نیروی شناوری

نیروی شناوری(نیروی ارشمیدس)

هرگاه جسمی در سیالی به طورکامل غوطه ور شود یا شناور باشد از طرف سیال نیروی هایی به آن وارد می شود که برآیند این نیروها را نیروی شناوری می نامند. نیروی شناوری همواره به طور قائم و رو به بالا اثر می‌کند.

درواقع می توان گفت که نیروی شناوری برابر است با برآیند تمام نیروهای هیدورلیکی عمودی است که سیال به جسم وارد می کند.

توجه داشته باشید که این نیرو فقط اثر سیال بر جسم را نشان می دهد و نیروهای دیگری هم مانند نیروی وزن و نیروی تکیه گاه می توانند موجود باشند .

فرض کنیم که یک جسم چهار گوش داریم که کاملا در آب فرو رفته است.

در آن صورت 5 نیرو بر آن وارد می شود:

1) نیرو حاصل از گرانش وزن به سمت پایین

2) نیرو حاصل از فشار سیال به وجه سمت چپ که توزیع خطی و به شکل ذوزنقه است و در جهت سمت راست است.

3) نیرو حاصل از فشار سیال به وجه سمت راست که توزیع خطی و به شکل ذوزنقه است و در جهت سمت چپ است.

4) نیرو حاصل از فشار سیال به وجه پایین که توزیع ثابتی و به شکل مستطیل است و در جهت سمت بالا است. ${F_{2}=AP_{2}=ba\rho H_{2}}$

5) نیرو حاصل از فشار سیال به وجه بالا که توزیع ثابتی و به شکل مستطیل است و در جهت سمت پایین است. ${F_{1}=AP_{1}=ba\rho H_{1}}$

نیروی دوم و سوم به دلیل اینکه از طرف یک سیال و در یک وجه با مساحت برابر و در خلاف جهت هم وارد می شوند خنثی می شوند.

تبصره :

اگر شکل هندسی ما غیر همگن و غیر یکنواخت بود و یا یک طرف جسم یک سیال و طرف دیگر آن یک سیال دیگر وجود داشت , آنگاه این دو نیرو خنثی نمی شدند.

نیروی چهارم و پنجم به اندازه ${ba\rho (H_{2}-H_{1})}$ با هم فاصله دارند که اختلاف ارتفاع همان ارتفاع جسم است. پس رابطه اختلافی بدست آمده حاصل ضرب حجم جسم در وزن مخصوص سیال است.

تبصره :

1) اگر شکل هندسی ما غیر همگن و غیر یکنواخت بود باز برآیند نیرو های هیدرولیکی عمودی که سیال به جسم وارد می کند برابر است با نیروی شناوری که سیال به جسم وارد می کند که برابر است با حاصل ضرب حجم آن قسمت جسم که مغروق شده است در وزن مخصوص سیال.

2) اگر بالای جسم یک سیال و پایین جسم یک سیال دیگر وجود داشت در آن صورت از اصل سوپرپوزیش یا جمع آثار استفاده می کنیم و مجموع نیروی های شناوری که دو سیال به جسم وارد می کنند را بدست می آوریم.

3) اگر جسم طوری در سیال غرق شود که :

الف ) وجه بالایی جسم در سیال غرق نشده باشد در آن صورت نیروی شناوری که سیال به جسم وارد می کند برابر است با همان نیرو ی حاصل از فشاری که سیال به وجه پایین آن وارد می کند.

ب ) وجه پایینی جسم در سیال غرق نشده باشد در آن صورت نیروی شناوری که سیال به جسم وارد می کند برابر است با همان نیروی حاصل از فشاری که سیال به وجه بالایی آن وارد می کند.

یکی از مزایای محاسبه نیروی شناوری به جای محاسبه ی تک تک نیروی های هیدرولیکی عمودی این است که در مواجعه با اجسامی که شکل هندسی پیچیده ای دارند , محاسبه حجم غرق شده برای محاسبه ی نیروی شناوری بسیار آسان تر و کم وقت گیر تر از محاسبه ی تک تک نیرو های هیدرولیکی عمودی است.

همه ی توضیحات داده شده برای زمانی است که سیال ما ساکن و تراکم ناپذیر باشد. در صورتی که سیال ساکن نباشد در بخش های بعدی توضیح داده شده است اما اگر تراکم پذیر باشد باید تغییرات وزن مخصوص سیال به ازای هر میزان پایین رفتن جسم در سیال نیز محاسبه کرد.

با توجه به سنگین تر بودن مایعات نسبت به گازها, نیروی شناوری حاصل از مایعات خیلی بیشتر از گازها است.

یک سوال در مورد نیروی شناوری :

چرا وقتی غواص به اعماق شیرجه می رود آب نیرویی به سمت بالا بر او وارد می کند؟
نیروی شناوری ناشی از اختلاف فشار هیدرواستاتیک است. آب از همه جهات بر بدن غواص فشار وارد می کند، اما این فشار ار طرف یایین به بالا بیشتر است زیرا طرف پایین در عمق بیشتری قرار دارد. چون آب از بالا به پایین و از پایین به بالا فشار می آورد نیروی رو به بالا از نیروی رو به پایین بیشتر است . اختلاف میان این دو نیرو همان نیروی شناوری است. ظرفی را در نظر می گیریم که در یک طرف آن لوله ای وجود دارد و در آن تا لوله آب می ریزیم . سپس یک جعبه مستطیل شکل در داخل آب می گذاریم. این جعبه مقداری آب برابر حجم خود را جا به جا می کند و آب از لوله بیرون می ریزد.

