نگاهی به ریاضیات پیشرفته/گشتی در دنیای هندسه/نسخه چاپی

نگاهی به ریاضیات پیشرفته/گشتی در دنیای هندسه

نسخه کنونی و قابل ویرایش این کتاب را می‌توانید در وبگاه ویکی‌کتاب در نشانی زیر بیابید
https://fa.wikibooks.org/wiki/%D9%86%DA%AF%D8%A7%D9%87%DB%8C_%D8%A8%D9%87_%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA_%D9%BE%DB%8C%D8%B4%D8%B1%D9%81%D8%AA%D9%87/%DA%AF%D8%B4%D8%AA%DB%8C_%D8%AF%D8%B1_%D8%AF%D9%86%DB%8C%D8%A7%DB%8C_%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87

شما اجازه کپی و پخش این اثر را تحت مجوز مستندات آزاد گنو دارید.

هندسه فضایی

هندسه فضایی به هندسه اقلیدسی در فضای سه بعدی اشاره دارد. فضایی که در آن ارتفاع جدا از طول و عرض وجود دارد. هندسه فضایی به تخیل زیادی نیاز دارد. تمام دنیای اطراف ما سه بعدی و فضایی است. هر حجمی که می شناسید باید ویژگی هایش را در مبحث هندسه فضایی محاسبه کرد. اشکالی مانند کره، مخروط و استوانه از این دسته هستند.هندسه فضایی شامل موارد فضایی سه بعدی (طول،عرض،ارتفاع)است

مانند:مساحت،حجم،احجام هندسی،چندوجهی ها،مقطع مخروطی،فضای سه بعدی،هندسه کروی،مختصات کروی،مختصات استوانه ای و...

تاریخ

فیثاغورثی ها با مواد جامد منظم سروکار داشتند، اما هرم، منشور، مخروط و استوانه تا افلاطونیان مورد مطالعه قرار نگرفتند. یوداکسوس اندازه گیری آنها را انجام داد و ثابت کرد که هرم و مخروط یک سوم حجم یک منشور و استوانه روی یک پایه و هم ارتفاع دارند. او احتمالاً همچنین کاشف دلیلی بود که نشان می‌داد حجم محصور شده توسط یک کره متناسب با مکعب شعاع آن است.

تعریفات

مساحت و حجم

حجم: به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

مساحت:نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا مساحت صفحه به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که مساحت سطح به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

احجام هندسی و احجام غیرهندسی

حجم های غیر هندسی= حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

حجم های هندسی= حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح

تعریف منشور،کره،هرم،چندوجهی

تعریف منشور:منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، منشور پنج‌ضلعی نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد

تعریف هرم:هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

تعریف کره:کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

تعریف چندوجهی:چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

مقطع مخروطی

در ریاضیات، یک مقطع مخروطی (یا به سادگی یک مخروطی، گاهی اوقات منحنی درجه دوم نامیده می شود) منحنی است که به عنوان تقاطع سطح یک مخروط با یک صفحه به دست می آید. سه نوع مقطع مخروطی عبارتند از هذلولی، سهمی و بیضی. دایره یک حالت خاص از بیضی است، اگرچه از نظر تاریخی گاهی اوقات آن را نوع چهارم می نامند. ریاضیدانان یونان باستان برش های مخروطی را مورد مطالعه قرار دادند که در حدود 200 سال قبل از میلاد در کار سیستماتیک آپولونیوس پرگا بر روی خواص آنها به اوج رسید.

فضای سه بعدی

در ریاضیات فضای سه بعدی فضای برداری دارای سه بعد و یک مدل هندسی از جهان فیزیکی است که در آن زندگی می‌کنیم. ابعاد سه‌گانه معمولاً به نام طول، عرض، و ارتفاع (یا عمق) شناخته می‌شوند اگر چه این نامگذاری اختیاری است.

هندسه کروی

هندسه کروی شاخه ای از هندسه است که به سطح دو بعدی یک کره می پردازد. این نمونه ای از هندسه است که با هندسه اقلیدسی ارتباطی ندارد. کاربرد عملی هندسه کروی در زمینه هوانوردی و نجوم است.در هندسه اقلیدسی، خطوط مستقیم و نقاط مفاهیم اصلی هستند. در کره، نقاط به معنای معمول خود تعریف می شوند. در هندسه اقلیدسی، خطوط به معنای خط مستقیم نیستند، اما در مفهوم کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه، خط مستقیمی مطرح می شود که به آن ژئودزیک می گویند. در یک کره، ژئودزیک ها دایره های بزرگی هستند. سایر مفاهیم هندسی در صفحه تعریف شده اند با این تفاوت که به جای دایره بزرگ از خط مستقیم استفاده می شود. بنابراین در هندسه کروی، زوایا بین دایره های بزرگ تعریف می شود و در نتیجه مثلثات کروی از بسیاری جهات با مثلثات معمولی متفاوت است. به عنوان مثال: مجموع زوایای داخلی یک مثلث بیش از ۱۸۰ درجه است.هندسه کروی هندسه بیضوی (ریمانی) نیست، اما این ویژگی که خطی از یک نقطه نمی تواند خطی موازی با آن داشته باشد، در هر دو مشترک است. در ایزومتریک هندسه کروی با هندسه اقلیدسی، خط از یک نقطه دارای خطی موازی با خود است و در ایزومتری با هندسه هذلولی، خط از یک نقطه دارای دو خط موازی با خود و بی نهایت است. مفاهیم هندسه کروی ممکن است برای کره دوکی به کار رود، اگرچه تغییرات جزئی باید در فرمول های خاصی انجام شود.

مختصات کروی

در ریاضیات مختصات کروی،برای فضای سه بعدی است که در آن موقعیت یک نقطه با سه عدد مشخص می شود: فاصله شعاعی آن نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویه قطبی آن اندازه گیری شده از یک جهت اوج ثابت ، و زاویه متعامد برآمدگی متعامد آن بر روی صفحه مرجعی که از مبدا می گذرد و متعامد به نقطه اوج است، از یک جهت مرجع ثابت در آن صفحه اندازه گیری می شود. می توان آن را نسخه سه بعدی سیستم مختصات قطبی دید .

استفاده از نمادها و ترتیب مختصات در منابع و رشته ها متفاوت است. این مقاله از کنوانسیون ISO  که اغلب در فیزیک با آن مواجه می‌شود، استفاده می‌کند :فاصله شعاعی، زاویه قطبی و زاویه ازیموت را نشان می دهد. در بسیاری از کتاب های ریاضی،یافاصله شعاعی، زاویه ازیموتال و زاویه قطبی را نشان می‌دهد و معانی θ و φ را تغییر می‌دهد . قراردادهای دیگری نیز استفاده می شود، مانند r برای شعاع از محور z ، بنابراین باید دقت زیادی برای بررسی معنای نمادها انجام شود.

طبق قراردادهای سیستم های مختصات جغرافیایی ، موقعیت ها با طول و عرض جغرافیایی و ارتفاع (ارتفاع) اندازه گیری می شوند. تعدادی سیستم مختصات آسمانی بر اساس صفحات بنیادی مختلف و با اصطلاحات مختلف برای مختصات مختلف وجود دارد. سیستم های مختصات کروی مورد استفاده در ریاضیات معمولاً به جای درجه از رادیان استفاده می کنند و زاویه آزیموتال را در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور x به محور y اندازه می گیرند نه در جهت عقربه های ساعت از شمال (0 درجه) به شرق (90 درجه) مانند سیستم مختصات افقی . .  زاویه قطبی اغلب با زاویه جایگزین می شودزاویه ارتفاع از صفحه مرجع اندازه گیری می شود، به طوری که زاویه ارتفاع صفر در افق باشد.

سیستم مختصات کروی سیستم مختصات قطبی دو بعدی را تعمیم می دهد. همچنین می توان آن را به فضاهای با ابعاد بالاتر گسترش داد و سپس به عنوان یک سیستم مختصات ابرکره ای نامیده می شود .

مختصات استوانه ای

مختصات استوانه‌ای نوعی مختصات متعامد (عمود برهم) است که در آن یک نقطه، در فضا بر روی قاعدهٔ یک استوانه در نظر گرفته می‌شود. مکان آن نقطه بر اساس شعاع و ارتفاع استوانه (r و z) و زاویه‌ای که شعاع قاعده گذرنده از آن نقطه با محور x می‌سازد (θ)، بیان می‌شود. این دستگاه، در حالت دوبعدی، با حذف مختص z به مختصات قطبی تبدیل می‌شود. در فیزیک و به ویژه در مباحث الکترومغناطیس و مخابرات به جای r، θ، z به ترتیب از حروف ρ، φ، z استفاده می‌شود.

منابع

مساحت و حجم

مقطع مخروطی

هندسه مقدماتی

ویکی پدیای فارسی

هندسه دیفرانسیل

هندسه دیفرانسیل یک رشته ریاضی است که به بررسی هندسه اشکال صاف و فضاهای صاف می پردازد که در غیر این صورت منیفولدهای صاف نامیده می شوند. از تکنیک های حساب دیفرانسیل، حساب انتگرال، جبر خطی و جبر چند خطی استفاده می کند. این رشته ریشه در مطالعه هندسه کروی از دوران باستان دارد. همچنین به نجوم، ژئودزی زمین و بعدها مطالعه هندسه هذلولی توسط لوباچفسکی مربوط می شود. ساده‌ترین نمونه‌های فضاهای صاف، منحنی‌ها و سطوح صفحه و فضا در فضای سه‌بعدی اقلیدسی هستند و مطالعه این اشکال مبنای توسعه هندسه دیفرانسیل مدرن در طول قرن‌های 18 و 19 بود. یک مثلث غوطه ور در یک صفحه زینی شکل (یک سهمی هذلولی)، و همچنین دو خط فوق موازی واگرا. از اواخر قرن نوزدهم، هندسه دیفرانسیل به حوزه ای تبدیل شده است که به طور کلی به ساختارهای هندسی روی منیفولدهای قابل تمایز مربوط می شود. ساختار هندسی ساختاری است که مفهومی از اندازه، فاصله، شکل، حجم یا دیگر ساختارهای سفت و سخت را تعریف می کند. به عنوان مثال، در هندسه ریمانی فواصل و زوایا مشخص می‌شوند، در هندسه سمپلتیک ممکن است حجم‌ها محاسبه شود، در هندسه هم‌شکل فقط زاویه‌ها مشخص می‌شوند، و در نظریه گیج، میدان‌های خاصی بر روی فضا داده می‌شود. هندسه دیفرانسیل ارتباط نزدیکی با توپولوژی دیفرانسیل دارد و گاهی اوقات آن را شامل می شود، که به ویژگی های منیفولدهای متمایزپذیر مربوط می شود که به هیچ ساختار هندسی اضافی متکی نیستند (برای بحث بیشتر در مورد تمایز بین این دو موضوع به آن مقاله مراجعه کنید). هندسه دیفرانسیل نیز به جنبه های هندسی نظریه معادلات دیفرانسیل مربوط می شود که به آن تحلیل هندسی نیز گفته می شود. هندسه دیفرانسیل در سراسر ریاضیات و علوم طبیعی کاربرد دارد. زبان هندسه دیفرانسیل بیشتر توسط آلبرت اینشتین در نظریه نسبیت عام و متعاقباً توسط فیزیکدانان در توسعه نظریه میدان کوانتومی و مدل استاندارد فیزیک ذرات مورد استفاده قرار گرفت. خارج از فیزیک، هندسه دیفرانسیل در شیمی، اقتصاد، مهندسی، تئوری کنترل، گرافیک کامپیوتری و بینایی کامپیوتر و اخیراً در یادگیری ماشین کاربرد دارد.

تاریخ

تاریخچه و توسعه هندسه دیفرانسیل به عنوان یک موضوع حداقل از دوران باستان کلاسیک آغاز می شود. ارتباط نزدیکی با توسعه هندسه به طور کلی، مفهوم فضا و شکل، و توپولوژی، به ویژه مطالعه منیفولدها دارد. در این بخش اساساً بر تاریخچه کاربرد روش‌های بینهایت کوچک در هندسه و بعداً به ایده‌های فضاهای مماس و در نهایت توسعه فرمالیسم مدرن موضوع از نظر تانسورها و میدان‌های تانسوری تمرکز می‌کنیم.

شاخه ها

هندسه ریمانی

هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که به مطالعه منیفلدهای ریمانی می پردازد، یعنی منیفلدهای هموار مجهز به متریک ریمانی، این ساختار منیفلد را در هر نقطه مجهز به ضرب داخلی روی فضای مماس می کند، به طوری که از نقطه‌ای به نقطه دیگر به طور هموار تغییر می‌کند. همچنین این ساختار به طور خاص مفاهیم موضعی چون زاویه، طول خم، مساحت رویه و حجم را بدست می دهد. از این‌ها، برخی از سایر کمیّت‌های سرتاسری را می توان به وسیله انتگرال‌گیری بدست آورد.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی

ویکی پدیای فارسی

درحال تحقیق...

مساحت و حجم

سطح‌و‌حجم(به‌انگلیسیArea&Volume) مبحثی‌ از علم‌هندسه‌فضایی است که‌در مورد خواص،ویژگی،کاربرد و محاسبه حجم ومساحت احجام هندسی سه بعدی می‌پردازد.احسام سه‌بعدی به اجسامی گفته‌ می‌شوند که دارای سه‌بعد(طول،عرض،ارتفاع)است.

دَوَران،مَقطَع،بُرش،رسم سه‌نما،رسم گسترده احجام،مُحاط‌ کردن،حجم ومساحت از عناصر مهم این علم است.

حجم های هندسی به دو دسته تقسیم می‌شوند:

1. حجم های هندسی مثل منشور، کره،هرم، ...
2. حجم های غیرهندسی

زندگی نامه کاشفان در زمینه سطح و حجم

ارشمیدوس یک دانشمند،فیلسوف،ریاضیدان،هندسه دان، فیزیک دان،مخترع،ستاره شناس و مهندس یونانی است که در سال ۲۸۷ق.م در شهر سیراکوز و در سال۲۱۲ق.م در همان شهر در ۷۵سالگی از دنیا رفت. او در زمینه ریاضیات کارهای مهمی انجام داده است. او توانست مساحت و حجم استوانه،مخروط و کره را محاسبه کند و عدد پی را با دقت محاسبه کند و توانست نسبت حجم و مساحت کره را به حجم و مساحت استوانه بدست آورد و حتی او توانست نسبت V/S احجام را محاسبه کند.جایگاه وی در زمینه ریاضیات بالا است.

تعریف ها

تعریف مساحت و حجم

حجم: به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

مساحت:نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا مساحت صفحه به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که مساحت سطح به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

تعریف احجام هندسی و غیرهندسی

حجم های غیر هندسی= حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

حجم های هندسی= حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح

نکاتی در مورد حجم های هندسی

نکته۱: مکعب یک چندوجهی(شش وجهی) منتظم دارای وجه مربع است که دارای دو قاعده مربع است پس مکعب یک حجم چند وجهی- منشوری منتظم است.

نکته۲: چهاروجهی یک هرم و چندوجهی با قاعده و وجه های مثلث متساوی الاضلاع است. پس چهاروجهی یک حجم هرمی-چندوجهی و نوعی جسم افلاطونی به حساب می آید.

نکته۳: متوازی السطوح یک حجم منشوری دارای وجه جانبی و دوقاعده است و یک شش وجهی با وجه های متوازی الاضلاع است.پس متوازی السطوح یک حجم منشوری-چندوجهی است.

تعریف منشور، کره و هرم

تعریف منشور:منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، منشور پنج‌ضلعی نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد

تعریف هرم:هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

تعریف کره:کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

تعریف استوانه،مخروط وچندوجهی

تعریف استوانه:استوانه یک حجم منشوری است که قاعده آن به صورت دایره ای شکل است.استوانه در هندسه یک پایه منحنی فضایی است که دور سطح آن را مجموعه نقاطی تشکیل داده است.یال های استوانه همان نامشخص است چون قاعده آن به صورت دایره ای است،می توان گفت که وجه جانبی،وجه،راس،یال استوانه به ترتیب3n,2n,n+2,nاست.استوانه درهندسه دیفرانسیل به صورت یک سطح کشیده است که که مولد آن یک دسته خط موازی است.تعریف استوانه در مخروط این است که استوانه همان مخروط است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد.استوانه حاصل دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاع آن(طول،عرض) به اندازه۳۶۰درجه می باشد.

تعریف مخروط:مخروط یک حجم هرمی می باشد که قاعده آن به صورت دایره ای است،یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن است.مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.مخروط حاصل دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش به اندازه۳۶۰درجه است.

تعریف چندوجهی:چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

مساحت و حجم اشکال هندسی

حجم مکعب:$V=a^{3}\;$

مساحت مکعب:$V=6a^{2}\;$

حجم چهار وجهی:${\textstyle V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,}$

مساحت چهاروجهی:$V={{\sqrt {3}}a^{2}\,}$

حجم هشت وجهی منتظم:

$V={\frac {2}{3}}a^{3}$

مساحت هشت وجهی منتظم:

$V={2a^{2}{\sqrt {3}}\,}$

حجم مکعب مستطیل: ${\textstyle {V=abc}}$

مساحت مکعب مستطیل: ${\textstyle A=2ab+2ac+2cb}$

حجم منشور: $V=Sh$

حجم منشور با قاعده چندضلعی: $V={\frac {n}{4}}ha^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$

مساحت منشور با قاعده چندضلعی:$A={\frac {n}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nah$

حجم استوانه: ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$

مساحت منشور: $A=\ Ph+2S$

مساحت استوانه: $A=2\pi r(r+h)\,\!$

حجم هرم: $V={\displaystyle {\frac {1}{3}}Sh}$

حجم مخروط: $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

مساحت هرم: $B+{\frac {PL}{2}}\,\!$

مساحت مخروط: $\pi r(r+l)\,\!$

حجم کره: $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

مساحت کره: $4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره(کره گون): ${4 \over 3}\pi r^{2}h$

حجم کره بیضی گون مختلف: ${4 \over 3}\pi abc$

مساحت کره گون=${A=4\pi ab}$

مساحت بیضی گون=:$A=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)$

حجم هرم ناقص:$V={\tfrac {1}{3}}h\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).$

مساحت هرم ناقص:$A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]$

حجم مخروط ناقص:${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{3}}h\left(r^{2}+rr'+r'^{2}\right).}$

مساحت مخروط ناقص:${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$ حجم چنبره:$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,$

مساحت چنبره:$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

حجم متوازی السطوح:$V=abc{\sqrt {K}}$

مساحت متوازی السطوح:$2{(ah+bh'+ch'')}$

مساحت چندوجهی منتظم:

$A=n({\tfrac {1}{4}}n'a^{2}\cot {\frac {\pi }{n'}})$

حجم جامدات چندوجهی:${\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {Area} (F)\right|,$

حجم مکعب

محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.حجم آن به این صورت است:

$a.a.a=(a.a).a=a^{2}.a=a^{3}$

محاسبه حجم مکعب به صورت مساحت چندضلعی منتظم

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.$V=({\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}).a)=({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}).a)=(a^{2}.({\sqrt {1}})).a=a^{2}.1.a=a^{3}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

مساحت

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.و مکعب از شش وجه مربع ساخته شده است و به همین از تشکیل وجه های چندضلعی منتظم،چندوجهی منتظم ساخته می شود.

