جریان عرضی در دسته لوله ها

انتقال حرارت جابه جایی اجباری روی دسته لوله:

انتقال گرما از یا به مجموعه لوله های عمود بر جریان کاربردهای صنعتی فراوانی مانند تولید بخار در دیگ بخار یا سرمایش هوا در کویل هوا تهویه مطبوع دارد.

آرایش مجموعه لوله ها معمولا مستطیلی یا مثلثی است.

(دسته لوله با آرایش مستطیلی)

(دسته لوله با آرایش مثلثی)

ضریب انتقال روی هر لوله به موقعیت آن لوله در مجموعه لوله ها بستگی دارد.

این ضریب برای لوله های واقع در ردیف اول تقریبا برابر با ضریب لوله واحد عمود بر جریان است ولی ردیف های داخلی ضریب انتقال گرمای بیشتری دارند.

در واقع در چند ردیف اول، لوله ها اغتشاش جریان را زیاد کرده و این ضریب را افزایش می دهند و باعث افزایش انتقال گرما در ردیف های بعدی می شوند.

ضریب جابه جایی روی لوله های بعد از ردیف چهارم و پنجم تغییر چندانی نمی کند چون شرایط در این ردیف ها پایدار است.

به دلیل تفاوت این ضریب معمولا یک ضریب میانگین برای کل مجموعه تعریف می شود.

برای جریان سیال روی مجموعه ای که شامل 10 ردیف لوله یا بیشتر باشد رابطه ای به صورت زیر تعریف می شود :

${{\overline{Nu}}_{_{D}}}=C\operatorname{Re}_{D,\max }^{m}{{\Pr }^{0.36}}{{\left( \frac{\Pr }{{{\Pr }_{s}}} \right)}^{1/4}}$ $\left\{ \begin{align} & {{N}_{L}}\ge 10 \\ & 2000\le {{\operatorname{Re}}_{D,\max }}\le 40000 \\ & \Pr \ge 0.7 \\ \end{align} \right\}$ ${{\operatorname{Re}}_{D,\max }}=\frac{\rho {{V}_{\max }}D}{\mu }$

تمام خواص به جز ${{\Pr }_{s}}$ در دمای میانگین محاسبه می شوند:${{T}_{i}}$ دمای ورودی و ${{T}_{0}}$ دمای خروجی

$\bar{T}=\frac{{{T}_{i}}+{{T}_{0}}}{2}$

${{\Pr }_{s}}$ در دمای سطح ( ${{T}_{s}}$ ) محاسبه می شود.

ضرایب C و m از جداول مربوطه خوانده می شوند.

${{V}_{\max }}$ با استفاده از معادله بقای جرم برای سیال تراکم ناپذیر بدست می آید:

در آرایش مستطیلی :

${{V}_{\max }}=\frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{T}}-D}V$

در آرایش مثلثی:

${{V}_{\max }}=\frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{\min }}}V$

${{S}_{\min }}=\min \left\{ ({{S}_{T}}-D),\left[ 2({{S}_{D}}-D) \right] \right\}$

برای مقادیر کوچک $\frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{L}}}\le 0.7$ ، ردیف های بالا دست جریان مانند حفاظی در برابر جریان روی ردیف های پایین دست جریان عمل می کنند که اثر معکوسی بر اتقال گرما دارد. یعنی مسیر جریان به صورتی است که تماس کمتری با لوله ها دارد. به همین دلیل عملکرد مجموعه لوله ها با آرایش مستطیلی با $\frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{L}}}\le 0.7$ مطلوب نیست. ولی در آرایش مثلثی به دلیل بیشتر بودن پیچ و خم ها سیال با لوله های پایین دست تماس بیشتری دارد. به طور کلی در ${{\operatorname{Re}}_{D}}\le 100$ ،انتقال گرما در آرایش مثلثی نسبت به آرایش مستطیلی محسوستر است.

(شرایط جریان برای لوله های با آرایش مستطیلی)

(شرایط جریان برای لوله های با آرایش مثلثی)

چون دمای سیال در هنگام عبور از لوله ها تغییر زیادی می کند، استفاده از $\Delta T={{T}_{s}}-{{T}_{\infty }}$ به عنوان اختلاف دما، انتقال گرما را بیشتر از واقعیت پیش بینی می کند. به همین دلیل از اختلاف دمای میانگین لگاریتمی که به صورت زیر محاسبه می شود استفاده می کنیم:

$dq=hp\left[ {{T}_{s}}-T\left( x \right) \right]dx=\dot{m}{{C}_{p}}\left[ T\left( x+dx \right)-T\left( x \right) \right]$ $\Rightarrow \dot{m}{{C}_{p}}\frac{dT}{dx}=hp\left[ {{T}_{s}}-T\left( x \right) \right]$ $\Rightarrow \int\limits_{{{T}_{i}}}^{{{T}_{0}}}{\frac{dT}{{{T}_{s}}-T\left( x \right)}}=\int\limits_{0}^{L}{\frac{hp}{\dot{m}{{C}_{p}}}dx}$

