مدار ۱

فصل اول مفاهیم و قوانین مداری و عناصر مدارهای مقاومتی

بار الکتریکی بار الکتریکی، الکتریسیته یا برق، سه نام یک ویژگی برخی از انواع ذره‌های تشکیل‌دهنده‌ی ماده است که در دو نوع خنثی‌کننده‌ی مثبت و منفی مشاهده می‌شود. بارهای هم‌علامت یک‌دیگر را دفع و بارهای ناهم‌نام یک‌دیگر را جذب می‌کنند. وجود مقدار مساوی بار مثبت و منفی در یک نقطه باعث می‌شود بارهای ±q اثر یک‌دیگر را خنثی کرده و آن نقطه هیچ نوع بار را جذب یا دفع نکند. بار الکتریکی با واحد کولن سنجیده می‌شود. مشهورترین ذره‌ی باردار منفی، الکترون است که با جرم بسیار ناچیز گرد هسته‌ی اتم می‌چرخد. مشهورترین ذره‌ی باردار مثبت نیز پروتون است که با جرم 1835 برابر الکترون درون هسته قرار دارد. مقدار بار الکترون و پروتون دقیقاً برابر و تقریباً 19-^10*1.6 کولن است و چون تعداد آن‌ها در اتم مساوی است، هر اتم از نظر الکتریکی خنثی است.

پتانسیل الکتریکی و میدان الکتریکی پتانسیل الکتریکی یک ویژگی است که به مکان‌ها نسبت داده می‌شود و به معنی میزان و سطح تمایل و توانایی هر نقطه‌ی مکانی برای دفع یا جذب بار الکتریکی از نقاط دیگر است. تمایل و توانایی یک نقطه برای دفع بار مثبت و یا جذب بار منفی، پتانسیل مثبت؛ و تمایل و توانایی یک نقطه برای جذب بار مثبت و دفع بار منفی، پتانسیل منفی نامیده می‌شود. پتانسیل مثبت یا منفی در یک نقطه ناشی از بر هم خوردن تعادل بین چگالی بارهای مثبت و منفی در آن نقطه است و هر نقطه که بارهای مثبت و منفی آن یک‌دیگر را کاملاً خنثی کرده باشند فاقد پتانسیل یا دارای پتانسیل صفر است. هر نقطه که بار الکتریکی مثبت در آن قرار گیرد پتانسیل مثبت می‌یابد یعنی تمایل و توانایی پیدا می‌کند که بارهای مثبت نزدیک خود را به نقاط خنثی یا کم‌ترمثبت رانده و بارهای منفی آن مکان‌ها را برباید. هر نقطه که بار الکتریکی منفی در آن قرار گیرد، پتانسیل منفی دارد یعنی تمایل و توانایی دارد بارهای مثبت را از نقاط خنثی یا کم‌ترمنفی (بیش‌ترمثبت) ربوده و بارهای منفی را به آن‌جا براند. این توانایی اعمال نیرو و دفع یا جذب از راه دور، با فرض وجود یک حوزه‌ی مكاني نفوذ و اعمال نيرو، به نام میدان الکتریکی پیرامون هر بار الکتریکی، چه از نوع مثبت و چه منفی، توصیف می‌شود. میدان الکتریکی در هر نقطه با جهت و شدت خود تعریف می‌شود. جهت میدان در هر نقطه جهت نیرویی قرارداد می‌شود که بر بار مثبت فرضی واقع در آن نقطه وارد می‌شود. حجم و محدوده‌ی میدان را می‌توان با مجموعه‌یی از خطوط جهت‌دار نمایش داد که هر خط، مسیر عبور یک ذره‌ی فرضی مثبت است که از مکان تصادفی فرضی آزاد شده و شروع به حرکت اجباری می‌کند. خطوط میدان پیرامون هر بار نقطه‌ای مثبت، به صورت شعاع‌های رو به بیرون و خطوط پیرامون بار منفی، رو به داخل هستند. جهت هر میدان الکتریکی در راستای دور شدن از محل تجمع بارهای مثبت و نزدیک شدن به محل تمرکز بارهای منفی است. شدت میدان در هر نقطه، مقدار نیرویی است که میدان بر بار یک کولنی تحت تأثیر خود در آن نقطه وارد می‌کند. شدت میدان متناسب با میزان کلی بار ایجادکننده‌ی میدان، چگالی و تمرکز، و فاصله‌ی آن می‌باشد. هرچه شدت میدان بیش‌تر شود، خطوط میدان به هم فشرده‌تر رسم یا فرض می‌شوند. هرگاه بار مثبت درون یک میدان قرار گیرد، نیرویی به آن وارد می‌شود که مایل است آن را از مکان‌های دارای پتانسیل بالاتر و مثبت‌تر به سوی مکان‌های دارای پتانسیل‌های پایین‌تر و منفی‌تر براند و جابه‌جا کند. این نیرو را می‌توان به جاذبه‌ی زمین تشبیه کرد که باعث می‌شود جریان همه‌ی رودخانه‌های دنیا سراشیب باشد. از سوی دیگر میدان الکتریکی به بارهای منفی داخل محدوده‌ش نیرویی در جهت خلاف وارد می‌کند تا آن‌ها را از پتانسیل‌های پایین‌تر و منفی‌تر به سوی مکان‌های دارای پتانسیل بالاتر و مثبت‌تر منتقل کند. این رفتار را می‌توان به رفتار حباب‌های هوا درون آب در حال جوشیدن یا رفتار بادکنک‌های هلیومی تشبیه کرد.

حامل‌های الکتریکی و رسانایی الکتریکی با آن که میدان الکتریکی بر تمام ذره‌های باردار نیرو وارد می‌کند اما فقط آن دسته از ذره‌ها در اثر این نیرو به حرکت درمی‌آیند که علاوه بر داشتن بار الکتریکی (منفی یا مثبت) ، قابلیت حرکت هم داشته باشند ، به این ذره‌ها حامل [بار] الکتریکی گفته می‌شود. مشهورترین حامل در مواد جامد، الکترون آزادشده از آخرین لایه‌ی الکترونی اتم‌های فلزات است که باعث رسانایی الکتریکی و نیز گرمایی فلزات، به معنی انتقال انرژی از هر گوشه‌ی آن‌ها به هر گوشه‌ی دیگر می‌شود. هرچه چگالی حامل‌های یک ماده بیش‌تر باشد، رسانای بهتریی بوده و رسانایی بیش‌تریی دارد. مواد عایق یا نارسانا فاقد هرگونه حامل هستند و مواد نیمه‌هادی یا نیمه‌رسانا تنها جامدات‌یی هستند که علاوه بر الکترون آزاد، دارای ذره‌های فرضی حامل بار مثبت نیز هستند که حفره نامیده می‌شود. هرگاه یک ماده‌ی نیمه‌هادی در معرض میدان الکتریکی قرار گیرد، حامل‌های مثبت و منفی آن در جهت مخالف هم به حرکت درمی‌آیند.

