ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/مکانیک سیالات/حرکت شتاب ثابت

حرکت سیال مثل جسم صلب(solid body motion)

شکل روبرو یک سیال را نشان می‌دهد که سطح آزاد ان منحرف شده است. به تمام ذرات سیال نیروهایی مانند شکل نشان داده شده وارد می‌شود که برآیند این نیروها را محاسبه و حرکت سیال با شتاب ثابت بررسی می‌کنیم.

حرکت سیال مانند جسم صلب

$dm=\rho \times dx\times dy\times b$

$\sum \limits _{}^{}{{{f}_{x}}=dm\times {a}}$

$\sum \limits _{}^{}{{{f}_{y}}=0}$

حال با گرفتن المان و نوشتن قوانین نیوتن داریم:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{}^{}{{\overrightarrow {df}}=dm\times {\overrightarrow {a}}}=(p{{\parallel }_{x}}-p{{\parallel }_{x+dx}})\times dy\times b=\rho \times dx\times dy\times b\times a\to {\frac {\partial p}{\partial x}}=-\rho \times a\\&\sum \limits _{}^{}{{\overrightarrow {df}}=dm\times {\overrightarrow {a}}}=(p{{\parallel }_{y}}-p{{\parallel }_{y+dy}})\times dx\times b=\rho \times dx\times dy\times b\times g\to {\frac {\partial p}{\partial y}}=-\rho \times g\\\end{aligned}}$

می‌خواهیم فرمولها را به صورت برداری بنویسیم میاییم به صورت گرادیان می‌نویسیم:

${\overrightarrow {\nabla }}P={\frac {\partial p}{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial p}{\partial y}}{\overrightarrow {j}}=\rho ({\overrightarrow {g}}-{\overrightarrow {a}})$

${\frac {\partial p}{\partial x}}=\rho {({g}_{x}-{a}_{x})}$

${\frac {\partial p}{\partial y}}=\rho {({g}_{y}-{a}_{y})}$

حالا می‌خواهیم رابطه تغییرات فشار را بدست می‌آوریم پس نقطه انتخاب می‌کنیم سپس با حل معادلات بدست می‌آوریم:

${\begin{aligned}&p(x,y)=\int {\rho }\times {({g}_{x}-{a}_{x})}\times dx=\rho \times {({g}_{x}-{a}_{x})}\times x+f(y)\\&{\frac {\partial p}{\partial y}}=\rho ({{g}_{y}-{a}_{y}})={{f}^{/}}(y)\to f(y)=\rho ({{g}_{y}-{a}_{y}})\times y+c\\&p(x,y)=\rho (({{g}_{x}-{a}_{x}})\times x+({{g}_{y}-{a}_{y}})\times y)+c\\&p({{x}_{0}},{{y}_{0}})={{p}_{0}}\\&p(x,y)={{p}_{0}}+\rho (({{g}_{x}-{a}_{x}})\times (x-{{x}_{0}})+({{g}_{y}-{a}_{y}})\times (y-{{y}_{0}}))\\\end{aligned}}$

این رابطه نشان می‌دهد اگر برآیندهای g,-a را بگیریم این بردار موازی گرادیان فشار است. یعنی در این راستا بیشترین افزایش فشار را داریم و در راستای عمود بر آن فشار ثابت است یعنی گرادیان فشار صفر است.

جریان سیال

۱) گذرا–دایمی

زمانی که تمام مشخصات سیال در طول زمان ثابت می‌ماند آن را دایمی می‌نامیم. به عنوان مثال یک توپ را فرض کنید که در یک سیال در حال حرکت است. اگر دستگاه مختصات را روی توپ در نظر بگیریم این حالت یک جریان دایمی است ولی اگر دستگاه را در این خارج از توپ در نظر بگیریم، در این حالت یک جریان گذرا داریم.

۲) لزج و غیر لزج

جریان لزج می‌تواند دو نوع لایه‌ای و آشفته باشد. با ذکر این نکته که تمام سیال‌ها دارای لزجت هستند.

۳) تراکم‌پذیر و تراکم‌ناپذیر

همهٔ سیال‌ها تراکم پذیر هستند. بعضی بیش تر و بعضی کمتر؛ ولی در جریان‌ها اگر تغییرات چگالی کمتر از ۰٫۰۱ باشد جریان تراکم پذیر است و اگر بیش تر از این مقدار باشد تراکم ناپذیر است.