$\Rightarrow Ln\left[ \left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)/\left( {{T}_{s}}-{{T}_{0}} \right) \right]=\frac{h{{A}_{s}}}{\dot{m}{{C}_{p}}}$ $q=\dot{m}{{C}_{p}}\left( {{T}_{0}}-{{T}_{i}} \right)\Rightarrow q=h{{A}_{s}}\left\{ \frac{\left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)-\left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)}{Ln\left[ \left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)/\left( {{T}_{s}}-{{T}_{0}} \right) \right]} \right\}$ $LMTD=\Delta {{T}_{lm}}=\frac{\left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)-\left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)}{Ln\left[ \left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)/\left( {{T}_{s}}-{{T}_{0}} \right) \right]}$

مثال اول :

هوا با سرعت ${{V}_{air}}=5.2m/s$ و دمای اولیه ${{T}_{i,air}}=20{}^\circ c$ روی یک دسته لوله با آرایش مثلثی عبور می کند. دمای سطح لوله ها ${{T}_{s}}=100{}^\circ c$ و قطر هر لوله $D=16mm$ است. تعداد لوله های افقی و عمودی به ترتیب 20 و 10 عدد است (${{N}_{L}}=20$ و ${{N}_{T}}=10$ )و فاصله افقی و عمودی لوله ها از هم با یکدیگر برابرند(${{S}_{T}}={{S}_{L}}=4cm$).

مجهولات مسئله : ${{T}_{0}}$ دمای هوای خروجی و $q$ انتقال گرما و $\Delta P$ اختلاف فشار

جواب

ابتدا باید یک ${{T}_{0}}$ حدس بزنیم:

${{T}_{0}}=50{}^\circ c\Rightarrow \bar{T}=\frac{{{T}_{i}}+{{T}_{0}}}{2}=35{}^\circ c$

خواص هوا را در دمای ${\bar{T}}$ می خوانیم :

$\left\{ \begin{align} & k=0.036w/m.k \\ & {{C}_{p}}=1.007kj/kg.k \\ & \mu =1.89\times {{10}^{-5}}pa.s \\ & \Pr =0.727 \\ \end{align} \right.$

در دمای $T=100{}^\circ c$ :

${{\Pr }_{s}}=0.711$ ${{S}_{d}}=\sqrt{{{\left( \frac{{{S}_{T}}}{2} \right)}^{2}}+S_{L}^{2}}=4.2cm=42mm$

$2\left( {{S}_{d}}-D \right)=52mm$

${{S}_{\min }}=\min \left[ \left( {{S}_{T}}-D \right),2\left( {{S}_{d}}-D \right) \right]={{S}_{T}}-D=24mm$

${{V}_{\max }}=\frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{T}}-D}{{V}_{air}}=8.67m/s$

${{\operatorname{Re}}_{D.\max }}=\frac{\rho {{V}_{\max }}D}{\mu }=8380$

مقدار C و m را از جدول می خوانیم:

$\left. \begin{align} & {{\overline{Nu}}_{_{D}}}=C\operatorname{Re}_{D,\max }^{m}{{\Pr }^{0.36}}{{\left( \frac{\Pr }{{{\Pr }_{s}}} \right)}^{1/4}} \\ & Table:C=0.35{{\left( \frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{L}}} \right)}^{0.2}},m=0.6 \\ \end{align} \right\}\Rightarrow {{\overline{Nu}}_{_{D}}}=70.9$

$\bar{h}=\frac{{{\overline{Nu}}_{_{D}}}\times k}{D}=116w/{{m}^{2}}.k$

حال از طریق رابطه ی LMTD دوباره ${{T}_{0}}$ بدست می آوریم و با حدس اولیه چک می کنیم:(L طول لوله ها)

${{A}_{s}}={{N}_{T}}{{N}_{L}}=\pi DL=10.05L$

$\left. \begin{align} & {{\rho }_{i}}=1.2kg/{{m}^{3}} \\ & {{A}_{c}}={{S}_{T}}{{N}_{T}}L=40L \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \dot{m}={{\rho }_{i}}{{V}_{air}}{{A}_{c}}=2.5L(kg/s)$

$\left[ \left( {{T}_{s}}-{{T}_{i}} \right)/\left( {{T}_{s}}-{{T}_{0}} \right) \right]={{e}^{\frac{h{{A}_{s}}}{\dot{m}{{C}_{p}}}}}\Rightarrow {{T}_{0}}=49.7{}^\circ c$

می بینیم جواب بدست آمده با حدس اولیه به یکدیگر نزدیک هستند، پس حدس اولیه قابل قبول است. برای واحد طول لوله:

$q=\dot{m}{{C}_{p}}\left( {{T}_{0}}-{{T}_{i}} \right)=\bar{h}{{A}_{s}}\Delta {{T}_{lm}}=74.8kw$

X ضریب تصحیح و f ضریب اصطکاک که از جدول خوانده می شود:

$\left. \begin{align} & {{\operatorname{Re}}_{D}}=7713 \\ & \frac{{{S}_{T}}}{{{S}_{D}}}=2.5 \\ \end{align} \right\}\Rightarrow f=0.33,X=1$

$\Delta P=NX\left( \frac{\rho V_{\max }^{2}}{2} \right)f=284pa$

مثال دوم : جریانی با دمای اولیه ی 20 درجه و با سرعت 5.2 متر بر ثانیه از روی دسته لوله ای به شکل زیر عبور می کند.