جریان الکتریکی هرگونه حرکت سیالات (مایعات و گازها) جریان نامیده می‌شود و هرگونه جابه‌جایی [ذره‌های حامل] بار الکتریکی نیز جریان نامیده شده و معمولاً به صورت کلی با حرف i نشان داده می‌شود. حامل‌های انرژی و حامل‌های الکتریکی رفتاریی شبیه رفتار حرکتی مولکول‌های گاز دارند. از نظر ترکیب ذره‌های حامل، و به لحاظ نظری سه وضعیت برای جریان قابل تصور است:

1. جریان فقط ناشی از حرکت حامل‌های فرضی مثبت باشد (غیرممکن و غیرواقعی)
2. جریان فقط ناشی از حرکت الکترون‌های آزاد باشد (جریان درون فلزات و سایر هادی‌ها)
3. جریان ناشی از حرکت هم‌زمان و غیرهم‌جهت حامل‌های مثبت و منفی باشد (جریان درون نیمه‌هادی‌ها)

حلقه، مش و مدار الکتریکی جریان موقت می‌تواند در طول یک پاره‌خط هم به وجود بیاید اما جریان دایمی تنها درون یک مسیر بسته از جنس ماده‌ی هادی از میان توده‌ی فضای عایق امکان‌پذیر است، این مسیر بسته یک حلقه خوانده می‌شود. مجموعه‌ی یک یا چند حلقه‌ی متصل به هم یک مدار الکتریکی خوانده می‌شود. مدار الکتریکی از اتصال قطعات سیم و عنصرها یا ادوات الکتریکی تشکیل شده که حامل‌ها می‌توانند در آن‌ها دور بزنند و بنابراین جریان مانا و همیشگی داشته باشند. مدار دارای جریان، مدار گرم یا فعال، و مدار بدون جریان، مدار سرد یا غیرفعال نامیده می‌شود. مدارهایی که بتوان بدون گذراندن سیم‌های غیرمتصل از روی هم، آن‌ها را روی یک صفحه [کاغذ] رسم کرد، دوبعدی یا مسطح هستند، مانند شهرها و جاده‌هایی که هیچ پل روگذر یا زیرگذریی در آن‌ها نباشد. کوچک‌ترین حلقه‌های هر مدار مسطح که هیچ مسیر میان‌بریی درون آن‌ها وجود نداشته باشد مش های داخلی آن مدار خوانده می‌شوند. در برخی مدارها تعداد مش‌های داخلی با حرف l نشان داده می‌شود. بزرگ‌ترین حلقه‌ی هر مدار، مش خارجی آن خوانده می‌شود.

جریان مش معمولاً بخش‌یی از هر مش با مش‌های همسایه مشترک و بقیه اختصاصی است. جریان هر مش جریان بخش‌های اختصاصی آن است که فرض می‌شود ناشی از حرکت ساعت‌گرد حامل‌های مثبت در تمام اجزای آن مش بوده و گاه با حرف j نشان داده می‌شود. شکل مش‌هایی هم که بخش اختصاصی ندارند، جریان فرضی ساعت‌گرد دارند که در تمام اجزای آن‌ها می‌چرخد. جریان بخش‌های مشترک هر دو مش همسایه، برابر با تفاضل جریان آن دو است. جریان این «شاخه» ی مشترک گاه با حرف i نشان داده می‌شود. شکل

شدت، جهت و علامت جریان الکتریکی جریان الکتریکی در هر نقطه نیز مانند میدان الکتریکی با دو پارامتر شدت و جهت توصیف می‌شود. شدت جریان متناسب با تعداد حامل‌هایی است که در هر ثانیه از سطح مقطع آن می‌گذرند و بر حسب کولن بر ثانیه یا آمپر A سنجیده می‌شود. جهت جریان نیز مانند جهت میدان ایجادکننده‌ی آن، همواره در جهت حرکت حامل‌های مثبت فرضی آن تعریف می‌شود، بنابراین توافق و قرارداد می‌شود که جهت جریان ناشی از حرکت الکترون‌های آزاد، دقیقاً در خلاف جهت حرکت آن‌ها دانسته شود. هنگام رسم و تحلیل مدارها، جهت هر جریان با ترکیب دو عامل پیکان (فلش یا همان جهت قراردادی و علامت‌زده‌شده‌ی) آن و علامت (مثبت یا منفی بودن مقدار) آن مشخص می‌شود. علامت مثبت یعنی جهت حامل‌های مثبت فرضی در همان جهت پیکان حرکت می‌کنند و علامت منفی یعنی جهت واقعی جریان برعکس جهت نشان‌داده‌شده‌ی آن است . شکل دو جریان، با فلش‌های مخالف و مقادیر متقارن در دو مدار مشابه، که در اصل یک جریان هستند

اختلاف پتانسیل الکتریکی یا ولتاژ میزان توانایی هر نقطه‌ی اتصال سیم‌ها، عناصر و سایر اجزای مدار در ارسال جریان به نقاط دیگر مدار، سطح پتانسیل آن نامیده می‌شود. هر نقطه درون یک میدان الکتریکی دارای پتانسیل متفاوت‌یی نسبت به بیش‌تر نقاط همسایه‌ی خود است. اگر ذره‌های حامل بین دو نقطه‌ی هم‌پتانسیل قرار گیرند حرکت نمی‌کنند و جریان‌یی به وجود نمی‌آید اما در صورت متفاوت بودن پتانسیل دو سوی یک قطعه ماده‌ی هادی یا نیمه‌هادی، جریان‌یی در جهت کاهش شیب پتانسیل به وجود می‌آید که معمولاً شدت آن تابع میزان اختلاف پتانسیل است. اختلاف پتانسیل نقطه‌ی ابتدای ورود جریان به هر بخش از مدار و نقطه‌ی اتصال انتها و خروج جریان از آن بخش، ولتاژ آن بخش نامیده شده و با حرف v نشان داده می‌شود. ولتاژ هم مانند پتانسیل با واحد ولت V سنجیده می‌شود اما سرهای مثبت و منفی آن علامت زده شده و گاه نام سرهای مثبت و منفی نیز به ترتیب در اندیس آن می‌آید.

عنصرهای غیرفعال و فعال مداری در برخی از قسمت‌های هر حلقه، پتانسیل مسیر عبور جریان ثابت می‌ماند که آن بخش‌ها سیم خوانده می‌شوند. هر بخش مستقل و غیرقابل‌تجزیه از مدار که پتانسیل الکتریکی نقاط ورود و خروج جریان آن متفاوت باشد یک عنصر مداری خوانده می‌شود. اغلب عناصر ساده‌ی مداری یک‌قطبی هستند، یعنی فقط دارای دو پایه یا سر هستند که جریان از یک‌یی وارد و از دیگریی خارج می‌شود. در برخی عناصر هر مدار جریان در جهت کاهش شیب پتانسیل جاری می‌شود، این عناصر رفتار غیرفعال یا پسیو دارند. جریان عنصر پسیو همواره تابع ولتاژیی است که سایر بخش‌های مدار به آن اعمال می‌کنند و به همین دلیل از سر مثبت ولتاژ آن وارد [و از سر منفی خارج] می‌شود. عناصر پسیو انرژی الکتریکی را دریافت کرده و به صورت برگشت‌پذیر یا برگشت‌ناپذیر به سایر شکل‌های انرژی مانند صوتی، نورانی، حرارتی، مکانیکی و ... تبدیل می‌کنند. در هر حلقه حداقل یک عنصر به صورت غیرفعال رفتار می‌کند. بر خلاف عناصر پسیو یا غیرفعال، عناصر مداری فعال یا اکتیو، انرژی را از شکل‌های غیرالکتریکی فوق به شکل الکتریکی تبدیل کرده و در اصطلاح، انرژی الکتریکی تولید می‌کنند. جریان جاری درون عناصر فعال ناشی از ولتاژیی است که خود آن عناصر ایجاد کرده و به سایر بخش‌های مدار هم که به آن‌ها متصل شده‌اند اعمال می‌کنند. عناصر اکتیو عامل ایجاد جریان هستند که از سر مثبت آن‌ها به خارج پمپ [و از سر منفی‌شان برگشته و وارد] می‌شود. جهت هرگونه جریان را عناصر اکتیو غالب تعیین می‌کنند. حداقل یک‌یی از عنصرهای هر مدار گرم، فعال است. عناصر فعال معمولاً به یک‌یی از دو صورت منبع ولتاژ یا منبع جریان هستند. عنصر مداری که ولتاژ آن در مدارهای مختلف رفتار معین خود را حفظ می‌کند منبع ولتاژ، و عنصری که جریان آن در مدارهای مختلف رفتار معین خود را حفظ می‌کند منبع جریان نامیده می‌شود.

