ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/مقدمه‌ای بر رسانش

مقدمه

همانگونه که می‌دانیم رسانش عبارت است از انتقال گرمای ناشی از شیب دما در یک محیط که به وسیله‌ی فعالیت اتم‌ها و مولکول‌های آن محیط صورت می‌گیرد.

در انتقال گرمای رسانشی، رسانش گرما حالتی از جابجایی انرژی، درون یا بین بدنهٔ اجسام است که براثر شیب دما رخ می‌دهد. رسانش به معنای انتقال انرژی جنبشی ذرات است. رسانش در همهٔ شکل‌های مادهٔ پاسخ‌پذیر صورت می‌گیرد، یعنی در جامدها، مایع‌ها، گازها و پلاسماها. گرما خودبه‌خود تمایل دارد از جسمی با دمای بیشتر به جسمی با دمای کمتر شارش یابد. در نبود شارهای محرک، تغییرات دما در طول زمان به تعادل گرمایی میل می‌کند.

در رسانش، بر خلاف همرفت و تابش گرمایی، گرما از درون خود جسم شارش می‌یابد. در جامدات، انتقال انرژی بر پایهٔ مدل الکترون آزاد و رسانش بر اثر ترکیب لرزش‌های مولکول‌های ساختار بلوری یا فوتون* صورت می‌پذیرد. در گازها و مایعات، رسانش نتیجهٔ برخورد و پخش مولکولی مولکول‌هایِ در حال حرکت تصادفی است. فوتون‌ها عموما با هم برخورد ندارند و جابجایی گرما بر اثر تابش الکترومغناطیسی به عنوان نوعی از رسانش گرمایی محسوب نمی‌شود. در جامدات جدا کردن و تشخیص انتقال به وسیلهٔ فوتون‌ها از انتقال به وسیلهٔ مادهٔ پاسخ‌پذیر ساده نیست، اما در مایع‌ها درک این تفاوت ساده‌تر است و در گازها معمولا در نظر گرفته می‌شود.

در علوم مهندسی، جابجایی گرما شامل فرآیندهای تابش گرمایی، همرفت و گاهی جابجایی جرم می‌شود و اغلب بیش از یکی از این فرآیندها در حال رخ‌ دادن است.

(*فوتون: فوتون به عنوان یک ذره ی بنیادی بدون بار، بدون جرم و پایدار می باشد که به عنوان واحد کوانتومی نور و یا هر نوع تابش الکترومغناطیسی محسوب می شود.)

معادله آهنگ رسانش

قانون فوریه (Fourier law)

قانون فوریه یک قانون پدیده شناسی است؛ یعنی از پدیده‌های مشاهده شده (تجربی) و نه از اصول اولیه به دست می‌آید.

قانون فوریه بیان ریاضی آهنگ رسانش می‌باشد. برای استفاده از این قانون در تعیین شار گرما باید تغییرات دما در محیط (توزیع دما) معلوم باشد.
یک میله را با جنس معلوم و سطح مقطع ثابت که اطراف آن عایق است در نظر بگیرید؛ با این شرط که دو انتهای آن در دماهای (T1 و T2) قرار دارند (T1 > T2). این اختلاف دما باعث انتقال گرمای رسانشی در جهت مثبت (x) می‌شود. حال می‌توان آهنگ انتقال گرمای (qx) را اندازه گرفت وارتباط آن‌ها را با (T، ∆x∆ و A) بررسی کرد. با بررسی‌های انجام گرفته، شار حرارتی هدایت در یک محیط، با گرادیان دما و سطح تبادل حرارتی رابطهٔ مستقیم دارد. پس به رابطه زیر می‌رسیم:

(شکل: رسانش گرما در حالت پایا)

${{q}_{x}}\equiv -{{A}_{c}}{\frac {\Delta T}{\Delta x}}$

رابطهٔ بالا برای میله‌های با جنس‌های متفاوت برقرار است، لذا درمی یابیم که با اضافه کردن یک ضریب می‌توان این تناسب را به تساوی تبدیل کرد:

