نگاهی به ریاضیات پیشرفته/گشتی در دنیای هندسه/هندسه دیفرانسیل

هندسه دیفرانسیل یک رشته ریاضی است که به بررسی هندسه اشکال صاف و فضاهای صاف می پردازد که در غیر این صورت منیفولدهای صاف نامیده می شوند. از تکنیک های حساب دیفرانسیل، حساب انتگرال، جبر خطی و جبر چند خطی استفاده می کند. این رشته ریشه در مطالعه هندسه کروی از دوران باستان دارد. همچنین به نجوم، ژئودزی زمین و بعدها مطالعه هندسه هذلولی توسط لوباچفسکی مربوط می شود. ساده‌ترین نمونه‌های فضاهای صاف، منحنی‌ها و سطوح صفحه و فضا در فضای سه‌بعدی اقلیدسی هستند و مطالعه این اشکال مبنای توسعه هندسه دیفرانسیل مدرن در طول قرن‌های 18 و 19 بود. یک مثلث غوطه ور در یک صفحه زینی شکل (یک سهمی هذلولی)، و همچنین دو خط فوق موازی واگرا. از اواخر قرن نوزدهم، هندسه دیفرانسیل به حوزه ای تبدیل شده است که به طور کلی به ساختارهای هندسی روی منیفولدهای قابل تمایز مربوط می شود. ساختار هندسی ساختاری است که مفهومی از اندازه، فاصله، شکل، حجم یا دیگر ساختارهای سفت و سخت را تعریف می کند. به عنوان مثال، در هندسه ریمانی فواصل و زوایا مشخص می‌شوند، در هندسه سمپلتیک ممکن است حجم‌ها محاسبه شود، در هندسه هم‌شکل فقط زاویه‌ها مشخص می‌شوند، و در نظریه گیج، میدان‌های خاصی بر روی فضا داده می‌شود. هندسه دیفرانسیل ارتباط نزدیکی با توپولوژی دیفرانسیل دارد و گاهی اوقات آن را شامل می شود، که به ویژگی های منیفولدهای متمایزپذیر مربوط می شود که به هیچ ساختار هندسی اضافی متکی نیستند (برای بحث بیشتر در مورد تمایز بین این دو موضوع به آن مقاله مراجعه کنید). هندسه دیفرانسیل نیز به جنبه های هندسی نظریه معادلات دیفرانسیل مربوط می شود که به آن تحلیل هندسی نیز گفته می شود. هندسه دیفرانسیل در سراسر ریاضیات و علوم طبیعی کاربرد دارد. زبان هندسه دیفرانسیل بیشتر توسط آلبرت اینشتین در نظریه نسبیت عام و متعاقباً توسط فیزیکدانان در توسعه نظریه میدان کوانتومی و مدل استاندارد فیزیک ذرات مورد استفاده قرار گرفت. خارج از فیزیک، هندسه دیفرانسیل در شیمی، اقتصاد، مهندسی، تئوری کنترل، گرافیک کامپیوتری و بینایی کامپیوتر و اخیراً در یادگیری ماشین کاربرد دارد.

تاریخ

تاریخچه و توسعه هندسه دیفرانسیل به عنوان یک موضوع حداقل از دوران باستان کلاسیک آغاز می شود. ارتباط نزدیکی با توسعه هندسه به طور کلی، مفهوم فضا و شکل، و توپولوژی، به ویژه مطالعه منیفولدها دارد. در این بخش اساساً بر تاریخچه کاربرد روش‌های بینهایت کوچک در هندسه و بعداً به ایده‌های فضاهای مماس و در نهایت توسعه فرمالیسم مدرن موضوع از نظر تانسورها و میدان‌های تانسوری تمرکز می‌کنیم.

شاخه ها

هندسه ریمانی

هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که به مطالعه منیفلدهای ریمانی می پردازد، یعنی منیفلدهای هموار مجهز به متریک ریمانی، این ساختار منیفلد را در هر نقطه مجهز به ضرب داخلی روی فضای مماس می کند، به طوری که از نقطه‌ای به نقطه دیگر به طور هموار تغییر می‌کند. همچنین این ساختار به طور خاص مفاهیم موضعی چون زاویه، طول خم، مساحت رویه و حجم را بدست می دهد. از این‌ها، برخی از سایر کمیّت‌های سرتاسری را می توان به وسیله انتگرال‌گیری بدست آورد.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی

درحال تحقیق...