نگاهی به ریاضیات پیشرفته/آزمون دینی

در ریاضیات، آزمون دینی آزمونی است برای تعیین همگرایی نقطه ای یک سری فوریه. این آزمون نخستین بار بوسیله ریاضیدان ایتالیایی اولیسه دینی در سال ۱۸۸۰ معرفی شد.

گزاره

فرض کنید $f$ یک تابع موضعا انتگرالپذیر متناوب و $x\in \mathbb {R}$ باشد. اگر عددی حقیقی همچون $S$ و یک $\delta >0$ موجود باشد که $\int _{0}^{\delta }|f(x+u)+f(x-u)-2S|{\frac {du}{u}}<\infty$، آنگاه سری فوریه $f$ در نقطه $x$ به $S$ همگرا خواهد بود.

آزمون دینی به یک معنا در قویترین حالت ممکن است: اگر $\omega :(0,\infty )\to (0,\infty )$ تابعی متناوب باشد که ${\frac {\omega (t)}{t}}$ در نقطه $0$ موضعا انتگرالپذیر نباشد، آنگاه تابع $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ با تناوب $2\pi$ موجود است که $|f(t)-f(0)|<\omega (t)$ برای هر $t$ ولی سری فوریه $f$ در $0$ واگراست.

منابع

ویکی‌پدیای فارسی