${{q}_{x}}=-k{{A}_{c}}{\frac {\Delta T}{\Delta x}}$

که در آن (K) رسانندگی گرمایی(W/m.k)، یک خاصیت مهم ماده است. این رابطه در یک نقطه به صورت حدی وقتی "X → ۰∆" می‌رود به شکل زیر است:

$q_{x}=-kA{\frac {dT}{dx}}$

و برای شار گرما در حالت کلی و در جهت x به صورت زیر می‌باشد:

$q=\int \limits _{A}{{q}''}dA$

$q''_{x}=-k{\frac {dT}{dx}}$

علامت منفی نشان دهندهٔ انتقال گرما در جهت کاهش دما است.

قانون فوریه به فرم بالا یک کمیت برداری است و راستای آن عمود بر سطح مقطع (Ac) می‌باشد. باید توجه داشت که انتقال گرما در راستای عمود بر سطوح هم دما باشد، لذا در رابطه بالا سطح (A) یک سطح هم دما می‌باشد.

برای المان زیر در راستای x قانون فوریه را می‌نویسیم.

(شکل: حجم کنترل دیفرانسیلی برای تحلیل قانون فوریه)

$\ q_{x}=kdydz{\frac {T_{x}-T_{x+dx}}{dx}},$

نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح: $q\prime \prime$
با این تعریف می‌توانیم برای همه جهات (x و y و z) نرخ انتقال حرارت را بنویسیم:

$q\prime \prime _{x}=-k{\frac {\partial T}{\partial x}}$

$q\prime \prime _{y}=-k{\frac {\partial T}{\partial y}}$

$q\prime \prime _{z}=-k{\frac {\partial T}{\partial z}}$

پس می‌توان نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح را به صورت برداری زیر نوشت:

${\overrightarrow {q\prime \prime }}=q\prime \prime _{x}{\overrightarrow {i}}+q\prime \prime _{y}{\overrightarrow {j}}+q\prime \prime _{z}{\overrightarrow {k}};$

${\overrightarrow {{q}''}}=-k\left({\frac {\partial T}{\partial x}}\right){\overrightarrow {i}}-k\left({\frac {\partial T}{\partial y}}\right){\overrightarrow {j}}-k\left({\frac {\partial T}{\partial z}}\right){\overrightarrow {k}}$

${\overrightarrow {{q}''}}=-k{\overrightarrow {\nabla }}T$

از معادلهٔ بالا دیده می‌شود که بردار شار گرما در راستای عمود بر سطوح تک دماست.

مولفه‌های بردار شار گرما در راستای عمود بر سطوح هم دما است و بیان کننده شار گرما در راستای هر محور می‌باشد. نکته‌ای که دراین معادله قابل توجه است یکسان بودن (k) در هر سه راستا است که مبین همسانگرد بودن جسم است یعنی اینکه انتقال گرما در آن مستقل از راستای مختصه است.

قانون فوریه برای تمامی مواد (جامد، مایع، گاز) به کار می‌رود.

برای درک بهتر رابطهٔ رسانش، در زیر، نمونهٔ حل شده‌ای آورده شده است:

مثال ۱

شرایط پایا برای رسانش یک بعدی را در دیوار مسطحی با رسانندگی گرمایی (K=50(W/m.k و ضخامت (l=0.25(m؛ و بدون تولید گرمای داخلی، در نظر بگیرید. شار گرما و شیب دما را در صورتی که ${{T}_{1}}=50{}^{\circ }C$ و ${{T}_{2}}=-20{}^{\circ }C$ بیابید.