مکعب نیز دارای مساخت کل نیز است.و مساحت آن برابر با این رابطه است:

$6.a.a=6.a^{2}=6a^{2}$

اگر طبق مساحت چندضلعی حساب شود،به این صورت است.

$A=(6.{\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}))=6.({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}))=6.(a^{2}.({\sqrt {1}}))=6.a^{2}.1=6.a^{2}=6a^{2}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

حجم و مساحت مکعب

حجم مکعب

محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.حجم آن به این صورت است:

$a.a.a=(a.a).a=a^{2}.a=a^{3}$

محاسبه حجم مکعب به صورت مساحت چندضلعی منتظم

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.$V=({\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}).a)=({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}).a)=(a^{2}.({\sqrt {1}})).a=a^{2}.1.a=a^{3}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

مساحت

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.و مکعب از شش وجه مربع ساخته شده است و به همین از تشکیل وجه های چندضلعی منتظم،چندوجهی منتظم ساخته می شود.

مکعب نیز دارای مساخت کل نیز است.و مساحت آن برابر با این رابطه است:

$6.a.a=6.a^{2}=6a^{2}$

اگر طبق مساحت چندضلعی حساب شود،به این صورت است.

$A=(6.{\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}))=6.({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}))=6.(a^{2}.({\sqrt {1}}))=6.a^{2}.1=6.a^{2}=6a^{2}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

حجم و مساحت متوازی السطوح

حجم

متوازی السطوح حجمی است که از سه بردار سه بعدی a,b,cدرست شده است و با ضرب خارجی بردار ها درست شده است.

محاسبه حجم

ابتدا متوازی السطوحی رسم می کنیم که در فضای برداری باشد و در فضای سه بعدیR³قرار می دهیم.بردار های آن اینگونه است که:

1. $S=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|$
2. $h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|$

محاسبه حجم اینگونه است مساحت قاعده بر اساس مساحت متوازی الاضلاع بدست آید و ارتفاع آن بر اساس رابطه فیثاغورس بدست آید.پس حجم متوازی السطوح برابر با این رابطه است.

$$V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.$$

کسینوس تتا و سینوس تتا در محاسبه قدر مطلق برابر با یک می شود،قدرمطلق مساحت برداری هایa,b,cبرابر با خودشان است.

می توان به روش عمیق تری حجم آن را بدست آورد،ضرب داخلی بردار های خارجی که با ضرب خارجی این سه بردار متوازی السطوح را بدست آورند این گونه است.$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},$حجم برابر است

$V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.$

که همان برابر با این رابطه است.

$$V=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.={\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}$$

راه دیگر برای اثبات ( V1 ) استفاده از مولفه اسکالر در جهت استa×b

از بردار:a,b,c

$${\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}$$

حجم متوازی السطوح به صورت مختصاتی برابر با این عبارت فوق است اما به روش دیگر هم که به صورا مختصاتی نوشته نمی گردد بلکه مثل حجم مکعب مستطیل است که برابر با ضرب طول بردار هاست ولی یک عبارتی لازم دارد.

نتیجه بر این است.

با استفاده از روش قدر مطلق و محاسبه ضرب داخلی و خارجی بردارها به مقداری به نامkنیاز است.kمقداری است که بر اساس زاویه های لبه متوازی السطوح بدست می آید.که به صورت جذر آن درحجم متوازی السطوح به کار می رود.

مقدار kبراساس این رابطه بدست می آید.

$$K={1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )},$$

مقدار جذر آن این گونه است

$${\sqrt {K}}={\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},$$

حجم آن براساس این رابطه نوشته می گردد.

$$V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},$$

که می توان این گونه نوشت

$$V=abc{\sqrt {K}}$$

که برابر با حجم مختصاتی متوازی السطوح است.

مساحت

مساحت یک متوازی السطوح براساس جمع مساحت شش متوازی الاضلاع بدست می آید که براساس این رابطه نوشته می گردد

$${\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}$$

مساحت متوازی السطوح مثل مساحت مکعب مستطیل بدست می آید،مکعب،مکعب مستطیل از احجام منشوری است که به صورت برداری کشیده اند.

به صورت دیگر هم مساحت آن پیدا می گردد که به صورت مساحت متوازی الاضلاع بدست می آید

برای پیدا کردن مساحت متوازی السطوج بر اساس a,b,c اینگونه است.

$2{(ah+bh'+ch'')}$

hبرابر با ارتفاع متوازی السطوح است بر حسب تتا زاویه است که h بر اساس رابطه فیثاغورس نوشته میشود.

${h^{2}=a^{2}-x^{2}}$

${h'^{2}=a^{2}-y^{2}}$

${h''^{2}=a^{2}-z^{2}}$

$x,y,z$=مقداری است که بر اساس تتا زیر جزئی از طول های به ترتیب b,c است

اگر این دو رابطه را محاسبه کنیم به این نتیجه می رسیم

$${\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}={\displaystyle 2{(ah+bh'+ch'')}}$$

حجم و مساحت منشور

حجم

حجم منشور اگرsمساحت قاعده و h ارتفاع باشد،حجم آن می شود:$V=Sh$

مساحت

مساحت جانبی منشور اگرpمحیط قاعده و hارتفاع باشد بر این اساس نوشته می شود. $SA'=Ph$

مساحت کل منشور اگر s مساحت قاعده باشد می توان بر اساس این فرمول نوشت

$SA=Ph+2s$

حجم به صورت مثلثاتی

حجم یک منشور حاصل ضرب مساحت قاعده و فاصله بین دو وجه قاعده یا ارتفاع است (در مورد منشور غیر راست توجه داشته باشید که این به معنای فاصله عمود بر هم است). که در آن B مساحت پایه و h ارتفاع است. حجم منشوری که قاعده آن یک چندضلعی منتظم n ضلعی با طول ضلع s است برابر است با:

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$

مساحت به روش مثلثاتی

مساحت سطح منشور راست 2 · B + P · h است که B مساحت قاعده، h ارتفاع و P محیط پایه است.

مساحت سطح یک منشور راست که قاعده آن یک چندضلعی n ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h است به این صورت است:

$A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nsh$

نسبت V/S منشور

نسبت V/Sروشی است که نسبت حجم به سطح کل است

نسبتV/S منشور:$V/S={\frac {Sh}{Ph+2s}}$

حجم و مساحت استوانه

حجم

قاعده یک استوانه به صورت دایره ای است و نوعی منشور به حساب می آید.

• مساحت دایره(قاعده):$\pi r^{2}$
• ارتفاع:$h$
• حجم استوانه:$\pi r^{2}h$

حجم یک استوانه طبق حجم منشور ها حساب می گردد چون استوانه منشوری است و دوقاعده دارد و دارای ارتفاع نیز هست و قاعده آن نیز دایره ای است پس طبق حجم منشور می نویسیم

$V=Sh=\pi r^{2}h$

حجم استوانه به روش انتگرالی

به طور کلی، بر اساس همین اصل، حجم هر استوانه حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع است. به عنوان مثال، یک استوانه بیضوی با پایه دارای محور نیمه اصلی a ، محور نیمه فرعی b و ارتفاع h دارای حجم V = Ah است که در آن A مساحت بیضی پایه (= π ab ) است. این نتیجه برای استوانه های بیضوی راست را می توان با ادغام نیز به دست آورد، که در آن محور استوانه به عنوان محور x مثبت و A ( x ) = A مساحت هر مقطع بیضوی در نظر گرفته می شود، بنابراین:$V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.$یک جزء از حجم، استوانهٔ راستی است که قاعدهٔ آن مساحتی برابر با Aw_i دارد و ضخامتی برابر با Δ_ix دارد. پس اگر V حجم استوانهٔ دایره‌ای راست باشد، با استفاده از جمع‌های ریمانی داریم:

$\mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x$

$=\int _{0}^{h}A(y)\,dy$

$=\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

با استفاده از مختصات استوانه‌ای حجم را می‌توان بوسیلهٔ انتگرال‌گیری بدست آورد:

$=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

مساحت

با داشتن شعاع r و ارتفاع (ارتفاع) h ، سطح یک استوانه دایره ای سمت راست، به گونه ای که محور آن عمودی باشد، از سه قسمت تشکیل شده است:

• مساحت پایه بالایی:$\pi r^{2}$
• مساحت پایه پایین:$\pi r^{2}$
• مساحت ضلع:$2\pi rh$

مساحت پایه های بالا و پایین یکسان است و مساحت پایه B نامیده می شود . مساحت ضلع به نام ناحیه جانبی ، L شناخته می شود.

یک استوانه باز شامل عناصر بالا و پایین نیست و بنابراین دارای سطح (منطقه جانبی) است.

$2\pi rh$

مساحت استوانه دایره ای راست جامد از مجموع هر سه جزء بالا، پایین و جانبی تشکیل شده است. بنابراین مساحت سطح آن،$A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)$

که در آن d = 2 r قطر بالا یا پایین مدور است .

برای یک حجم معین، استوانه دایره ای سمت راست با کوچکترین سطح دارای h = 2 r است. به طور معادل، برای یک سطح معین، استوانه دایره ای سمت راست با بیشترین حجم دارای h = 2 r است، یعنی استوانه به خوبی در یک مکعب به طول ضلع = ارتفاع (= قطر دایره پایه) قرار می گیرد.

مساحت جانبی، L ، یک استوانه دایره ای، که نیازی به استوانه سمت راست نیست، به طور کلی به صورت زیر نشان داده می شود:

$A=L+2B$

که e طول یک عنصر و p محیط قسمت سمت راست استوانه است.  این فرمول قبلی را برای مساحت جانبی زمانی که استوانه یک استوانه دایره ای راست است، تولید می کند.

حجم و مساحت مخروط

حجم

حجم یک هرم برابر بر این رابطه است که چون سه هرم برابر با حجم منشور است.پس حجم هرم برابر با این رابطه است.

$V={\frac {1}{3}}Sh.$

حجم یک مخروط چون قاعده آن دایره است،به این صورت نوشته می گردد.

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$

در ریاضیات مدرن، این فرمول را می توان به راحتی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه کرد - تا مقیاس بندی، انتگرال است.

$$\int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$$

بدون استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال، فرمول را می توان با مقایسه مخروط با یک هرم و اعمال اصل کاوالیری - به ویژه، مقایسه مخروط با یک هرم مربع راست (مقیاس عمودی)، که یک سوم مکعب را تشکیل می دهد، اثبات کرد. این فرمول را نمی‌توان بدون استفاده از چنین استدلال‌های بی‌نهایتی اثبات کرد - بر خلاف فرمول‌های دو بعدی برای مساحت چند وجهی، اگرچه شبیه به مساحت دایره است - و از این رو قبل از ظهور حساب دیفرانسیل و انتگرال، اثبات‌های کمتر دقیق‌تری را پذیرفتند، با یونانیان باستان از روش استفاده می‌کردند. فرسودگی . این اساساً محتوای مسئله سوم هیلبرت است - به طور دقیق تر، همه اهرام چند وجهی با قیچی همخوانی ندارند.(می توان آن را به قطعات متناهی تقسیم کرد و به قطعات دیگر مرتب کرد) و بنابراین حجم را نمی توان صرفاً با استفاده از یک آرگومان تجزیه محاسبه کرد

مساحت

مساحت جانبی یک مخروط بر اساس مساحت هرم برابر با این تساوی است.

$A'=\pi rL$

rشعاع مخروط وLکمان مخروط است

ارتفاع اصلی مخروط دایره ای راست، فاصله ای از هر نقطه از دایره قاعده آن تا راس از طریق یک قطعه خط در امتداد سطح مخروط است. توسط آن داده می شود${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$، جایی کهrشعاع پایه است وhارتفاع است این را می توان با قضیه فیثاغورث ثابت کرد.

مساحت کل مخروط بر اساس این رابطه نوشته می گردد.

$A=\pi r^{2}+\pi rL={\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

مساحت کل یعنی مساحت قاعده به علاوه مساحت جانبی

محاسبه کمان مخروط و دور مخروط

اگرrشعاع وhارتفاع باشد.دور و کمان مخروط برابر با این رابطه است.

اگرcدور و Lکمان مخروط باشد،مساحت اینگونه است.

${\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cL}{2}}={\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+L\right)}$

براساس زاویه و ارتفاع راس مساحت مخروط برابر با این رابطه است

$\pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)$

فرم معادلات

سطح یک مخروط را می توان به صورت پارامتربندی کرد

$f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),$

جایی که زاویه تتا برابر با$\theta \in [0,2\pi )$و زاویه اطراف مخروط است و ارتفاع جزئی از اعداد حقیقی باشد یعنی$h\in \mathbb {R}$است.

مخروط دایره ای جامد راست با ارتفاعhو دیافراگم$2\theta$، که محور آن استzمحور مختصات و راس آن مبدا است، به صورت پارامتریک به عنوان توصیف می شود$F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)$

جایی کهu,t,s محدوه بیش از$\in [0,\theta )$$\in [0,2\pi )$$\in [0,h]$، به ترتیب در شکل ضمنی ، همان جامد با نابرابری ها تعریف می شود.

$\{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},$

جایی که$F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,$ به طور کلی، یک مخروط دایره ای راست با راس در مبدا، محور موازی با بردار d و$2\theta$ دیافراگم، توسط معادله برداری ضمنی به دست می آیدجایی که

$F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}$ یا $F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta$

حجم و مساحت هرم

حجم

حجم یک هرم (همچنین هر مخروطی) است، کهS مساحت قاعده و h ارتفاع از قاعده تا راس است. این برای هر چند ضلعی، منتظم یا غیرمنظم، و هر مکان راس کار می کند، مشروط بر اینکه h به عنوان فاصله عمود از صفحه حاوی قاعده اندازه گیری شود.

$V={\tfrac {1}{3}}Sh$

فرمول را می توان به طور رسمی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال اثبات کرد. با تشابه، ابعاد خطی یک مقطع موازی با پایه به صورت خطی از راس به پایه افزایش می یابد. ضریب مقیاس (ضریب تناسب) است، یا، که در آن h ارتفاع و y فاصله عمود از صفحه پایه تا سطح مقطع است. از آنجایی که مساحت هر مقطع با مربع ضریب پوسته پوسته شدن شکل متناسب است ، مساحت سطح مقطع در ارتفاع y برابر است با${\tfrac {h-y}{h}}$یا$1-{\tfrac {y}{h}}$ از آنجایی که b و h یاهر دو ثابت هستند و دو عبارت$b{\tfrac {(h-y)^{2}}{h^{2}}}$و${\tfrac {b}{h^{2}}}(h-y)^{2}$داریم. حجم توسط انتگرال داده می شود

${\frac {b}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-y)^{2}\,dy={\frac {-b}{3h^{2}}}(h-y)^{3}{\bigg |}_{0}^{h}={\tfrac {1}{3}}bh.$همین معادله،همچنین برای مخروط ها با هر پایه نگه می دارد. این را می توان با استدلالی مشابه استدلال فوق اثبات کرد; حجم یک مخروط را ببینید .

به عنوان مثال، حجم هرمی که قاعده آن یک چندضلعی منتظم n ضلعی با طول ضلع s و ارتفاع آن h است.

$V={\frac {n}{12}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

این فرمول را می توان دقیقاً بدون حساب برای اهرام با پایه های مستطیلی نیز به دست آورد. یک مکعب واحد را در نظر بگیرید. از مرکز مکعب به هر یک از 8 راس خطوط بکشید. این مکعب را به 6 هرم مربع مساوی با سطح پایه 1 و ارتفاع 1/2 تقسیم می کند. حجم هر هرم به وضوح 1/6 است. از این نتیجه می گیریم که حجم هرم =

(3/ارتفاع × مساحت پایه)

در مرحله بعد، مکعب را به طور یکنواخت در سه جهت به مقدار نامساوی باز کنید تا لبه های مستطیلی مستطیل شکل a , b و c با حجم جامد abc باشند. هر یک از 6 هرم داخل نیز به همین ترتیب گسترش یافته اند. و هر هرم دارای همان حجم abc /6 است. از آنجایی که جفت اهرام دارای ارتفاع های a /2، b /2 و c /2 هستند، می بینیم که حجم هرم = ارتفاع × مساحت پایه / 3 دوباره.

وقتی مثلث های ضلعی متساوی الاضلاع باشند، فرمول حجم به این صورت است

$V={\frac {1}{12}}ns^{3}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}}}.$

این فرمول فقط برای n = 2، 3، 4 و 5 اعمال می شود. و همچنین مورد n = 6 را پوشش می دهد که حجم آن برابر با صفر است (یعنی ارتفاع هرم صفر است).

مساحت

مساحت یک هرم برابر با این رابطه است.

$SA=B+{\tfrac {1}{2}}PL$

Pیعنی محیط چندضلعی و Bیعنی مساحت قاعده هرم است.

Lکمان هرم است و فرمول آن بر اساس این رابطه نوشته می گردد

$L={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

اگر قاعده هرم چندضلعی باشد بر اساس این رابطه نوشته می گردد

$A={\frac {n}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.+{\frac {1}{2}}(an)L$

anیعنی Pو محیط چندضلعی است.