قانون ارشمیدس

شناوری که به صورت کامل یا جزئی وارد سیالی شده است، سیال نیرویی برابر جرم سیال جابجا شده بر جسم شناور وارد می‌کند به زبان دیگر:هر کس که بخواهد توپی را وارد آب کند حتماً با یک نیروی بازگرداننده قوی مواجه شده است. این نیرو که جهتش رو به بالا است به عنوان "نیروی شناوری" شناخته می‌شود. تمام سیالات به هر جسمی که در آنها قرار می‌گیرد نیرویی وارد می‌کنند. همچنین منشأ نیروی شناوری از آنجا حاصل می‌شود که فشار با افزایش عمق زیاد می‌گردد.

هر سیالی به جسمی که در آن قرار گرفته (جزئی یا کامل) نیروی شناوری وارد می‌کند. اندازهٔ این نیرو برابر وزن سیال جابجا شده است.

نکتهٔ جالب اینکه شکل جسم فرو رفته در آب اهمیت ندارد و مستقل از شکل ظاهری جسم، نیروی شناوری رفتار یگانه دارد و از قانون ارشمیدس پیروی می‌کند.

وقتی نیروی ارشمیدس از نیروی وزن بیشتر باشد جسم روی سطح آزاد شاره شناور می‌شود و وقتی نیروی وزن جسم از نیروی ارشمیدس بیشتر باشد جسم درون شاره غرق می‌شود. شاره لزوماً آب نیست و می‌تواند هر مایع یا گازی باشد. پس:

نیروی شناوری=جرم سیال جابجا شده

${\begin{aligned}&\sum {{{F}_{x}}=0}\\&{{V}_{total}}={{V}_{sub}}+{{V}_{Fluid}}\\&{W}'=\gamma {{V}_{sub}}\\&{{F}_{2}}=\gamma {{h}_{2}}{{A}_{v}}\\&{{F}_{1}}=\gamma {{h}_{1}}{{A}_{v}}\\\end{aligned}}$

${{F}_{y}}={{F}_{2}}-{{F}_{1}}-{W}'=\gamma {{A}_{v}}\left({{h}_{2}}-{{h}_{1}}\right)-\gamma {V}'=\gamma \left({{V}_{total}}-{V}'\right)=\gamma {{V}_{sub}}$

در اینجا نکات زیر قابل ذکر است:

۱)نیروی شناوری در راستایY نیرو اعمال می کندو مولفه افقی ندارد.

۲)همانطور که می‌بینیم در بدست آوردن فرمول بالا از جرم جسم مغروق صرف نظر کرده‌ایم.

۳)برای دو رابطه زیر سه حالت ممکن است که رخ دهد:

۱_۳)اگرBبزرگترازWباشد برآیند نیروهای وارد بر جسم مغروق به سمت بالا است و جسم روی سطح سیال شناور می‌شود.

۲_۳)اگرBبرابر باW باشدحالت تعادل است واگر جسم زمانی که کامل غرق شده به این حالت برسد زیر آب می‌ماند واگر زمانی که روی سطح آب است به این حالت برسد روی آب شناور می‌ماند.

۳_۳)اگرBکوچکتر از Wباشد جسم مغروق به کف سیال می‌رسد.

۴)اگر جسم روی سطح سیال به حالت تعادل برسد برای بدست آوردن حجم مغروق در سیال بدین صورت عمل می‌کنیم که حجم مغروق مکان هندسی خطوطی است که در جسم مغروق قرار می‌گیرند به طوری که قسمت پایین خطوط که در مجاور جسم هستند در جسم قرار گیرند.

هرگاه جسم در داخل سیالی با وزن مخصوص تابع عمق قرار گیرد, مقدار نیروی شناوری برابر خواهد بود با وزن سیال جابه جا شده. در این حالت مرکز شناوری, مرکز حجم حجم جابه جا شده نیست, بلکه گرانیگاه حجم جابه جا شده است.

پرسش های مفهومی از اصل ارشمیدس

پرسش ۱: در شکل روبرو، نیروی شناوری Fb و نیروی وزن W وارد بر چند جسم نشان داده شده است. با توجه به نیروی خالص وارد بر هر جسم، وضعیت آن را به کمک یکی از واژه های شناوری، غوطه وری، فرورفتن و بالارفتن توصیف کنید.

ph10 s3 arashmidos 05 اصل ارشمیدس و نیروی شناوری

پاسخ پرسش ۱:

برای بادکنک داریم Fb>W بنابراین بادکنک بالا می رود.

برای قطعه چوب داریم Fb=W بنابراین قطه چوب روی آب شناور می ماند.

برای قطعه فلزی بزرگتر داریم Fb<W بنابراین قطعه پایین می رود و به کف ظرف می رسد.

برای قطعه فلزی کوچک داریم Fb=W بنابراین قطعه در آب غوطه ور می ماند.

