دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/گنجاندن اشکال سه بعدی در هم
 | این کتاب هماکنون در دست ویرایش است.
این برچسب برای جلوگیری از تعارض ویرایشی، اینجا گذاشته شدهاست. اگر این نوشته را پس از تاریخ ۲۵ مارچ ۲۰۲۵ مشاهده میکنید و یا چند روز است که هیچ ویرایشی در این مقاله ندیدهاید، میتوانید برچسب را بردارید. در غیر این صورت، خواهشمندیم که شکیبایی پیشه کنید و تغییری در مقاله ندهید. همچنین میتوانید نام کسی که این برچسب را اینجا زده در تاریخچهٔ ویرایشهای این صفحه پیدا کنید و اگر مایل بودید با او تماس بگیرید. |
راوی: سیده بهنوش جعفری
راجع به این موضوع دریک جلسه صحبت شد: سهشنبه، ۲۷ مهر ۱۴۰۳
گزارشی از مطالب کلاس
[ویرایش]موضوع بحث را با توضیح یک قانون در شوروی شروع میکنیم.
قانون چمدانها در شوروی
[ویرایش]در شوروی اعلام شد که برای سوار شدن در قطار مجاز هستید تنها چمدانهایی را با خود حمل کنید که مجموع طول و عرض و ارتفاع آنها از ۱ متر تجاوز نکند. یعنی اگر x ، y، z به ترتیب طول،عرض و ارتفاع چمدان مستطیل شکل شما باشد داریم:
x+y+z ≤ 1.
چمدانی که در این شرط صدق کند را چمدان مجاز و اگر صدق نکند آنرا چمدان غیرمجاز مینامیم.
مسئله
[ویرایش]آیا میتوان یک چمدان غیر مجاز را در یک چمدان مجاز گنجاند؟
این سوالی بود که در یکی از المپیادهای ریاضی مطرح شد. برای بررسی این مسئله ابتدا شرایط مسئله را مورد بررسی قرار میدهیم.
حالت اول: چمدانها نچرخند
[ویرایش]این حالت بسیار جوابدهی مسئله را راحت میکند. چرا که طول چمدان غیرمجاز باید در طول چمدان مجاز و عرض چمدان غیرمجاز در عرض چمدان مجاز و همچنین ارتفاع چمدان در ارتفاع چمدان بزرگتر باید گنجانده شود.
در این حالت واضحاً باید طول، عرض، ارتفاع چمدان دومی به ترتیب از طول، عرض وارتفاع چمدان اول کمتر باشد.
به راحتی نتیجه میشود که: x2+y2+z2 ≤ x1+y1+z1.
که در آن اندیسهای ۱ مربوط به چمدان مجاز و اندیس ۲ مربوط به چمدان غیر مجاز است.
از رابطهٔ بالا نتیجه میشود که:
x2+y2+z2 ≤ ۱.
که این در تناقض با غیرمجاز بودن چمدان دوم است.
حالت دوم: چمدان دوم محدودیتی در چینش نداشته باشد
[ویرایش]در این حالت دیگر نمیتوان مقایسهای برای اضلاع در نظر گرفت. چراکه میتوان چمدان را چرخاند. دیگر نیاز نیست حتماً طول چمدان ۲ از طول چمدان ۱ کوچکتر باشد. برای مثال میتوان طول چمدان را در قطر داخلی چمدان اول گنجاند.
در این حالت چه میتوان گفت؟ چطور باید مطمئن شد که این اشکال سه بعدی میتوانند در هم گنجانده بشوند یا خیر؟
راه حل نرمافزاری
[ویرایش]با استفاده از کامپیوترها و نرمافزارها میتوان چمدانهای مجاز و غیرمجاز رندومی انتخاب کرد و این شرط را با استفاده از آنها چک کرد که آیا همچین چمدانی پیدا میشود یا خیر.
جواب این سوال خیر است. هیچ چمدان غیرمجازی در یک چمدان مجاز جا نمیگیرد.
با افزایش تعداد انتخابها به سمت بیشمار میتوان گفت که پاسخ منفی کاپیوتر میتواند جواب درستی باشد. اما نمیتوان مطمئن بود. این روش یک روش جستوجو محور است نه یک روش اثباتی. ما در صدد این هستیم که از روشهای اثباتی به جواب برسیم.
مشکلات بستهبندی
[ویرایش]با یک سرچ ساده میتوان فهمید که مشکل عمیقتری که پشت قانون چمدان هاست چیزی است به اسم packing problems یا همان مشکلات بسته بندی محصولات.
اینکه چطور میتوان اجسام مختلف را بستهبندی کردو برایشان جعبه طراحی کرد.به طوری که بهینه باشد و چطور میتوان آن بسته هارا در کامیون حمل و نقل چید که بیشترین تعداد در آن جا بشود.
این مسئله برای احسام مختلف متفاوت است. برای مثال بستهبندی اجسامی شکننده مثل گلدان شیشهای یا اجسامی منعطفتر مثل پارچه. اشکالی منظم مثل مربع یا اشکالی نامنظم و انتزاعی.
میخواهیم بررسی کنیم چطور میتوان مطمئن بود که جسم ما در بستهاش جا میشود وطراحی بستهی ما بهینه است.
گنجانده شدن
[ویرایش]ابتدا باید روشن کنیم که تعریف ما از گنجانده شدن یک جسم چیست. ما چه وقت میگوییم که یک جسم در جسم دیگر گنجانده شده است؟ در اینجا منظور این است که یک جسمی جسم دیگری را در بر گرفته است. در این تعریف میتوان گفت که حجم شکل دوم مشخصا از حجم شکل اول کمتر است.
بهینهسازی گنجاندن
[ویرایش]بهینهسازی اینجا به منطور این است که بزرگترین چمدانی که مجموع اضلاعش از یک متر بیشتر است و در یک چمدان مجاز جا میشود را پیدا کنیم. به منظور این کار میخواهیم از یک روش به اسم چاق کردن اشکال دو بعدی استفاده کنیم.
چاق کردن اشکال دوبعدی
[ویرایش]چاق کردن یک شکل دوبعدی یعنی تبدیل یک شکل دوبعدی به یک جسم سهبعدی با افزودن ضخامت یا بعد سوم به آن. این فرآیند میتواند به دو صورت انجام شود:
• افزودن ضخامت ثابت: هر نقطه از شکل دوبعدی در راستای محور سوم (مثلاً z) یک مقدار ثابت جابهجا شود.
• افزودن ضخامت متغیر: ضخامت در نقاط مختلف شکل دوبعدی متغیر باشد (بهعنوان تابعی از مختصات).
برای مثال میتوان دایره را به استوانه یا کره و مربع را به مکعب یا مکعب مستطیل چاق کرد.
راجع به اشکال پیچیدهتر چه میتوان گفت؟ برای مثال مثلث و چندضلعیها.
(این مقاله در دست نوشتن است و مطالب ان کامل نیست و بهروزرسانی میشود.
مطالعه بیشتر
[ویرایش]اگر کتاب، مقاله یا صفحه اینترنتی مربوطی وجود دارد اینجا معرفی کنید.