حجم کره

حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد. $\!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$در این رابطه، r شعاع کره و π عدد پی است. این رابطه را نخستین بار ارشمیدس بدست آورد. او نشان داد که حجم یک کره ۲/۳ حجم استوانهٔ محیطی آن کره‌است. حجم کره بر اساس این رابطه نوشته می گردد.

اثبات حجم کره

یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم. ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

یک کره در استوانه محاط شده است

حجم استوانه=

$V=(\pi r^{2})(2r)=2\pi r^{3}$

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید

$V={\frac {2}{3}}2\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

که r شعاع و d قطر کره است. ارشمیدس ابتدا این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم درون یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محصور آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد.  این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .  این فرمول همچنین می تواند با استفاده از حساب انتگرال نیز به دست آورد، یعنی ادغام دیسک برای مجموع حجم های بی نهایت از دیسک های دایره ای با ضخامت بی نهایت کوچک که در کنار هم چیده شده اند و در امتداد محور x از x = - r تا x = r متمرکز شده اند ، با فرض اینکه کره شعاع r در مرکز قرار گرفته است. اصل و نسب.

اثبات حجم کره به روش انتگرال ومثلثات

نخست حجم نیم کره را بدست می‌آوریم و چون کره متقارن است حجم یک کرهٔ کامل دو برابر حجم نیم کره می‌شود. فرض کنید این کره از تعداد بی شماری دیسک دایره‌ای با ضخامت بسیار کم ساخته شده‌است. مجموع (انتگرال) حجم این دیسک‌ها، حجم کرهٔ مورد نظر را می‌سازد. محور تمام این دیسک‌ها بر روی محور yها قرار دارد در نتیجه دیسکی که بر روی نقطهٔ h = ۰ قرار دارد، شعاعی برابر با r دارد (s = r) و دیسکی که در نقطهٔ h = r قرار دارد، شعاعی برابر با صفر دارد (s = ۰).

اگر ضخامت دیسک‌ها در هر نقطهٔ دلخواه h، برابر با δh باشد، آنگاه حجم دیسک برابر خواهد بود با مساحت مقطع دیسک در ضخامت آن:

$\!\delta V\approx \pi s^{2}\cdot \delta h.$

پس حجم کل نیم کره برابر است با مجموع حجم دیسک‌ها:

$\!V\approx \sum \pi s^{2}\cdot \delta h.$

در بالای کره، شعاع دیسک‌ها بسیار کوچک و نزدیک به صفر است. در نتیجه برای بدست آوردن مجموع حجم دیسک‌ها باید از رابطهٔ بالا، انتگرال گرفت:

$\!V=\int _{0}^{r}\pi s^{2}dh.$

با توجه به قضیه فیثاغورس می‌دانیم که در هرنقطه بر روی محور عمودی داریم:

$\!r^{2}=s^{2}+h^{2}$

پس به جای $s^{2}$ از رابطهٔ زیر که تابعی از مقدار $h^{2}$ است استفاده می‌کنیم:

$\!r^{2}-h^{2}=s^{2}$

مقدار تازهٔ $s^{2}$ را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

$\!V=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-h^{2})dh.$

مقدار انتگرال برابر است با:

$\!V=\pi \left[r^{2}h-{\frac {h^{3}}{3}}\right]_{0}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-0^{3}+{\frac {0^{3}}{3}}\right)={\frac {2}{3}}\pi r^{3}.$

حجم نیمی از کره برابر با $\!V={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$ است پس حجم کل کره می‌شود:

$\!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

حجم کره در دستگاه مختصات قطبی نیز قابل محاسبه است که در آن حالت باید از رابطهٔ زیر استفاده کرد:

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$

بنابر این داریم

$V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

برای بیشتر اهداف عملی، حجم داخل یک کره حک شده در یک مکعب را می توان به 52.4٪ حجم مکعب تقریب زد، زیرا V =π/6 d ³ که d قطر کره و همچنین طول یک ضلع مکعب است وπ/6 ≈ 0.5236. به عنوان مثال، کره ای با قطر 1  متر، 52.4 درصد حجم یک مکعب با طول لبه 1 متر یا حدود 0.524 متر مکعب دارد.

روش دیگر

بر اساس بازتابی از ریاضیدانان ارشمیدس یونانی، برای نیمکره ای با شعاع $r$ میدان مرجعی وجود دارد که حجم آن با نیمکره مطابقت دارد، اما محاسبه آسان است. این بدنه مقایسه با تبدیل یک استوانه (به طور دقیق تر: یک استوانه دایره ای راست) با شعاع سطح پایه $r$ و ارتفاع $r$ به a مخروط (به طور دقیق تر: مخروط دایره ای راست) با شعاع پایه $r$ و ارتفاع $r$ حذف شده است. فکر کنم نادرست باشد برای همین ادامه ندادم

می توان از اصل کاوالیری برای اثبات اینکه نیمکره و جسم مقایسه دارای حجم یکسانی هستند استفاده کرد. این اصل مبتنی بر ایده تقسیم اجسام در نظر گرفته شده به برش های بی نهایت با ضخامت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) است. (یک جایگزین برای این روش استفاده از حساب انتگرال خواهد بود.) با توجه به اصل ذکر شده، سطوح تقاطع هر دو جسم را با صفحه که موازی و یک فاصله $h$ از آن داده شده است. در مورد نیمکره، تقاطع یک ناحیه دایره ای است.

شعاع $s$ این ناحیه دایره ای از قضیه فیثاغورث حاصل می شود:

$s^{2}+h^{2}\,=\,r^{2}$.

این برای محتوای رابط می دهد

$A_{1}\,=\,\pi s^{2}=\pi (r^{2}-h^{2})=\pi r^{2}-\pi h^{2}$.

از طرف دیگر، در مورد جسم مرجع، تقاطع یک حلقه دایره ای با شعاع بیرونی $r$ و یک شعاع داخلی $h$ است. مساحت این تقاطع بنابراین

$A_{2}\,=\,\pi r^{2}-\pi h^{2}$.

برای فاصله دلخواه $h$ تا ناحیه پایه، دو ناحیه تقاطع در محتوای ناحیه توافق دارند. این از اصل کاوالیری ناشی می شود که نیمکره و بدن مقایسه دارای حجم یکسانی هستند.

اکنون می توان حجم بدن مقایسه و در نتیجه نیمکره را به راحتی محاسبه کرد:

یکی کمتر از حجم استوانه و یکی بیشتر از حجم مخروط.

$V_{\text{Zylinder}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}$

$V_{\text{Kegel}}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\cdot r={\frac {1}{3}}\pi r^{3}$

$V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Vergleichskörper}}\,=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$

بنابراین، موارد زیر در مورد حجم کره (جامد) صدق می کند:

$V_{\text{Kugel}}\,=\,2\cdot V_{\text{Halbkugel}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

اشتقاق جایگزین

کره را می توان به بی نهایت هرم با ارتفاع $r$ (راس در مرکز کره) تقسیم کرد که قاعده کل آنها با سطح کره مطابقت دارد (به زیر مراجعه کنید). بنابراین حجم کل همه اهرام برابر است با:

$V={\frac {O\,r}{3}}={\frac {(4\pi r^{2})r}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

استخراج با استفاده از حساب انتگرال

شعاع در فاصله $x$:

$s={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$.

ناحیه دایره ای در فاصله $x$:

$A_{x}=\pi s^{2}$.

حجم کره$V$:

$V=\int _{-r}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\pi s^{2}\,\mathrm {d} x}=\int _{-r}^{r}{\left({r^{2}-x^{2}}\right)}\pi \,\mathrm {d} x=\int _{-r}^{r}\pi {r^{2}}\,\mathrm {d} x-\int _{-r}^{r}\pi {x^{2}}\,\mathrm {d} x$

$V=\pi r^{2}\left[x\right]_{-r}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{-r}^{r}$

$V=\pi r^{2}\left[r-(-r)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(-r)^{3}\right]=2\pi r^{3}-{\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.

حجم یک قطعه کروی $V_{\mathrm {KS} }$ از ارتفاع $h$ را می توان به همین ترتیب محاسبه کرد:

$V_{\mathrm {KS} }=\int _{r-h}^{r}{A_{x}\,\mathrm {d} x}=\pi r^{2}\left[x\right]_{r-h}^{r}-{\frac {1}{3}}\pi \left[{x^{3}}\right]_{r-h}^{r}$

$V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}\left[r-(r-h)\right]-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r-h)^{3}\right]=\pi r^{2}h-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r^{3}-3r^{2}h+3rh^{2}-h^{3})\right]$

$V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}h-\pi r^{2}h+\pi rh^{2}-{\frac {1}{3}}\pi h^{3}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$.

مشتقات بیشتر

کره ای با شعاع $R$ که مرکز آن در مبدا مختصات است، می تواند با معادله نمایش داده شود:

$K:~x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq R^{2}$

توضیح داده می شود که در آن $x,\ y,\ z$ مختصات فاصله هستند.

این مشکل را می توان به دو روش با استفاده از حساب انتگرال حل کرد:

ما کره را به یک مجموعه تهی لبسگو پارامتر بندی می کنیم${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r~\sin \vartheta ~\cos \varphi \\r~\sin \vartheta ~\sin \varphi \\r~\cos \vartheta \end{pmatrix}}\qquad (0\leq r\leq R,\ 0\leq \vartheta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi )$.

با تعیین عملکردی:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\vartheta ,\varphi )}}=r^{2}\sin \vartheta$

عنصر حجم مورد نیاز $\mathrm {d} V$ به عنوان نتیجه می‌شود:

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta$.

بنابراین حجم کره به این صورت داده می شود:

${\begin{aligned}\int _{K}\mathrm {d} V&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin \vartheta \;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \vartheta \\&=\int _{0}^{R}r^{2}\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\pi }\sin \vartheta \;\mathrm {d} \vartheta \\&={\frac {R^{3}}{3}}\cdot 2\pi \cdot 2\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\\\end{aligned}}$

امکان دیگر از طریق مختصات قطبی است:

${\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}\left(\int \limits _{-{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\mathrm {d} z\right)\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}2{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

اکنون دستگاه مختصات دکارتی به سیستم مختصات قطبی تبدیل می شود، به این معنی که ادغام پس از تغییر سیستم مختصات با استفاده از متغیرهای $\,\!\varphi$ و $\,\!r$ به جای $\,\!x$ و $\,\!y$. انگیزه این تحول، ساده سازی قابل توجه محاسبه در دوره بعدی است. برای دیفرانسیل این به این معنی است: $\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\;\xrightarrow {\text{می‌شود}} \;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

${\begin{aligned}\int _{K}\!\mathrm {d} V&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi \int \limits _{0}^{R}2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\;r\,\mathrm {d} r\\&=2\pi (-1){\frac {2}{3}}\left[{\sqrt {(R^{2}-r^{2})^{3}}}\right]_{r=0}^{R}\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}$

راه دیگر با کمک فرمول بدنه های انقلاب:

اگر قطعه ای از سطح را حول یک محور مکانی ثابت بچرخانید، جسمی با حجم معین به دست می آورید. در مورد یک ناحیه دایره ای، یک کره تشکیل می شود. این را می توان به عنوان یک سکه در حال چرخش تجسم کرد.

فرمول کلی برای چرخش بدن انقلاب حول محور x به دست می‌دهد:

$V=\pi \int _{a}^{b}[f(x)]^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\,\mathrm {d} x$.

معادله به صورت دایره ای است:

$(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}\,=\,r^{2}$

با مرکز:

$M={\begin{pmatrix}x_{M}\\y_{M}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$.

با وصل کردن معادله دایره، دریافت می کنیم"

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow y^{2}=r^{2}-x^{2}$.

با جایگزین کردن فرمول بدنه های چرخشی حول محور x، دریافت می کنیم:

${\begin{aligned}V_{\text{Kugel}}&=\pi \int _{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right)\,\mathrm {d} x\\&=\pi \left[r^{2}x-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{-r}^{r}\\&=\pi \left(r^{3}-{\frac {1}{3}}r^{3}\right)-\pi \left(r^{2}\cdot (-r)-{\frac {1}{3}}(-r)^{3}\right)\\&=\pi \left[\left({\frac {2}{3}}r^{3}\right)-\left(-{\frac {2}{3}}r^{3}\right)\right]\\&={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.\\\end{aligned}}$

مساحت کره

مساحت کره از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

$\!A=4\pi r^{2}.$

ارشمیدس نخستین کسی بود که توانست مساحت کره را بدست آورد. مشتق حجم کره نسبت به r، شعاع کره، مساحت کره را بدست می‌دهد. می‌توان این گونه تصور کرد که حجم یک کره برابر است با مجموع مساحت‌های بیشمار پوستهٔ کروی با ضخامت ناچیز که شعاع آن‌ها از ۰ تا r می‌تواند متفاوت باشد. در نتیجه اگر هریک از جزء حجم‌های کره را با δV، ضخامت هر پوسته را با δr و مساحت هر پوستهٔ کروی با شعاع r با(A(rنمایش دهیم؛ رابطهٔ زیر میان این متغیرها برقرار خواهد بود:

$\delta V\approx A(r)\cdot \delta r\,$

حجم کل برابر است با مجموع حجم هریک از این پوسته‌ها:

$V\approx \sum A(r)\cdot \delta r$

هنگامی که δr به سمت صفر میل می‌کند باید از انتگرال بجای سیگما استفاده کنیم:

$V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr$

چون قبلاً فرمول حجم کره را بدست آورده‌ایم، پس خواهیم داشت:

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr$

از دو سر رابطهٔ بالا مشتق می‌گیریم:

$\!4\pi r^{2}=A(r)$

که در حالت عمومی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\!A=4\pi r^{2}$

در دستگاه مختصات قطبی جزء سطح به صورت $dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi$ و در دستگاه مختصات دکارتی به صورت $dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-\sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}\Pi _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k$ بدست می‌آید.

مساحت کل کره از انتگرال جزء سطح در تمام سطح کره بدست می‌آید:

$A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi =4\pi r^{2}.$

کره دارای کمترین سطح در بین تمام سطوحی است که حجم معینی را در بر می گیرند و بیشترین حجم را در بین تمام سطوح بسته با یک سطح معین در بر می گیرد.  بنابراین کره در طبیعت ظاهر می شود: برای مثال، حباب ها و قطرات کوچک آب تقریباً کروی هستند زیرا کشش سطحی به طور محلی سطح سطح را به حداقل می رساند.

مساحت سطح نسبت به جرم یک توپ را مساحت سطح مخصوص می نامند و می توان آن را از معادلات ذکر شده در بالا به صورت بیان کرد.

$\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},$

که ρ چگالی ( نسبت جرم به حجم) است.

روش دیگر

سطح کره، سطح دو بعدی است که لبه کره را تشکیل می دهد. بنابراین مجموعه تمام نقاطی است که فاصله آنها از مرکز کره دارای مقدار ثابت $r$ است. این یک منیفولد دو بعدی بسته است. مساحت آن را همانطور که گفتیم برابر با ${A}=4\pi {r^{2}}$ است که این یعنی چهار برابر با مساحت دایره و دو سوم و همان مساحت سطح استوانه دایره‌ای است که کره را در بر می گیرد.برای یک حجم معین، کره کوچکترین سطح را در بین تمام اجسام ممکن دارد.

محاسبه مساحت

کره پایه

اگر یک کره را به زیر تقسیم کنید:

• لایه های هر کدام با ارتفاع $d$ باشد.

• طولی که در خط استوا نیز $d$ از هم فاصله دارند.

و اجازه دهید $d$ برای $0$ تلاش کند،

• بنابراین طول $c$ هر سلول برعکس متناسب با $x$ است—یعنی با فاصله آن از محور مرکزی.

این از تصویر بالا در سمت راست مشخص است: $x$ فاصله نقطه مماس تا محور مرکزی است. مماس بر "سخن" $r$ عمود است و دو مثلث (راست) مشابه هستند. بر این اساس:

$c={\frac {r}{x}}{d}$.

• با این حال، عرض هر فیلد با $x$ متناسب است.

این به طور مستقیم از نقاشی زیر، "نمای بالا" دنبال می شود.

بنابراین طول ضرب در عرض همیشه یکسان است، یعنی. همه میدان های مربع مساحت یکسانی دارند.

مساحت خط استوا $d^{2}$ است ($c\cdot d$ که در آن $c$ به $d$ تمایل دارد زیرا $>{\frac {r}{x}}$ در خط استوا به $1$ سریعتر از $d$ به $0$ تمایل دارد. از آنجایی که همه فیلدها دارای محتوای $d^{2}$ هستند و در مجموع (تعداد فیلدها در جهت افقی ضربدر تعداد فیلدها در جهت عمودی، به عنوان مثال) وجود دارد ${\frac {\text{size}}{d}}\cdot {\frac {\text{diameter}}{d}}={\frac {2\pi r\cdot 2r}{d^{2}}}$ در آنجا فیلد می‌شود مساحت کل همه فیلدها است: ${A}={4}\pi {r^{2}}$.

مشتق جایگزین با استفاده از حجم کره

کره ای را می توان متشکل از بی نهایت بی نهایت کوچک (بی نهایت کوچک) هرم تصور کرد. پایه های این اهرام با هم سطح کره را تشکیل می دهند. ارتفاع اهرام برابر با شعاع کره $r$ است. از آنجایی که حجم هرم با فرمول $V_{P}={\tfrac {1}{3}}Gh$ داده می‌شود، یک رابطه متناظر با حجم کل همه هرم‌ها، یعنی حجم کره اعمال می‌شود:

$V={\frac {1}{3}}A_{O}r$ ($A_{O}$

بر اساس پیدا کردن حجم کره به صورت مساحت کره برابر با:

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {1}{3}}A_{O}r$

$A_{O}=4\pi r^{2}$

مشتق جایگزین با استفاده از حجم یک کره و حساب دیفرانسیل

حجم کره بر اساس این فرمول$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$تعریف میشود و از سوی دیگر، سطح با توجه به تغییر حجم تعریف می شود:

$A_{O}={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}=4\pi r^{2}$

این است که فرمول سطح بلافاصله از مشتق فرمول حجم پیروی می کند.