پرسش ۲: شکل زیر ظرفی محتوی آب را نشان می دهد که روی یک ترازوی عقربه ای قرار دارد. شخصی انگشت خود را وارد آب می کند. توضیح دهید عقربه ترازو چه تغییری می کند.

ph10 s3 arashmidos 06 اصل ارشمیدس و نیروی شناوری

پاسخ پرسش ۲: با فرو رفتن انگشت در آب، حجمی از آب جابه جا شده و به انگشت نیروی شناوری به سمت بالا وارد می شود. طبق قانون سوم نیوتون نیروی واکنش نیروی شناوری وارد بر دست به کف ترازو وارد می شود و موجب می شود ترازو عدد بیشتری را نشان دهد.

پرسش ۳: جرم قطعه های آهنی در شکل زیر با یکدیگر برابر است. دریافت خود را از این شکل بیان کنید.

ph10 s3 arashmidos 07 اصل ارشمیدس و نیروی شناوری

پاسخ پرسش ۳: با تغییر شکل یک قطعه می توان حجم شاره جابه جا شده را افزایش داد. وقتی جسم به صورت مکعب است، حجم کمتری نسبت به حالت دیگر، از شاره را جابه جا می کند. بنابراین Fb<W و مکعب در شاره فرو می رود. و در حالت دیگر حجم شاره جابه جا شده بیشتر است و خواهیم داشت Fb=W یعنی جسم شناور می ماند.

پرسش ۴: یک قطعه چوبی را روی آب درون ظرفی قرار می دهیم. یک وزنه آهنی را یک بار روی چوب قرار می دهیم (شکل الف) و بار دیگر از زیر چوب آویزان می کنیم (شکل ب). در کدام حالت، چوب بیشتر فرو می رود؟

ph10 s3 arashmidos 08 اصل ارشمیدس و نیروی شناوری

پاسخ پرسش ۴: در حالت الف قطعه چوب بیشتر فرو می رود. در شکل ب چون قطعه آهنی هم در شاره فرو می رود، شاره بیشتری نسبت به شکل الف جابه جا می شود. بنابراین نیروی شناوری در شکل ب بیشتر از شکل الف است. و موجب می شود چوب در شکل ب بالاتر قرار گیرد.

تمرین های مفهومی از اصل ارشمیدس:

تمرین ۱: توضیح دهید چرا برخی از افراد می توانند روی آب دریاها و اقیانوس ها شناور بمانند (مطابق شکل زیر) ولی قادر نیستند روی دریاچه های آب تازه (دریاچه هایی که از آب باران تشکیل شده است)، شناور بمانند؟

ph10 s3 arashmidos 09 اصل ارشمیدس و نیروی شناوری

تمرین ۲: دو بلوک چوبی با حجم برابر و چگالی های مختلف مطابق شکل زیر یکی شناور و دیگری غوطه ور است. کدام بلوک جرم بیشتری دارد؟ برای کدام بلوک نیروی شناورسازی بیشتر است ؟

ph10 s3 arashmidos 10 اصل ارشمیدس و نیروی شناوری

تمرین ۳: توضیح دهید که زیردریایی ها چطور بالا می آیند، پایین می روند، و در عمق ثابت باقی می مانند.

تمرین ۴: آیا نیروی شناورساز وارد بر یک زیردریایی، که در زیر آب است، در همه اعماق یکسان است؟

تمرین ۵: توضیح دهید که چرا بالون فقط تا ارتفاع معینی بالا می رود؟

تمرین ۶: بشکه آبی از یک ترازوی فنری آویزان است. آیا اگر قطعه آهنی را که از تاری آویزان است در آب غوطه ور کنیم، وزنی که ترازو نشان می دهد تغییر میکند؟

مثال۱

با استفاده از قانون ارشمیدس چگالی جسم دلخواه را بدست آورید.

جواب)

$F_{1}=W=\gamma _{s}V_{s}\Rightarrow V_{s}={\frac {F_{1}}{\gamma _{s}}}$

$F_{2}=W-B=\gamma _{s}V_{s}-\gamma _{w}V_{s}=V_{s}(\gamma _{s}-\gamma _{w}\;)$

$\Rightarrow F_{2}={\frac {F_{1}}{\gamma _{s}}}(\gamma _{s}-\gamma _{w}\;)$
$\gamma _{s}={\frac {F_{1}}{F_{1}-F_{2}}}\gamma _{w}$

مثال۲

برای اندازه‌گیری چگالی یک سیال از مانومتر استفاده می‌کنند بدین صورت که آن را مانند شکل در آب قرار می‌دهند سپس آن را به همان صورت در سیال مورد نظر قرار می‌دهند و از طریق خواندن h مقدار SG مربوط به سیال را بدست می‌آورند رابطه بینh و SGرا پیدا کنید.

جواب)

(1) $W=B=\gamma _{W}SGV_{sub(2)}\rightarrow \;V_{sub(2)}={\frac {w}{\gamma _{w}SG}}$

$V_{sub(2)}\;-V_{sub(1)}=h{\boldsymbol {\pi }}{\frac {D^{2}}{2^{2}}}$

(2) $V_{sub(2\;)}={\frac {hD^{2}\pi \gamma +4w}{4\gamma _{w}}}$

$SG={\frac {4w}{hD^{2}w\pi \gamma +4w}}$

مثال ۳

کنده درختی با SG=0.8 و قطر 4ft در شکل نشان داده شده قرار دارد که در راستای عمود بر صفحه 8ft طول دارد. برای اینکه کنده درخت سر جایش بماند . نیروی شناوری را محاسبه کنید؟

حل:

با در نظر گرفتن نمودار آزاد داریم

نیروی های راستای افقی خود به خود در تعادل استاتیکی هستند . نیروی خالص قائم وارد شده بر کنده از طرف آب برابر وزن هم سه چهارم حجم کنده به سمت بالاست .