راه حل:

شار گرما:

$q''_{x}=-k{\frac {\Delta T}{\Delta x}}$

${{\text{q}}_{x}}{\text{ }}=-{\text{ }}{\frac {\left\{\left(50\right)\times \left[\left(-20-50\right)\right]\right\}}{0.25}}=14000$

شیب دما:

${\frac {\Delta {\text{T}}}{\Delta {\text{X}}}}{\text{=}}{\frac {\text{-20-50}}{{\text{0}}{\text{.25}}}}{\text{= - }}{\text{280}}$

معادله پخش گرما

در تحلیل رسانش، موضوع مهم تعیین میدان دما در هر محیط از روی شرایط مرزی آن است. یعنی می خواهیم توزیع دما که نحوه ی تغییر دما را بر حسب مکان در محیط نشان می دهد، بدانیم. اگر این توزیع معلوم باشد، شار گرمای رسانشی در هر نقطه داخل محیط یا هر نقطه از سطح آن را از قانون فوریه می توان محاسبه کرد. سایر کمیت های مهم نیز قابل ارزیابی اند.

در جامدات می توان از توزیع دما استفاده کرد و با تعیین تنش های گرمایی، انبساط ها و انحراف ها از بی عیبی ساختاری اطمینان حاصل کرد. از توزیع دما برای بهینه سازی ضخامت عایق یا برای تعیین سازگاری پوشش ها یا چسبان ها با مواد نیز می توان استفاده کرد.

معادله پخش گرما در مختصات کارتزین

محیط همگنی را در نظر بگیرید که در آن هیچ حرکت کپه‌ای (ادوکسیون) وجود ندارد و توزیع دمای $T(x,y,z)$ در مختصات کارتزین بیان شده است. با استفاده از پایستاری انرژی و حجم کنترل دیفرانسیلی زیر شروع می کنیم:

$:q\prime \prime \prime$ نرخ حرارت حجمی

$:c\,$ ثابت گرمای ویژه

$:\rho \,$ چگالی

معادله بقای انرژی:

${\frac {\partial E_{c.v}}{\partial t}}={\dot {E}}_{in}-{\dot {E}}_{out}+{\dot {E}}_{gen}\;$
${\frac {\partial E_{c.v}}{\partial t}}=\rho \,dvc{\frac {\partial T}{\partial t}};$

${\dot {E}}_{in}=q\prime \prime _{x}\mid \ _{x}dydz+q\prime \prime _{y}\mid \ _{y}dxdz+q\prime \prime _{z}\mid \ _{z}dxdy;$

${\dot {E}}_{out}=q\prime \prime _{x}\mid \ _{x+dx}dydz+q\prime \prime _{y}\mid \ _{y+dy}dxdz+q\prime \prime _{z}\mid \ _{z+dz}dxdy;$

${\dot {E}}_{gen}=q\prime \prime \prime _{gen}dxdydz;$

با قرار دادن چهار رابطه ی اخیر در معادله ی انرژی، و با تقسیم کردن طرفین بر dx و dy و dz معادله به صورت زیر در خواهد آمد:

$\rho \,c{\frac {\partial T}{\partial t}}=-[{\frac {q\prime \prime _{x}\mid \ _{x+dx}-q\prime \prime _{x}\mid \ _{x}}{dx}}+{\frac {q\prime \prime _{y}\mid \ _{y+dy}-q\prime \prime _{y}\mid \ _{y}}{dy}}+{\frac {q\prime \prime _{z}\mid \ _{z+dz}-q\prime \prime _{z}\mid \ _{z}}{dz}}]+q\prime \prime \prime _{gen};$

می توانیم به جای عبارات داخل کروشه، معادل آن ها که مشتق شارش است را قرار دهیم؛ پس معادله به شکل زیر در خواهد آمد:

$\rho \,c{\frac {\partial T}{\partial t}}=-[{\frac {\partial {q\prime \prime _{x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {q\prime \prime _{y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {q\prime \prime _{z}}}{\partial z}}]+q\prime \prime \prime _{gen};$

و یا می توانیم آن را به شکل ساده تر زیر بنویسیم:

$\rho \,c{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\overrightarrow {\nabla }}.{\overrightarrow {q\prime \prime }}+q\prime \prime \prime _{gen};$

با جایگذاری "q از قانون فوریه داریم:

$\rho \,c{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\overrightarrow {\nabla }}.(k{{\overrightarrow {\nabla }}T})+q\prime \prime \prime _{gen};$

دما را با دو فرض می توانیم از درون پرانتز بیرون آوریم:

۱) جنس ماده تغییر نکند.