استخراج با استفاده از حساب انتگرال

به صورت انتگرالی اینگونه بدست می آید

$A_{O}=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,\mathrm {d} x$

برای سطح جانبی بدنه چرخشی:

${\begin{aligned}A_{O}&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\\&=2\pi \int \limits _{-r}^{r}r\,\mathrm {d} x\\&=2\pi r\int \limits _{-r}^{r}1\,\mathrm {d} x\\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}$

استخراج با استفاده از حساب انتگرال در مختصات کروی

برای عنصر سطح روی سطوح $r$ = ثابت در مختصات کروی اعمال می شود:

$\mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$.

این امر محاسبه سطح را آسان می کند:

${\begin{aligned}A_{O}&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }1\,\mathrm {d} A\\&=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&=2\pi r^{2}\int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=4\pi r^{2}\end{aligned}}$

نسبتSA:V احجام هندسی

نسبت مساحت سطح به حجم یا نسبت سطح به حجم که با علائم مختلفی مثل sa/vol و SA:V نشان داده می‌شود؛ عبارت است از مقدار مساحت سطح در واحد حجم یک شی یا مجموعه‌ای از اشیا. در واکنش‌های شیمیایی که یک ماده جامد درگیر باشد، نسبت سطح به حجم یک عامل مهم است که نشان می‌دهد واکنش‌های شیمیایی در حال انجام است.نسبت سطح به حجم یاSA:V یک فرمولی است که از نسبت حجم به سطح کل است و مقادیر آن در احجام هندسی متفاوت است. نسبتSA:Vبه اندازه شعاع یا اندازه احجام هندسی بستگی دارد.

نمودارهای سطح (A) به حجم (V) برای جامدات افلاطونی و یک کره، که نشان می‌دهد برای شکل‌های گردتر، این نسبت کاهش می‌یابد. با افزایش حجم، نسبت سطح به حجم کاهش می‌یابد. خطوط خط‌چین نشان می‌دهد که وقتی حجم ۸ (۲^۳) برابر افزایش یابد، سطح ۴ (۲^۲) برابر افزایش می‌یابد.این روش به صورت برداری و تابعی به همراه نمودار نوشته شده است

نسبت V/Sاجسام هندسی

نسبتV/Sمکعب:${\frac {a}{6}}$

نسبتV/Sچهاروجهی:${\frac {{{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}{2a^{2}{\sqrt {3}}}}$

نسبت V/Sمنشور:${\frac {Sh}{Ph+2s}}$

نسبتV/Sاستوانه:${\frac {\pi r^{2}h}{2\pi r^{2}+2\pi rh}}$

نسبتV/Sهرم:${\frac {{\frac {1}{3}}Sh}{{\frac {N}{2}}Bh+S}}$

نسبتV/Sمخروط:${\frac {{\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}+\pi rL}}$

نسبتV/Sکره=${\frac {r}{3}}$

SA:V برای توپ‌های معمولی و Nبعدی

نمودار مقدار نسبت سطح به حجم (SA:V) برای یک توپ سه بعدی که نشان می‌دهد افزایش شعاع توپ با نسبت، رابطهٔ معکوس دارد.

توپ یک شیء سه بعدی به شکل کره است (دراین مبحث بیشتر ناحیه (مساحت) روی کره مورد نظر است نه حجم داخل آن). توپ‌ها در هر چند بعد که نیاز باشد می‌توانند وجود داشته باشند و در حالت کلی توپ n بعدی نامیده می‌شوند که n تعداد ابعاد توپ است. برای یک توپ معمولی سه بعدی می‌توان SA:V را با استفاده از معادله استاندارد مساحت و حجم حساب کرد؛ که در آن مساحت $S=4\pi r^{2}$ و حجم $V=(4/3)\pi r^{3}$ است. برای توپی به شعاع واحد (r=۱) نسبت سطح به حجم برابر با ۳ می‌شود. SA:V با شعاع رابطه عکس دارد، اگر شعاع ۲ برابر شود SA:V نصف می‌شود.

استدلال بالا را می‌توان برای توپ n بعدی تعمیم داد و روابط کلی حجم و مساحت رویه را به شکل زیر نوشت:

$V={\frac {r^{n}\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+n/2)}}$ حجم؛$S={\frac {nr^{n-1}\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+n/2)}}$ مساحت سطحی

نسبت ${\frac {V}{S}}$ در حالت n بعدی به $nr^{-1}$ کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین همان رابطهٔ خطی برای سطح و حجم در هر بعد برقرار است: دو برابر کردن شعاع همواره نسبت را نصف می‌کند.

دوران اشکال هندسی

از دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاعش= استوانه

از دوران یک مثلث قائم‌الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش= مخروط

از دوران یک ذوزنقه قائم الزاویه حول ضلع قائم= مخروط ناقص

از دوران یک مثلث قائم الزاویه حول وتر= دو مخروط

از دوران یک دایره حول قطر به اندازه^○180= کره

از دوران یک نیم دایره حول قطر به اندازه^○360= کره

در دوران حجم آن ضلعی که حول شکل آن دوران می دهد بچرخد ارتفاع میشود اما آن ضلعی که چرخیده می شود شعاع آن جسم است.

یک کره در حال دوران

ترسیم سه نما

ترسیم سه نما به ترسیمی در هندسه می گویند که نمای جسم سه بعدی را رسم می کند که این مبحث جهات بالا،پایین،راست،چپ،روبه رو و پشت را به سه نمای بالا،راست،روبه رو خلاصه می کند.اگر نمایی از چپ،پایین،پشت با نمای راست،بالا،روبه رو مطابقت نکرد آن را با خط چین مشخص می کنیم.ترسیم سه نما در معماری و ترسیم مهندسی به کار برده می شود.البته اجسامی مثل استوانه،مخروط فقط دونما رسم می شود چون نمای روبه رو با راست آنها باهم برابر است کلی بالا آنها باهم فرق دارد اما کره فقط یک نمای آن رسم می شوو چون سه نمای آن باهم هم شکل است.

ترسیم گسترده

ترسیم به ترسمی گفته می شود که اجزای یک جسم سه بعدی را تجزیه می کند.ترسیم کشیدن گسترده یک جسم هندسی سه بعدی منشوروهرم،استوانه،چندوجهی،مخروط ساده است.منشور وجه های آن به همراه دو قاعده چندضلعی او کشیده میشود و هرن وجه های مثلث به همراه قاعده چندضلعی آو کشیده میشود.استوانه قسمت مستطیلی که دور دایره کشیده شده به همراه دوقاعده دایره کشیده میشود و در هرم قسمت از یک دایره کشیده میشود و چندوجهی وجه های چندضلعی منتظم او کشیده میشود.اما کره به صورت آنالیز و تجزیه آن گسترده آن بدست می آید،ما کره را بدون هیچ کاری آن را به چهار دایره بر اساس قاعده دورن آن را بدست می آوریم که به چهار دایره تقسیم می شود.

گسترده یک منشور نه(9)پهلو

مقطع

مقطع یک نوع مبحث گفته می شود که جسم سه بعدی را از طریق اقفی و عمودی و صاف و مورب قطع می کند و جسم جدید با قاعده جدید درست می کند.از طریق مورب و عمودی شکل حاصل با قاعده فرق دارد و در صاف و افقی شکل حاصل با قاعده فرق ندارد.مشهورترین مقطع،مقطع مخروطی است.

یک مقطع مخروطی

سطح مقطع

سطح مقطع مساحت قاعده و شکل حاصل از مقطع را محاسبه و آنالیز می کند. بیشترین سطح مقطع کره و هرم و چندوجهی قاعده های آنها است و سطح مقطع در حجم های هندسی با مساحت قاعده آنها برابر است.

یک سطح مقطع مخروطی که به شعاع 4سانتی متر است.

نسبت سطح مقطع

نسبت سطح مقطع یعنی نسبت مساحت قاعده مقطع و مساحت قاعده حجم هندسی است.

در احجام منشوری نسبت سطح مقطع های موازی برابر با یک می شود،چون مقطع های آنها باهم هم مساحت است. در هرم و کره نسبت سطح مقطع ها باهم متفات است.

محاط

محاط کردن یعنی حجمی را در حجمی احاطه کنیم به شرط آنکه در تمام آن قسمت حجم محاطی در تمام حجم محیطی شعاع آن با آن مماس شود و شعاع و ارتفاع حجم محاطی با شعاع و ارتفاع حجم محیطی برابر باشد.محاطی کره در استوانه یکی از محاط کردن است. کره جسم محاطی است و استوانه جسم محیطی است. با محاط کردن می توان حجم و مساحت احجام را بدست آورد.و نسبت آنهارا بدست آورد

یک کره توسط استوانه محاط شده است.

محاط‌‌کردن کره در استوانه

یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم.به طوری که شعاع کره با شعاع استوانه برابر است و قطر کره بر ارتفاع و قطر استوانه برابر است و شعاع کره نیز بر تمامی نقاط استوانه مماس است.

دراین حالت می گوییم

جسم محاطی:کره

جسم محیطی:استوانه

محاسبه حجم کره

ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه: $2\pi r^{3}$اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید ${\frac {2}{3}}2\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

محاط‌‌کردن مخروط در استوانه

ابتدامخروط‌ را در استوانه‌ای باارتفاع‌وشعاع‌مختلف محاط‌می‌کنیم.ارتفاع‌وشعاع‌مخروط با ارتفاع‌وشعاع‌استوانه برابر است.در‌این‌نوع محاط کردن ارتفاع ‌مخروط بر قاعده استوانه مماس‌می‌گردد.

دراین حالت می‌گوییم

• جسم‌محاطی:مخروط
• جسم‌محیطی:استوانه

محاسبه حجم مخروط

اگر‌مخروط را فشرده‌کنیم وبه‌استوانه تبدیل‌کنیم٬یک‌استوانه کوچک به‌وجود می‌آید.اگر سه‌تا ازاین استوانه‌های فشرده‌که قبلامخروط بودند را در استوانه‌بزرگ جای دهیم.حجم‌استوانه کامل پر‌می‌شود.

حجم‌استوانه:$V=\pi r^{2}h$

اگر نسبت‌حجم‌مخروط‌ را به‌حجم‌استوانه را در حجم‌استوانه ضرب‌کنیم،حجم مخروط بدست می‌آید

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

کاربرد

کاربرد سطح و حجم بیشتر در معماری،نجوم و... استفاده می شود و یکی از مهم ترین عناصر در ریاضیات و هندسه است.مساحت و حجم هم در مبحث هایی چون مختصات کروی و مختصات استوانه ای،مقطع‌مخروطی،مثلثات کروی،انتگرال و... استفاده می‌شود.

نگارخانه

مکعب

چهاروجهی

متوازی السطوح

هشت وجهی

مکعب مستطیل

یک منشور

استوانه (درحال دوران)

چنبره

هرم

مخروط

هرم ناقص

فهرست چندوجهی‌ها

کره

کره گون

بیضی گون

مخروط ناقص در حال دوران

یادداشت

1. Vیعنی نماد حجم(Volume)
2. S,Aیعنی نماد مساحت(Area,surface)
3. P,pیعنی نماد محیط(periphery)
4. aیعنی ضلع مکعب،منشور چندپهلو و چهاروجهی
5. a,b,cاضلاع مستطیل و متوازی السطوح
6. h,Hیعنی ارتفاع(Height)
7. مماس یعنی خطی که بر یک خط در تماس باشد و زاویه تماس آن قائم یا 90درجه باشد،مماس در فضایی سه بعدی باعث محاطی یک جسم می گردد
8. برای محاط کردن باید جسم را درجسم دیگر بر حالت مماس احاطه کنیم.
9. ترسیم سه نما از سه جهت بالا،روبه رو،راست را میکشیم
10. در گسترده کشیدن باید اجزای جسم را بکشیم و بعد آن را درهم طتبیق کنیم
11. در مقطع کار اصلی ایجاد قاعده و جسمی جدید است
12. سطح مقطع یعنی مساحت حاصل مقطع
13. دوران یعنی چرخش
14. nیعنی هم تعداد وجه ها و ضلع ها
15. 'nیعنی تعداد ضلع های وجه ها
16. کره نوعی چندوجهی است که وجه های بی نهایت دارد
17. متوازی السطوح،مکعب،مکعب مستطیل از بردار های سه بعدی تشکیل شده اند
18. نسبتSA/Vیعنی نسبت حجم به مساحت
19. Kرابطه مثلثاتی است. حجم متوازی السطوح از جذر این عدد در کنارضربa,b,c نوشته می شودو از رابطه زیر نوشته می گردد

${\begin{aligned}K=1&+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}$

منابع

1. ویکی پدیای انگلیسی و فارسی(مساحت،حجم)
2. ریاضی پایه هفتم و نهم(ترسیم سه نما،محاط،دوران ساده،گسترده کشیدن)
3. هندسه پایه دهم و دوازدهم(مقطع،دوران پیشرفته،مختصات سه بعدی،فضایR^3)
4. ویکی انبار
5. درسنامه فرادرس
6. مترجم گوگل

چندضلعی منتظم

چندضلعی منتظم،در هندسه اقلیدوسی چندضلعی است که همه زوایا و اضلاع آن هم‌اندازه‌اند.چندضلعی‌های منتظم، می‌توانند کوژ یا به شکل ستاره باشند. در حالت حدی، یک دنباله از چندضلعی‌های منتظم با افزایش تعداد اضلاع، در صورت ثابت ماندن محیط به دایره تبدیل می‌شود و در صورت ثابت ماندن طول ضلع، به apeirogon تبدیل می‌شود.

چندضلعی‌های منتظم

محیط و مساحت

محیط

محیط چندضلعی منتظم براساس ضرب تعداد ضلع های چندضلعی منتظم و اندازه اضلاع چندضلعی منتظم است.

محیط مساحت براساس این رابطه بدست می آید.$P=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=(n.a)=na$دراینجاnبرابر با تعداد اضلاع چندضلعی منتظم است و aدر اینجا برابر با اندازه اضلاع چندضلعس منتظم است.

مساحت

مساحت چندضلعی منتظم براساس روابط مثلثاتی بدست می آید.مساحت چندضلعی منتظم براساس اینکه از مربع های 1×1ساخته شده است و تعداد اضلاع آنn-تا است و چون براساس عدد پی نیز تعداد اضلاع آن گسترش می یابد به صورت مثلثاتی براساس کتانژانت به صورت عددپی بر تقسیم تعداد اضلاع چندضلعی منتظم بدست می آید.

مساحت چندضلعی منتظم براین اساس نوشته می گردد

$A={\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}})$

دراینجا عدد پی،برحسب رادیان است.(برابربا°۱۸۰)

رابطه مساحت مربع به روش مثلثاتی

مربع چون یک چندضلعی منتظم است،مساحت آن را می توان به صورت مساحت چندضلعی منتظم که به روش مثلثاتی بدست می آید نیز نوشت که به رابطه به این صورت است:${\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=a^{2}\cot {\frac {\pi }{4}}=a^{2}.({\sqrt {1}})=1.a^{2}=a^{2}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}na^{2}={\frac {1}{4}}4a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}=1$

پس مساحت مربع همراوه با مجذور ضلع آن برابر است.

سایر فرمول های دیگر مساحت

مساحت یک n-ضلعی منتظم کوژ با اندازهٔ ضلع a، شعاع دایره محیطی R، شعاع دایره محاطی r و محیط p با استفاده از روابط زیر بدست می‌آید:

(زوایا برحسب رادیان است.)

$A={\tfrac {1}{2}}nar={\tfrac {1}{2}}pr={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot {\tfrac {\pi }{n}}=nr^{2}\tan {\tfrac {\pi }{n}}={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$

که در آن R برابر است با:

$R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

تعداد قطرها

برای n > ۲، تعداد قطرهای n-ضلعی، برابر است با ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$، به‌عنوان مثال برای مثلث، چهارضلعی، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی، تعداد قطرها به‌ترتیب، ۰، ۲، ۵ و ۹ است.

برای یک n-ضلعی منتظم محاط‌شده در یک دایره به شعاع واحد، حاصل‌ضرب فاصلهٔ هر رأس تا همهٔ رأس‌های دیگر، برابر است با n.

زوایا

زاویه داخلی

یک nضلعی منتظم را درنظر بگیرید. ابتدا تعداد مثلث هایش را طبق چندضلعی‌ های معروف محاسبه می‌کنیم

• مربع:۲مثلث
• پنج ضلعی منتظم:۳مثلث
• شش ضلعی منتظم:۴مثلث
• هفت ضلعی منتظم:۵مثلث
• هشت ضلعی منتظم:۶مثلث
• نه ضلعی منتظم:۷مثلث
• ده ضلعی منتظم:۸مثلث

طبق این الگو،متوجه می‌شویم که تعداد مثلث ها از تعداد ضلع‌های چندضلعی های منتظم دوتا کمتر است.پس تعداد مثلث درون هر چندضلعی منتظم برابر با این رابطه است.

تعداد مثلث:$n-2$

چون مجموعه زاویه‌هایی داخلی یک مثلث°۱۸۰درجه است پس مجموعه زاویه‌هایی داخلی بر اساس مجموع زاویه های تعداد مثلث های دورن او است.

مجموع زاویه داخلی:$180(n-2)$

اندازه زاویه‌داخلی چندضلعی منتظم برابر با تقسیم تعداد ضلع‌ها است.چون تعداد راس ها با تعداد ضلع‌ها برابر است.

اندازه زاویه‌داخلی:${\frac {180}{n}}(n-2)$

زاویه خارجی

مجموع زاویه خارجی هر چندضلعی منتظم برابر با۳۶۰ درجه است.پس برای اندازه گیری زاویه خارجی باید ۳۶۰ درجه به تعداد اضلاع چندضلعی منتظم تقسیم کنیم،تا اندازه زاویه آن مشخص گردد.

مجموع زاویه خارجی:360درجه اندازه زاویه خارجی:${\frac {360}{n}}$

ویژگی

ویژگی‌های بیان‌شده در ادامه، برای همهٔ چندضلعی‌های منتظم (اعم از کوژ و ستاره‌ای) برقرار است.

یک چندضلعی منتظم n-ضلعی، تقارن چرخشی از مرتبهٔ n دارد.