  $F_{V}=(62.4lbf/f{{t}^{3}})(3/4)(\pi ){{(2ft)}^{2}}(8ft)=18820lbf$

وزن کنده برابر است با:

  $w=(.8\times 62.4lb/f{{t}^{3}})\pi ({(2ft)}^{2})(8ft)=5018lbf$

نیروی شناوری برابر است با تفاضل نیروی خالص قائم و وزن کنده :

 $F_{V}-{w}=(18820)-(5118)=13802lbf$

پایداری

اگر یک جسم شناور نتواند وضعیت تعادلی خود را حفظ کند بلافاصله واژگون می‌شود. به چنین جسمی از نظر استاتیکی ناپایدار گویند (یا اگر جسمی را از وضعیت تعادلی خارج کردیم و پس از رها کردن، به وضعیت قبل بر نگردد، آن را ناپایدار گوییم).

به عنوان مثال قلمی که بخواهد روی نوک خود بایستد با کوچکترین حرکتی وادار به گرفتن وضعیت تعادلی ثابت‌تری خواهدشد و یا توپی که بر روی قلهٔ یک کله قنو قرار دارد، در حالت تعادل قرار دارد ولی تعادل آن پایدار نیست. مطمئن ترین راه شناخت وضعیت شناوری پایدار یک جسم این است که از نقطه نظر ریاضی کمی به حرکت درآید تا مشخص شود آیا گشتاوری جهت برگرداندن آن به حالت اول وجوددارد یا نه اگربه حالت اول برگردد پایدار و در غیر این صورت ناپایدار است.

شکل بالانشانگرمحاسبات مربوط به حالت معمولی یک جسم شناورمتقارن است و تعیین حالت جسم به ترتیب زیر است:

1. G مرکزجرم جسم و B مرکزشناوری رابه دست می‌آوریم.

۲. جسم را به مقدارکمی کج نموده خط جدید ابخور کشیده می‌شود. ازموقعیت جدید مرکز شناوری B1 خطی عمود روبه بالا کشیده تاخط تقارن را در نقطه M قطع کند. این نقطه متاسنتر است که درزوایای کوچک مستقل از زاویه کج شده است.

۳. اگر M بالاتراز G باشد لنگر مقاومی وجود دارد که جسم را به وضعیت پایداراولیه بر می‌گرداند. اگر M پایین تراز G باشد جسم ناپایداراست و واژگون خواهد شد. درواقع پایداری با افزایش MG بیشتر می‌شود.

با استفاده ازفرمول زیرمی توان وضعیت پایداری یک شناور (متقارن) را بررسی نمود.

۱. اگر: ${BM}>{BG}$ باشدشناور پایدار است.

۲. اگر: ${BM}<{BG}$ باشد شناور ناپایدار است.

و $BM={\frac {I}{V}}\$
. که نقطه B مرکزحجم بخشی ازجسم است که مغروق می‌باشد.

و I لختی دورانی سطح جداکننده قسمت مغروق و غیرمغروق جسم حول محوری عمودبرصفحه جسم می باشد و نقطه G مرکزجرم جسم می‌باشد.

البته به دست آوردن ارتفاع متاسنتریک برای یک جسم شناور کار راحتی نیست (BM) ولی در تئوری‌های هیدرواستاتیکی می‌توان به عنوان مثال این ارتفاع را برای یک کشتی بزرگ بدست آورد.

پایداری شناوری

پایداری خطی: هرگاه در اثر تغییر مکان خطی کوچک نیروهایی ایجاد شوند که منجر به برگرداندن جسم به موقعیت اولیه شوند, گوییم جسم پایداری خطی دارد.

پایداری دورانی: هرگاه در اثر تغییر مکان زاویه ای کوچک زوج نیرویی ایجاد شوند که منجر به برگرداندن جسم به موقعیت اولیه شوند, گوییم جسم پایداری دورانی دارد.

سه نوع تعادل وجود دارد:

۱)تعادل پایدار: تعادلی که اگر جسم کمی از حالت تعادل خارج شود بعد از مدتی به حالت تعادل اولیه برمیگردد.یابه عبارتی,اگر انحراف یک جسم از وضع تعادل باعث ایجاد گشتاوری شود که جسم را به وضع تعادل اولیه بازگرداند,جسم دارای تعادل پایدار خواهد بود.

2)تعادل ناپایدار: تعادلی که اگرجسم کمی از حالت تعادل خارج شود یک وضع تعادلی جدید به خود می گیرد.

3)تعادل خنثی: اگروزن مخصوص جسم با وزن مخصوص سیال برابر باشد,جسم در آن سیال به صورت خنثی غوطه ور می شود;یعنی,در هر وضعیتی که داخل سیال قرار گیرد,به حالت سکون می ماند.

برای شناورها نیز حالت‌های بالا امکان دارد رخ دهد. مشخص است که ما به هیچ وجه نمی‌خواهیم در کشتی تعادل ناپایدار داشته باشیم که با کوچکتری تلاطم غرق شود ومیخواهیم تعادل آن تعادل پایدار باشد برای این کار نقطه‌ای به نام متاسنتر تعریف می‌کنیم.