قانون افت ولتاژهای حلقه پتانسیل هر نقطه از حلقه را می‌توان به ارتفاع یک مسیر بسته‌ی پیاده‌روی همراه با پله‌نوردی (با پله‌هایی با ارتفاع یکسان) تشبیه کرد. در این صورت راه رفتن روی سطوح افقی مانند عبور جریان از روی سیم‌ها است که نه انرژی می‌گیرد (افزایش ارتفاع ندارد) و نه انرژی آزاد می‌کند (کاهش ارتفاع هم ندارد). در این تشبیه، عناصر و اجزای فعال و اکتیو شبکه همانند پله‌های رو به بالا هستند که هنگام عبور از آن‌ها لازم است انرژی صرف شود و بالاخره عناصر و اجزای پسیو و غیرفعال شبکه همانند پله‌هایی رو به پایین هستند که عبور از آن‌ها نه تنها مستلزم صرف انرژی نیست، بلکه انرژی آزاد هم می‌شود . حال اگر شخص‌یی در یک نقطه از این مسیر بسته بوده و کل آن مسیر را بپیماید تا به جای اول خود برگردد، بدیهی است که تعداد پله‌هایی که در این مسافت بالا رفته دقیقاً باید با تعداد پله‌هایی که پایین آمده برابر باشد. برگردان این حقیقت در زبان مداری، قانون ولتاژها یا قانون افت ولتاژهای حلقه نام دارد که به نام مهندس فرانسوی کاشف آن، قانون ولتاژهای کی‌یرشف KVL نامیده می‌شود و بیان رسمی آن چنین است که «مجموع جبری ولتاژهای هر حلقه صفر است» و این واقعیت برخاسته از قانون بقای انرژی است.

توان الکتریکی توان لحظه‌ای به معنی نرخ یا شیب زمانی میزان انرژی است که هر بخش از مدار یا هر عنصر دریافت می‌کند یا تحویل می‌دهد. توان هر عنصر دوسر از سویی متناسب با میزان ولتاژ آن و از سوی دیگر متناسب با میزان جریان عبوری آن است . توان دریافتی هر عنصر دوسر را همواره می‌توان از رابطه‌ی p=±vi به دست آورد که علامت صحیح علامت‌یی است که i از آن وارد v می‌شود. توان دریافتی عناصر چندقطبی حاصل جمع توان دریافتی تمام قطب‌های آن‌ها است.

نقطه‌ی اتصال عناصر و گره‌های مدار از هرکدام از پایه‌های هر عنصرسیم‌یی خارج می‌شود و هر مدار از اتصال آن سیم‌ها به هم ایجاد می‌شود. در مدارهای مقاومتی نقطه‌ی اتصال بیش از سه عنصر به یک‌دیگر یک گره نامیده می‌شود. مدارهای غیرمقاومتی عناصر غیرفعال متنوع‌یی داشته و هر نقطه‌ی اتصال عناصر غیرفعال متفاوت آن‌ها به هم نیز گره خوانده می‌شود. کلیه‌ی سیم‌های متصل به هر گره، جزء آن هستند. هر نقطه‌ی اتصال دو عنصر غیرفعال غیرهم‌نوع (مانند مقاومت و خازن یا سلف) به یک‌دیگر، و هر نقطه‌ی اتصال بیش از دو عنصر به یک‌دیگر، و نیز هرچند نقطه‌ی اتصال که خود فقط با سیم به هم متصل باشند یک گره نامیده می‌شود. یک گره ممکن است یک نقطه‌ی اتصال باشد اما هر نقطه‌ی اتصال لزوماً یک گره نیست. تعداد نقاط اتصال یک مدار اغلب با تغییر در شیوه‌ی بستن و گاه حتی با تغییر در شیوه‌ی رسم نقشه‌ی شماتیک و نمادین آن تغییر می‌کند، بدون آن که کوچک‌ترین تأثیریی در رفتار الکتریکی مدار داشته باشد، اما تعداد گره‌های هر مدار ثابت است.

قانون جریان‌های گره گره‌های هر مدار را می‌توان به جزیره‌هایی فرضی تشبیه کرد که توسط پل‌هایی که همان شاخه‌ها هستند به هم متصل باشند؛ با این شرط مهم که تردد بین این جزیره‌ها فقط روزها ممکن بوده و ساکنان هر جزیره شب‌ها برای سکونت حتما به جزیره‌ی خود برمی‌گردند. با این فرض، می‌توان فهمید که تعداد ورودها به هر جزیره در طول هر روز، برابر با تعداد خروج‌ها از همان خواهد بود. یک تمثیل دیگر، جامعه‌یی فرضی با جمعیت کاملاً ثابت است که هر مرگ در هر روز با یک تولد در همان روز، و هر مهاجرت به خارج در هر روز با یک مهاجرت به داخل در همان روز جبران می‌شود. این‌جا هم مجموع تعداد مهاجران به داخل و متولدین هر روز، با مجموع تعداد مهاجرین به خارج و فوت‌شدگان آن روز برابر خواهند بود. برگردان این حقیقت در زبان مداری، قانون جریان‌های حلقه نام دارد که برخاسته از قانون بقای بار الکتریکی بوده و به نام مهندس فرانسوی کاشف آن، قانون جریان‌های کی‌یرشف KCL نامیده می‌شود و بیان رسمی آن به سه روش ممکن است:

1. مجموع جریان‌های ورودی به هر گره در هر لحظه با مجموع جریان‌های خروجی از آن گره در همان لحظه برابر است.
2. مجموع جبری جریان‌های خروجی از هر گره در هر لحظه صفر است.
3. مجموع جبری جریان‌های ورودی به هر گره در هر لحظه صفر است.

منظور از جبری بودن یک جمع، اعمال علامت منفی به اجزای مخالف جمع‌شونده است، یعنی جمع جبری شامل تفریق هم می‌شود.

زمین یا گره مبنا و پتانسیل قراردادی گره‌ها پراتصال‌ترین یا کم‌پتانسیل‌ترین گره مدار ، گره مبنا یا شماره‌ی صفر یا زمین خوانده شده و پتانسیل آن صفر فرض می‌شود. پتانسیل سایر گره‌ها که با حرف e نشان داده می‌شود به معنی مازاد پتانسیل آن‌ها نسبت به زمین است که ممکن است مثبت یا منفی باشد. اگر مسیر پسیویی گره‌ها را به زمین متصل کند، جریان از گره‌های دارای پتانسیل مثبت به سوی زمین سرازیر شده و از زمین به سوی گره‌های منفی می‌جوشد. در صورت فعال بودن مسیر متصل‌کننده‌ی گره‌ها به زمین، جهت جریان ممکن است برعکس باشد. معمولاً نیازیی به رسم سیم‌هایی که برخی نقطه‌های اتصال را مستقیماً به زمین وصل می‌کنند نیست، بلکه هرکدام از آن نقاط خود یک زمین هستند و همه‌ی زمین‌های یک مدار گویا از پشت صفحه به هم متصل هستند. منابع ولتاژ احتمالی که سر منفی یا مثبت‌شان به زمین باشد نیز اغلب هنگام رسم مدار نشان داده نمی‌شوند، بلکه سر دیگرشان با یک دایره‌ی کوچک مشخص شده و اختلاف پتانسیل آن نقطه نسبت به زمین کنار آن نوشته می‌شود. در برخی مدارها تعداد گره‌های مدار به صورت n+1 نشان داده می‌شود که n تعداد گره‌ها غیر از گره مبنا یا زمین می‌باشد.