۲) k با دما تغییر نکند.

با استفاده از این دو فرض معادله به صورت زیر در خواهد آمد:

$\rho \,c{\frac {\partial T}{\partial t}}=k{{\nabla }^{2}T}+q\prime \prime \prime _{gen};$

${\frac {k}{\rho \,c}}={\alpha }\rightarrow \ {thermal}\quad {diffusion}\quad {cofficient}$*

${\alpha }({\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{z}^{2}}}})+{\frac {q\prime \prime \prime _{gen}}{\rho \,c}}={\frac {\partial T}{\partial t}}$

نتیجه ی مهم رابطه ی بالا این است که در شرایط پایا، یک بعدی و بدون تولید انرژی، شار گرما در جهت انتقال ثابت است.

${\frac {d{{{q}''}_{x}}}{dx}}=0$

...................................

*پخشندگی گرمایی: تفسیر فیزیکی $\alpha$ این است که معیاری برای سنجش انتقال گرما ($\mathrm {K}$) نسبت به ذخیره ی انرژی ($\rho {{c}_{P}}$) است.)

...................................

مثال ها:

مثال ۲) یک دیوار تخت و یکنواخت با $\mathrm {K}$ ثابت داریم. توزیع دما را در شرایط دائمی و نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح را بیابید.

${\frac {{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}}=-{\frac {{{q}''}_{gen}}{k}}=0$

مشتق دوم صفر است لذا معادله خطی می باشد.

${\frac {dT}{dx}}={{c}_{1}}\Rightarrow T={{c}_{1}}x+{{c}_{2}}$

حال با بررسی شرایط مرزی، ثابت ها را بدست می آوریم:

${\begin{aligned}&x=0\to T={{T}_{1}}\Rightarrow {{c}_{2}}=T\\&x=L\to T={{T}_{2}}\Rightarrow {{T}_{2}}={{c}_{1}}L+{{c}_{2}}\\&\Rightarrow {{c}_{1}}={\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L}}\\&\Rightarrow T={\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L}}x+{{T}_{1}}\\\end{aligned}}$

${q}''=-k{\frac {dT}{dx}}=k{\frac {{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{L}}$

مثال 3) مثال قبل را با فرض اینکه در $x=0$ ؛ ${q}''=c$ باشد بررسی کنید.

${\begin{aligned}&T(x)={\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L}}x+{{T}_{1}}\\&{q}''=k{\frac {{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{L}}=c\Rightarrow {{T}_{2}}={{T}_{1}}-{\frac {cL}{k}}\\\end{aligned}}$

مثال 4) مثال 2 را با فرض اینکه در x=L شرط ${{{q}''}_{}}=h({{T}_{2}}-{{T}_{\infty }})$ برقرار باشد بررسی نمایید.

${\begin{aligned}&T(x)={\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L}}x+{{T}_{1}}\\&{q}''=k{\frac {{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{L}}=h({{T}_{2}}-{{T}_{\infty }})\to {{T}_{1}}-{{T}_{2}}={\frac {hL}{k}}({{T}_{2}}-{{T}_{\infty }})\\&\Rightarrow {{T}_{2}}={\frac {{{T}_{1}}-{\frac {hL}{k}}{{T}_{\infty }}}{1+{\frac {hL}{k}}}}\\\end{aligned}}$

مثال 5) در مثال 2 فرض کنید که در دیوار تولید گرما با نرخ ثابت ${{{q}'''}_{gen}}$ وجود دارد.