اگر جسم شناور را کمی از حالت تعادل بیرون بیاوریم نقطه B (مرکز حجم مغروق) تغییر می‌کند اما محور تقارن تغییر نمی‌کند برای پیدا کردن متاسنتر بردار جدید نیروی شناوری را امتداد می‌دهیم تا محور تقارن را قطع کند این نقطه را با Mنشان می‌دهیم. حال با استفاده از فرمول زیر می‌توان وضعیت شناور را تعیین کرد:

$|BM|={\frac {I_{o}}{V_{sub}}}$

در این جا حجم همان حجمی است که درون سیال قرار دارد نه کل حجم جسم. I_oدر این فرمول گشتاور صفحه در راستای آب در جسم است حول محوری که می‌چرخد. دو حالت داریم:

پایدار:|BM|>|BG|

ناپایدار:|BM|<|BG|

برای تعادل اجسام غوطه ور داریم:

1) اگر مرکز ثقل پایین تر از مرکز شناوری قرار گیرد جسم تعادل پایدار دارد.

2) اگر مرکز ثقل بالاتر از مرکز شناوری قرار گیرد جسم تعادل ناپایدار دارد.

3) اگر مرکز ثقل منطبق بر مرکز شناوری باشد جسم تعادل خنثی دارد.

برای تعادل اجسام شناور داریم:

1) اگر مرکز ثقل پایین تر از نقطه متاسانتریک قرار گیرد جسم تعادل پایدار دارد.

2) اگر مرکز ثقل بالاتر از نقطه متاسانتریک قرار گیرد جسم تعادل ناپایدار دارد.

3) اگر مرکز ثقل منطبق بر نقطه متاسانتریک باشد جسم تعادل خنثی دارد.

وقتی جسمی را درون یک شاره مثلا یک لیوان آب می‌اندازیم اگر جسم تماما درون آب فرو رود به مقدار حجم خود آب را جابجا می‌کند به نیروی وزن این مقدار آب جابجا شده نیروی ارشمیدس گویند که همیشه رو به بالاست و از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

دقت کنید که در این رابطه چگالی شاره و vحجم شاره جابجا شده است که مساوی است باحجم قسمتی از جسم که داخل شاره است و gشتاب گرانشی است حال سوالی مطرح می‌شود و آن اینکه چه شرایطی لازم است تا یک جسم در یک شاره شناور شود؟ می‌دانیم در به هر جسمی در یک میدان گرانشی نیروی وزن وارد می‌شود و به جسم درون شاره حداقل دو نیروی ارشمیدس و نیروی گرانش وارد می‌شود می‌دانیم که نیروی گرانش همیشه روبه پایین و نیروی ارشمیدس (نیروی شناوری) همیشه روبه بالا هرگاه این دو نیرو برابر باشند جسم درون آب غوطه ور می‌شود ولی فرق شناوری و غوطه وری چیست؟ وقتی می‌گوییم جسمی شناور است که در سطح آب باشد اما جسم غوطه ور می‌تواند در هر جای شاره باشدبه طور مثال خود آب درون خود شناور است.

وقتی نیروی ارشمیدس از نیروی وزن بیشتر باشد جسم روی سطح آزاد شاره شناور می‌شود و وقتی نیروی وزن جسم از نیروی ارشمیدس بیشتر باشد جسم درون شاره غرق می‌شود.

مثال۳

زنگی را مطابق شکل درون اب فرو می‌بریم، مطلوب است:
الف)H^' ب)F

${\begin{aligned}D=3m,H=3m,T=22m,{{\rho }_{a}}=1.25{\frac {Kg}{{m}^{3}}},\\{{\rho }_{w}}={{10}^{3}}{\frac {Kg}{{m}^{3}}},w=80KN,g=10{\frac {m}{{s}^{2}}},\\{{P}_{0}}={{10}^{5}}pa\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&a)\\&{{v}_{o}}=H\pi {\frac {{D}^{2}}{4}},{{v}_{1}}={{H}^{'}}\pi {\frac {{D}^{2}}{4}}\\&{{P}_{0}},{{P}_{1}}={{\gamma }_{w}}(T-H+{{H}^{'}})+{{P}_{0}}\\&{{P}_{0}}{{v}_{0}}={{P}_{1}}{{v}_{1}}\\&{{P}_{0}}H=({{P}_{0}}+{{\gamma }_{w}}(T-H+{{H}^{'}})){{H}^{'}}\\&{{10}^{5}}\times 3=({{10}^{5}}+{{10}^{4}}(22-3+{{H}^{'}})){{H}^{'}}\to {{H}^{'}}=1m\\\end{aligned}}$

ب) روش اول:

ف
فقط زنگ را به تنهایی در نظر می‌گیریم:

${\begin{aligned}&b)\\&{{F}_{1}}=[{{P}_{0}}+{{\gamma }_{w}}(T-H)]\pi {\frac {{D}^{2}}{4}}\\&{{F}_{2}}={{P}_{1}}\times \pi {\frac {{D}^{2}}{4}}\\&F={{F}_{2}}-{{F}_{1}}-w\to F=({{\gamma }_{w}}{{H}^{'}}\pi {\frac {{D}^{2}}{4}})-w=-0.5\times {{10}^{4}}N\Rightarrow F\uparrow \\\end{aligned}}$