همهٔ رأس‌های یک چندضلعی منتظم بر روی یک دایره (دایره محیطی) قرار می‌گیرند. به‌عبارت دیگر، رأس‌ها نقاطی هم‌دایره هستند. یعنی یک چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی دایره‌ای هم هست.

هر چندضلعی منتظم، یک دایره محاطی دارد که به همه اضلاع در نقطهٔ وسط آنها مماس است. بنابراین هر چندضلعی منتظم، لزوماً یک چندضلعی مماسی هم هست.

یک n-ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است؛ اگر و تنها اگر فاکتورهای اول فرد n، اعداد اول فرمای متفاوتی باشند.

چندضلعی های منتظم محیطی، بیشترین مساحت را در دایره دارند. به عنوان مثال بین همه‌ی سه ضلعی های محیطی در یک دایره مثلث متساوی الاضلاع و در بین همه ی چهار ضلعی های محیطی در یک دایره مربع بیشترین مساحت را دارد.

منابع

ویکی پدیای فارسی

زاویه داخلی و خارجی

مقطع مخروطی

در ریاضیات، مقطع مخروطی (یا به سادگی مخروطی، گاهی اوقات منحنی درجه دوم نامیده می شود) منحنی است که به عنوان تقاطع سطح یک مخروط با یک صفحه به دست می آید. سه نوع مقطع مخروطی عبارتند از: هذلولی، سهمی و بیضی. دایره یک مورد خاص از بیضی است، اگرچه از نظر تاریخی گاهی اوقات آن را نوع چهارم می نامند. ریاضیدانان یونان باستان برش های مخروطی را مطالعه کردند که در حدود 200 سال قبل از میلاد با کار سیستماتیک آپولونیوس پرگا بر روی خواص آنها به اوج خود رسید.

معادلهٔ کلی

معادلهٔ یک مقطع مخروطی به‌صورت معادلهٔ درجه دو زیر برحسب $x,y$ بیان می‌شود:

$ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$

دوران

مقدمه دوران

از دوران هر شکل دور یک محورش شکل جدیدی به وجود می‌آید.

مثلاً از دوران مستطیل حول یک محورش، استوانه به دست می‌آید.

مثلاً پاره‌خطی را حول خطی که بر آن عمود است دوران دهیم، یک دایره ایجاد می‌شود.

در مقاطع مخروطی

در مقطع مخروطی ما یک صفحه مورب را در یک خط صاف چرخشی،کار دوران را انجام می دهیم،این کار به صورت رویه دورانی انجام می گردد و دو مخروط متقارن ایجاد می شود.

در مقاطع مخروطی دوران ها به این صورت است:

از دوران یک دایره حول قطر آن یک کره به وجود می آید.

از دوران یک بیضی حول یکی از قطر هایش یک کره گون به وجود می آید.

از دوران یک سهمی حول یکی از قطرهایش یک سهمی گون به وجود می آید

از دوران یک هذلولی حول یکی از قطرهایش ،یک هذلولی گون به وجود می آید.

نکته

در دایره و بیضی،دوران آنها به صورت پیوسته است و فقط یک جسم هندسی را ایجاد می کنند.

در سهمی و هذلولی چندین سهمی گون و هذلولی گون وجود دارد که از این سهمی گون ها و هذلولی گوت ها، سهمی گون دورانی و هذلولی گوت دورانی می گوییم.

برش ها

مخروطی را در نظر بگیرید. اگر برشی موازی قاعده‌ی آن روی آن ایجاد کنیم، سطح مقطع به وجود آمده یک دایره است. اگر این برش را به صورت مایل به طوری‌که نه موازی قاعده و نه موازی مولد مخروط باشد، سطح مقطع ایجاد شده یک بیضی خواهد بود. اگر این برش موازی مولد مخروط باشد، سطح مقطع به وجود آمده سهمی نامیده می‌شود. و اگر این برش بر قاعده عمود شود یک هذلولی ایجاد می‌شود.

تعاریف مقاطع مخروطی

دایره

دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.

بیضی

در هندسه، بیضی یک منحنی مسطح و بسته است که دو کانون دارد و حاصل جمع فاصلهٔ هر نقطه روی محیط آن با دو کانونش مقدار ثابتی است. شکل بیضی (مقدار کشیده بودنش) با مقدار برون‌مرکزی آن مشخص می‌شود. برون‌مرکزیِ بیضی عددی بین صفر و یک است و هر چه کوچک‌تر باشد کشیدگی بیضی کمتر است. اگر برون‌مرکزی بیضی صفر باشد، دو کانون آن روی هم می‌افتند و منحنی تبدیل به دایره (که حالت خاص بیضی است) می‌شود. بیضی را همچنین می‌توان با عنوان «مقطع مخروطی بسته» تعریف کرد. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود. گونه‌های دیگر مقاطع مخروطی (سهمی و هذلولی) بازند و کراندار نیستند.

سهمی

سهمی مجموعه نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند.سهمی خمی باز است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی نباشد. اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با هیچ‌یک از وترهای مخروط یا ارتفاع آن موازی نباشد حاصل بیضی خواهد بود.

هذلولی

هُذلولی خمی باز است که از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه، موازی با محورِ سطحِ مخروطی باشد، پدید می‌آید. در صفحهٔ اقلیدسی و از نظر مکان هندسی، هذلولی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه است که تفاضل فاصلهٔ هر یک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها)، مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد؛ اگر نصف اندازهٔ طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصلهٔ کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطهٔ c² = a² + b² برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می‌کنند.

ویژگی مقطع مخروطی در هندسه اقلیدسی

مقاطع مخروطی در صفحه اقلیدسی دارای ویژگی های متمایز مختلفی هستند که بسیاری از آنها را می توان به عنوان تعاریف جایگزین استفاده کرد. یکی از این ویژگی‌ها مخروطی غیر دایره‌ای  را مجموعه‌ای از نقاطی تعریف می‌کند که فواصل آن‌ها تا یک نقطه خاص به نام کانون و یک خط خاص به نام جهات در یک نسبت ثابت است که خروج از مرکز نامیده می‌شود . نوع مخروط با مقدار خروج از مرکز تعیین می شود. در هندسه تحلیلی ، مخروطی ممکن است به عنوان یک منحنی جبری صفحه درجه 2 تعریف شود. یعنی به عنوان مجموعه نقاطی که مختصات آنها معادله درجه دوم را برآورده می کنددر دو متغیر که ممکن است به صورت ماتریسی نوشته شوند. این معادله امکان استنتاج و بیان جبری خواص هندسی مقاطع مخروطی را فراهم می کند.

در صفحه اقلیدسی، سه نوع بخش مخروطی کاملاً متفاوت به نظر می رسند، اما ویژگی های بسیاری دارند. با گسترش صفحه اقلیدسی تا شامل یک خط در بی نهایت، به دست آوردن یک صفحه نمایشی ، تفاوت ظاهری ناپدید می شود: شاخه های یک هذلولی در دو نقطه در بی نهایت به هم می رسند و آن را به یک منحنی بسته تبدیل می کنند. و دو انتهای یک سهمی به هم می رسند تا آن را به یک منحنی بسته مماس بر خط در بی نهایت تبدیل کنند. گسترش بیشتر، با گسترش مختصات واقعی برای پذیرش مختصات پیچیده ، ابزاری را برای مشاهده این یکسان سازی به صورت جبری فراهم می کند.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی

هندسه ریمانی

هندسه ریمانی،شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که به مطالعه منیفلدهای ریمانی می پردازد، یعنی منیفلدهای هموار مجهز به متریک ریمانی، این ساختار منیفلد را در هر نقطه مجهز به ضرب داخلی روی فضای مماس می کند، به طوری که از نقطه‌ای به نقطه دیگر به طور هموار تغییر می‌کند. همچنین این ساختار به طور خاص مفاهیم موضعی چون زاویه، طول خم، مساحت رویه و حجم را بدست می دهد. از این‌ها، برخی از سایر کمیّت‌های سرتاسری را می توان به وسیله انتگرال‌گیری بدست آورد.

هندسه ریمانی، از بینش برنهارت ریمان نشأت گرفت که در نطق افتتاحیه خودش (با عنوان «در مورد فرضیاتی که هندسه بر آن بنا نهاده شده») آن را بیان داشت. این هندسه، تعمیم بسیار وسیع و مجردی از هندسه دیفرانسیل رویه‌های درون  است. توسعه هندسه ریمانی منجر به ایجاد نتایج متنوعی در ارتباط با هندسه رویه‌ها و رفتار ژئودزیک رویشان شد، به همراه تکنیک‌هایی که می توان از آن ها در مطالعه منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر ابعاد بالاتر استفاده کرد. این ساختار منجر به فرموله کردن نسبیت عام انشتین شده و اثرات ژرفی را بر روی نظریه گروه‌ها، نظریه نمایش، و آنالیز ایجاد کرده و موجب توسعه توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل گشته است.

مقدمه

هندسه ریمانی اولین بار به طور کلی توسط برنهارد ریمان در قرن نوزدهم مطرح شد. با طیف وسیعی از هندسه‌ها سروکار دارد که ویژگی‌های متریک آنها از نقطه‌ای به نقطه دیگر متفاوت است، از جمله انواع استاندارد هندسه غیراقلیدسی .

هر منیفولد صاف یک متریک ریمانی را می پذیرد که اغلب به حل مسائل توپولوژی دیفرانسیل کمک می کند . همچنین به عنوان سطح ورودی برای ساختار پیچیده‌تر منیفولدهای شبه ریمانی ، که (در چهار بعد) اشیاء اصلی نظریه نسبیت عام هستند، عمل می‌کند. از دیگر تعمیم هندسه ریمانی می توان به هندسه فینسلر اشاره کرد.

تشابه نزدیکی از هندسه دیفرانسیل با ساختار ریاضی عیوب در بلورهای منظم وجود دارد. دررفتگی ها و بریدگی ها باعث ایجاد پیچش و انحنا می شوند.

قضایا

مقده ای از قضایای کلی

آنچه در زیر می آید فهرست ناقصی از کلاسیک ترین قضایا در هندسه ریمانی است. انتخاب بسته به اهمیت و ظرافت فرمولاسیون آن انجام می شود. بیشتر نتایج را می توان در تک نگاری کلاسیک جف چیگر و دی. ایبین یافت (به زیر مراجعه کنید). فرمول های ارائه شده بسیار دقیق یا کلی نیستند. این فهرست برای کسانی است که از قبل تعاریف اولیه را می‌دانند و می‌خواهند بدانند این تعاریف در مورد چیست.

قضایای عمومیویرایش کنید

1. قضیه گاوس-بونه انتگرال انحنای گاوس روی منیفولد ریمانی فشرده 2 بعدی برابر است با 2πχ( M ) که در آن χ( M ) مشخصه اویلر M را. این قضیه یک تعمیم به هر چندبعدی فشرده ریمانی دارد، به قضیه تعمیم یافته گاوس-بونت مراجعه کنید.
2. قضایای جاسازی نش آنها بیان می کنند که هر منیفولد ریمانی را می توان به صورت ایزومتریکدر فضای اقلیدسی R ⁿ جاسازی کرد .

هندسه در بزرگویرایش کنید

در تمام قضایای زیر، برخی از رفتارهای محلی فضا (معمولاً با استفاده از فرض انحنای فرمول‌بندی می‌شوند) را برای به دست آوردن اطلاعاتی در مورد ساختار کلی فضا، از جمله برخی اطلاعات در مورد نوع توپولوژیکی منیفولد یا رفتار نقاط، فرض می‌کنیم. در فواصل "به اندازه کافی بزرگ".

انحنای مقطعی فشردهویرایش کنید

1. قضیه کره . اگر M یکمنیفولد ریمانی n بعدی فشرده با انحنای مقطعی باشد که کاملاً بین 1/4 و 1 فشرده شده باشد، M به یک کره دیفئومورفیک است.
2. قضیه تناهی چیگر. با توجه به ثابت های C ، D و V ، منیفولدهای ریمانی فشرده n بعدی با انحنای مقطعی به تعداد محدود (تا دیفئومورفیسم) وجود دارد. K | ≤ C ، قطر ≤ D و حجم ≥ V.
3. منیفولدهای تقریباً مسطح گروموف . یک ε _n > 0 وجود دارد به طوری که اگر یکمنیفولد ریمانی n بعدی دارای یک متریک با انحنای مقطعی باشد | K | ≤ ε _n و قطر ≤ 1 پس پوشش محدود آن به منیفولد صفر دیفرومورفیک است .

انحنای مقطعی در زیر محدود شده استویرایش کنید

1. قضیه روح چیگر-گرومول . اگر M یک منیفولد ریمانی n- بعدی منحنی کامل غیر فشرده و غیر فشرده باشد، آنگاه M حاوی یک زیرمنیفولد S فشرده و کاملاً ژئودزیکی است به طوری که M نسبت به بسته نرمال S متمایز است ( S روح M نامیده می شود ) . به ویژه، اگر M در همه جا انحنای کاملاً ^مثبت داشته باشد، آنگاه با Rn تفاوت دارد . G. Perelman در سال 1994 یک مدرک شگفت‌انگیز زیبا/کوتاه از حدس روح ارائه کرد:اگر فقط در یک نقطه دارای انحنای مثبت باشد، ^M نسبت به Rn دیفئومورفیک است.
2. قضیه اعداد بتی گروموف. یک ثابت C = C ( n ) وجود دارد به طوری که اگر M یک منیفولد ریمانی n بعدی متصل فشرده با انحنای مقطعی مثبت باشد، مجموع اعداد بتی آن حداکثر C است.
3. قضیه تناهی گرو-پترسن. با توجه به ثابت‌های C ، D و V ، تعداد محدودی از انواع همتوپی از منیفولدهای ریمانی فشرده n بعدی با انحنای مقطعی K ≥ C ، قطر ≤ D و حجم ≥ V وجود دارد.

انحنای مقطع در بالا محدود شده استویرایش کنید

1. قضیه Cartan - Hadamard بیان می‌کند که یک منیفولد ریمانی کاملاً متصل به سادگی با انحنای مقطعی غیر مثبت با فضای اقلیدسی Rn با n ⁼ dim M از طریق نقشه نمایی در هر نقطه تفاوت دارد. این نشان می دهد که هر دو نقطه از یک منیفولد ریمانی کامل متصل به سادگی با انحنای مقطعی غیر مثبت توسط یک ژئودزیک منحصر به فرد به هم می پیوندند.
2. جریان ژئودزیکی هر منیفولد فشرده ریمانی با انحنای مقطعی منفی ارگودیک است .
3. اگر M یک منیفولد ریمانی کامل با انحنای مقطعی است که در بالا با یک ثابت کاملاً منفی k محدود شده است، یک فضای CAT( k ) است . در نتیجه، گروه بنیادی آن Γ =  π ₁ ( M ) گروموف هذلولی است . این پیامدهای زیادی برای ساختار گروه بنیادی دارد:

• به طور محدود ارائه شده است .
• کلمه مشکل برای Γ یک راه حل مثبت دارد.
• گروه Γ دارای ابعاد همولوژیکی مجازی محدودی است .
• فقط شامل تعداد محدودی از کلاسهای مزدوج از عناصر با نظم محدود است .
• زیرگروه های آبلی Γ تقریباً حلقوی هستند ، به طوری که دارای زیرگروه ایزومورف به Z × Z نیست.

انحنای ریچی در زیر محدود شده استویرایش کنید

1. قضیه مایرز اگر یک منیفولد ریمانی کامل دارای انحنای ریچی مثبت باشد، گروه بنیادی آن محدود است.
2. فرمول بوشنر اگر یک منیفولد n فشرده ریمانی دارای انحنای ریچی غیرمنفی باشد، اولین عدد بتی آن حداکثر n است، اگر و فقط اگر منیفولد ریمانی یک چنبره مسطح باشد برابر است.
3. قضیه تقسیم . اگر یک منیفولد ریمانی n بعدی دارای انحنای ریمانی غیرمنفی و یک خط مستقیم باشد (یعنی ژئودزیکی که فاصله را در هر بازه به حداقل می‌رساند) آنگاه به یک ضرب مستقیم خط واقعی و یکریمانی کامل ( n -1) بعدی ایزومتریک است. منیفولدی که دارای انحنای ریچی غیرمنفی است.
4. نابرابری اسقف - گروموف حجم یک توپ متریک شعاع r در یک منیفولد ریمانی کامل n بعدی با انحنای ریچی مثبت حداکثر حجم توپی با همان شعاع r در فضای اقلیدسی است.
5. قضیه فشردگی گروموف . مجموعه تمام منیفولدهای ریمانی با انحنای ریچی مثبت و حداکثر قطر D در متریک گروموف-هاسدورف از پیش فشرده است .

انحنای ریچی منفیویرایش کنید

1. را ایزومتری یک منیفولد فشرده ریمانی با انحنای ریچی منفی گسسته است .
2. هر منیفولد صاف با بعد n ≥ 3 یک متریک ریمانی با انحنای ریچی منفی را تایید می کند.  ( این برای سطوح صادق نیست .)

انحنای اسکالر مثبتویرایش کنید

1. راچنبره بعدی n اسکالر مثبت را نمی پذیرد.
2. اگر شعاع تزریق یک منیفولد ریمانی n بعدی فشرده ≥ π باشد، میانگین انحنای اسکالر حداکثر n ( n -1) است.

منابع

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry

https://fa.m.wikipedia.org/wiki/%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87_%D8%B1%DB%8C%D9%85%D8%A7%D9%86%DB%8C#/languages

هندسه تحلیلی

در ریاضیات،هندسه تحلیلی ، که به هندسه مختصات یا هندسه دکارتی نیز معروف است، مطالعه هندسه با استفاده از سیستم مختصات است . این در تضاد با هندسه مصنوعی است .

هندسه تحلیلی در فیزیک و مهندسی و همچنین در هوانوردی , موشک , علوم فضایی و پروازهای فضایی استفاده می شود . این پایه و اساس بیشتر زمینه های مدرن هندسه، از جمله هندسه جبری ، دیفرانسیل ، گسسته و محاسباتی است .