${\begin{aligned}&{\frac {{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}}=-{\frac {{{q}''}_{gen}}{k}}={{c}_{1}}\\&{\frac {dT}{dx}}={{c}_{1}}x+{{c}_{2}}\\&dxT={\frac {1}{2}}{{c}_{1}}{{x}^{2}}+{{c}_{2}}x+{{c}_{3}}\\&x=0\to T={{T}_{1}}\Rightarrow {{c}_{3}}={{T}_{1}}\\&x=L\to T={{T}_{2}}\Rightarrow {{T}_{2}}={\frac {{{c}_{1}}{{L}^{2}}}{2}}+{{c}_{2}}L+{{T}_{1}}\Rightarrow {{c}_{2}}={\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}-{\frac {{{c}_{1}}{{L}^{2}}}{2}}}{L}}\\&\Rightarrow T(x)={\frac {{{c}_{1}}{{x}^{2}}}{2}}+{\frac {{{T}_{2}}-{{T}_{1}}-{\frac {{{c}_{1}}{{L}^{2}}}{2}}}{L}}x+{{T}_{1}}\\\end{aligned}}$

مثال 6)معادله ی شار گرما، با نرخ تولید ثابت، را در دیوار زیر بدست آورید.

${\begin{aligned}&{\frac {{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}}=-{\frac {{{q}'''}_{gen}}{K}}=cte\\&{\frac {dT}{dx}}=-{\frac {{{q}'''}_{gen}}{K}}x+{{c}_{1}}\\&T=-{\frac {{{q}'''}_{gen}}{2K}}{{x}^{2}}+{{c}_{1}}x+{{c}_{2}}\\&T\left(x=0\right)=0\to {{c}_{2}}=0\\&T\left(x=L\right)=0\to 0=-{\frac {{{q}'''}_{gen}}{2K}}{{L}^{2}}+{{c}_{1}}L\to {{c}_{1}}={\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2K}}\\&\to T\left(x\right)=-{\frac {{{q}'''}_{gen}}{2K}}{{x}^{2}}+{\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2K}}x={\frac {x}{L}}\left(1-{\frac {x}{L}}\right)\left({\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2K}}\right)\\&{q}'''=-K{\frac {dT}{dx}}\to {q}''=-K\left(-{\frac {{{q}'''}_{gen}}{K}}x+{\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2K}}\right)\\&x=0\to {q}''=-{\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2}}\\&x=L\to {q}''=-K\left(-{\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2K}}\right)=-K\left(-{\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2K}}\right)={\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2}}\\\end{aligned}}$

روش دوم)

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}}={{\dot {E}}_{in}}-{{\dot {E}}_{out}}+{{\dot {E}}_{gen}}\\&{{\dot {E}}_{gen}}={{{q}'''}_{gen}}{{A}_{c}}L\\&{{\dot {E}}_{out}}=2{q}''{{A}_{c}}\to {{\dot {E}}_{out}}={{\dot {E}}_{gen}}\to {{{q}'''}_{gen}}{{A}_{c}}L=2{q}''{{A}_{c}}\to {q}''={\frac {{{{q}'''}_{gen}}L}{2}}\\\end{aligned}}$

مثال 7)

دمای سطح را برای دیوار تخت با فرض رسانش یک بعدی، با داده های مشخص شده به دست آورید (سطح در معرض تشعشع است).