شاخه‌های موازی و شانت، عناصر سری هر مسیر موجود بین دو گره یک مدار، یک شاخه خوانده می‌شود . شاخه‌ها که گره‌های یک‌سان‌یی را به هم متصل کنند، هم ولتاژ یا موازی هستند. هنگام رسم شکل نمادین (شماتیک) یک مدار، می‌توان ترتیب قرار گرفتن شاخه‌های موازی را به دل‌خواه عوض کرد، به شرط آن که جهت هیچ‌کدام عوض نشود. دو یا چند عنصر یا شاخه دارای اتصال مستقیم، هم‌گره یا شانت خوانده می‌شوند، و سر دیگر آن‌ها معمولاً به زمین است. عناصر و شاخه‌های شانت پسیو جریان ورودی را بین خود تقسیم می‌کنند. اگر هرکدام از دو یا چند شاخه‌ی موازی تنها از یک عنصر تشکیل شده باشند، آن عناصر هم با هم موازی هستند. یک شاخه ممکن است از دو چند عنصر دوسر تشکیل شده باشد و در این صورت آن عناصر هم‌جریان یا سری هستند. هنگام رسم شکل نمادین (شماتیک) یک مدار، می‌توان ترتیب قرار گرفتن عناصر سری را به دل‌خواه عوض کرد، به شرط آن که جهت هیچ‌کدام عوض نشود. سری شدن دو عنصر دوسر بر اساس نام‌دار بودن یا بی‌نام بودن دو پایه‌ی آن‌ها و نیز نحوه‌ی اتصال به دو شیوه ممکن است: 1. سری یا سری موافق: سری شدن دو عنصر، هر دو یا یکی با پایه‌های بی‌نام (مانند دو مقاومت) یا سری شدن دو عنصر با پایه‌های نام‌دار (مانند دیود) به صورت موافق، به معنی اتصال فقط یک زوج پایه‌های ناهم‌نام دو عنصر به هم 2. سری مخالف: سری شدن دو عنصر با پایه‌های نام‌دار به صورت مخالف، به معنی اتصال پایه‌های هم‌نام به یک‌دیگر

پایه‌های سری، عناصر موازی برای عناصر دو یا چند قطبی (که بیش از دو پایه دارند) وضعیت سری تعریف‌شده نیست اما ممکن است بعضی از پایه‌های آن‌ها به صورت مستقیم یا غیرمستقیم سری باشد. سری بودن مستقیم دو پایه (هرکدام از یک عنصر) به معنی اتصال انحصاری آن‌ها به یک‌دیگر بدون تشکیل یک گره است، یعنی متصل شدن به هم بدون آن که هیچ پایه‌ی سوم به آن‌ها متصل شود. سری بودن غیرمستقیم دو پایه نیز به معنی سری بودن هر دو پایه با یک شاخه، شامل یک عنصر یا چند عنصر سری است. در هر دو وضعیت تمام جریان خروجی عنصر از یک پایه یا بلافاصله یا در نهایت، از پایه‌ی دیگر وارد عنصر می‌شود. برخی عناصر چندسر نیز دارای فقط دو پایه‌ی «اصلی» هستند که اطلاعات یا انرژی از آن‌ها وارد و خارج می‌شود. چنان‌چه یک پایه‌ی اصلی یک عنصر با پایه‌ی اصلی (معمولاً ناهم‌نام) عنصر دیگر سری باشد، آن دو عنصر متوالی یا سری خوانده می‌شوند. معمولاً فقط یک پایه از یک عنصر با پایه‌ی عنصر دیگر سری می‌شود اما در مدار ساده‌یی که تنها از دو عنصر دوسر تشکیل شده باشد، هر دو پایه‌ی هر عنصر با عنصر دیگر سری بوده و این دو عنصر، هم با یک‌دیگر سری و هم با هم موازی هستند. شکل شکل یک شاخه می‌تواند از تنها یک عنصر تشکیل شود که «مناسب» است آن عنصر یک منبع ولتاژ نباشد. اگر دو یا چند شاخه‌ی موازی هرکدام فقط از یک عنصر دوسر تشکیل شده باشد، آن عناصر با هم موازی هستند. بر خلاف سری بودن، موازی بودن برای هر تعداد عنصر چندسر، به شرط مساوی بودن تعداد پایه‌های آن‌ها قابل تعریف است. موازی بودن عناصر با پایه‌های نامدار به معنی اتصال یکایک پایه‌های هر عنصر به صورت دوبه‌دو به پایه‌های متناظر عناصر دیگر می‌باشد. بدیهی است عناصر با پایه‌های بی‌نام می‌توانند با هر ترکیب دل‌خواه اتصال دوبه‌دو بین پایه‌های خود موازی شوند. شکل دو ترانزیستور موازی و شکل دو ستاره‌ی موازی موازی شدن دو عنصر دوسر بر اساس نام‌دار بودن یا بی‌نام بودن دو پایه‌ی آن‌ها و نیز نحوه‌ی اتصال به دو شیوه ممکن است:

1. موازی یا موازی موافق: موازی شدن دو عنصر، هر دو یا یکی با پایه‌های بی‌نام (مانند دو مقاومت) یا موازی شدن دو عنصر با پایه‌های نام‌دار (مانند دیود) به صورت موافق، به معنی اتصال دوبه‌دوی پایه‌های هم‌نام دو عنصر به هم
2. موازی مخالف : موازی شدن دو عنصر با پایه‌های نام‌دار به صورت مخالف، به معنی اتصال پایه‌های ناهم‌نام به یک‌دیگر

شکل شکل

ابرگره یا کات‌ست هر مجموعه از شاخه‌های یک مدار که با قطع کردن آن‌ها، اتصال یک بخش از مدار با دیگر عناصر مدار به کلی قطع می‌شود یک ابرگره یا کات‌ست نامیده می‌شود. اگر شمشیری فرضی به دست گرفته و با یک دور چرخاندن کامل آن از روی سیم‌های بین عناصر یک مدار، یک دسته از عناصر را از بقیه کاملاً جدا و قطع کنیم، یک «مجموعه»ی [سیم‌های] «بریده‌شده» به وجود می‌آید.

شبکه‌ی الکتریکی هر بخش از مدار شامل یک یا چند عنصر که با برش دادن دو یا هر تعداد سیم و اتصال لازم از بقیه‌ی [عناصر] مدار جدا شود یک شبکه نامیده می‌شود. شبکه‌ها بر حسب تعداد اتصال‌های بازشده (تعداد پایه‌ها یا سرهای‌شان) به شبکه‌های دوسر یا چند سر، و بر حسب وجود یا فقدان جزء فعال درون‌شان به شبکه‌های گرم یا زنده و سرد یا مرده دسته‌بندی می‌شوند. ساده‌ترین شبکه‌های گرم دوسر، شبکه‌های تونن و نرتن هستند که به ترتیب از یک منبع ولتاژ یا جریان و یک مقاومت سری یا موازی با آن تشکیل شده‌اند.

مدار مقاومتی هر مداریی که انرژی الکتریکی در آن ذخیره نشود مدار مقاومتی خوانده می‌شود. مدار مقاومتی از اتصال انواع مشخص‌یی از عناصر دوسر به نام مقاومت‌ها، منابع ولتاژ و منابع جریان تشکیل شده است. هر عنصر دو سر دارای تنها یک جریان و تنها یک ولتاژ است که معمولاً یک‌یی از این دو متغیر مستقل، اصلی، اول یا اصلی عنصر بوده و دیگری متغیروابسته، تابع، دوم یا فرعی خوانده می‌شود.