الف ) دمای هوای خروجی چقدر است؟

ب) گرمای منتقل شده چقدر است؟

ج) اختلاف فشار چقدر است؟

ابتدا دمای خروجی را حدس می زنیم و خواص هوا را با توجه به آن از جداول می خوانیم :

$\begin{align} & {{T}_{o}}={{50}^{o}} \\ & \overset{-}{\mathop{T}}\,=\frac{{{T}_{i}}+{{T}_{o}}}{2}=\frac{20+50}{2}={{35}^{o}} \\ \end{align}$

حال در دمای 35 خواص را می خوانیم.

$\begin{align} & k=0.036 \\ & {{c}_{p}}=1.007{}^{Kj}\!\!\diagup\!\!{}_{KgK}\; \\ & \mu =1.89\times {{10}^{-5}}pa.s \\ & \rho =1.145{}^{Kg}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{3}}}\; \\ & {{P}_{r}}=0.727 \\ & T={{100}^{o}}\to {{P}_{rw}}=0.711 \\ & {{\operatorname{Re}}_{D,\max }}=\frac{\rho {{V}_{\max }}D}{\mu }=8350 \\ & {{S}_{\min }}=\min \{{{s}_{T}}-D,2({{s}_{d}}-D)\}\to ;{{s}_{d}}=\sqrt{{{(\frac{{{s}_{T}}}{2})}^{2}}+{{s}_{L}}^{2}}=4.2cm \\ & 2({{s}_{d}}-D)=52mm \\ & {{s}_{mm}}={{s}_{T}}-D=24mm \\ & {{V}_{\max }}={{V}_{\infty }}\frac{{{s}_{T}}}{{{s}_{T}}-D}=8.67{}^{m}\!\!\diagup\!\!{}_{s}\; \\ & {{\overset{-}{\mathop{Nu}}\,}_{D}}=C\times {{\operatorname{Re}}^{n}}_{D,\max }\times {{\Pr }^{0.36}}{{(\frac{\Pr }{{{\Pr }_{w}}})}^{1/4}} \\ & tab7.7\to C=0.35\times {{(\frac{{{s}_{T}}}{{{s}_{L}}})}^{0.2}} \\ & \Rightarrow \overset{-}{\mathop{Nu}}\,=70.9\to \overset{-}{\mathop{h}}\,=\frac{\overset{-}{\mathop{Nu}}\,\times k}{D}=116{}^{W}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{2}}K}\; \\ \end{align}$

حال گرمای مبادله شده را از دو طریق محاسبه می کنیم

$\begin{align} & q=\overset{o}{\mathop{m}}\,{{c}_{p}}({{T}_{o}}-{{T}_{i}})\approx (1) \\ & q=\overset{-}{\mathop{h}}\,{{A}_{s}}\Delta {{T}_{lm}}\approx (2)\therefore \because \therefore \because \therefore \Delta {{T}_{lm}}=LMTD=\frac{({{T}_{s}}-{{T}_{i}})-({{T}_{s}}-{{T}_{o}})}{\ln \frac{{{T}_{s}}-{{T}_{i}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{o}}}} \\ & \xrightarrow{(1)\And (2)}\frac{{{T}_{s}}-{{T}_{i}}}{{{T}_{s}}-{{T}_{o}}}={{e}^{\frac{{{A}_{s}}h}{\overset{\centerdot }{\mathop{m}}\,{{c}_{p}}}}} \\ & \overset{\centerdot }{\mathop{m}}\,={{\rho }_{i}}{{V}_{\infty }}{{A}_{c}}=2.5\times L\therefore \because \therefore {{\rho }_{i}}=1.2{}^{Kg}\!\!\diagup\!\!{}_{{{m}^{3}}}\;\therefore \because \therefore {{A}_{c}}={{N}_{T}}\times {{s}_{T}}\times L \\ & {{A}_{s}}={{N}_{L}}{{N}_{T}}\times \pi DL=10.05\times L{{m}^{2}} \\ & {{T}_{o}}={{T}_{s}}-({{T}_{s}}-{{T}_{i}}){{e}^{-\frac{{{A}_{s}}h}{\overset{\centerdot }{\mathop{m}}\,{{c}_{p}}}}}={{49.7}^{\circ }}\therefore \because \therefore \because (a) \\ & q=h{{A}_{s}}\Delta {{T}_{Lm}}=74.8KW\therefore \because \therefore \because (b) \\ & \Delta p={{N}_{L}}\times (\frac{\rho V_{\max }^{2}}{2})f=284Pa\therefore \because \therefore \because (c) \\ \end{align}$