نگاهی به ریاضیات پیشرفته/معادله دیفرانسیل

در ریاضیات، معادله دیفرانسیل نوعی معادله ریاضی است که دارای یک (یا چند) تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتقات آن توابع (با ترتیبات مختلف) است. از این معادلات در مدلسازی ریاضی بسیاری از پدیده های طبیعی استفاده می شود. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست شناسی و نجوم) طبیعی ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می یابند. از جمله کاربردهای آن می توان به مدارهای الکتریکی، محدودیت سرعت،غلظت مواد شیمیایی و رشد جمعیت اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل نیز کاربردهای زیادی در هندسه و مهندسی و بسیاری از زمینه های دیگر دارند. هر گاه میزان تغییر یک (یا چند) تابع با خود یا متغیرهای آن رابطه داشته باشد، آن پدیده با یک معادله دیفرانسیل مدل می شود. به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم به وسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و چندین نوع وارد بر جسم را می‌دهند. در چنین شرایطی می‌توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادلهٔ دیفرانسیلی که در آن مکان ناشناختهٔ جسمی از زمان است بیان کنیم.

پیدا کردن جواب

تابع انتگرال سینک به صورت $\operatorname {Si} (x)=\int {\sin(x) \over x}\operatorname {d} \!x$ تعریف می‌شود.

برای بسیاری از معادلات دیفرانسیل، ممکن است جوابی وجود نداشته باشد یا جوابشان یکتا نباشد. در صورتی که جواب یکتا وجود داشته باشد نیز، در اکثر مواقع اثبات می‌شود که جواب به صورت یک تابع مقدّماتی قابل بیان نیست.

به عنوان مثال، جواب معادلهٔ دیفرانسیل $y'={\sin(x) \over x}$ را تابع انتگرال سینوس می‌نامیم $y=\operatorname {Si} (x)$. با وجود این که این تابع یک تابع مقدّماتی نیست، همهٔ خصوصیات این تابع با کامپیوتر قابل محاسبه اند (که در این مورد با توابع مثلّثاتی و نمایی تفاوتی ندارد).

در حقیقت، تابع نمایی نیز به این صورت تعریف می‌شود: تابعی که در معادلهٔ دیفرانسیل $y'=y$ صدق کند را $\exp(x)$ می‌نامیم ($e^{x}=\exp(x)=y$). در نتیجه ریاضی‌دانان جواب معادلات دیفرانسیل پرکاربرد را نامگذاری می‌کنند. به عنوان مثالی دیگر می‌توان به توابع بسل اشاره کرد.

بنابرین، جواب اکثر معادلات دیفرانسیل خود یک تابع جدید است که با روش‌های عددی (تقریبی) و کامپیوتری (مانند روش‌های رونگه-کوتا) حل می‌شوند (از روش‌های دیگر عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد).

در صورتی که جواب یک معادله وجود داشته باشد و یکتا باشد و به صورت یک تابع مقدّماتی قابل بیان باشد، برای پیدا کردن آن از روش‌های حل تحلیلی استفاده می‌شود (تنها برای ساده‌ترین معادلات دیفرانسیل جواب صریح وجود دارد).

در این حالت نیز یک راه حل کلّی برای حل تمام معادلات دیفرانسیل (قابل حل تحلیلی) وجود ندارد. دلیل این موضوع می‌تواند این باشد که هنوز چنین راه حلّی کشف نشده باشد یا این که چنین راه حل کلّی وجود نداشته باشد. به همین دلیل این معادلات به چند دسته تقسیم می‌شوند که برای هر کدام راه حلّی کشف شده‌است.

بعضی از معادلات دیفرانسیل در هیچ‌کدام از این دسته‌ها نیز قرار نمی‌گیرند و راه حلّی (تحلیلی) برای آنها وجود ندارد. در این میان روش‌های نیمه‌تحلیلی نیز وجود دارد که از آنها می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل اشاره کرد.

در نتیجه، برای حل یک معادلهٔ دیفرانسیل ابتدا باید بررسی کنیم که آیا جواب یکتا برای آن وجود دارد یا خیر و سپس این که در چه شاخه‌ای قرار دارد. اگر برای شاخهٔ مورد نظر حل تحلیلی وجود داشت، از آن روش استفاده می‌کنیم و در غیر این صورت از روش‌های عددی استفاده می‌کنیم. مسلّماً اگر جواب عددی برایمان کافی باشد، می‌توانیم از همان ابتدا از روش عددی استفاده کنیم.

مقدار مسائل اولیه و حل مسائل کل

در حل مسائل کلّی به ثابت انتگرال برمی‌خوریم. به عنوان مثال:

$y'=1\Longrightarrow y=\int 1\operatorname {d} \!x+c=x+c$

به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع $x+c$ (به ازای هر $c$) باشد. به عبارتی دیگر تابع $y$ ممکن است $y=x+1$ یا $y=x+2$ یا موارد مشابه باشد.

در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ $y$ را بدانیم، می‌توان آن را به صورت دقیق پیدا کرد. در مثال قبلی، اگر بدانیم $y(1)=2$ از این موضوع نتیجه می‌گیریم:

$y(x)=x+c\Longrightarrow y(1)=1+c=2\Longrightarrow c=1\Longrightarrow y(x)=x+1$

به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم ($y'$) برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته$y(1)=2$، از روش مذکور برای پیدا کردن معادلهٔ مکان-زمان استفاده می‌کنیم.

منابع

ویکی پدیای فارسی