رسانش گذرا

انتقال حرارات هدایت - ناپایدارو گذرا

Unsteady Conduction Heat Transfer

دربسیاری از کاربرد های مهندسی با مسائل انتقال حرارت هدایت ناپایدار و گذرا مواجه می شویم.به عنوان مثال انتقال حرارت از دیواره سیلندر موتورهای احتراق داخلی از جمله مسائلی است که در آن دمای جداره با زمان تغییر میکند.البته به دلیل تغییرات پریودیک شرایط داخلی سیلندر(دمای هوا یا گاز)شاید بتوان تغییرات دما جداره داخلی را به صورت تابع معینی از زمان یا با تقریب بیشتر به صورت پریودیک فرض کرد.برعکس تغییرات دمای مجموعه سیلندر از زمان روشن شدن موتور تا لحظه رسیدن به شرایط دائمی تابع بسیار پیچیده ای از زمان می باشدو پیش بینی دمای جداره و سپس تعیین دمای اب خنک کن یا روغن جهت طراحی سیستم خنک کاری و روغن کاری اهمیت ویژه ای دارد.

مثالهای دیگری می توان برای انتقال حرارت ناپایدار در زندگی روزمره پیدا کرد.مثلا سرد شدن ناگهانی هوا و تغییرات دمای سطوح زمین با زمان از ان جمله می باشد.همچنین در مراحل ساخت قطعات از طریق ریخته گری کلیه مراحل سردشدن و انجمادمذاب در قالب ماسه از جمله مسائل انتقال حرارت ناپایدار یا گذرا می باشد.در متن حاضر منظور از ناپایدار یعنی دما همواره با زمان متغیر است در حالیکه واژه گذرا برای حالتی است کهدکای جسم پس از گذشت زمان معینی به شرایط دائمی ومستقل از زمان برسد.بدیهی است که بین دو حالت فوق می توان در حالت ایده آل شرایط پریودیک را نیز مدلسازی کرد.

معادلات حاکم انتقال حرارت هدایت ناپایدار یا گذرا در مختصات متعامد دکارتی ،استوانه ای یا کروی وبه شرط خطی بودن معادلات دارای حل های تحلیلی می باشد و روشهای مختلفی برای حل آن پیشنهاد شده است.کتابهای Ozicik ،Myers ویا Carslaw and Jager حاوی راه حل های متنوعی برای هندسه های مختلف وشرایط مرزی مختلف می باشد و می توان به صورت Hand Book توسط دانشجویان کارشناسی بکار رود.در مقاطع تحصیلات تکمیلی کتابهای فوق به صورت کتب درسی به دانشجویان پیشنهاد می شودتا دانش و تکنیکهای ریاضی انان را تقویت کند.

معادلات حاکم در هندسه های پیچیده و شرایطی که ضریب انتقال حرارت هدایت ،چشمه حرارتی وسایر خواص فیزیکی به صورت غیر خطی هستند امروزه به کمک روشهای عددی کلاسیک به آسانی حل می شودوبسیاری از نرم افزارهای تجاری مانند ANSYS ،NISA وFLUENT قابلیت حل این معادلات را دارند.

در این فصل می خواهیم روش های تعیین توزیع دما در یک جسم را بر حسب زمان در فرایند گذرا، و همچنین روش های تعیین انتقال گرما بین جسم و اطرافش را بررسی کنیم. ماهیت روش بستگی به فرض هایی دارد که در فرآیند در نظر گرفته می شود. مثلا اگر شیب های دما در جسم ناچیز باشند از روش نسبتا ساد ه ای به نام ظرفیت فشرده برای تعیین تغییرات دما بر حسب زمان می توان استفاده کرد.در شرایطی که شیب دما ثایت نیستند، اما انتقال گرما از نوع یک بعدی است، برای محاسبه تعییرات دما بر حسب مکان و زمان از حل های دقیق معادله گرما می توان استفاده نمود. برای اجسام متناهی ( دیوارها ی مسطح، استوانه های بلند و کره ها) و اجسام نامتناهی و همجنین برای رسانش دو بعدی و سه بعدی برای شکل های هندسی خاص در کتاب حل هایی ارایه شده است. برای اشکال پیچیده باید از روشهای تفاضل محدود یا اجزای محدود استفاده کرد.