دو رویکرد در مورد سیال وجود دارد. در حالت لاگرانژی یک ذره را در نظر گرفته و آن را دنبال می‌کنیم ولی در حالت اویلری مکان یک ذره را در نظر گرفته و ذره‌هایی که در آن مکان قرار می‌گیرند را بررسی می‌کنیم.

 ${\begin{aligned}&\mathop {a} _{x}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\\&\mathop {a} _{y}={\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}\\&\mathop {a} _{z}={\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}\\\end{aligned}}$

مثال - فرض کنید x=2 , t=۱ ,تابع u=2x+t و v=xt، مقدار شتاب در راستای x و y را بیابید.

 ${\begin{aligned}&{\frac {\partial u}{\partial x}}=2\And {\frac {\partial u}{\partial t}}=1\And {\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial z}}=0\\&\mathop {a} _{x}=1+2(2x+t)=4x+2t+1=11\Rightarrow \mathop {a} _{x}=11\\&{\frac {\partial v}{\partial t}}=x\And {\frac {\partial v}{\partial x}}=t\And {\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial z}}=0\\&\mathop {a} _{y}=x+(2x+t)t={{t}^{2}}+2xt+x=7\Rightarrow \mathop {a} _{y}=7\\\end{aligned}}$

برای تجسم جریان‌ها می‌توان از دو الگوی جریان استفاده کرد:

خط جریان: خطی که در یک لحظهٔ مشخص، در همه جا مماس بر بردار سرعت است.

خط مسیر: مسیر واقعی ای که یک ذره سیال مشخص می‌پیماید.

در مکانیک سیالات متداول ترین نتیجهٔ ریاضی که برای تجسم به کار برده می‌شود، الگوی خط جریان است.

بنابر این برای یک بردار سرعت اختیاری معادلهٔ خط جریان بدین صورت است.

${\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}}={\frac {dz}{w}}={\frac {dr}{v}}$

خط مسیر یا جابجایی یک ذره با انتگرال‌گیری از مولفه‌های سرعت تعیین می‌شود. با معلوم بودن بردار توزیع سرعت بر حسب مکان و زمان می‌توان انتگرال‌گیری را شروع کرد.

 ${\begin{aligned}&x=\int {udt}\\&y=\int {vdt}\\&z=\int {wdt}\\\end{aligned}}$

مثال - با فرض اینکه u=kx و v=-ky که در آن k مقدار ثابتی می‌باشد، خط مسیر را بیابید.

 ${\begin{aligned}&{\frac {dx}{kx}}={\frac {dy}{-ky}}\Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=-\int {\frac {dy}{y}}\Rightarrow Lnx=-Lny+Lnc\\&Lnx+Lny=c\Rightarrow xy=c\\&\\\end{aligned}}$

بنابراین کلی ترین رابطهٔ خطوط جریان یک هذلولی است.

مثال ۱

ظرفی استوانه‌ای شکل به قطر lو ارتفاعh داریم ودرون ظرف اب تا ارتفاع 1/2H است. حال ان را با شتاب a به سمت راست حرکت می‌دهیم

الف) حداکثر a چقدر باشد تا آب از ظرف بیرون نریزد؟

ب) فشار نقاط A و B را بیابید؟ h=۱ و l=۲ برای یافتن فشار نقاط مورد نظر باید ابتدا باید نقطه‌ای را بیابیم که فشار آن معلوم باشد و فشار نقاط را نسبت به آن می‌سنجیم.

${\begin{aligned}&\tan(\alpha )={\frac {a}{g}}\to \tan(\alpha )={\frac {1}{3}}={\frac {a}{g}}\to a={\frac {g}{3}}m/s^{2}\\&A(0,0)\\&c(0,1)\\&B(2,0)\\&p(c)=0\\&p(0,0)={{10}^{4}}pa\\&p(2,0)={\frac {{10}^{4}}{3}}pa\\\end{aligned}}$

مثال ۲

اگر ظرف حاوی سیالی را حول محور اصلی ظرف با سرعت زاویه‌ای ثابت دوران دهیم فشار در نقاط مختلف سیال را به صورت پارامتری بدست آورید.