معمولاً سیستم مختصات دکارتی برای دستکاری معادلات برای صفحات، خطوط مستقیم و دایره ها، اغلب در دو و گاهی اوقات سه بعدی استفاده می شود. از نظر هندسی، صفحه اقلیدسی (دو بعدی) و فضای اقلیدسی را مطالعه می کند. همانطور که در کتاب های مدرسه آموزش داده شده است، هندسه تحلیلی را می توان ساده تر توضیح داد: این هندسه به تعریف و نمایش اشکال هندسی به روش عددی و استخراج اطلاعات عددی از تعاریف و نمایش های عددی اشکال مربوط می شود. اینکه جبر اعداد حقیقی را می توان برای به دست آوردن نتایجی در مورد پیوستار خطی هندسه به کار برد، به اصل اصل کانتور-ددکیند متکی است.

تاریخ(به ترتیب)

یونان باستان

ریاضیدان یونانی منائخموس با استفاده از روشی که شباهت زیادی به استفاده از مختصات داشت و گاهی اوقات گفته می شود که او هندسه تحلیلی را معرفی کرده است، مسائل را حل کرده و قضایا را اثبات می کند .

آپولونیوس از پرگا ، در بخش معین ، با مسائل به شیوه ای برخورد کرد که می توان آن را هندسه تحلیلی یک بعدی نامید. با سؤال یافتن نقاطی در یک خط که نسبت به سایرین باشد.  آپولونیوس در سونیس روشی را توسعه داد که بسیار شبیه به هندسه تحلیلی است که گاهی اوقات تصور می شود کار او کار دکارت را پیش بینی کرده است.تا حدود 1800 سال استفاده او از خطوط مرجع، قطر و مماس اساساً هیچ تفاوتی با استفاده مدرن ما از یک قاب مختصات ندارد، جایی که فواصل اندازه‌گیری شده در امتداد قطر از نقطه مماس عبارتند از ابسیساها، و قطعات موازی با مماس و قطع شده بین محور و منحنی مختصات هستند. او بیشتر روابط بین ابسیساها و دستورات مربوطه را توسعه داد که معادل معادلات بلاغی (بیان شده در کلمات) منحنی ها هستند. با این حال، اگرچه آپولونیوس به توسعه هندسه تحلیلی نزدیک شده بود، اما موفق به انجام این کار نشد زیرا قدرهای منفی را در نظر نمی گرفت و در هر مورد سیستم مختصات به جای پیشینی بر یک منحنی معین به صورت پسینی قرار می گرفت.. یعنی معادلات با منحنی تعیین می شدند، اما منحنی ها با معادلات تعیین نمی شدند. مختصات، متغیرها و معادلات مفاهیم فرعی بودند که برای یک موقعیت هندسی خاص اعمال می شدند.

ایران

عمر خیام ، ریاضیدان ایرانی قرن یازدهم، زمانی که با حل هندسی معادلات مکعب عمومی کمک کرد شکاف بین جبر عددی و هندسی  کند، رابطه قوی بین هندسه و جبر مشاهده کرد و در مسیر درست حرکت کرد. اما گام تعیین کننده بعداً با دکارت رسید.  عمر خیام را به شناسایی مبانی هندسه جبری نسبت می دهند و کتاب رساله او در برهان المسائل جبر (1070) که اصول هندسه تحلیلی را بیان می کند، بخشی از پیکره ریاضیات فارسی است که در نهایت منتقل شد. به اروپا. خیام به دلیل رویکرد دقیق هندسی او به معادلات جبری، را می توان پیشروی دکارت در ابداع هندسه تحلیلی دانست.

اروپا

هندسه تحلیلی به طور مستقل توسط رنه دکارت و پیر دو فرما ابداع شد ،  اگرچه گاهی اوقات به دکارت اعتبار می‌دهند.  هندسه دکارتی ، اصطلاح جایگزینی که برای هندسه تحلیلی استفاده می شود، از نام دکارت نامگذاری شده است.

دکارت با روش‌های مقاله‌ای با عنوان La Géométrie (هندسه) ، یکی از سه مقاله همراه (ضمائم) منتشر شده در سال 1637 همراه با گفتار او در مورد روش هدایت صحیح عقل و جستجوی حقیقت در علوم ، پیشرفت چشمگیری داشت. از آن به عنوان گفتمان در مورد روش یاد می شود. La Geometrie ، که به زبان مادری فرانسوی خود نوشته شده است ، و اصول فلسفی آن، پایه ای برای حساب دیفرانسیل و انتگرال در اروپا فراهم کرد. در ابتدا این کار به خوبی مورد استقبال قرار نگرفت، تا حدی به دلیل شکاف های فراوان در استدلال ها و معادلات پیچیده. تنها پس از ترجمه به لاتین و اضافه شدن تفسیر توسطون شوتن در سال 1649 (و کارهای بعدی پس از آن) شاهکار دکارت مورد توجه قرار گرفت.

پیر دو فرما نیز پیشگام توسعه هندسه تحلیلی بود. اگرچه در زمان حیات او منتشر نشده بود، یک فرم خطی از Ad locos planos et solidos isagoge (مقدمه ای بر مکان و مکان جامد) در پاریس در سال 1637، درست قبل از انتشار گفتار دکارت، در گردش بود .  به وضوح نوشته شده و به خوبی پذیرفته شده است، مقدمههمچنین زمینه را برای هندسه تحلیلی فراهم کرد. تفاوت اصلی بین رفتارهای فرما و دکارت یک موضوع دیدگاه است: فرما همیشه با یک معادله جبری شروع می‌کرد و سپس منحنی هندسی را توصیف می‌کرد که آن را برآورده می‌کرد، در حالی که دکارت با منحنی‌های هندسی شروع کرد و معادلات آنها را به عنوان یکی از چندین ویژگی منحنی‌ها تولید کرد. .  در نتیجه این رویکرد، دکارت مجبور شد با معادلات پیچیده‌تری سر و کار داشته باشد و او مجبور شد روش‌هایی را برای کار با معادلات چند جمله‌ای درجه بالاتر توسعه دهد. این لئونارد اویلر بود که برای اولین بار روش مختصات را در مطالعه سیستماتیک منحنی ها و سطوح فضا به کار برد.

تعریف سیستم مختصات ها

تعریف مختصات

در هندسه تحلیلی، به صفحه یک سیستم مختصات داده می شود که به وسیله آن هر نقطه دارای یک جفت مختصات اعداد حقیقی است. به طور مشابه، به فضای اقلیدسی مختصاتی داده می شود که در آن هر نقطه دارای سه مختصات است. مقدار مختصات به انتخاب نقطه مبدا اولیه بستگی دارد. انواع مختلفی از سیستم های مختصات استفاده می شود، اما رایج ترین آنها موارد زیر است:

مختصات دکارتی

سیستم مختصات دکارتی در یک صفحه یک سیستم مختصاتی است که هر نقطه را منحصراً با یک جفت مختصات عددی مشخص می کند . که فواصل علامت گذاری شده تا نقطه از دو خط ثابت عمود بر هم هستند که در یک واحد طول اندازه گیری می شوند.. هر خط مختصات مرجع یک محور مختصات یا محور ( محورهای جمع ) سیستم نامیده می شود و نقطه ای که آنها به هم می رسند مبدا آن است ، در جفت مرتب شده (0، 0) . مختصات همچنین می تواند به عنوان موقعیت های برجستگی عمود نقطه بر روی دو محور تعریف شود که به صورت فاصله علامت دار از مبدا بیان می شود.

می‌توان از همین اصل برای تعیین موقعیت هر نقطه در فضای سه‌بعدی با سه مختصات دکارتی، فواصل علامت‌دار آن تا سه صفحه متقابل عمود بر هم (یا به‌طور معادل، با طرح‌ریزی عمود بر سه خط متقابل متقابل) استفاده کرد. به طور کلی، n مختصات دکارتی (عنصری از فضای n واقعی ) نقطه را در فضای اقلیدسی n بعدی برای هر بعد n مشخص می کند. این مختصات، تا علامت ، با فواصل از نقطه تا n ابرصفحه متقابل عمود بر هم برابر هستند .

اختراع مختصات دکارتی در قرن هفدهم توسط رنه دکارت ( نام لاتین شده : Cartesius ) با ایجاد اولین پیوند سیستماتیک بین هندسه اقلیدسی و جبر ، انقلابی در ریاضیات ایجاد کرد . با استفاده از سیستم مختصات دکارتی، اشکال هندسی (مانند منحنی ها) را می توان با معادلات دکارتی توصیف کرد: معادلات جبری شامل مختصات نقاطی که روی شکل قرار دارند. به عنوان مثال، دایره ای با شعاع 2 که در مرکز مبدأ صفحه قرار دارد، ممکن است به عنوان مجموعه ای از تمام نقاطی که مختصات آنها x و y است توصیف شود.معادله x ² + y ² = 4 را برآورده کنید .

مختصات دکارتی شالوده هندسه تحلیلی هستند و برای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات مانند جبر خطی ، آنالیز مختلط ، هندسه دیفرانسیل، حساب چند متغیره ، نظریه گروه و غیره، تفاسیر هندسی روشنگر ارائه می دهند. یک مثال آشنا مفهوم نمودار یک تابع است. مختصات دکارتی نیز ابزارهای ضروری برای اکثر رشته های کاربردی هستند که با هندسه سروکار دارند، از جمله نجوم ، فیزیک ، مهندسی و بسیاری دیگر. آنها رایج ترین سیستم مختصات مورد استفاده در گرافیک کامپیوتری هستند ،طراحی هندسی به کمک کامپیوتر و سایر پردازش داده های مرتبط با هندسه .

مختصات قطبی

در ریاضیات ، سیستم مختصات قطبی یک سیستم مختصات دو بعدی است که در آن هر نقطه از یک صفحه با فاصله از یک نقطه مرجع و یک زاویه از یک جهت مرجع تعیین می شود. نقطه مرجع (مشابه منشا یک سیستم مختصات دکارتی ) قطب نامیده می شود و پرتوی از قطب در جهت مرجع، محور قطبی است . فاصله از قطب را مختصات شعاعی ، فاصله شعاعی یا به سادگی شعاع می نامندو زاویه را مختصات زاویه ای ، زاویه قطبی یا آزیموت می نامند .  زوایای نماد قطبی معمولاً در درجه یا رادیان بیان می‌شوند (rad)2π)برابر با 360 درجه است).

مختصات کروی

در ریاضیات مختصات کروی،برای فضای سه بعدی است که در آن موقعیت یک نقطه با سه عدد مشخص می شود: فاصله شعاعی آن نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویه قطبی آن اندازه گیری شده از یک جهت اوج ثابت ، و زاویه متعامد برآمدگی متعامد آن بر روی صفحه مرجعی که از مبدا می گذرد و متعامد به نقطه اوج است، از یک جهت مرجع ثابت در آن صفحه اندازه گیری می شود. می توان آن را نسخه سه بعدی سیستم مختصات قطبی دید .

مختصات استوانه ای

یک سیستم مختصات استوانه ای یک سیستم مختصات سه بعدی است که موقعیت نقطه را با فاصله از یک محور مرجع انتخابی (محور L در تصویر مقابل)، جهت از محور نسبت به یک جهت مرجع انتخابی (محور A) مشخص می کند. فاصله از صفحه مرجع انتخاب شده عمود بر محور (صفحه حاوی بخش بنفش). بسته به اینکه کدام طرف صفحه مرجع رو به نقطه است، فاصله اخیر به عنوان یک عدد مثبت یا منفی داده می شود. یک سیستم مختصات استوانه‌ای با مبدا O، محور قطبی A و محور طولی L. نقطه نقطه با فاصله شعاعی ρ = 4، مختصات زاویه‌ای φ = 130 درجه و ارتفاع z = 4 است.

منابع

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Analytic_geometry

هندسه جبری

هندسهٔ جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که به‌طور سنتی به مطالعهٔ صفرهای چندجمله‌ای های چند متغیره می‌پردازد. هندسهٔ جبری مدرن بر اساس استفاده از تکنیک‌های جبر مجرد بنا شده که اساساً از جبر جابجایی استفاده می‌کند تا مسائل هندسی مربوط به این مجموعه صفرها (ریشه این چند جمله‌ای‌ها) را مطالعه کند.

اشیای بنیادی که در مطالعه هندسه جبری استفاده می‌شوند واریته‌های جبری‌اند که بیان هندسی حل دستگاهی از معادلات چند جمله‌ای‌اند. بیشترین واریته‌های جبری مطالعه شده خم‌های جبری صفحه‌اند که شامل خطوط، دایرهها، سهمیها، بیضیها، هذلولیها، خم‌های مکعبی مثل خم‌های بیضوی و خم‌های درجه چهار مثل lemniscateها و Cassini ovalها می‌باشند. یک نقطه از صفحه به خم بیضوی متعلق است اگر مختصات آن در یک معادلهٔ چند جمله‌ای داده‌شده صدق کند. سوالات بنیادی مربوط به مطالعهٔ نقاط خاصی مثل نقاط تکین، نقاط عطف و نقاط در بی‌نهایت می‌باشد. سوالات پیشرفته‌تر مرتبط می‌شوند به توپولوژی خم و معادلات بین خم‌های داده شده به‌وسیله معادلات مختلف.

نقش و کاربرد

هندسه جبری نقش محوری در ریاضیات مدرن ایفا کرده و پیوندهای مفهومی چندگانه‌ای با شاخه‌های گسترده‌ای از ریاضیات چون آنالیز مختلط، توپولوژی و نظریه اعداد دارد. در ابتدا مطالعهٔ دستگاه معادلات چند جمله‌ایهای چند متغیره موضوع هندسه جبری بود، آنجا که حل معادله از نظر خارج شده و فهمیدن خواص ذاتی جواب دستگاه معادلات اهمیت بیشتری پیدا می‌کند، آنجاست که هندسه جبری ظاهر می‌شود؛ چرا که در این مرحله دیگر یک جواب خاص اهمیت چندانی در مقابل آن خواص ندارد، این ما را به برخی قلمروها می‌کشاند که برخی از آن‌ها جزو عمیق‌ترین قلمروهای ریاضی هستند، چه از نظر مفهومی یا تکنیکی.

در قرن بیستم

در قرن بیستم، هندسه جبری به چندین زیرمجموعه تقسیم‌بندی شدند:

• جریان اصلی هندسه جبری به مطالعه نقاط مختلط واریته‌های جبری و به‌طور عمومی‌تر نقاطی که مختصات آن‌ها در میدان بسته جبری قرار دارند می‌پردازد.
• هندسه جبری حقیقی به مطالعه نقاط حقیقی یک واریته جبری می‌پردازد.
• هندسه سیاله‌ای و به‌طور عمومی‌تر هندسهٔ حساب به مطالعهٔ نقاط یک واریته جبری که مختصاتشان در میدان‌های غیر بسته قرار دارند می‌پردازد، مثل میدان‌هایی که در نظریه جبری اعداد بحث می‌شوند چون اعداد گویا، میدان‌های عددی، میدان‌های متناهی، میدان توابع و میدان p-adicها.
• بخش عمده نظریه تکینگی به تکینگی‌های واریته‌های جبری می‌پردازد.
• هندسه جبری محاسباتی قلمرویی است که با ظهور رایانهها از برخورد هندسه جبری و جبر رایانه‌ای به‌وجود آمده‌است. این قلمرو عمدتاً شامل طراحی الگوریتم و توسعه نرم‌افزار برای مطالعه خواص بارز یک واریته داده شده می‌باشد.

بسیاری از پیشرفت‌های جریان اصلی هندسه جبری در قرن بیستم در چارچوب جبر مجرد، صورت گرفت، با افزایش تأکید بر روی خواص «ذاتی» واریته‌های جبری که وابسته به هیچ‌کدام از روش‌های متفاوت جاسازی آن واریته در فضای مختصاتی اطرافیش (ambient) وابسته نباشد؛ این هدف موازی با پیشرفت در شاخه‌هایی چون توپولوژی، هندسه دیفرانسیل و هندسه مختلط می‌باشد. یکی از دستاوردهای کلیدی این هندسه جبری مجرد، نظریه اسکیم گروتندیک است که اجازه استفاده از نظریه شیف‌ها برای مطالعهٔ واریته‌های جبری را داده به طوری که این نحوه استفاده، شباهت بسیاری به استفاده از آن در مطالعه منیفلدهای دیفرانسیل و تحلیلی دارد. این دستاورد با توسعهٔ مفهوم نقطه به‌وجود آمد؛ در هندسه جبری کلاسیک، یک نقطه از واریته آفین را از طریق قضیه صفرهای هیلبرت می‌توان شناسایی کرد، به‌وسیله یک ایده‌آل ماکسیمال حلقه مختصاتی، در حالی که نقطه متناظر با آن در اسکیم آفین، همگی ایده‌آل‌های اولی از این حلقه می‌باشند. این بدین معناست که یک نقطه از چنین اسکیمی می‌تواند یا یک نقطه عادی، یا یک زیرواریته باشد. همچنین این رویکرد موجب اتحاد زبان و ابزارهای هندسه جبری کلاسیک گشته که به‌طور عمده با نقاط مختلط، و نظریه جبری اعداد مرتبط می‌گردد. اثبات وایلز بر حدس فرما به نام قضیه آخر فرما که به مدت طولانی، حل‌ناشدنی باقی مانده بود، اثباتی بر قدرت این رویکرد می‌باشد.