مقاومت الکتریکی هر عنصریی که ولتاژ آن در هر لحظه تابع‌یی از جریان آن در همان لحظه، یا جریان لحظه‌ای آن تابع‌یی از ولتاژ لحظه‌ای آن باشد یک مقاومت خوانده می‌شود. مانند همه‌ی عناصر پسیو، همواره جهت جریان i مقاومت در جهت متناظر با ولتاژ v آن، یعنی در حال ورود به سر مثبت ولتاژ آن تعریف شده و رفتار کلی مقاومت به ترتیب با یک‌یی از دو تابع v=v(i) یا i=i(v) توصیف می‌شود. تابع مربوط به این دو نوع مقاومت به ترتیب در یک‌یی از دوصفحه‌ی ولت‌آمپر vi و آمپرولت iv می‌تواند به صورت یک منحنی یا خط رسم شود که معمولاً منحنی یا خط ذاتی مقاومت نامیده می‌شود. اگر منحنی یک مقاومت وارد ربع‌های دوم و چهارم صفحه‌ی vi یا iv نشود، آن مقاومت هیچ‌گاه انرژی به مدار پس نمی‌دهد و بنابراین پسیو است. بیشتر مقاومت‌های واقعی پسیو هستند و مقاومت پسیو، نماد مصرف انرژی الکتریکی به معنی تبدیل یک‌طرفه و [تقریباً] بی‌بازگشت آن به سایر انواع انرژی مانند انرژی حرارتی، نورانی، رادیویی، صوتی، مکانیکی، شیمیایی و ... است.

مقاومت خطی یا اهمی هر مقاومت که منحنی آن خط مستقیم‌یی باشد که از مبدأ صفحه‌ی vi یا iv بگذرد مقاومت خطی یا اهمی خوانده می‌شود. اندازه‌ی ولتاژ این مقاومت ضریب‌یی از اندازه‌ی جریان آن است. این ضریب اندازه‌ی مقاومت خطی نامیده شده، با حرف R نشان داده و با واحد اهم سنجیده می‌شود. ولتاژ یک مقاومت خطی در حالت کلی از رابطه‌ی v=±Ri به دست می‌آید که علامت صحیح علامت‌یی است که i از آن وارد v می‌شود. در مقاومت‌های پسیو R>0 است. اگر اندازه‌ی مقاومت یک مقاومت خطی در تمام زمان‌ها یک عدد ثابت باشد، آن مقاومت یک مقاومت خطی ثابت LTI خوانده می‌شود. شیب خط بار در این حالت ثابت بوده و محاسبه‌ی ولتاژ و جریان آن از تمام مقاومت‌های دیگر آسان‌تر است.

دو مقاومت خطی ثابت خاص منحنی بار یک مقاومت خطی ثابت، خط مستقیم‌یی است که با شیب ثابت R یا (1/R) از مبدأ صفحه‌ی vi یا iv می‌گذرد. هرچه R بزرگ‌تر باشد، خط بار مقاومت به وضعیت موازی یا منطبق با محور v (و عمود بر محور i ) نزدیک‌تر می‌شود. در وضعیت حدی R↗∞ خط بار بر محور ولتاژ منطبق شده و مقاومت تبدیل به اتصال باز یا مدار باز[شده] OC می‌شود. از سوی دیگر هرچه مقدار قدرمطلق R کوچک‌تر شود خط بار مقاومت به وضعیت موازی یا منطبق با محور i (عمود بر محور v ) نزدیک‌تر می‌شود. در وضعیت حدی R=0 خط بار بر محور جریان منطبق می‌شود و که مقاومت در این وضعیت چیزیی جز یک قطعه سیم یا اتصال کوتاه SC نیست.

قانون OHM یا قانون مقاومت‌های خطی اندازه‌ی ولتاژ هر مقاومت خطی، برابر با حاصل‌ضرب جریان آن در مقدار مقاومت آن، یا قرینه‌ی این حاصل‌ضرب است. علامت درست برای این اندازه، همان علامت‌یی از ولتاژ است که جریان از آن وارد مقاومت می‌شود:

v = ±Ri  ⇒  i = ±1/R  &  v = ±v/R = (±v)/R = (vIN-vOUT)/R 

مقدار جریان هر کدام از r شاخه‌ی مقاومتی مدار را می‌توان با تقسیم کردن ولتاژ (اختلاف پتانسیل) مقاومت شاخه بر مقدار آن به دست آورد. علامت این مقدار هم همان علامت‌یی از ولتاژ است که جریان از آن وارد مقاومت می‌شود. در مدارهایی که در آن‌ها گره مبنا یا زمین تعریف شده باشد، برای محاسبه‌ی جریان مقاومت خطی می‌توان پتانسیل محل ورودی جریان به مقاومت را منهای پتانسیل محل خروج جریان از مقاومت کرده و نتیجه را بر مقدار مقاومت تقسیم کرد تا جریان با علامت درست به دست آید. هم‌چنین به شیوه‌ی برعکس، با فرض آن که از یک نقطه تا زمین فقط یک مقاومت خطی وجود داشته باشد، مقدار آن مقاومت را می‌توان با تقسیم کردن پتانسیل آن نقطه بر جریان‌یی که وارد آن مقاومت فرضی می‌شود به دست آورد . مثال

منبع ولتاژ عنصریی که ولتاژ آن مستقل از جریان خودش باشد، منبع ولتاژ است. رفتار یک منبع ولتاژ در صفحه‌ی ولت‌آمپر با یک خط افقی و در صفحه‌ی آمپرولت با یک خط عمودی نشان داده می‌شود. اگر جریان از سر مثبت منبع ولتاژ خارج شود، منبع ولتاژ، فعال و منبع توان هم هست اما اگر جریان از سر مثبت آن وارد شود، از نوع پسیو و مصرف‌کننده‌ی انرژی بوده و مرجع ولتاژ خوانده می‌شود.

منبع ولتاژ مستقل / نابسته اگر ولتاژ یک منبع ولتاژ نه‌تنها از جریان خود آن بلکه از هر جریان و ولتاژ دیگر مدار نیز مستقل باشد آن منبع ولتاژ، مستقل است. ولتاژ یک منبع ولتاژ مستقل یا نابسته، در مدارهای مختلف رفتار و شکل موج معین و ضابطه‌مند خود را حفظ می‌کند که وقتی بر حسب زمان رسم می‌شود، ممکن است یک عدد ثابت و یا متغیر (یک تابع از زمان t ) باشد. به لحاظ نظری اتصال کوتاه SC یک منبع ولتاژ ثابت صفر ولتی است. منبع ولتاژ مستقل ثابت معمولاً به نام باتری شناخته می‌شود و گفته می‌شود شکل موج ولتاژ آن DC (با تأکید بر حروف بزرگ) است. از بین منابع ولتاژ مستقل متغیر، شبکه‌ی برق شهری از همه مشهورتر است که مقدار آن پشت سر هم مثبت و منفی می‌شود و علاوه بر این، مقدار میانگین آن هم صفر است و به این دو دلیل گفته می‌شود دارای شکل موج از نوع ac (با تأکید بر حروف کوچک) است. به طور خاص، برق شهر یک برق ac با شکل سینوسی است و به صورت دقیق‌تر، می‌تواند ac سینوسی یا sac خوانده شود. منابع ac غیرسینوسی (مثلاً مربعی، مثلثی یا هر شکل آزادر دیگر) منابع ac هارمونیکی یا hac خوانده می‌شوند. هر شکل موج متناوب (با رفتار تکرارشونده در زمان) که نه مقدار لحظه‌ای آن همواره ثابت بوده و نه میانگین مقادیر لحظه‌ای آن صفر باشد، قطعاً حاصل جمع یک بخش DC و یک بخش ac بوده و به همین دلیل ناخالص است. حال اگر دامنه‌ی بخش DC آن بزرگ تر باشد، شکل ناخالص از نوع DC+ac یا به طور خلاصه dc (با تأکید بر حروف کوچک) ، و اگر دامنه‌ی بخش ac آن بزرگ‌تر باشد، شکل ناخالص از نوع ac+DC یا به طور خلاصه AC (با تأکید بر حروف بزرگ) خوانده می‌شود. یک شکل موج ویژه، مهم و نامتعارف dc ، شکل موج پله است که از قطع شدن یا وصل شدن ناگهانی یک منبع DC ایجاد شده و به صورت (u(t نشان داده می‌شود. شکل موج پله می‌تواند با هر ضریب (ارتفاع) مثبت یا منفی و با هر مقدار تأخیر یا تعجیل و یا حتی تقارن یافتن نسبت به مبدأ زمان رخ دهد. و یک ترکیب خاص از این دست به صورت (u(t)-u(t-1 به نام پالس [مربعی واحد] شناخته شده و با (p(t نشان داده می‌شود. به علاوه، مشتق زمانی شکل موج پله، تابع ضربه و یا تابع دلتای دیراک است که با (δ(t نشان داده می‌شود، و انتگرال زمانی یا همان تابع اولیه‌ی تابع پله هم، تابع شیب نامیده شده و به صورت (r(t نشان داده می‌شود. توابع ضربه و شیب نیز مانند تابع پله می‌توانند با هر ضریب مثبت یا منفی و با هر مقدار تأخیر یا تعجیل، و یا حتی تقارن نسبت به مبدأ زمان رخ دهند و الگوهایی متنوع تکرارشونده و متناوب، و یا غیرتکرارشونده بسازند که dc یا AC باشند.