پاسخ

برای یک سیال شتابدارداریم:

${\overrightarrow {\nabla }}P={\frac {\partial p}{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial p}{\partial y}}{\overrightarrow {j}}=\rho ({\overrightarrow {g}}-{\overrightarrow {a}})$

حال به جای x باید r و به جای y باید z را قرار داد زیرا نام محورها تغییر کرده است:

${\frac {\partial p}{\partial r}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial p}{\partial z}}{\overrightarrow {j}}=\rho ({\overrightarrow {g}}-{\overrightarrow {a}})$

در راستای z طبق فرض مسئله به جز g هیچ گونه شتابی نداریم پس به جای a در رابطهٔ (گرادیان فشار) مقدار صفر را قرار می‌دهیم حال اگر سیستم ما دارای سرعت زاویه‌ای باشد داریم:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial p}{\partial z}}=\rho (-g-{{a}_{y}})\\&{\frac {\partial p}{\partial z}}=\rho (-g-0)=-\rho g\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho (0-{{a}_{x}})\\&and:{{a}_{x}}=-r{{\omega }^{2}}\\\end{aligned}}$

علامت منفی در رابطه بالا به خاطر این است که نیروی مرکز گرا به سمت داخل ودر نتیجه در خلاف جهت مثبت محور r است.

${\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho r{{\omega }^{2}}$

با انتگرال گیری از رابطهٔ قبل به مقدار رو برو می‌رسیم و از آنجایی که نسبت به r انتگرال گرفتیم پس ثابت انتگرال برحسب z خواهد بود چرا که اگر دوباره از رابطهٔ $p(r,z)$ نسبت به rمشتق بگیریم $f(z)$ همانند عدد ثابت خواهد بود و در نتیجه صفر خواهد شد (می‌دانیم انتگرال عمل عکس مشتق است!)

$p(z,r)={\frac {1}{2}}\rho {{r}^{2}}{{\omega }^{2}}+f(z)$

حال نسبت به z از دو طرف مشتق می‌گیریم. این بار دیگر $f(z)$ عدد ثابت نیست.

${\frac {\partial p}{\partial z}}=0+{\frac {df(z)}{dz}}=-\rho g$

${\frac {df(z)}{dz}}=-\rho g$

حال دوباره انتگرال می‌گیریم اما این بار نسبت به z

$\int {\frac {df(z)}{dz}}dz=\int {-\rho gdz}$

$f(z)=-\rho gz+c$

با داشتن مقدار $p({{r}_{0}},{{z}_{0}})$ مقدار c را خواهیم یافت که برابر است با p0 یعنی (فشار هوا)

$p(r,z)={\frac {1}{2}}\rho {{r}^{2}}{{\omega }^{2}}-\rho gz+c$

و در نتیجه رابطهٔ کلی به صورت زیر به دست می‌آید:

$p(r,z)={{p}_{0}}+\rho \left[{\frac {{\omega }^{2}}{2}}({{r}^{2}}-{{r}_{0}}^{2})-g(z-{{z}_{0}})\right]$

مثال ۳

در لولهٔ نشان داده شده مطلوب است:

۱) ماکزیمم سرعت زاویه‌ای تا آب سر ریز شود؟

۲) در همین حالت فشار نقاط A و B را بیابید

۳) ارتفاع آب درون لوله رازمانی که سرعت زاویه‌ای به نصف ماکزیمم مقدار خود برسد؟ $\omega ={\frac {{\omega }_{\max }}{2}}$

پاسخ ۱):

برای این که اب سر ریز شود باید آب در لولهٔ سمت راست به اندازهٔ نیم متر بالا برود در نتیجه در لولهٔ سمت چپ نیز باید آب لوله نیم متر پایین برود که اب در لولهٔ سمت چپ به نقطهٔ A و در لولهٔ سمت راست به C می‌رسد.

در این حالت فشار نقاط A و C برابر است با فشار هوا و مقدار نسبی آنها (gage pressure) برابر است با صفر.

${\begin{aligned}&p(r,z)={{p}_{0}}+\rho \left[{\frac {{\omega }^{2}}{2}}({{r}^{2}}-{{r}_{0}}^{2})-g(z-{{z}_{0}})\right]\\&A(0,0),B(0.5,0),C(0.5,1)\\&{{P}_{C}}={{P}_{A}}=0\\&P(0.5,1)=0+1000\times ({\frac {{\omega }^{2}}{2}}({{0.5}^{2}}-0)-g(1-0))=0\to {{\omega }^{2}}={\frac {g}{0.125}}rad/s\\\end{aligned}}$

پاسخ ۲): فشار نقطهٔ B وفشار نقطهٔ A بر خلاف ان چه به نظر می‌رسد با هم برابر نیستند و می‌توان مقدار فشار B را از رابطهٔ اثبات شده در مثال ۲ به صورت زیر بدست آورد.