مفاهیم پایه ای

صفرهای همزمان چند جمله ای‌ها

کره و دایرهٔ اریب

در هندسه جبری کلاسیک، علاقه اصلی بر روی اشیایی بود که به‌طور هم‌زمان مجموعه‌ای از چند جمله‌ای‌ها را ناپدید می‌کنند (صفر می‌کنند)، یعنی مجموعه نقاطی که هم‌زمان در یک یا تعداد بیشتری از معادلات چندجمله‌ای صدق می‌کنند. به عنوان مثال، کره دوبُعدی با شعاع ۱ در فضای اقلیدسی $\mathbb {R^{3}}$ را می‌توان به صورت مجموعه تمام نقاط (x,y,z)ی تعریف کرد که در این معادله، صدق می‌کنند:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,$

یک دایرهٔ «اریب» در $\mathbb {R^{3}}$ را می‌توان به صورت مجموعه نقاط (x,y,z) تعریف کرد که در دو معادلهٔ چندجمله‌ای زیر، هم‌زمان، صدق می‌کنند:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,$

$x+y+z=0.\,$

واریته‌های آفین

مقاله اصلی: واریته‌های آفین

ابتدا با یک میدان $\mathrm {k}$ شروع می‌کنیم. در هندسه جبری کلاسیک، این میدان، همیشه میدان اعداد مختلط $\mathbb {C}$ بود؛ اما بسیاری از نتایج با فرض یک میدان جبره بستی چون $\mathrm {k}$ هم، معتبر باقی خواهند ماند. ما فضای آفین $\mathrm {n}$ بعدی روی $\mathrm {k}$ را در نظر گرفته و آن را با $\mathbb {A^{n}(k)}$ نمایش می‌دهیم (یا صرفاً با $\mathbb {A^{n}}$، هنگامی که $\mathrm {k}$ در متن واضح باشد). هنگامی که دستگاه مختصات ثابت و مشخص باشد، می‌توان $\mathbb {A^{n}}$ را با $k^{n}$ یکی گرفت. هدف کار نکردن با $k^{n}$ این است که ساختار فضای برداری که $k^{n}$ با خود حمل می‌کند «فراموش» شود.

یک تابع $f:\mathbb {A} ^{n}\rightarrow \mathbb {A} ^{1}$ را چندجمله‌ای (یا منظم) گویند اگر آن را بتوان به صورت چندجمله‌ای نوشت، یعنی اگر وجود داشته باشد چندجمله‌ای چون $p$ در $k[x_{1},...,x_{n}]$ به گونه‌ای که برای هر نقطه $M$ با مختصات $(t_{1},...,t_{n})$ در $M$ داشته باشیم $f(M)=p(t_{1},...,t_{n})$.

هنگامی که یک دستگاه مختصات، انتخاب شد، توابع منظمِ روی n-فضای آفین را می‌توان با حلقه توابع چندجمله‌ای n متغیره روی $k$ یکی گرفت؛ به همین دلیل، مجموعه توابع منظم روی $k^{n}$ حلقه است و آن را با $k[\mathbb {A} ^{n}]$ نمایش می‌دهند.

یک چندجمله‌ای، در نقطه‌ای ناپدید می‌شود اگر که مقدارش در آن نقطه، صفر شود. فرض کنید $k^{n}$ مجموعه تمام چندجمله‌ای‌های درون $k[\mathbb {A} ^{n}]$ باشد. مجموعه ناپدیدشونده $S$ (یا مکان هندسی ناپدیدشونده یا مجموعه صفر) مجموعه $V(S)$ شامل تمام نقاط درون $\mathbb {A} ^{n}$ است که هر چندجمله‌ای $S$ بر روی آن، ناپدید می‌شوند؛ به‌طور نمادین:

$V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}.\,$

برای مجموعه‌ای چون $S$، زیرمجموعه $V(S)$ از $\mathbb {A} ^{n}$ را مجموعه جبری می‌گویند. $V$ مخفف کلمه varietry است (یک نوع خاص از مجموعه‌های جبری که در ادامه، تعریف شده‌است).

فرض کنید که مجموعه‌ای مثل $U$ از $\mathbb {A} ^{n}$ داده شده باشد، آیا می‌توان مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که آن را تولید کرده‌اند را یافت؟ اگر $U$ زیرمجموعه دلخواهی از $\mathbb {A} ^{n}$ باشد، $I(U)$ را به این صورت تعریف کنید: مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که مجموعه صفرشان شامل $U$ باشد. $I$ اول کلمه ایدئال است: اگر دو چندجمله‌ای $f$ و $g$ هر دو روی $U$ ناپدید (صفر) شوند، آن‌گاه $f+g$ هم روی $U$ ناپدید می‌شود، و اگر $h$ یک چندجمله‌ای دلخواه باشد، آن‌گاه $hf$ هم روی $U$ ناپدید شده؛ به همین دلیل، $I(U)$ همیشه یک ایده‌آل از حلقه چندجمله‌ای‌های $k[\mathbb {A} ^{n}]$ است.

دو پرسش طبیعی، پیش می‌آید:

• برای یک زیرمجموعه دلخواه $U$ از $\mathbb {A} ^{n}$، چه زمان $U=V(I(U)$؟
• برای یک مجموعه دلخواه از چندجمله‌ای‌ها چون $S$، چه زمان $S=I(V(S))$؟

جواب سؤال اول با معرفی توپولوژی زاریسکی داده شد، یک توپولوژی روی $\mathbb {A} ^{n}$ که مجموعه‌های بسته آن، همان مجموعه‌های جبری هستند که به‌طور مستقیم ساختار جبری $k[\mathbb {A} ^{n}]$ را انعکاس می‌دهند. آن‌گاه $U=V(I(U))$ اگر و تنها اگر $U$ یک مجموعه جبری یا یک مجموعه بسته زاریسکی باشد. جواب سؤال دوم توسط قضیه صفرهای هیلبرت داده می‌شود. یکی از شکل‌های این قضیه می‌گوید که $I(V(S))$ رادیکال ایده‌آل‌های تولید شده توسط $S$ است. به بیان مجردتر، یک ارتباط گالوایی، وجود دارد که منجر به ظهور دو عملگر بستار می‌گردد؛ آن‌ها را می‌توان شناسایی کرده و به‌طور طبیعی، نقش بنیادینی در این نظریه بازی می‌کنند؛ مثال مربوط در بحث مربوط به ارتباط گالوایی، تشریح شده‌است.

به دلایل مختلف، ممکن است همیشه نخواهیم با کل ایده‌آل مربوط به یک مجموعه جبری چون $U$ کار کنیم. قضیه بنیادی هیلبرت می‌گوید که ایده‌آل‌های درون $k[\mathbb {A} ^{n}]$ همیشه متناهی، تولید شده‌اند.

یک مجموعه جبری را تحویل‌ناپذیر گویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه جبری کوچک‌تر نوشت. هر مجموعه جبری به صورت اجتماع متناهی مجموعه‌های جبری تحویل‌ناپذیر بوده و این تجزیه یکتاست؛ لذا عناصر آن را مؤلفه‌های تحویل‌ناپذیر آن مجموعه جبری گویند. به یک مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر واریته هم می‌گویند. مشخص می‌شود که یک مجموعه جبری واریته (مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر) است اگر و تنها اگر به صورت مجموعه ناپدیدکننده (صفر کننده) یک ایده‌آل اول از حلقه چندجمله‌ای باشد.

برخی از مؤلفان، تمایز مشخصی بین مجموعه‌های جبری و واریته‌ها برقرار نمی‌کنند و در صورت لزوم از اصطلاح واریته تحویل‌ناپذیر برای ایجاد چنین تمایزی استفاده می‌کنند.

توابع منظم

مقاله اصلی: تابع منظم

درست همانگونه که توابع پیوسته نگاشت‌های طبیعی روی فضاهای توپولوژی و توابع هموار نگاشت‌های طبیعی روی منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر اند، دسته ای طبیعی از توابع روی یک مجموعه جبری نیز وجود دارند که به آن‌ها توابع منظم یا توابع چندجمله ای گویند. یک تابع منظم روی مجموعه ای جبری چون $V$ در $\mathbb {A} ^{n}$، تحدید توابع منظم روی $\mathbb {A} ^{n}$ به مجموعه جبری $V$ است. برای یک مجموعه جبری که روی میدان اعداد مختلط تعریف شده باشد، توابع منظم هموار و حتی تحلیلی اند.

ممکن است الزام توسعه پذیر بودن یک تابع منظم به کل فضای پیرامونی (ambient) به‌طور غیرطبیعی محدود کننده به نظر آید، اما این کار شباهت بسیاری به شرایط فضای توپولوژیکی نرمال دارد که در آن قضیه توسعه تیتز تضمین می‌کند که یک تابع پیوسته روی یک مجموعه بسته همیشه به فضای توپولوژیکی پیرامونی توسعه یابد.

توابع منظم روی $V$، درست همانند توابع منظم روی فضای آفینی، تشکیل یک حلقه می‌دهند که با $K[V]$ نمایش داده می‌شود. این حلقه را حلقه مختصاتی روی $V$ می‌نامند.

از آنجا که توابع منظم روی $V$ از توابع منظم روی $\mathbb {A} ^{n}$ نشأت می‌گیرند، رابطه ای بین حلقه‌های مختصاتیشان وجود دارد. به‌خصوص، اگر یک تابع منظم روی V تحدید دو تابع $f$ و $g$ در $K[\mathbb {A} ^{n}]$ باشد، آنگاه $f-g$ هم یک تابع چند جمله ای خواهد بود که روی $V$ ناپدید شده و لذا به $I(V)$ تعلق خواهد داشت. ازین‌رو، $K[V]$ را می‌توان با $K[\mathbb {A} ^{n}]/I(V)$ یکی گرفت.

هندسه جبری محاسباتی

می توان تاریخ پیدایش هندسه جبری محاسباتی را به نشست EUROSAM'79 (سمپوزیوم بین المللی در مورد دستکاری نمادین و جبری) که در مارسی، فرانسه در ژوئن 1979 برگزار شد، دانست. دنیس اس. آرنون نشان داد که تجزیه جبری استوانه ای جورج کالینز (CAD) امکان محاسبه توپولوژی مجموعه های نیمه جبری را فراهم می کند. برونو بوخبرگر پایه های گروبنر و الگوریتم خود را برای محاسبه آنها ارائه کرد. دانیل لازارد الگوریتم جدیدی را برای حل سیستم‌های معادلات چند جمله‌ای همگن با پیچیدگی محاسباتی ارائه کرد که اساساً در تعداد راه‌حل‌های مورد انتظار چند جمله‌ای است و بنابراین به سادگی در تعداد مجهولات نمایی است. این الگوریتم به شدت با برآیند چند متغیره مکالی مرتبط است. از آن زمان، اکثر نتایج در این زمینه به یک یا چند مورد از این موارد یا با استفاده یا بهبود یکی از این الگوریتم‌ها و یا با یافتن الگوریتم‌هایی که پیچیدگی آنها صرفاً در تعداد متغیرها تصاعدی است، مربوط می‌شود. مجموعه‌ای از نظریه‌های ریاضی مکمل روش‌های نمادین به نام هندسه جبری عددی در چند دهه گذشته توسعه یافته است. روش محاسباتی اصلی، ادامه هموتوپی است. برای مثال، این مدل از محاسبات ممیز شناور برای حل مسائل هندسه جبری پشتیبانی می کند.

بر اساس گروبنر

مبنای گروبنر سیستمی از مولدهای یک ایده آل چند جمله ای است که محاسبه آن امکان کسر بسیاری از ویژگی های تنوع جبری وابسته را که با ایده آل تعریف می شود را فراهم می کند. با توجه به یک ایده آل I که مجموعه جبری V را تعریف می کند: V خالی است (بیش از یک پسوند جبری بسته از فیلد پایه)، اگر و فقط در صورتی که مبنای گروبنر برای هر ترتیب تک جمله ای به {1} کاهش یابد. با استفاده از سری هیلبرت می توان بعد و درجه V را از هر مبنای گروبنر از I برای یک مرتبه یکپارچه محاسبه کرد که درجه کل را اصلاح می کند. اگر بعد V 0 باشد، می توان نقاط (تعداد محدود) V را از هر مبنای گروبنر I محاسبه کرد (به سیستم معادلات چند جمله ای مراجعه کنید). یک محاسبات مبتنی بر گروبنر به شخص اجازه می دهد تا تمام اجزای تقلیل ناپذیر موجود در یک ابرسطح معین را از V حذف کند. یک محاسبات مبتنی بر گروبنر به فرد اجازه می دهد تا بسته شدن Zariski تصویر V را با طرح ریزی روی مختصات اولیه k، و زیر مجموعه ای از تصویر که در آن طرح ریزی مناسب نیست، محاسبه کند. به طور کلی تر، محاسبات مبتنی بر گروبنر به فرد اجازه می دهد تا بسته شدن Zariski تصویر و نقاط بحرانی یک تابع منطقی V را در یک نوع وابسته دیگر محاسبه کند. محاسبات مبتنی بر گروبنر به شخص اجازه نمی دهد که تجزیه اولیه I یا ایده آل های اولیه را که مؤلفه های تقلیل ناپذیر V را تعریف می کنند، مستقیماً محاسبه کند، اما اکثر الگوریتم ها برای این کار شامل محاسبات پایه گروبنر هستند. الگوریتم‌هایی که مبتنی بر پایه‌های گروبنر نیستند از زنجیره‌های منظم استفاده می‌کنند، اما ممکن است در برخی شرایط استثنایی به پایه‌های گروبنر نیاز داشته باشند. محاسبه پایه های گروبنر دشوار است. در واقع، ممکن است در بدترین حالت، چند جمله‌ای داشته باشند که درجه آن‌ها از نظر تعداد متغیرها دوبرابر نمایی است و تعدادی چندجمله‌ای که نیز دو برابر نمایی است. با این حال، این تنها یک پیچیدگی در بدترین حالت است، و محدودیت پیچیدگی الگوریتم لازارد در سال 1979 ممکن است اغلب اعمال شود. الگوریتم Faugère F5 این پیچیدگی را درک می کند، زیرا ممکن است به عنوان بهبود الگوریتم لازارد در سال 1979 در نظر گرفته شود. نتیجه این است که بهترین پیاده‌سازی‌ها به فرد امکان می‌دهد تقریباً به‌طور معمول با مجموعه‌های جبری با درجه بیش از 100 محاسبه کند. این بدان معناست که در حال حاضر، دشواری محاسبه بر اساس گروبنر به شدت با دشواری ذاتی مسئله مرتبط است.

تجزیه جبری استوانه ای (CAD)

CAD الگوریتمی است که در سال 1973 توسط G. Collins برای پیاده سازی قضیه Tarski-Seidenberg در مورد حذف کمیت بر روی اعداد واقعی با پیچیدگی قابل قبولی معرفی شد. این قضیه به فرمول های منطق مرتبه اول مربوط می شود که فرمول های اتمی آن برابری های چند جمله ای یا نامساوی بین چندجمله ای ها با ضرایب واقعی است. بنابراین، این فرمول ها فرمول هایی هستند که ممکن است از فرمول های اتمی توسط عملگرهای منطقی و (∧)، یا (∨)، نه (¬)، برای همه (∀) و (∃) ساخته شوند. قضیه تارسکی بیان می کند که از روی چنین فرمولی می توان فرمول معادل را بدون کمیت (∀, ∃) محاسبه کرد. پیچیدگی CAD در تعداد متغیرها دو برابر است. این بدان معنی است که CAD در تئوری اجازه می دهد تا هر مسئله هندسه جبری واقعی را که ممکن است با چنین فرمولی بیان شود، حل کند، که تقریباً هر مشکلی در مورد انواع و مجموعه های نیمه جبری صریح داده شده است. در حالی که محاسبات مبتنی بر گروبنر فقط در موارد نادر دارای پیچیدگی نمایی مضاعف است، CAD تقریباً همیشه این پیچیدگی بالا را دارد. این به این معنی است که، مگر اینکه اکثر چند جمله ای های ظاهر شده در ورودی خطی باشند، ممکن است مشکلات بیش از چهار متغیر را حل نکند. از سال 1973، بیشتر تحقیقات در مورد این موضوع یا به بهبود CAD یا یافتن الگوریتم های جایگزین در موارد خاص مورد علاقه عمومی اختصاص یافته است. به عنوان نمونه ای از وضعیت هنر، الگوریتم های کارآمدی برای یافتن حداقل یک نقطه در هر جزء متصل از یک مجموعه نیمه جبری وجود دارد، و بنابراین برای آزمایش خالی بودن یک مجموعه نیمه جبری. از سوی دیگر، CAD هنوز در عمل بهترین الگوریتم برای شمارش تعداد اجزای متصل است.

=== پیچیدگی مجانبی در مقابل کارایی عملی === الگوریتم‌های عمومی اولیه هندسه محاسباتی دارای پیچیدگی دوگانه در بدترین حالت هستند. به طور دقیق تر، اگر d حداکثر درجه چند جمله ای های ورودی و n تعداد متغیرها باشد، پیچیدگی آنها حداکثر برای $d^{2^{cn}}$ است. مقداری ثابت c، و برای برخی از ورودی‌ها، پیچیدگی حداقل $d^{2^{c'n}}$ برای یک ثابت دیگر c است. در طول 20 سال آخر قرن بیستم، الگوریتم های مختلفی برای حل مسائل فرعی خاص با پیچیدگی بهتر معرفی شده اند. اکثر این الگوریتم‌ها دارای پیچیدگی $d^{O(n^{2})}$ هستند. در میان این الگوریتم‌ها که یک مشکل فرعی از مسائل حل شده توسط پایه‌های گروبنر را حل می‌کنند، می‌توان به «آزمایش در صورتی که یک تنوع وابسته خالی است» و «حل سیستم‌های چند جمله‌ای ناهمگن که تعداد راه‌حل‌های محدودی دارند» اشاره کرد. چنین الگوریتم‌هایی عبارتند از. به ندرت اجرا می شود، زیرا در بیشتر مدخل ها، الگوریتم های F4 و F5 Faugère کارایی عملی بهتری دارند و احتمالاً پیچیدگی مشابه یا بهتری دارند ("احتمالا" زیرا ارزیابی پیچیدگی الگوریتم های مبتنی بر گروبنر در یک کلاس خاص از ورودی ها کار دشواری است. که تنها در چند مورد خاص انجام شده است). الگوریتم های اصلی هندسه جبری واقعی که یک مسئله حل شده توسط CAD را حل می کند به توپولوژی مجموعه های نیمه جبری مربوط می شود. ممکن است «شمارش تعداد مؤلفه‌های متصل»، «آزمایش دو نقطه در یک مؤلفه» یا «محاسبه طبقه‌بندی ویتنی از یک مجموعه جبری واقعی» استناد شود. آنها دارای پیچیدگی $d^{O(n^{2})}$ هستند، اما ثابت درگیر نماد "O" به قدری زیاد است که استفاده از آنها برای حل هر مشکل غیر ضروری که به طور موثر توسط CAD حل می شود، غیر ممکن است حتی اگر بتوان از تمام توان محاسباتی موجود در جهان استفاده کرد. بنابراین، این الگوریتم‌ها هرگز پیاده‌سازی نشده‌اند و این یک حوزه تحقیقاتی فعال برای جستجوی الگوریتم‌هایی است که در کنار هم از پیچیدگی مجانبی خوب و کارایی عملی خوبی برخوردار هستند.