روش دوم:

زنگ را با هوای داخل آن در نظر می‌گیریم:

$b)F=B-w=({{\gamma }_{w}}{{H}^{'}}\pi {\frac {{D}^{2}}{4}})-w=-0.5\times {{10}^{4}}N\Rightarrow F\uparrow$

مثال۴

اگر مخروط نشان داده شده در شکل‌های مقابل دارای قاعده مثلث متساوی الاضلاع باشد شرایط تعادل را در هر دو حالت تحقیق کنید. عمق صفحه b و S.G=۰٫۵

$(1)$ ابتدا اندازه h (قاعده مثلث کوچک) را محاسبه می‌کنیم:

$D={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\to h={\frac {a}{\sqrt {2}}}$

حال با استفاده از معادله: ${{V}_{sub}}=S.G\times {{V}_{tot}}$ می‌توان حجم قسمت مغروق را محاسبه کرد:

${{V}_{sub}}={\frac {W}{{\gamma }_{w}}}={\frac {{{\gamma }_{s}}\times {{V}_{total}}}{{\gamma }_{w}}}=S.G\times {{V}_{total}}=0.5\times {\frac {\sqrt {3}}{4}}{{a}^{2}}\times b={{a}^{2}}b$

حال گشتاور سطح را محاسبه می‌کنیم. برای محاسبه گشتاور سطح باید سطح مقطع برخورد آب و جسم را در نظر گرفت که در این شکل مستطیل می‌باشد باید در نظر داشت که کوچکترین گشتاور را در نظر می‌گیریم تا کمترین مقدار برای |BM|را بدست آوریم.

${{I}_{0}}={\frac {1}{12}}b{{h}^{3}}={\frac {1}{12}}b\times {{({\sqrt {0.5}}a)}^{3}}\to |BM|={\frac {{I}_{0}}{{V}_{sub}}}={\frac {8b{{a}^{3}}}{24{\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}{{a}^{2}}b}}={\frac {a}{3{\sqrt {6}}}}$

حال باید فاصله مرکز حجم مغروق B را از مرکز جرم G بدست آوریم:

$|BG|=|{\frac {2}{3}}(D-d)|={\frac {2}{3}}\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-{\frac {\sqrt {2}}{2}})a=0.169a$

با مقایسه مقدار |BM| و |BG| خواهیم داشت.

$\left({\begin{matrix}|BM|=&0.136a\\|BG|=&0.169a\\\end{matrix}}\right)\Rightarrow |BM|\langle |BG|$

پس این مورد تعادل ندارد زیرا |BM|<|BG|

$(2)$ در حالت دوم نیز ابتدا مقدار |BM| را محاسبه می‌کنیم.

$|BM|={\frac {{I}_{0}}{{V}_{sub}}}$

${{V}_{sub}}={\frac {W}{{\gamma }_{w}}}=S.G\times {{V}_{total}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}{{a}^{2}}b=0.5\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}a\times a\times {\frac {1}{2}}\times b\right)={\frac {\sqrt {3}}{8}}{{a}^{2}}b$

محاسبه گشتاور سطح: در اینجا نیز کمترین مقدار گشتاور سطح را در نظر می‌گیریم.

${{I}_{0}}={\frac {1}{12}}b{{h}^{3}}={\frac {1}{24{\sqrt {2}}}}{{a}^{3}}b$

حال برای |BM| خواهیم داشت:

$|BM|={\frac {{I}_{0}}{{V}_{sub}}}=0.136a$

${{y}_{G}}={\frac {D}{3}}={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{2}}a}{3}}={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$

از مفهوم مرکز حجم داریم: ${{V}_{2}}$ حجم قسمت هاشور نخورده می‌باشد

${{y}_{B}}\times {{V}_{sub}}={{y}_{G}}\times {{V}_{tot}}-{{y}_{G'}}\times {{V}_{2}}$

${{V}_{sub}}=0.5{{V}_{tot}}\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{sub}}=0.5{{V}_{tot}}$

با توجه به تشابه مثلث‌ها می‌توان نوشت:

${\frac {d'}{D}}={\frac {h}{a}}$

حال h را از طریق حجم قسمت هاشور نخورده بدست می‌آوریم.

${{V}_{2}}=0.5{{V}_{tot}}\Rightarrow {\frac {1}{2}}\times h\times d'={\frac {1}{2}}\times \left({\frac {1}{2}}a\times D\right)\Rightarrow h={\frac {1}{2}}{\frac {aD}{d'}}$

حال با توجه به رابطه‌ای که از تشابه مثلث‌ها نوشتیم می‌توان 'd را محاسبه کرد:

${\frac {d'}{D}}={\frac {1}{a}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {aD}{d'}}\right)\Rightarrow d{{'}^{2}}={\frac {1}{2}}{{D}^{2}}\Rightarrow d'={\frac {1}{\sqrt {2}}}D$

داریم:

${{y}_{G'}}={\frac {1}{3}}d'+d={\frac {1}{3}}d'+D-d'=D-{\frac {2}{3}}d'$

حال با استفاده از رابطه‌ای که با توجه به مفهوم مرکز حجم نوشتیم می‌توان y نقطه B را محاسبه نمود:

${{y}_{B}}\times {{V}_{sub}}={{y}_{G}}\times {{V}_{tot}}-{{y}_{G'}}\times {{V}_{2}}$