${{p}_{B}}=0+1000\times \left[{\frac {10}{125\times 2}}({{0.5}^{2}}-0)-10(0-0)\right]\to {{p}_{B}}=10kpa$

پاسخ ۳): در اینجا نیز فشار نقاط D و E هر دو برابر با فشار هوا هستند و فشار نسبی صفر خواهد بود.

${\begin{aligned}&{{p}_{E}}={{p}_{D}}\\&\rho \left[{\frac {{\omega }^{2}}{2}}(r_{E}^{2}-r_{D}^{2})-g\underbrace {({{z}_{E}}-{{z}_{D}})} _{2h}\right]=0\\&h={\frac {{{\omega }^{2}}{{l}^{2}}}{4y}}={\frac {1}{8}}m\\\end{aligned}}$

مثال ۴

مانومترسه شاخه‌ای نشان داده شده تا ارتفاع 40cmاز اب پر شده است. همه شاخه‌ها از لحاظ طول و قطر یکسان می‌باشد. اگر سیستم حول شاخهٔ وسطی با سرعت زاویه‌ای به چرخش در می آید.

الف}فرمولی برای تغییر ارتفاع در شاخه‌ها بیابید.

ب}اگر سرعت زاویه‌ای ۲۴۰ دور بر دقیقه باشد ارتفاع هر شاخه رابیابید.

حل:با فرض اینکه شاخه وسطی اب مورد نیاز چهار شاخهٔ بیرونی را تامین کند

در اثر چرخش ارتفاع در شاخه‌های بیرونی زیاد می‌شود که افزایش هر یک از شاخه نصف کاهش ارتفاع در شاخه وسطی است.

یعنی اگر شاخه‌های بیرونی هر کدام به اندازه һ بالا روند شاخه وسطی به اندازه $2h$ پایین می آید.(علت امر فوق تقارن جسم می‌باشد) حال بین دو نقطه ۱و۲ معادله حرکت سیال به مثابه جسم صلب را می‌نویسیم.

^{شکست در تجزیه (تابع ناشناختهٔ '\begin{align}'): {\displaystyle \begin{align} & {{p}_{1}}={{p}_{2}}-\rho g({{z}_{1}}-{{z}_{2}})+0.5\rho {{\omega }^{2}}(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}) \\ & {{p}_{1}}={{p}_{2}}={{p}_{0}} \\ & {{z}_{2}}=۰ \\ & {{z}_{1}}=3h \\ & {{r}_{1}}=۰ \\ & {{r}_{2}}=r \\ & {{p}_{0}}={{p}_{0}}-\rho g(3h)+0.5\rho {{\omega }^{2}}(0-{{r}^{2}}) \\ & h=\frac{{{\omega }^{2}}{{r}^{2}}}{6g} \\ & \\ \end{align}}}

حل قسمت دوم سوال:

$h={\frac {{{\omega }^{2}}{{r}^{2}}}{6g}}={{(240\times 2\pi /60)}^{2}}~/60=10.73m$

---

مثال ۵

شکل زیر را در نظر بگیرید.

الف) مقدار h ارتفاع را بدست آورید.

ب) سرعت زاویه‌ای را در حالت بیشینه بدست آورید.

ج) حداقل مقدارسرعت زاویه‌ای تا کف ظرف خشک شود.

د) در این حالت چقدر آب بیرون می‌ریزد.

H0=20cm H=30cm D=10cm ω=10rpm

حل:برای حل سوال فوق ابتدا حجم سهمی $z=a{{r}^{2}}$ را در نظر بگیریم.

${\begin{aligned}&v=\int {\pi {{r}^{2}}}dz\\&z=a{{r}^{2}}\to {{r}^{2}}={\frac {z}{a}}\\&v=\int \limits _{0}^{z}{\pi {\frac {z}{a}}}dz={\frac {\pi {{z}^{2}}}{2a}}\\&a={\frac {{\omega }^{2}}{2g}}\to v={\frac {\pi {{z}^{2}}}{g{{\omega }^{2}}}}\\\end{aligned}}$

معادله توزیع فشار برای حرکت دورانی صلب گونه بین نقاط B و A می‌نویسیم.

