دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/نشاندن فرش در اتاق
راوی: امیر فراز فاضلیفر
راجع به این موضوع در ۲ جلسه صحبت شد: یکشنبه، ۲۵ مهر ۱۴۰۳ و سه شنبه، ۲۷ مهر ۱۴۰۳
گزارشی از مطالب کلاس
[ویرایش]در این مساله، ما یک اتاق مستطیل شکل، به طول و عرض a و b داریم. می خواهیم ببینیم جه فرش های مستطیل شکلی (با طول c و عرض d) در آن جا می شوند. به عبارتی به دنبال شرط لازم و کافی هستیم برای ویژگی هایی که فرش باید نسبت به اتاق داشته باشد تا در آن جا بشود.
چیزی که در ابتدا و بدیهی به نظر می رسد این است که a > c و b > d. ولی فرش هایی وجود دارند که طول آنها بیشتر از طول اتاق باشد. مثلا فرشی که به طور اریب پهن شده باشد. می توان به راحتی به این نتیجه رسید که باید بزرگترین پاره خط داخل اتاق (قطر) بیشتر از بزرگترین پاره خط داخل فرش باشد. گرچه با مثال نقض می توان دید که اگرچه این شرط لازم است ولی کافی نیست.
نکته دیگری که در ابتدا به ذهنمان می رسد، این است که مساحت فرش باید کم تر از مساحت اتاق باشد. درست است که این یک شرط لازم است، ولی به سادگی می توان دید که کافی نیست. مثلا یک فرش با عرض بسیار کم ولی طول بیشتر از طول اتاق.
می توان این دو شرط را با هم ترکیب کرد:
ab > cd (I
a2 + b2 > c2 + d2 (II
با جمع و تفریق عبارت های بالا و استفاده از اتحاد مربع، می رسیم به:
a + b > c + d
ولی آیا این شرط لازم و کافی است؟
روش چاق کردن:
فرض کنید فرشی در اتاقی جا شده باشد. بدیهی است که اگر اتاق و فرش را به یک اندازه مثلا r چاق کنیم (از هر سمت به اندازه r از داخل فرش دور شویم) آنگاه فرش چاق شده در اتاق چاق شده قرار می گیرد. حال بیایید مساحت فرش و اتاق جدید را حساب کنیم:
ab + 2ar + 2br + πr2 > cd + 2cr + 2dr + πr2
می دانیم r یک عدد مثبت است. حال اگر ∞ → r نابرابری بالا تنها در صورتی درست است که ضریب پیشرو سمت چپ بیشتر باشد. که با توجه به این موضوع در می یابیم که شرط a + b > c + d نیز باید برقرار باشد. به عبارتی، فرشی با محیط بیشتر نمی تواند در اتاقی با محیط کم تر جا شود.
مطالب تکمیلی
[ویرایش]اصل این مساله در المپیاد ریاضی به صورت قرارگیری چمدانی مکعب مستطیل شکل در چمدانی دیگر آمده. به کمک همین روش چاق کردن می توان به نتیجه ای مشابه رسید: مجموع اضلاع چمدان کوچکتر باید کمتر از مجموع اضلاع چمدان بزرگتر باشد.
مطالعه بیشتر
[ویرایش]این سوال طبق گفته استاد در یکی از المپیاد های ریاضی شوروی بوده، ولی نتوانستم پیداش کنم.