برای y نقطه B داریم:

${{y}_{B}}=2{{y}_{G}}-{{y}_{G'}}=2\left({\frac {\sqrt {3}}{6}}a\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a\left(1-{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)$

برای |BG| داریم:

$|BG|={{y}_{G}}-{{y}_{B}}={\frac {\sqrt {3}}{6}}a-\left[{\frac {\sqrt {3}}{3}}a-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a\left(1-{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)\right]=0.1691a$

با مقایسه |BM| و |BG| داریم:

$\left({\begin{matrix}|BM|=&0.136a\\|BG|=&0.1691a\\\end{matrix}}\right)\Rightarrow |BG|>|BM|$

این مورد نیز تعادل ندارد زیرا در اینجا نیز |BM|<|BG|

این نیرو کاربردی ندارد و معمولا در آزمایش ها استفاده می شود.

مثال۵

ظرفی داریم که انتهای آن سوراخ است حال سوراخ را با چوب پنبه پوشانده ایم وظرف را از آب پر کرده ایم نیروی عکس العمل تکیه گاه را حساب کنید.

تحلیل:

w=0 (وزن چوب پنبه ناچیز است)
- نیروی شناوری فقط به قسمت های هاشور خورده وارد می شود که هم بالای آن و هم زیر آن آب است و به علت تقارن نقطه ی اثر آن را وسط میگیریم وجهت آن به سمت بالا است.(B)
- قسمتی که فقط بالای ان آب است ، تحت اثر نیروی شناوری نبوده و وزن ارتفاعی از آب که روی آن است را تحمل میکند.(f)
- برای به دست آوردن حجم قسمت هاشور خورده (v_sub) باید حجم مخروط خارج شده از انتهای ظرف(v₂) و استوانه ای که به آن نیروی شناوری وارد نمیشود (v₃) را از کل حجم مخروط بزرگ (v) کم کرد.
- N نیروی تکیه گاه به علت تقارن نقطه ی اثر آن را وسط فرض میکنیم.

حل:

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ (a-z)=8.6cm$

- نیروی f برابر با ρg ضرب در حجم آب بالای قسمتی است که نیروی شناوری به آن وارد نمی شود :

$f=\rho g(H-h){\frac {\pi D^{2}}{4}}=71.7N$

- حجم کل مخروط منهای ${\frac {1}{8}}$ حجم کل (حجم مخروط خارج شده از پایین ( v₂ )) منهای حجم استوانه ی وسط (که نیروی شناوری به آن وارد نمی شود( v₃ )) برابر است با :

$V_{sub}={\frac {1}{3}}\pi ({\frac {a}{2}})^{2}({\frac {\sqrt {3}}{2}}a)(1-{\frac {1}{8}})-({\frac {\pi D^{2}h}{4}})=9.1\times 10^{-4}m^{3}$

- نیروی شناوری برابر با حجمی است که نیروی شناوری به آن وارد می شود ( v_sub ) ضرب در ρg :

$B=\rho g[{\frac {\sqrt {3}}{24}}a^{3}(1-{\frac {1}{8}})-({\frac {\pi D^{2}h}{4}})]=9.1N$

- و برای محاسبه ی N داریم :

$\sum f_{y}=0\rightarrow N=f-B\Rightarrow$

$N=\rho g[{\frac {(H-h)\pi D^{2}}{4}}-({\frac {\sqrt {3}}{24}}a^{3}(1-{\frac {1}{8}}))+{\frac {\pi D^{2}h}{4}}]=62.6N$

مثال ۶

پایداری شناور را در این شکل بررسی نمائید.

$L=1m\And {\text{D}}=0.1{\text{m}}\And \mathop {\rho } _{s}=100{\frac {Kg}{{m}^{3}}}\And \mathop {\rho } _{w}=1000{\frac {Kg}{{m}^{3}}}$

حل:

نیروی وزن = نیروی شناوری

                                            ${\begin{aligned}&w=B\\&{\frac {L\pi {{D}^{2}}}{4}}*\mathop {\rho } _{S}g=\mathop {\rho } _{w}g\mathop {V} _{sub}\Rightarrow \\&\mathop {V} _{sub}={\frac {\mathop {\rho } _{S}}{\mathop {\rho } _{w}}}{\frac {L\pi {{D}^{2}}}{4}}\\\end{aligned}}$

و از آنجا که حجم جسم مغروق خود برابر است با:

                                          $\mathop {v} _{sub}={\frac {H\pi {{D}^{2}}}{4}}\Rightarrow H=0.7L$

مقدار ممان اینرسی برابر است با:

                                         $I={\frac {\pi {{R}^{4}}}{4}}$

حال باید شرط پایداری را اعمال کنیم برای این کار باید BM و BG را بیابیم:

                                        ${\begin{aligned}&BM={\frac {I}{\mathop {V} _{sub}}}\\&BM={\frac {\frac {\pi {{R}^{4}}}{4}}{\frac {H\pi {{D}^{2}}}{4}}}\Rightarrow BM=0.00089m\\&BG=\mathop {H} _{G}-\mathop {H} _{B}=0.5-0.35=0.15m\\\end{aligned}}$

شرط پایداری اینست که $BM>BG$ ولی در اینجا BG بزرگتر است پس این به صورت ناپایدار می‌باشد.

