روش ظرفیت فشرده

رسانایی گرمایی گذرا ( غیر دائم )

بسیاری از مسائل انتقال گرما به زمان بستگی دارد. چنین مسائلی را گذرا یا غیر دائم گویند ، که هنگامی بوجود می آیند که شرایط مرزی سیستم با زمان تغییر کند.برای مثال با متغیر بودن دمای سطح سیستم ، به طور کلی دما در هر نقطه از سیستم متغیر خواهد بود. این تغییرات تا زمانی که توزیع دمای دائم بوجود آید ادامه خواهد داشت. برای حل مسائل انتقال گرمای گذرا روش های گوناگونی از قبیل روش ظرفیت فشرده، راه حل تحلیلی ، روش تفاضل محدود و ... ابداع شده‌اند. در واقع تمام این روش ها سعی در تحلیل معادله گرما و حل آن دارند ولی با توجه به پیچیدگی معادله گرما گاهی برخی روش با فرض هایی به ساده سازی مسئله میپردازند. که همین نکته وجه تمایز اصلی این روش ها محسوب میشود.

روش ظرفیت فشرده در وجود جابه جایی سطحی :

یکی از مسائل رسانایی غیر دائم زمانی رخ میدهد که دمای محیط جسم به طور ناگهانی تغییر کند. به عنوان نمونه یک شمش فلزی داغ را در نظر بگیرید که نخست در دمای یکنواخت Ti قرار دارد و سپس در مایعی با دمای خنک میشود. اگر سرمایش در t=0 شروع شود ، دمای جسم در t>0 کاهش میابد تا در نهایت به مقدار برسد.این کاهش دما به علت انتقال گرمای جابجایی در سطح مشترک جامد – مایع رخ میدهد. روش ظرفیت فشرده بر این فرض استوار است که دمای جسم در هر لحظه از فرایند غیر دائم از نظر مکانی یکنواخت است. یا به عبارت دیگر گرادیان دما در داخل جسم ناچیز فرض میشود. طبق قانون فوریه این فرض بدان معناست که ضریب رسانایی گرمایی ماده نامحدود است. واضح است که این فرض در عمل هیچگاه محقق نمیشود ولی در صورت کوچک بودن مقاومت درونی جسم نسبت به رسانایی در مقابل مقاومت در برابر انتقال گرمای بین جسم و محیط ، این فرض قابل قبول خواهد بود. با چشم پوشی از گرادیان دما در داخل جسم حل مسئله را با موازنه انرژی کل روی جسم آغاز میکنیم. ( به دلیل صفر بودن گرادیان دما استفاده از معادله گرما ممکن نیست ) جسم را به عنوان حجم کنترل در نظر میگیریم. داریم :

حال اختلاف دمای زیر را معرفی میکنیم:

با جداسازی متغیرها و انتگرال گیری از شرط اولیه T(0) = Ti داریم :

میتوان با استفاده از معادلات * و ** به ترتیب زمان مورد نیاز برای رسیدن جسم به دمای T و دمای جسم در لحظه t را بدست آورد.

ثابت زمانی گرمایی

اگر در * و ** ، t به سمت بینهایت میل کند ، اختلاف دمای بین جسم و سیال به طور نمایی به سمت صفر میل میکند. داریم :

در رابطه فوق مقاومت در برابر انتقال گرمای جابه جایی و ظرفیت گرمایی فشرده جسم است. کل انرژی انتقال یافته برای محاسبه کل انرژی انتقال یافته Q تا زمان t میتوان نوشت :

با جاگذاری از ** در معادله فوق داریم :

اعتبار روش ظرفیت فشرده ( عدد بیو و عدد فوریه )

این روش ساده ترین روشی است که از آن میتوان برای حل مسائل رسانایی گذرا استفاده کرد. برای تعیین شرایطی که در آن استفاده از روش ظرفیت فشرده قابل قبول است ، رسانایی دائم از یک دیوار تخت با مساحت سطح A را در نظر میگیریم.هرچند در این معیار شرایط دائم در نظر گرفته میشود اما به آسانی به یک فرآیند گذرا قابل تعمیم است. یک سطح دیوار در دمای ثابت نگه داشته شده است و سطح دیگر در معرض سیالی با دمای قرار دارد. دمای سطح دوم است. بنابراین در شرایط دائم موازنه انرژی سطحی به صورت زیر خواهد بود :

که در آن k ضریب رسانایی جسم است. داریم :

کمیت (hL/k) در معادله فوق یک پارامتر بی بعد است و عدد بیو نامیده میشود. (Biot Number) اگر این خیلی از 1 کوچکتر باشد مقاومت در برابر رسانایی در داخل جسم خیلی کمتر از مقاومت در برابر جابه جایی در لایه مرزی سیال است . در واقع فرض روش ظرفیت فشردهقابل قبول خواهد بود. معمولا به ازای مقادیر عدد بیو کوچکتر از 0.1 خطای حاصل از فرض روش ظرفیت فشرده را کاملا قابل صرفه نظر در نظر میگیرند. و عدد باید توسط رابطه عمومی زیر تعریف میشود :

که در آن طول مشخصه است و آن را برابر نسبت حجم جسم به مساحت سطح آن در نظر میگیرند:

با استفاده از رابطه طول مشخصه از رابطه ** داریم :

Fo عدد فوریه نامیده میشود و یک زمان بی بعد است.

تجزیه و تحلیل عمومی روش ظرفیت فشرده

با روند مشابه تحلیل روش ظرفیت فشرده برای حالت فقط وجود جا به جایی سطحی، این بار با در نظر گرفتن اثر تابش و تولید و ذخیره انرژی داخلی علاوه بر اثر جابه جایی سطحی خواهیم داشت :

این معادله یک معادله عادی ، غرخطی ، مرتبه اول و نناهمگن است و حل دقیقی برای آن وجود ندارد. ولی با ساده کردن معادله میتوان به معادلاتی رسی که حل آن ممکن است ملا اگر تابش ناچیز باشد و h مستقل از زمان باشد ، با حل معادله *** به جواب زیر خواهیم رسید:

که a و b به صورت زیر تعریف میشوند :

منابع

[[ مقدمه ای بر انتقال گرما ( ویرایش چهارم) فرانک .پ. اینکروپرا دیوید .پ. دویت ]]'