${\begin{aligned}&p({{r}_{2}},{{z}_{2}})=p({{r}_{1}},{{z}_{1}})+0.5\rho {{\omega }^{2}}(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})-\rho g({{z}_{2}}-{{z}_{1}})\\&B(D/2,{{H}_{0}}+h)\\&A(0,{{Z}_{0}})\\&{{P}_{0}}={{P}_{0}}+0.5\rho {{\omega }^{2}}({\frac {{D}^{2}}{4}}-0)-\rho g({{H}_{0}}+h-{{z}_{0}})\\&{{Z}_{1}}={{H}_{0}}+h-{{z}_{0}}={\frac {{{\omega }^{2}}{{r}^{2}}}{2g}}\\\end{aligned}}$

با فرض اینکه هیچ آبی از ظرف خارج نشود و بیرون نریزد، داریم که حجم آب در حالت اولیه با حجم آب در حالت ثانویه (بعد از دوران) برابر است.

${\begin{aligned}&{{v}_{0}}={{v}_{1}}\\&{\frac {{{D}^{2}}{{H}_{0}}}{4}}={\frac {({{H}_{0}}+h){{D}^{2}}}{4}}-{{\left({\frac {{{\omega }^{2}}{{D}^{2}}}{8g}}\right)}^{2}}{\frac {\pi g}{{\omega }^{2}}}\\&h={\frac {{{\omega }^{2}}{{D}^{2}}\pi }{16g}}=0.215mm\\\end{aligned}}$

حل ب: اگر محور چرخش همان محور استوانه باشد انگه ارتفاع بالا رفتن و پایین آمدن مایع یکسان می‌باشد (چون شکل {استوانه} حول محور چرخش متقارن است حجم اب پایین آمده با حجم اب بالا رفته برابر است)

پس اگر سطح مایع به نقطه Dبرسد (10cmبالا رفته) مایع در راستای محور چرخش 10cm پایین آمده و به نقطه E می‌رسد.

${\begin{aligned}&E(0,10)\\&D({\frac {D}{2}},H)\\&{{P}_{D}}={{P}_{E}}+0.5\rho {{\omega }^{2}}({\frac {{D}^{2}}{4}})-\rho g({\frac {2}{3H}})\\&{{\omega }^{2}}={\frac {16gH}{3{{D}^{2}}}}\\&{{\omega }_{\max }}={\frac {40rad}{s}}\\\end{aligned}}$

حل پ :می‌دانیم حداقل مقدار $\omega$ برای اینکه کف ظرف خشک شود زمانی است که کف ظرف یکدفعه شروع به نمایان شدن شود. برای پیدا کردن حداقل مقدار ω که کف ظرف خشک شود دو نقطه D F را در نظر گرفته، و معادله توزیع فشار برای دوران صلب گونه را در نقاط مذکور وارد می‌کنیم.

${\begin{aligned}&D({\frac {D}{2}},H)\\&E(0,0)\\&P({{r}_{2}},{{z}_{2}})=P({{r}_{1}},{{z}_{1}})+0.5\rho {{\omega }^{2}}(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})-\rho g({{z}_{2}}-{{z}_{1}})\\&{{p}_{0}}={{p}_{0}}+0.5\rho {{\omega }^{2}}(0-{\frac {{D}^{2}}{4}})-\rho g(0-H)\\&{{\omega }^{2}}={\frac {8gH}{{D}^{2}}}\\&\omega =50{\frac {rad}{s}}\\\end{aligned}}$

حل ت) می‌دانیم که حجم اب بیرون ریخته در حالت مذکور برابر است با حجم اولیه آب (قبل از دوران) منهای حجم اب داخل استوانه که با سرعت زاویه‌ای معلوم $\omega$ در حال دوران حول محور مرکزی استوانه (حجم سهمی به ارتفاع $H$ می‌باشد.

${\begin{aligned}&{{v}_{2}}={{V}_{cylindrical}}-{{v}_{1}}={\frac {\pi {{D}^{2}}H}{4}}-{\frac {\pi z_{1}^{2}}{\frac {{\omega }^{2}}{g}}}\\&{{z}_{1}}=H\\&{{\omega }^{2}}={\frac {8gH}{{D}^{2}}}\\&{{V}_{2}}={\frac {\pi {{D}^{2}}H}{8}}\\&{{V}_{0}}={\frac {\pi {{D}^{2}}{{H}_{0}}}{4}}\\&{{V}_{watterREL}}={{v}_{0}}-{{v}_{2}}={\frac {\pi {{D}^{2}}{{H}_{0}}}{4}}-{\frac {\pi {{D}^{2}}H}{8}}=0.392\times {{10}^{-3}}{{m}^{3}}\\&\\\end{aligned}}$