روش ظرفیت فشرده¹

$\rho ~c~{\frac {\partial T}{\partial t}}=\mathbf {q} ~+~k~\nabla ^{2}T$

با استفاده از قانون سرمایش نیوتن داریم:

$q=-{mC}{\frac {\partial \ T}{\partial \ t}}=h\cdot A(T-T_{\text{env}})$

${\frac {dT}{dt}}=-(T-T_{\text{env}}){\frac {hA}{\rho ~c~}}\$

${\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {hA}{mC}}\theta =0(1)$

$\theta ~=~\theta (i)~=~(T_{{\text{i}}-T_{\text{env}}})$

با حل کردن معادله دیفرانسیل (1)بدست می آوریم:

$\theta =\theta (i)\ e^{-{\frac {hA}{mC}}t}$

حال در مسئله قبل با فرض این که چشمه حرارتی داشته باشیم، به دست می آوریم:

${mC}{\frac {dT}{dt}}=-h\ A(T-T_{\text{env}})+\mathbf {q} V$

${\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {hA}{mC}}\theta ={\frac {qV}{mC}}={\frac {q}{\rho ~c~}}(2)$

با حل کردن معادله دیقرانسیل (2) بدست می آوریم:

$\theta =\theta (i)\ e^{-{\frac {hA}{mC}}t}+{\frac {qv}{\rho ~c~}}(1-\ e^{-{\frac {hA}{mC}}t})$

برای این که از روش ظرفیت فشرده بتوان استفاده کرد باید انتقال حرارت conduction از انتقال حرارت convection خیلی بیشتر باشد.

شرط: covection H-T < conduction H_T

برای برقراری شرط عدد بایو را معرفی می کنیم.

در زیر عدد بایو را می بینیم:

$\mathrm {Bi} ={\frac {hL_{C}}{\ k_{b}}}$

که در معادله فوق:

${\mathit {L_{C}}}={\frac {V_{\rm {body}}}{A_{\rm {surface}}}}$

• k_b = رسانندگی گرمایی جسم
  

باید Bi < 0.1 باشد.

کاهش اتلافات حرارتی از پنجره های دو جداره:

به منظور کاهش اتلافات حرارتی ساختمانها می توان از پنجره های دو جداره استفاده نمود. این پنجره ها از دو لایه شیشه، که توسط فاصله ای از هم جدا شده اند، ساخته می شوند. فاصله بین دو شیشه توسط هوا و یا گاز دیگری پر شده است. هدف از این مقاله کوتاه پیش بینی اثر نوع گاز در میزان تلفات حرارتی در پنجره است. بدین منظور با در نظر گرفتن یک مدل مناسب، از حل عددی معادلات حاکم بر رفتار سیال و شیشه ها می توان میزان تبادل حرارت بین دو طرف پنجره را بدست آورد. پنجره را به صورت یک محفظه با مقطع مربع مستطیل با دیواره های عمودی شیشه ای محتوی گاز در نظر می گیریم. دیواره های افقی محفظه عایق حرارتی فرض شده و سطوح خارجی شیشه ها در دمای ثابت می باشند. محاسبات به ازای اختلاف دماهای مختلف دو طرف پنجره، و تغییر فاصله بین شیشه ها برای گازهای هوا، آرگون و کریپتون انجام می شود. نتایج نشان دهنده تغییر قابل توجه اتلافات حرارتی هنگام استفاده از گازهای مختلف به عنوان سیال واسط در این پنجره ها است.

پنجره ها ارتباطی با محیط خارج برقرار   می کنند. علی رغم این محاسن پنجره ها یکی از عوامل مهم در اتلافات حرارتی ساختمانها است. بطوری که حدود یک چهارم حرارت خارج شده ساختمانها در زمستان و یا حرارت وارد شده به آنها در تابستان از طریق پنجره ها صورت می گیرد. به همین دلیل از دیر باز کاهش این تلفات مد نظر طراحان ساختمانها بوده است. در گذشته نه چندان دور برای کاهش اتلافات حرارتی ساختمانها به جای استفاده از پنجره های با یک لایه شیشه از پنجره های با دو یا چند لایه شیشه کمک گرفته   می شد. حتی در پاره ای از موارد، لایه های پلاستیکی در بین شیشه ها نیز به کار می رفت. ولی در دو دهه اخیر تکنولوژی ساخت پنجره های دو جداره با فاصله هوایی روز به روز پیشرفت کرده است. این پنجره ها عموماً از دو لایه شیشه، که توسط فاصله ای از هم جدا شده اند، تشکیل می شوند. شکل 1 نمونه ای از این پنجره ها را نشان می دهد. در این شکل جزییات قاب پنجره نیز مشخص شده است. فاصله بین دو لایه شیشه توسط هوا و یا گاز دیگری با ضریب هدایت پایین همچون آرگون، دی اکسید کربن و کریپتون پر می شود  ]1 و2[. بدین ترتیب با توجه به اینکه پنجره های یک ساختمان عموماً دارای مقاومت حرارتی کمتری نسبت به سایر اجزای آن است، بکارگیری این    پنجره ها می تواند نقش بسزایی در کاهش مصرف انرژی داشته باشد.