${\begin{aligned}&{{T}_{\infty }}=22{}^{\circ }c\\&h=30{\frac {W}{{{m}^{2}}.K}}\\&\varepsilon =0.7\\&{{T}_{surr}}=29{}^{\circ }c\\&L=1cm\\&{{A}_{0}}=150c{{m}^{2}}\\&{{q}_{0}}=1500W\\&K=2.3{\frac {W}{m.K}}\\&{{T}_{2}}=?\\&\\&{\frac {{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}}=0\\&-K{\frac {dT}{dx}}\left|_{x=0}={\frac {{q}_{0}}{{A}_{c}}}={{10}^{5}}{\frac {W}{{m}^{2}}}\right.\\&-K{\frac {dT}{dx}}\left|_{x=L}\right.=h\left({{T}_{2}}-{{T}_{\infty }}\right)+\varepsilon \sigma \left(T_{2}^{4}-T_{surr}^{4}\right)\\&{{10}^{5}}=30\left({{T}_{2}}-295\right)+\left(0.7\right)\left(5.67\right){{10}^{-8}}\left(T_{2}^{4}-{{302}^{4}}\right)\to {{T}_{2}}=1168.8K\\&\\\end{aligned}}$

معادله پخش گرما برای مختصات استوانه‌ای

از اصل پایستاری انرژی استفاده می کنیم و یک حجم کنترل دیفرانسیلی در مختصات استوانه‌ای تعریف می کنیم؛ مانند شکل زیر. سپس فرآیند های انتقال انرژی مربوط به آن را مشخص می‌کنیم و معادلات مربوط به آن را وارد می‌کنیم.

آهنگ گرمای رسانشی عمود بر هر یک از سطوح کنترل در جهت $r$ و $\phi$ و $z$ را با ${{q}_{r}}$ و${{q}_{\phi }}$ و ${{q}_{z}}$ نشان می‌دهیم.

و

${{q}^{''}}=-k\nabla T=-k\left(i{\frac {\partial T}{\partial r}}+j{\frac {1}{r}}{\frac {\partial T}{\partial \phi }}+k{\frac {\partial T}{\partial z}}\right)$

$q_{r}^{''}=-k{\frac {\partial T}{\partial r}}$

$q_{\phi }^{''}=-k{\frac {1}{r}}{\frac {\partial T}{\partial \phi }}$

$q_{z}^{''}=-k{\frac {\partial T}{\partial z}}$

با استفاده از معادله ی بقای انرژی:

${\frac {\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}}=\rho dVc{\frac {\partial T}{\partial t}}={{{\overset {.}{\mathop {E} }}\,}_{in}}-{{{\overset {.}{\mathop {E} }}\,}_{out}}+{{{\overset {.}{\mathop {E} }}\,}_{gen}}$

و

${{{\overset {.}{\mathop {E} }}\,}_{in}}=q_{r}^{''}rd\phi dz+q_{\phi }^{''}drdz+q_{z}^{''}rd\phi dr$

${{{\overset {.}{\mathop {E} }}\,}_{out}}=q_{r}^{''}rd\phi dz+{\frac {\partial {{q}_{r}}}{\partial r}}dr+q_{\phi }^{''}drdz+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial {{q}_{\phi }}}{\partial \phi }}rd\phi +q_{z}^{''}rd\phi dr+{\frac {\partial {{q}_{z}}}{\partial z}}dz$

${{{\overset {.}{\mathop {E} }}\,}_{gen}}={\overset {.}{\mathop {q} }}\,.dr.r.d\phi .dz$

و معادلات بالا را در معادله ی بقای انرژی قرار می دهیم:

$-{\frac {\partial {{q}_{r}}}{\partial r}}dr-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial {{q}_{\phi }}}{\partial \phi }}rd\phi -{\frac {\partial {{q}_{z}}}{\partial z}}dz+{\overset {.}{\mathop {q} }}\,.dr.r.d\phi dz=\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}dr.r.d\phi dz$

با جایگذاری آهنگ گرمای رسانشی که از قانون فوریه به دست می آید در رابطه ی بالا :

$-{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-k{\frac {\partial T}{\partial r}}r.d\phi dz\right)dr-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(-k{\frac {\partial T}{r\partial \phi }}drdz\right)rd\phi -{\frac {\partial }{\partial z}}\left(-k{\frac {\partial T}{\partial z}}dr.r.d\phi \right)dz+{\overset {.}{\mathop {q} }}\,.dr.r.d\phi dz=\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}dr.r.d\phi dz$

و تقسیم طرفین بر حجم دیفرانسیلی:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(kr{\frac {\partial T}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(k{\frac {\partial T}{\partial \phi }}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(k{\frac {\partial T}{\partial z}}\right)+{\overset {.}{\mathop {q} }}\,=\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}$

معادله ی پخش گرما در مختصات استوانه ای به دست می آید.