مثال ۷

پایداری شناور را برای یک مثلث در حالتی که با راس در آب قرار دارد را محاسبه کنید.

$SG=0.7\And L=1\And D=1\And X=\mathop {D} _{sub}\And \mathrm {H} =\mathop {L} _{SUB}$

حل:

نیروی وزن = نیروی شناوری

                                               ${\begin{aligned}&W=B\Rightarrow \mathop {\rho } _{W}\mathop {V} _{sub}=\mathop {\rho } _{s}V\Rightarrow \mathop {\rho } _{S}=0.7\mathop {\rho } _{W}\\&\mathop {V} _{sub}=0.7V\Rightarrow \mathop {A} _{sub}=0.7A\\\end{aligned}}$

همچنین از تشابه مثلث داریم که:

                                              ${\frac {H}{L}}={\frac {X}{D}}\Rightarrow X={\frac {HD}{L}}$

حال با جاگذاری در رابطه مساحت‌ها می‌توانیم H و X را بیابیم،

                                             ${\begin{aligned}&\mathop {A} _{sub}=0.7A\Rightarrow {\frac {{{H}^{2}}D}{2L}}={\frac {0.7LD}{2}}\Rightarrow \\&H={\sqrt {0.7}}L\And X={\sqrt {0.7}}D\\\end{aligned}}$

حالا باید شرط پایداری را با به دست آوردن BM و BG بررسی نمائیم،

                                            ${\begin{aligned}&I={\frac {1}{12}}{{X}^{3}}B\And \mathop {V} _{sub}={\frac {0.7LDB}{2}}\\&BM={\frac {I}{\mathop {V} _{sub}}}\Rightarrow BM=0.14\\&BG=\mathop {H} _{G}-\mathop {H} _{B}\Rightarrow BG=0.10\\&\\\end{aligned}}$

چون شرط پایداری این است که BM بزرگتر از BG باشد بنابراین در این حالت قرار گرفتن مثلث در حالت پایدار است.

مثال ۸

شرط پایداری شناور در این حالت قرارگیری مثلث (قرار گرفتن از قاعده) بررسی نمائید.

$SG=0.7\And L=1\And D=1\And X=\mathop {D} _{sub}\And \mathrm {H}$

حل:

نیروی شناوری = نیروی وزن

                                                ${\begin{aligned}&W=B\Rightarrow \mathop {V} _{sub}={\frac {\mathop {\rho } _{s}}{\mathop {\rho } _{w}}}V\Rightarrow \mathop {\rho } _{s}=0.7\mathop {\rho } _{w}\\&\mathop {V} _{sub}=0.7V\\\end{aligned}}$

از تشابه مثلث‌ها رابطه‌ای برای X به دست می‌آید که با جاگذاری در رابطه حجم‌ها می‌توان X و H را یافت،

                                               $H={\sqrt {0.3}}L\And X={\sqrt {0.3}}D$

و با توجه به شکل به دست آمده باید حجم‌های ایجاد شده را جمع نمود و برابر حجم کلی قرار داد،

                                              ${\begin{aligned}&\mathop {A} _{1}\mathop {Y} _{1}+\mathop {A} _{2}\mathop {Y} _{2}=\mathop {A} _{3}\mathop {Y} _{3}\\&({\frac {XH}{2}}*{\frac {L-2H}{3}})+({\frac {(X+D)(L-H)}{2}}*\mathop {Y} _{2})={\frac {LD}{2}}*{\frac {L}{3}}\\&\Rightarrow \mathop {Y} _{2}=0.204\\\end{aligned}}$

حال باید شرط پایداری را به دست آوردن BM و BG بررسی نمود،

                                            ${\begin{aligned}&BM={\frac {I}{\mathop {V} _{sub}}}\Rightarrow I={\frac {1}{12}}{{X}^{3}}B\Rightarrow B=deapth\\&\mathop {v} _{sub}={\frac {0.7LDB}{2}}\Rightarrow BM=0.39\\&BG=\mathop {H} _{G}-\mathop {H} _{B}={\frac {L}{3}}-\mathop {Y} _{2}\Rightarrow BG=0.127\\\end{aligned}}$

                                           $BM>BG\Rightarrow Stabillity$

مثال ۹

جسمی مطابق شکل در آب شناور است.

الف) وزن جسم را به دست آورید.

ب) مشخص کنید که آیا پایدار است یا نه؟

ج) فرض کنید ۱۰۰ تن از روی بار کم کرده‌ایم و مرکز جرم ۰٫۵ متر پایین‌تر آمده است. آیا در شرایط جدید پایدار است؟

الف)

V_{sub=۱۵×۵×۳=225 m³}

W=B

W=ρgV_{sub=γ_{w×V_{sub=۲۲۵×10^{4 N}}}}

ب)از سمت چپ به شکل نگاه می کنیم.

BG=1 m

BM=I_{o/V_{sub=1/12×15×5^{3/225=0.69 m}}}

BM<BG

پس ناپايدار است.

ج)

W’=125×10^{4 N}

V’_sub=5×15×h

W’=B’

?_{wV’_sub=W’}

10^{4×5×15×h=125×10⁴}

h=1.67 m

V’_{sub=5×15×1.67=125 m³}

BG=2-1.67/2=1.16 m

BM=1/12×15×5^{3/125=1.25 m}

BM>BG

پس پايدار است.