منبع ولتاژ وابسته ولتاژ یک منبع ولتاژ هرگز تابع جریان خودش نیست اما می‌تواند تابع یک جریان یا ولتاژ دیگر مدار باشد که در این صورت منبع ولتاژ وابسته به جریان یا مقاومت انتقالی و منبع ولتاژ وابسته به ولتاژ یا بهره‌ی ولتاژ خوانده می‌شود. رابطه‌ی بین ولتاژ منبع و متغیر مهارکننده / کنترل‌کننده‌ی آن می‌تواند یک رابطه‌ی خطی ثابت، یا غیر خطی و / یا متغیر باشد.

منبع غیرفعال ولتاژ یا مرجع ولتاژ هرگاه یک منبع ولتاژ با یک منبع جریان مخالف سری شود، مغلوب شده، به اجبار شروع به دریافت انرژی کرده و غیرفعال رفتار می‌کند. یک خازن بزرگ [شارژشده] هم در کوتاه‌مدت می‌تواند به صورت یک مرجع ولتاژ غیرفعال یا حتی منبع فعال ولتاژ عمل کند. دیودهای روشن به‌ویژه از نوع زنر هم به عنوان مرجع ولتاژ ثابت کاربرد دارند.

منبع ولتاژ مناسب یا تونن بر خلاف ولتاژ یک منبع ولتاژ که قاعده‌مند و ضابطه‌مند است، جریان منبع ولتاژ به خودی خود تابع هیچ ضابطه و قاعده‌ی مشخص‌یی نیست. به همین دلیل اگر یک منبع ولتاژ با هیچ عنصر پسیو سری نباشد، در موقعیت مبهم و نامناسب قرار گرفته و گاه گفته می‌شود منبع ولتاژ نامناسب است. دو گره احتمالی دو سوی یک منبع ولتاژ نامناسب هم نامناسب خوانده شده و به اتفاق آن منبع ولتاژ نامناسب، یک ابرگره تشکیل می‌دهند. این ابرگره که یک کات‌ست است، معادل یک گره مناسب «شمرده می‌شود». هر منبع ولتاژ که با یک بخش غیرفعال سری و هم‌جریان باشد، جریان آن از همان قاعده‌ی جریان بخش غیرفعال پیروی می‌کند و به این منبع در اصطلاح منبع ولتاژ مناسب یا منبع ولتاژ تونن گفته می‌شود. هرکدام از منابع ولتاژ مستقل یا وابسته و فعال یا غیرفعال ممکن است نامناسب یا به فرم تونن باشند.

منبع جریان عنصریی که جریان آن مستقل از ولتاژ خودش باشد یک منبع جریان است. رفتار یک منبع جریان در صفحه‌ی iv با یک خط افقی نشان داده می‌شود. اگر جریان از سر مثبت ولتاژ منبع خارج شود، منبع فعال است اما اگر جریان از سر مثبت آن به داخل کشیده شود، منبع از نوع پسیو و مصرف‌کننده‌ی انرژی است. منابع پسیو ولتاژ معمولاً چاه جریان یا سینک جریان خوانده می‌شود.

منبع جریان نابسته یا مستقل اگر جریان یک منبع جریان نه‌تنها از ولتاژ خود آن بلکه از هر ولتاژ و جریان دیگر مدار نیز مستقل باشد آن منبع جریان، مستقل یا نابسته است. جریان یک منبع جریان مستقل در مدارهای مختلف رفتار معین خود را حفظ می‌کند که ممکن است یک عدد ثابت مثبت یا منفی و یا یک تابع از زمان t باشد. به لحاظ نظری اتصال باز OC یک منبع جریان ثابت صفر ولتی است. جریان منبع جریان مستقل ثابت DC است و اگر منفی باشد گاه سینک جریان یا چاه جریان خوانده می‌شود. منابع جریان مستقل متغیر، ممکن است ac از نوع سینوسی یا غیرسینوسی و هارمونیکی، و یا ناخالص یعنی حاصل جمع بخش DC و ac باشد.

منبع جریان وابسته اگر جریان یک منبع جریان تابع ولتاژ یا جریان دیگریی از مدار باشد آن منبع جریان، وابسته است. جریان یک منبع جریان ممکن است وابسته به یک ولتاژ (جز ولتاژ خودش) یا جریان دیگر باشد که به ترتیب منبع جریان وابسته به جریان یا بهره‌ی جریان و منبع جریان وابسته به ولتاژ یا هدایت انتقالی خوانده می‌شود. در ساده‌ترین موارد رابطه‌ی بین جریان منبع و متغیر کنترل‌کننده‌ی آن یک رابطه‌ی خطی ثابت است. در موارد دیگر ممکن است این رابطه غیرخطی یا متغیر در طول زمان باشد.

منبع جریان غیرفعال یک منبع جریان که با یک منبع ولتاژ مخالف موازی شود به اجبار شروع به دریافت انرژی کرده و غیرفعال رفتار می‌کند. یک سلف بزرگ [شارژشده] نیز در دوره‌های کوتاه‌مدت می‌تواند به صورت یک سینک جریان غیرفعال یا حتی منبع فعال جریان عمل کند.

منبع جریان مناسب یا نرتن بر خلاف جریان یک منبع جریان که قاعده‌مند است، ولتاژ منبع جریان به تنهایی تابع هیچ قاعده‌ی مشخص‌یی نیست. به همین دلیل اگر یک منبع جریان با هیچ عنصر پسیو موازی نباشد، در موقعیت نامناسب قرار گرفته و گفته می‌شود یک منبع جریان نامناسب است. هر منبع جریان نامناسب دو مش دو سوی خود را نیز «نامناسب» می‌کند. از ترکیب اجزای آن دو مش نامناسب منهای شاخه‌ی مشترک‌شان، یک ابرمش شکل می‌گیرد که معادل یک مش مناسب محسوب می‌شود. اگر منبع جریان با یک بخش غیرفعال موازی و هم‌ولتاژ باشد، ولتاژ آن از همان قاعده‌ی ولتاژ بخش غیرفعال پیروی می‌کند و به این منبع در اصطلاح منبع جریان مناسب یا منبع جریان نرتن گفته می‌شود. هرکدام از منابع جریان مستقل یا وابسته و فعال یا غیرفعال ممکن است نامناسب یا مناسب و به فرم نرتن باشند.