برای مطالعه دقیق میزان تلفات حرارتی از پنجره های دو جداره و مقایسه عملکرد آنها نسبت به پنجره های ساده تک شیشه ای نیاز به بررسی مکانیزمهای مختلف انتقال حرارت است. جابه جایی و تشعشع روی سطوح خارجی، هدایت در داخل شیشه ها، جابه جایی و تشعشع در فاصله هوایی دو پنجره و حتی نفوذ تشعشع خورشید از شیشه ها به داخل از جمله مکانیزم های دخیل در انتقال حرارت است. به همین دلیل جهت مطالعه عملکرد این سیستمها عموماً از فرضیات ساده کننده ای استفاده می شود. شاید ساده ترین تقریب استفاده از فرض انتقال حرارت هدایت یک بعدی در داخل شیشه ها و لایه هوا است ]3[. در این شرایط می توان نرخ انتقال گرما را به راحتی با کمک مقاومت های حرارتی محاسبه نمود. اما باید توجه داشت که سیال بین دو جداره شیشه ای با دماهای مختلف ساکن باقی نمی ماند. در واقع ایجاد گرادیان های دما در سیال باعث برقراری حرکت در آن می شود. سیال مجاور سطح گرم در اثر گرم شدن سبک شده و به سمت بالا حرکت کرده و سیال سرد از دور دست جایگزین آن می شود. بدین ترتیب حرکتهای چرخشی در داخل لایه هوایی محبوس بین دو شیشه ایجاد می گردد. این حرکتها بر نرخ اتلاف گرما از پنجره تاثیر دارند. افزایش فاصله بین شیشه ها باعث کاهش اتلافات حرارتی برای کلیه گازها می شود. همان طور که دیده می شود، افزایش این فاصله از چهار سانتیمتر به بالا عملاً تاثیر چندانی بر کاهش تلفات جرارتی ندارد. علاوه بر اینکه به ازای کلیه فاصله ها، ابتدا کاز کریپتون و سپس گاز آرگون دارای تلفات کمتری می باشند. افزایش فاصله بین شیشه ها باعث کاهش اتلافات حرارتی برای کلیه گازها می شود. همان طور که دیده می شود، افزایش این فاصله از چهار سانتیمتر به بالا عملاً تاثیر چندانی بر کاهش تلفات جرارتی ندارد. علاوه بر اینکه به ازای کلیه فاصله ها، ابتدا کاز کریپتون و سپس گاز آرگون دارای تلفات کمتری می باشند.

اگر حرکتهای جابه جایی آزاد سیال بین شیشه ها نیز در نظر گرفته شود، رفتار متفاوتی به چشم می خورد. در شکل 4 تغییرات اتلافات حرارتی با در نظر گرفتن حرکتهای درون گاز، ، رسم شده است. در این حالت از حل معادلات حاکم، به روش حل عددی، توزیع دما و در نتیجه نرخ انتقال حرارت (معادله 1) محاسبه شده است. همان طور که دیده می شود، اگر چه در اینجا نیز برای کلیه گازها با افزایش فاصله بین جداره ها نرخ تلفات حرارتی، کاهش می یابد، لیکن رفتار گازها متفاوت است. به عبارتی در اینجا استفاده از هوا شرایط مناسبتری ایجاد کرده و نرخ تلفات را کاهش می دهد.

1. جزوه درس انتقال حرارت 1، دکتر روح الله فاتحی، دانشگاه خلیج فارس بوشهر

مثال 1

یک اتو داریم وآن را به برق 850 w وصل می کنیم تا اینکه دمای ورق به 140 c برسد.

داده ها:

Ti =T∞ =22 C Tf =140 c A= .03 m2 L= 5 mm h = 12 w/m2 k ρ= 2770 kg/m3 Cp =875 j/kg k α = 7.3* 10-5 q = 850 w

خواسته: ∆t=?

حل:

                                                           mc dT /dt = h AS (T∞ - T)+ q 
                      (dᶿ /dt =ᶿ/Ʈ + q/mc         →  ᶿ = ᶿ. e^ –t/Ʈ + q/mc  ( 1- e^ –t/Ʈ 

                                    (Tf - T∞ = (Ti -T∞  ) * e^ –t/Ʈ + q/m c ( 1- e ^–t/Ʈ  
                                                        Lc = V/As  =L*A /A = L= .005 m
                                                            →  Bi = hLc /k = .00034 << 1

ظرفیت فشرده معتبر است

                                             (e ^–t/Ʈ =(Tf -T∞ -q/m c)/( Ti -T∞ - q/m c 
                                         
                                        t= Ʈ ln{(Tf - T∞ - q/m c)/( Ti -T∞ -q/m c)}= 51.8∆

                                                                        m= ρ L A = .415 Kg         
                                                
                                                Ʈ = m c /h A = (.415*875/ (12*.03))=10^3s