{g}}={{\varepsilon }_{w}}+{{\varepsilon }_{c}}-\Delta \varepsilon =0.096+0.085-0.01\approx 0.144 \\ 
 & FromEq13.41\text{    }for\text{ }the\text{ }water\text{ }vapor \\ 
 & {{\alpha }_{w}}={{C}_{w}}{{({}^{{{T}_{g}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{T}_{s}}}\;)}^{0.45}}\times {{\varepsilon }_{w}}({{T}_{s}},{{p}_{w}}{{L}_{e}}\left[ {}^{{{T}_{s}}}\!\!\diagup\!\!{}_{{{T}_{g}}}\; \right]) \\ 
 & where\text{ }from\text{ }Fig13.16\to {{\varepsilon }_{w}}\approx 0.083 \\ 
 & {{\alpha }_{w}}=1{{({}^{1273}\!\!\diagup\!\!{}_{773}\;)}^{0.45}}\times 0.083=0.104 \\ 
 & {{\alpha }_{c}}=1{{({}^{1273}\!\!\diagup\!\!{}_{773}\;)}^{0.45}}\times 0.083=0.100 \\ 
 & fromFig13.20,the\text{ }correction\text{ }factor\text{ }for\text{ }water\text{ }vapor \\ 
 & ({}^{{{p}_{w}}}\!\!\diagup\!\!{}_{({{p}_{c}}+{{p}_{w}})}\;=0.1,{{L}_{c}}({{p}_{w}}+{{p}_{c}})=0375,{{T}_{g}}\approx 540{}^\circ ),\to \Delta \alpha \ge 0.004 \\ 
 & and\text{ }u\text{sing }Eq.13.43 \\ 
 & {{\alpha }_{g}}={{\alpha }_{w}}+{{\alpha }_{c}}-\Delta \alpha =0.104+0100-0.004\approx 0.200 \\ 
 & {{{{q}'}}_{net}}=\pi (0.4m)5.67\times {{10}^{-8}}{}^{W}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{2}}.{{K}^{4}}}\;\left[ 0.144{{(1273)}^{4}}-0.200{{(773)}^{4}} \right]=21.9\text{ }{}^{kW}\!\!\diagup\!\!{}_{m}\; \\ 
\end{align}