ترکیب‌های رایج و نادر در مدار مقاومتی هر ترکیب دل‌خواه از مقاومت‌ها و منابع ولتاژ و جریان یک مدار مقاومتی خواهد بود. با آن که نوع ترکیب عناصر دل‌خواه است اما سری کردن عنصرها با منبع جریان (و نیز با اتصال باز) و موازی کردن آن‌ها با منبع ولتاژ (و نیز اتصال کوتاه) معمول نیست. زیرا هر عنصر (جز منبع ولتاژ وابسته یا عنصر کنترل‌کننده‌ی یک منبع وابسته) که با یک منبع جریان سری شود، ارتباط تأثیرپذیری و تأثیرگذاری خود را با بقیه‌ی بخش‌های مدار (جز همان منبع جریان) از دست می‌دهد و درون منبع جریان جذب و ادغام می‌شود. هم‌چنین هر عنصر (جز منبع جریان وابسته یا عنصر کنترل‌کننده‌ی یک منبع وابسته) که با یک منبع ولتاژ موازی شود، ارتباط تأثیرپذیری و تأثیرگذاری خود را با بقیه‌ی بخش‌های مدار (جز همان منبع ولتاژ) از دست داده و در دل منبع ولتاژ هضم می‌شود.

فصل دوم روش اساسی تحلیل مدارهای مقاومتی

تحلیل اساسی مدارهای خطی ثابت تحلیل کامل یک مدار به معنی به دست آوردن مقادیر تمامی ولتاژها و جریان‌های آن بوده و تحلیل موردی به معنی به دست آوردن مقدار یک‌یی از ولتاژها، جریان‌ها و یا توان‌های مدار مورد نظر است که معمولاً جواب یا پاسخ مسأله خوانده می‌شود. هر تحلیل، در نهایت بر پایه‌ی سه قانون اساسی، یعنی دو قانون ولتاژ و جریان کی‌یرشف و یک قانون اهم بنا می‌شود. در مسأله‌های ساده با حداکثر یک بار استفاده از هرکدام از این سه قانون، ولتاژ یا جریان مورد نظر به دست می‌آید و این روش تحلیل، تحلیل به روش اساسی نامیده می‌شود. منظور از ساده بودن مسأله، کم‌تر بودن تعداد مجهولات نسبت به معلومات آن است، مانند مجهول بودن تنها یک ولتاژ از تمامی ولتاژهای یک حلقه و یا مجهول بودن تنها یک جریان از بین تمامی جریان‌های یک گره و یا مجهول بودن ولتاژ / جریان مقاومت‌یی که جریان / ولتاژ آن معلوم است. اگر تمام منابع وابسته و تمام مقاومت‌های یک مدار مقاومتی از نوع خطی ثابت LTI باشند، آن مدار هم خطی ثابت نامیده می‌شود . در ادامه‌ی بحث فرض می‌شود تمام مدارهایی که با آن‌ها سروکار داریم از همین نوع هستند. تحلیل کامل یک مدار که دارای b شاخه‌ی پسیو باشد به معنی به دست آوردن b ولتاژ و b جریان است. بدیهی است که به تعداد مجهولات مسأله نیاز به معادله است و در مدارهای مقاومتی این معادلات از قانون اهم در کنار دو قانون کی‌یرشف [برای جریان‌های گره و ولتاژهای حلقه] به دست می‌آید. این دو قانون بر خلاف قانون اهم که یک قانون درون‌عنصری است (یعنی روابط بین جریان و ولتاژ یک عنصر را نشان می‌دهد و به عنصرهای دیگر کار ندارد) قوانین بین‌عنصری هستند و رابطه‌ی بین جریان عناصر هم‌گره یا رابطه‌ی بین ولتاژ عناصر هم‌حلقه را نشان می‌دهند. البته این قوانین صرفاً بر مدارهایی با ابعاد کوچک (در مقایسه با طول موج نور) حاکم است و به عنوان مثال شبکه‌های توزیع انرژی الکتریکی که صدها کیلومتر طول دارند از این دو قانون پیروی نمی‌کنند.

استفاده از KCL برای یافتن جریان مجهول بر اساس KCL مجموع جریان شاخه‌های ورودی به هر گره با مجموع جریان شاخه‌های خروجی آن گره برابر است و بنابراین هر جریان مجهول یا معلوم خروجی از یک گره با کم کردن بقیه‌ی جریان‌های خروجی از آن گره از مجموع جریان شاخه‌های ورودی به آن گره به دست می‌آید. هم‌چنین هر جریان ورودی به هر گره با کم کردن جریان سایر شاخه‌های ورودی به آن گره از مجموع جریان‌های خروجی از همان گره به دست می‌آید. اگر از بین جریان‌های ورودی و خروجی یک گره، تنها یک جریان ورودی مجهول باشد آن جریان را می‌توان به کمک قانون جریان‌های آن گره به سادگی به دست آورد:

(هرجریان‌ورودی‌به‌هرگره=مجموع‌جریان‌های‌خروجی‌ازگره-مجموع‌بقیه‌ی‌جریان‌های‌ورودی‌به‌آن‌گره)

و برای یافتن تنها جریان خروجی مجهول یک گره نیز می‌توان چنین از KCL استفاده کرد:

(هرجریان‌خروجی‌ازهرگره=مجموع‌جریان‌های‌ورودی‌به‌گره-مجموع‌بقیه‌ی‌جریان‌های‌خروجی‌ازآن‌گره)

در هر مدار تعداد KCL های مفید و مستقل با حرف n نشان داده می‌شود که برای به دست آوردن آن می‌توان موقتاً همه‌ی منابع ولتاژ مدار را اتصال کوتاه فرض کرده و گره‌های باقی‌مانده را از 0 (شماره‌ی گره مبنا / زمین ) تا n شمرد. به عبارت دیگر، عدد n همان تعداد گره‌های مناسب مدار است که از کم کردن عدد 1 (بابت گره زمین / مبنا) و نیز کم کردن تعداد منابع ولتاژ نامناسب از تعداد کل گره‌های مدار نیز به دست می‌آید. مقدار لحظه‌ای پتانسیل گره‌های مدار به صورت e₁ , e₂ , e₃ , … , e_n نام‌گذاری می‌شود، بدیهی است e₀=0 است. ساده‌ترین مدارها یا فاقد گره هستند که در این صورت استفاده از KCL معنی ندارد و یا این که فقط دو گره دارند که یک‌یی از آن به عنوان گره مبنا یا زمین در نظر گرفته می‌شود و پتانسیل تنها گره باقی‌مانده یعنی e1 با یک بار استفاده از KCL معلوم می‌شود.

محل‌های آسان، مناسب و بی‌ثمر KCL زدن با بالا رفتن تعداد گره‌های مدار، تنوع بیشتریی برای نوشتن معادلات KCL ممکن می‌شود که بعضاً ممکن است گیج‌کننده شود، زیرا با آن‌که هر KCL که در هر گره و حتی در هر نقطه‌ی اتصال نوشته شود درست است اما هر KCL درست لزوماً مفید نیست. از بین KCL های مفید هم برخی با آن که مناسب هستند ولی آسان نیستند، یعنی برای محاسبه‌شان به دانستن جدول ضرب هم نیاز است! به طور کلی محل‌های KCL زدن را می‌توان از نظر سهولت و فایده‌ی محاسبات، به سه دسته تقسیم کرد:

1. اتصال آسان : گره‌یی که فقط متصل به منابع جریان و جریان‌های معلوم باشد
2. اتصال مناسب : گره‌یی که جز منابع جریان و جریان‌های معلوم، فقط به مقاومت‌هایی با ولتاژ معلوم متصل باشد
3. اتصال بی‌ثمر : نقطه‌ی اتصال‌یی که گره نباشد، یا گره‌یی که به یک جریان مجهول (یا مقاومت با ولتاژ مجهول) متصل باشد، یا گره‌یی که یک منبع ولتاژ نامناسب متصل باشد (این گره گاه گره نامناسب یا نیم‌گره خوانده می‌شود).