معادله پخش گرما در مختصات قطبی

${\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{r}^{2}}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial T}{\partial r}}+{\frac {1}{{r}^{2}}}{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{\theta }^{2}}}}+{\frac {\dot {q}}{k}}={\frac {\rho c}{k}}{\frac {\partial T}{\partial t}}$

بررسی معادله پخش گرما در مختصات کارتزین تحت شرایط یک بعدی و پایا:

در حالت دائمی

${\frac {\partial T}{\partial t}}=0$

و در حالت یک بعدی ( در راستای X )

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial z}}=0\\&{\frac {\partial }{\partial y}}=0\\\end{aligned}}$

که معادله ی پخش گرما برای حالت دائمی یک بعدی بصورت زیر خواهد بود:

${\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}}+{\frac {\dot {q}}{k}}=0$

برای حالت های مختلفی که می توان برای این معادله در شرایط گوناگون فرض کرد، معادله به شکل زیر در می آید:

1- اگر ${q}'',k$ ثابت باشند؛

${\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}}=-{\frac {\dot {q}}{k}}$

${\frac {\partial T}{\partial x}}={\frac {-{\dot {q}}x}{k}}+{{c}_{1}}$

$T={\frac {-{\dot {q}}}{2k}}{{x}^{2}}+{{c}_{1}}x+{{c}_{2}}$

2- اگر${q}''=0$ باشد؛

$k{\frac {{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}}=0$

${\frac {\partial T}{\partial x}}=c$

$T={{c}_{1}}x+{{c}_{2}}$

که مقدار ثابت های فرمول بالا با توجه به شرایط مرزی به دست می آید.

شرایط مرزی و شرایط اولیه

برای تعیین توزیع دما در یک ماده، بایستی معادله گرمای مربوطه را حل کرد. اما چنین حلی به شرایط فیزیکی موجود در مرزهای ماده و در صورت وابستگی به زمان، به شرایط موجود در زمان اولیه بستگی دارد. در حالت کلی برای حل مسائل انتقال حرارت نیاز به شرایط مرزی داریم. سه نوع شرط مرزی را می توان بیان نمود.

سه نوع شرط مرزی که معمولاً در انتقال گرما وجود دارد، در جدول 2-1 کتاب این کروپرا خلاصه شده‌اند.

شرط مرزی اول:

مربوط به حالتی است که در آن سطح در دمای ثابت ${{T}_{S}}$ نگه داشته می شود. این شرط معمولاً شرط «دیریشله» یا شرط مرزی نوع اول نامیده می شود. برای مثال، هنگامی که در روی سطح جوشش صورت گیرد:

در جوشش، انتقال حرارت در مایع از طریق جابجایی صورت می گیرد؛ بنابراین بر طبق قانون سرمایش نیوتن داریم:

${{q}_{conv}}=hA({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }})$

که در این شرایط دمای سطح ثابت می باشد؛ بنابراین این معادله را بر اساس شار حرارتی می توان نوشت.

شرط مرزی دوم:

مربوط به حالتی است که شار گرمای ثابت ${{{q}''}_{s}}$ در سطح وجود دارد. این شرط معمولاً شرط "نیومن" یا شرط مرزی نوع اول نامیده می شود. مانند وقتی که یک گرم‌کن الکتریکی (بخاری برقی) به سطحی متصل است و یا قرار دادن یک اتوی گرم بر روی یک سطح.