استفاده از KVL برای یافتن ولتاژ مجهول بر اساس قانون افت ولتاژهای حلقه، مجموع جبری ولتاژهای هر حلقه صفر است و بنابراین هر ولتاژ مجهول یا معلوم با مجموع جبری افت ولتاژهای هر مسیر دل‌خواه که از سر مثبت تا سر منفی آن پیموده شود برابر است. واژه‌ی جبری به این معنی است که در مسیر دور زدن حلقه، افت ولتاژهای مثبت و منفی حتما باید یک‌دیگر را تضعیف کنند. به این منظور باید هر ولتاژ که از سر مثبت آن وارد شدیم با علامت مثبت و هر ولتاژ که از سر منفی آن وارد شدیم با علامت منفی جمع زده شود . اگر از بین ولتاژهای یک حلقه، تنها یک‌یی مجهول باشد آن ولتاژ را می‌توان به کمک قانون ولتاژ کی‌یرشف KVL به دست آورد. به این منظور کافی است مسیریی دل‌خواه از سر مثبت آن ولتاژ تا سر منفی آن را انتخاب کرده و کلیه‌ی افت ولتاژهای مشاهده‌شده در آن مسیر را به شرح فوق جمع جبری کرد . به‌ویژه هنگام عبور از روی مقاومت R با جریان i به صورت Ri± جمع زده می‌شود که علامت‌های (+) و (-) به ترتیب هنگام حرکت در جهت موافق و مخالف جریان به کار می‌رود. در هر مدار مسطح تعداد KVL های مفید و مستقل (غیرتکراری) با حرف l نشان داده می‌شود که از کم کردن تعداد منابع جریان از تعداد کل مش‌های مدار به دست می‌آید یا این که می‌توان موقتاً منابع جریان را اتصال باز فرض کرده و به سادگی مش‌های باقی‌مانده را شمرد تا l به دست آید. عدد l در اصل برابر با تعداد مش‌های مناسب داخلی مدار است. معمولاً از هر مش مناسب و نیز از هر دو نیم‌مش، یک شاخه‌ی اختصاصی و مناسب (فاقد منبع جریان) در نظر گرفته شده و این شاخه‌ها از چپ به راست شماره‌گذاری می‌شوند، در این صورت مقدار لحظه‌ای جریان هرکدام از این شاخه‌های کلیدی، جریان مش مربوطه محسوب شده و جریان‌های مش ترجیحاً در جهت ساعت‌گرد به صورت i₁ , i₂ , i₃ , … , i_n نام‌گذاری می‌شود. ساده‌ترین مدارها تنها یک مش دارند که جریان آن یعنی i₁ با یک بار استفاده از KVL معلوم می‌شود.

مسیرهای آسان، مناسب و بی‌ثمر KVL زدن با بالا رفتن تعداد مش‌های مدار، تنوع بیشتریی برای نوشتن معادلات KVL ممکن می‌شود که بعضاً ممکن است گیج‌کننده شود، زیرا با آن‌که هر KVL که در هر مسیر از l مسیر دل‌خواه نوشته شود درست است اما هر KVL درست لزوماً مفید نیست. از بین KVL های مفید هم برخی با آن که مناسب هستند ولی آسان نیستند. مسیرهای KVL زدن را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:

1. مسیر آسان : مسیریی که فقط از روی منابع ولتاژ و سایر ولتاژهای معلوم مانند دیودهای روشن بگذرد
2. مسیر مناسب : مسیریی که جز منابع ولتاژ و ولتاژهای معلوم، شامل مقاومت‌هایی با جریان معلوم هم باشد
3. مسیر بی‌ثمر : مسیریی که شامل حتی یک ولتاژ مجهول، مقاومت با جریان مجهول یا دیود خاموش یا منبع جریان باشد.

روش / توصیه‌ی اساسی برای تحلیل‌های ساده هرچه پارامترهای n یا l در یک مدار کوچک‌تر باشد مدار ساده‌تر بوده و تحلیل آن نیز کوتاه‌تر است. میزان سادگی یا دشواری هر مسأله را می‌توان بر اساس شمارش تعداد محاسبه‌های ریاضی لازم برای یافتن جریان یا ولتاژ مجهول آن مسأله رده‌بندی کرد. تعداد محاسبه‌های ریاضی، همان شماره‌ی رده‌ی مسأله خواهد بود. ساده‌ترین مسأله‌ها از رده‌ی یک هستند، یعنی جریان یا ولتاژ مجهول‌یی دارند که یا با یک OHM و یا با یک بار استفاده از یک‌یی از دو قانون کی‌یرشف KL به دست می‌آید.

توان دريافتي، رفتار فعال و غيرفعال از نظر تراز انرژي هر عنصريي از مدار كه انرژي به بقيه‌ي مدار تحويل می‌دهد رفتار فعال دارد. در مسير عبور جريان، هنگام عبور از روي يك عنصر فعال، افزايش پتانسيل مشاهده مي‌شود. منابع ولتاژ و جريان ذاتاً فعال هستند و در عمل هم به جز در موارد خاص فعال رفتار مي‌كنند. هر عنصريي كه توان دريافت كند رفتار غيرفعال دارد و هنگام عبور جريان از روي اين عنصر، افت ولتاژ مشاهده مي‌شود. ذاتی بودن فعال یا غیرفعال بودن هر عنصر به رفتار درازمدت آن (از زمان -∞ تا زمان فعلی و +∞ ) مرتبط است. منابع‌يي كه موقتاً غیرفعال رفتار مي‌كنند انرژی خود را مصرف می‌کنند ولی عناصر غیرفعال انرژي دريافتي خود را مصرف یا ذخيره يا تبديل مي‌كنند. توان لحظه‌اي دريافتي هر عنصر (چه فعال و چه غيرفعال) بسته به علامت‌يي از ولتاژ آن كه جريان از آن وارد آن عنصر مي‌شود، برابر با حاصل‌ضرب جريان در ولتاژ ؛ يا قرينه‌ي اين حاصل‌ضرب است:

p=±vi

توان دريافتي عناصر فعال منفي به دست می‌آيد، و اين يعني آن‌ها توان تحويل مي‌دهند. توان دريافتي تمام عناصر غیرفعال مثبت است. مقاومت خطی / اهمی ذاتاً و همواره غیرفعال بوده و توان دريافتي زير را مصرف مي‌كند:

p = ±vi = ±(±Ri)i = Ri^2
p = v((±v)/R) = v^2/R = (1/R)v^2

فصل سوم روش‌های منظم تحلیل اجراي مستقیم، نظری و گام به گام تحلیل‌های مش و گره از نام روش «اساسی» دو ویژگی مهم آن معلوم می‌شود: یک‌یی این‌که عمومی و در تحلیل مدار پرکاربرد است و دیگر این‌که ماهیت ابتدایی، ساده و پایه‌ای دارد. در واقع روش اساسی تنها برای تحلیل مدارهایی کاربرد سودمند دارد که تعداد ولتاژها و یا جریان‌های مجهول‌باقی‌مانده‌ی آن‌ها به نسبت ولتاژها و جریان‌های معلوم، به نسبت کم باشد: KVL برای یافتن تنها ولتاژ مجهول یک حلقه، KCL برای یافتن تنها جریان مجهول یک گره و بالاخره OHM برای یافتن ولتاژ مقاومت‌یی با جریان معلوم (یا ولتاژ عناصر موازی با آن) و نیز برای یافتن جریان مقاومت‌یی با ولتاژ معلوم (یا جریان عناصر سری با آن). اما در اغلب مدارهایی که تعداد مش‌ها و گره‌های آن‌ها از دو یا سه عدد بیش‌تر است، این شرایط لااقل در آغاز تحلیل فراهم نیست. در این‌جاست که روش‌های منظم تحلیل مطرح می‌شوند، یعنی روش‌هایی که با معلوم کردن مقدار دسته‌یی معین، جامع، اصلی و کلیدی از ولتاژها و / یا جریان‌های هر مدار (مثلاً پتانسیل تمام گره‌ها یا جریان تمام مش‌ها) ، شرایط را برای استفاده از روش اساسی برای یافتن هرکدام از ولتاژها و جریان‌های فرعی و باقی‌مانده‌ی دیگر آماده می‌کنند.