شرط مرزی سوم:

مربوط به حالتی است که انتقال حرارت جابجایی روی سطح وجود داشته باشد و معادله ی آن، از موازنه ی انرژی سطحی به دست می‌آید که در آن شار جابجایی با شار حرارتی برابر است.

---

مثال 8

توزیع دما را برای دو صفحه ی موازی که به فاصله ی L ازهم قرار دارند به دست آورده و شار را روی دیواره ها بیابید.

${\frac {{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}}=-{\frac {{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,}{k}}=C{\begin{matrix}{}&\Rightarrow &\left\{{\begin{matrix}T\left(x\right)=-{\frac {1}{2}}{\frac {{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,}{k}}{{x}^{2}}+{{c}_{1}}x+{{c}_{2}}\\{\begin{matrix},&{}\\\end{matrix}}T\left(x=0\right)=0\\{\begin{matrix},&{}\\\end{matrix}}T\left(x=L\right)=0\\\end{matrix}}\right.\\\end{matrix}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow T\left(x\right)=-{\frac {1}{2}}{\frac {{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,}{k}}{{x}^{2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,}{k}}Lx={{L}^{2}}{\frac {{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,}{2k}}\left({\frac {x}{L}}\right)\left(1-{\frac {x}{L}}\right)\\&{{q}^{''}}=-k{\frac {dT}{dx}}={\overset {}{\mathop {{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,\left(x-{\frac {L}{2}}\right)} }}\,\\&{{q}^{''}}\left(x=0\right)=-k{\frac {dT}{dx}}\left(x=0\right)=-{\frac {1}{2}}{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,L\\&{{q}^{''}}\left(x=L\right)=-K{\frac {dT}{dx}}\left(x=L\right)={\frac {1}{2}}{\overset {\centerdot }{\mathop {q} }}\,L\\\end{aligned}}$

اکنون می خواهیم شار روی دیواره ها را با توجه به تقارن مساله از روش دیگری به دست آوریم. برای این کار کل دو صفحه را حجم کنترل می گیریم و معادله ی انرژی را برای آن می نویسیم:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}}={\overset {.}{\mathop {{E}_{in}} }}\,-{\overset {.}{\mathop {{E}_{out}} }}\,+{\overset {.}{\mathop {{E}_{gen}} }}\,\\&{\frac {\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}}=0\\&{\overset {.}{\mathop {{E}_{in}} }}\,=0{\begin{matrix}{\begin{matrix},&{\overset {.}{\mathop {{E}_{gen}} }}\,={\overset {.}{\mathop {q} }}\,{{A}_{c}}L&,&{\overset {.}{\mathop {{E}_{out}} }}\,=2{{q}^{''}}{{A}_{c}}\\\end{matrix}}&\Rightarrow &{}\\\end{matrix}}\\&-2{{q}^{''}}{{A}_{c}}+{\overset {.}{\mathop {q} }}\,{{A}_{c}}L=0{\begin{matrix}{}&\Rightarrow &{{q}^{''}}\\\end{matrix}}={\frac {1}{2}}L{\overset {.}{\mathop {q} }}\,\\\end{aligned}}$

همچنین می توان نشان داد که مطابق شکل زیر، ماکزیمم دما در بین دو صفحه ( در فاصله ی L/2 ) است؛ که مقدار آن به صورت زیر محاسبه می شود:

${\begin{aligned}&{\frac {dT}{dx}}=0{\begin{matrix}{}&\Rightarrow &{\begin{matrix}{\frac {{\overset {.}{\mathop {q} }}\,}{2k}}(-2x+L)=0&\Rightarrow &x={\frac {L}{2}}\\\end{matrix}}\\\end{matrix}}\\&{{T}_{\max }}=T(x={\frac {L}{2}})={\frac {{\overset {.}{\mathop {q{{L}^{2}}} }}\,}{8K}}\\\end{aligned}}$