منابع

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry#/editor/9

https://fa.m.wikipedia.org/wiki/هندسه_جبری#/languages

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Geometrie

هندسه اقلیدسی

هندسه اقلیدسی، دستگاهی ریاضیاتی است که آن را به اقلیدس، ریاضیدان یونانی اهل اسکندریه نسبت می‌دهند، چرا که او در کتاب هندسه خود به نام اصول اقلیدس این نوع هندسه را توصیف نمود. روش اقلیدس شامل فرض گرفتن دسته کوچکی از اصول موضوعه‌های شهودی، و استنتاج گزاره‌های زیادی از این اصول می‌باشد. گرچه که بسیاری از نتایج اقلیدس توسط ریاضیدانان قبل تر از او هم بیان شده بودند، اقلیدس اولین کسی بود که که نشان داد چگونه می‌توان این گزاره‌ها را در یک دستگاه استنتاجی و منطقی جامع گنجاند. کتاب اصول اقلیدس، ابتدا از هندسه مسطحه شروع می‌کند که هنوز هم در آموزش متوسطه به عنوان اولین دستگاه اصول موضوعه‌ای و اولین مثال‌ها از اثبات‌های ریاضیاتی تدریس می‌گردند. سپس این کتاب به مباحث اجسام صلب از فضای سه بعدی می‌پردازد. بخش اعظم کتاب اصول اقلیدس به بیان نتایجی می‌پردازد که اکنون به آن جبر و نظریه اعداد گفته شده و در آنجا به زبان هندسی بیان شده‌اند.

اقلیدوس هنگامی که پرگار در دست دارد،اثر رافائل نقاش ایتالیایی قرن هفدهم

پیشینه

در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شد. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان را گرد آورد که به مدت دو هزار سال به صورت مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون و خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد.

برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

• شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
• شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به‌طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

عناصر

عناصر عمدتاً نظام‌بندی دانش قبلی از هندسه است. بهبود آن نسبت به درمان های قبلی به سرعت شناخته شد و در نتیجه علاقه کمی به حفظ درمان های قبلی وجود داشت و اکنون تقریباً همه آنها از بین رفته اند.درباب این عناصر 13تا کتاب نوشته شده بود.

اصل موضوعه

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی، می‌تواند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شود:

1. از هر دو نقطه متمایز، یک و تنها یک خط راست می‌گذرد.
2. هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
3. با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
4. همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابرند. (این اصل معیاری طبیعی برای اندازه‌گیری زاویه‌ها در اختیار می‌گذارد)
5. اگر یک خط، دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دوقائمه است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند.اما این کار همواره با شکست رو به رو شد. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسئله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.

پس از اقلیدس

تا ۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود.بعد از او هندسه ای مثل هندسه اقلیدسی ولی عمیق تر که اسم آن نااقلیدسی بود توسط گاوس پایه گذاری شد.

سیستم اندازه گیری

هندسه اقلیدسی دارای دو نوع اندازه گیری اساسی است: زاویه و فاصله . مقیاس زاویه مطلق است و اقلیدس از زاویه راست به عنوان واحد اصلی خود استفاده می کند، به طوری که برای مثال، یک زاویه 45 درجه به عنوان نیمی از زاویه قائم نامیده می شود. مقیاس فاصله نسبی است. یکی به دلخواه یک پاره خط با طول غیر صفر معینی را به عنوان واحد انتخاب می کند و سایر فواصل در رابطه با آن بیان می شوند. جمع کردن فواصل با ساختاری نشان داده می شود که در آن یک پاره خط در انتهای یک پاره خط دیگر کپی می شود تا طول آن افزایش یابد، و به طور مشابه برای تفریق.

اندازه گیری مساحت و حجم از فواصل بدست می آید. به عنوان مثال، یک مستطیل با عرض 3 و طول 4 دارای مساحتی است که نشان دهنده حاصلضرب است، 12. از آنجا که این تفسیر هندسی ضرب به سه بعد محدود می شد، هیچ راه مستقیمی برای تفسیر حاصل ضرب چهار یا بیشتر وجود نداشت. اعداد، و اقلیدس از چنین محصولاتی اجتناب می کند، اگرچه به طور ضمنی، برای مثال در اثبات کتاب نهم، گزاره 20، اشاره شده است.

اقلیدس به یک جفت خط، یا یک جفت شکل مسطح یا جامد، در صورتی که طول، مساحت یا حجم آنها به ترتیب برابر باشد، و به طور مشابه برای زاویه ها، به عنوان «مساو» (ἴσος) اطلاق می شود. اصطلاح قوی تر " همخوان " به این ایده اشاره دارد که یک شکل کامل به اندازه و شکل شکل دیگری است. از طرف دیگر، اگر بتوان یکی را روی دیگری جابه‌جا کرد تا دقیقاً با آن مطابقت داشته باشد، دو شکل همخوان هستند. (برگرداندن آن بر روی آن مجاز است.) بنابراین، برای مثال، یک مستطیل 2x6 و یک مستطیل 3x4 مساوی هستند اما متجانس نیستند و حرف R با تصویر آینه ای آن همخوانی دارد. به ارقامی که به جز اندازه‌های متفاوت با هم همخوانی دارند، مشابه نامیده می‌شوند . زوایای متناظر در یک جفت شکل مشابه همخوان هستند واضلاع متناظر با یکدیگر متناسب هستند.

کاربرد

به دلیل موقعیت بنیادی هندسه اقلیدسی در ریاضیات، ارائه بیش از یک نمونه نمونه از کاربردها در اینجا غیرعملی است.

منابع

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry

https://fa.m.wikipedia.org/wiki/%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87_%D8%A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C

هندسه نااقلیدسی

هندسه غیراقلیدسی یا نااقلیدوسی شامل دو هندسه مبتنی بر بدیهیات است که نزدیک به آنهایی است که هندسه اقلیدسی را مشخص می کنند . از آنجایی که هندسه اقلیدسی در تقاطع هندسه متریک و هندسه وابسته قرار دارد ، هندسه غیراقلیدسی با جایگزین کردن اصل موازی با یک جایگزین یا کاهش نیاز متریک به وجود می آید. در مورد اول، هندسه هذلولی و هندسه بیضوی ، هندسه‌های سنتی غیر اقلیدسی به دست می‌آیند. هنگامی که نیاز متریک آرام شد، در آن صورت صفحات همبسته مرتبط با جبرهای مسطح وجود دارد، که هندسه های سینماتیکی را به وجود می آورند که هندسه نااقلیدسی نیز نامیده می شود.

نمونه استدلال

توازی دو خط چگونه است؟

نمودار شماره ۱ - تصویری از سه حالت اصلی در بحث هندسه‌های نااقلیدسی.

---

هندسه نااقلیدوسی:رفتار خطوط با عمود مشترک در هر یک از سه نوع توازی به صورت بیضوی،اقلیدوسی یا خط راست و هذلولی مانند^۱

هندسه اقلیدوسی:فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ P تا Q باقی می‌مانند.^۲

---

• ^{۱=به نمودار شماره یک مراجعه کنید(تعریف از راست به چپ است)}
• ^{۲=قسمت وسط نموادر شماره یک ببینید.}

گسترش

هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط گاوس و ریمان در قالب هندسهٔ کلّی‌تری بسط داده شدند. همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتین استفاده شده‌است. در هندسه نااقلیدوسی مجموعه زوایای داخلی مثلت ۱۸۰درجه نمی‌باشد. برای مثال اگر ضلع‌های مثلث هذلولوی باشد مجموعه زوایای داخلی هیچگاه به۱۸۰درجه نمی‌رسد و کمتر می‌باشد. همچنین اگر هندسه بیضوی باشد، هیچگاه ۱۸۰ درجه نمی‌شود؛ بلکه بیشتر می‌باشد.

بدیهیات

هندسه اقلیدسی را می توان به روش های مختلفی به صورت اصولی توصیف کرد. متأسفانه، سیستم اصلی اقلیدس متشکل از پنج اصل (بدیهیات) یکی از اینها نیست، زیرا براهین او بر چندین فرض بیان نشده تکیه می کنند که باید به عنوان بدیهیات نیز در نظر گرفته می شدند. سیستم هیلبرت متشکل از 20 بدیهیات  از نزدیکترین رویکرد اقلیدس را دنبال می کند و توجیه همه براهین اقلیدس را فراهم می کند. سیستم‌های دیگر، با استفاده از مجموعه‌های مختلف اصطلاحات تعریف‌نشده ، هندسه یکسانی را با مسیرهای مختلف به دست می‌آورند. با این حال، همه رویکردها بدیهی دارند که از نظر منطقی با فرض پنجم اقلیدس، یعنی اصل موازی، معادل است. هیلبرت از فرم بدیهی Playfair استفاده می کند، در حالی که Birkhoffبرای مثال، از این اصل استفاده می‌کند که می‌گوید: "یک جفت مثلث مشابه اما متجانس وجود دارد." در هر یک از این سیستم‌ها، حذف یک اصل اصلی معادل اصل موازی، به هر شکلی که باشد، و دست نخورده ماندن همه بدیهیات دیگر، هندسه مطلق را ایجاد می‌کند . از آنجایی که 28 گزاره اول اقلیدس (در عناصر ) نیازی به استفاده از فرض موازی یا چیزی معادل آن ندارند، همه آنها گزاره های واقعی در هندسه مطلق هستند.

برای به دست آوردن یک هندسه غیر اقلیدسی، فرض موازی (یا معادل آن) باید با نفی آن جایگزین شود . نفی شکل بدیهی Playfair ، از آنجایی که یک دستور مرکب است (... یک و تنها یک وجود دارد ...)، می تواند به دو روش انجام شود:

• یا بیش از یک خط از طریق نقطه موازی با خط داده شده وجود خواهد داشت یا هیچ خطی در نقطه موازی با خط داده شده وجود نخواهد داشت. در حالت اول، جایگزینی فرض موازی (یا معادل آن) با عبارت "در یک صفحه، با توجه به نقطه P و خط l که از P نمی گذرد، دو خط از P وجود دارد که l را برآورده نمی کنند " و حفظ همه بدیهیات دیگر، هندسه هذلولی را نشان می دهد.
• مورد دوم به این راحتی قابل رسیدگی نیست. صرفاً جایگزین کردن فرض موازی با این جمله، "در یک صفحه، با توجه به نقطه P و خط l که از P نمی گذرد، تمام خطوط از طریق P با l ملاقات می کنند "، مجموعه ای از بدیهیات را به دست نمی دهد. از آنجایی که خطوط موازی در هندسه مطلق وجود دارند، نتیجه می‌شود اما این عبارت می گوید که هیچ خط موازی وجود ندارد. این مشکل برای خیام، ساکری و لامبرت (در ظاهری دیگر) شناخته شده بود و مبنایی برای رد آنچه به عنوان «مورد زاویه مبهم» شناخته می‌شد، شد. برای به دست آوردن مجموعه ای ثابت از بدیهیات که شامل این اصل در مورد نداشتن خطوط موازی می شود، برخی بدیهیات دیگر باید بهینه سازی شوند. این تنظیمات به سیستم بدیهی مورد استفاده بستگی دارد. از جمله، این ترفندها تأثیری بر تغییر فرض دوم اقلیدس از این جمله دارند که پاره‌های خط را می‌توان به طور نامحدود به این جمله که خطوط نامحدود هستند گسترش داد. هندسه بیضوی ریمان به عنوان طبیعی ترین هندسه ای که این اصل را برآورده می کند ظاهر می شود.

منابع

منابع موجود در ویکی پدیای فارسی

منابع موجود در ویکی پدیای انگلیسی

زاویه داخلی و خارجی

زاویه‌داخلی یا زاویه‌داخلی چندضلعی نوعی دیگر از زاویه است که در مورد اندازه‌گیری زاویه درون چندضلعی‌ منتظم به‌کارگیری می‌رود.

زاویه‌خارجی نوعی دیگر از زاویه است که در مورد اندازه‌گیری زاویه بیرون چندضلعی منتظم به کار می‌رود.

زاویهٔ داخلی(internal) و خارجی(external)

ویژگی‌ها

• در زاویه‌داخلی هرچقدر تعداد ضلع‌ها بیشتر شود،اندازه زاویه‌داخلی بیشتر می‌شود.
• در زاویه‌خارجی هرچقدر تعداد ضلع‌ها بیشتر شود،اندازه زاویه خارجی کمتر می‌شود.
• اگر زاویه‌داخلی را با زاویه‌خارجی جمع کنیم،برابر با°۱۸۰درجه می‌شود.
• زاویه‌داخلی و زاویه‌خارجی باهم مکمل هستند.
• مجموع زاویه‌های داخلی بستگی به تعداد ضلع چندضلعی منتظم دارد
• مجموع زاویه‌هایی خارجی چندضلعی منتظم٬همیشه برابر با°۳۶۰درجه است
• مثلث متساوی الاضلاع تنها چندضلعی منتظم است که زاویه‌خارجی او بیشتر زاویه‌داخلی اش می‌باشد
• مجموع زاویه داخلی یک مثلث برای با°۱۸۰درجه است.
• مربع تنها چندضلعی‌منتظم است که زاویه داخلی او برابر با زاویه‌خارجی او است⁦.

اندازه‌گیری زاویه داخلی

یک nضلعی منتظم را درنظر بگیرید.

ابتدا تعداد مثلث هایش را طبق چندضلعی‌ های معروف محاسبه می‌کنیم

• مربع:۲مثلث
• پنج ضلعی منتظم:۳مثلث
• شش ضلعی منتظم:۴مثلث
• هفت ضلعی منتظم:۵مثلث
• هشت ضلعی منتظم:۶مثلث
• نه ضلعی منتظم:۷مثلث
• ده ضلعی منتظم:۸مثلث

طبق این الگو،متوجه می‌شویم که تعداد مثلث ها از تعداد ضلع‌های چندضلعی های منتظم دوتا کمتر است.پس تعداد مثلث درون هر چندضلعی منتظم برابر با این رابطه است.

تعداد مثلث:$n-2$

چون مجموعه زاویه‌هایی داخلی یک مثلث°۱۸۰درجه است پس مجموعه زاویه‌هایی داخلی بر اساس مجموع زاویه های تعداد مثلث های دورن او است.

مجموع زاویه داخلی:$180(n-2)$

اندازه زاویه‌داخلی چندضلعی منتظم برابر با تقسیم تعداد ضلع‌ها است.چون تعداد راس ها با تعداد ضلع‌ها برابر است.

اندازه زاویه‌داخلی:${\frac {180}{n}}(n-2)$

اندازه زاویه خارجی

مجموع زاویه خارجی هر چندضلعی منتظم برابر با۳۶۰ درجه است.پس برای اندازه گیری زاویه خارجی باید ۳۶۰ درجه به تعداد اضلاع چندضلعی منتظم تقسیم کنیم،تا اندازه زاویه آن مشخص گردد.

مجموع زاویه خارجی:360درجه اندازه زاویه خارجی:${\frac {360}{n}}$

مجموع اندازه زاویه داخلی وجه های چندوجهی منتظم

مجموع زاویه داخلی وجه های چندوجهی،چون وجه های آن به صورت چندضلعی منتظم است،به صورت فرمول زاویه داخلی خود چندضلعی حساب می گردد.این زاویه را می گوییم زاویه فضایی داخلی چندوجهی که یه صورت این رابطه است.

اندازه زاویه داخلی چندوجهی منتظم:$n[(n'-2){\frac {180}{n'}}]$

که در اینجاnبرابر با تعداد وجه ها است،و'nتعداد ضلع وجه های چندوجهی منتظم است.

جدول زاویه های داخلی

نام چندضلعی	مجموع زاویه داخلی	اندازه زاویه داخلی	اندازه زاویه خارجی
مثلث متساوی الاضلاع	$180$	$60$	$120$
مربع	$360$	$90$	$90$
پنج ضلعی منتظم	$540$	$108$	$72$
شش ضلعی منتظم	$720$	$120$	$60$
هشت ضلعی منتظم	$1080$	$135$	$45$
نه ضلعی منتظم	$1260$	$140$	$40$
ده ضلعی منتظم	$1440$	$144$	$36$
دوازده ضلعی منتظم	$1800$	$150$	$30$
پانزده ضلعی منتظم	$2340$	$156$	$24$
شانزده ضلعی منتظم	$2520$	$157.5$	$22.5$
بیست ضلعی منتظم	$3240$	$162$	$18$
بیست و چهار ضلعی منتظم	$3960$	$165$	$15$
سی ضلعی منتظم	$5040$	$168$	$12$
سی و دو ضلعی منتظم	$5400$	$168.75$	$11.25$
سی و شش ضلعی منتظم	$6120$	$170$	$10$
چهل ضلعی منتظم	$6840$	$171$	$9$
شصت ضلعی منتظم	$10440$	$174$	$6$
نود ضلعی منتظم	$15840$	$176$	$4$
صد ضلعی منتظم	$17640$	$176.4$	$3.6$
صد و بیست ضلعی منتظم	$21240$	$177$	$3$

منابع

• ریاضیات پایه‌هشتم/فصل سوم/درس چهارم/۱۴۰۱
• ریاضیات پایه‌هشتم/فصل سوم/درس پنجم/۱۴۰۱

مختصات کروی

در ریاضیات مختصات کروی،برای فضای سه بعدی است که در آن موقعیت یک نقطه با سه عدد مشخص می شود: فاصله شعاعی آن نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویه قطبی آن اندازه گیری شده از یک جهت اوج ثابت ، و زاویه متعامد برآمدگی متعامد آن بر روی صفحه مرجعی که از مبدا می گذرد و متعامد به نقطه اوج است، از یک جهت مرجع ثابت در آن صفحه اندازه گیری می شود. می توان آن را نسخه سه بعدی سیستم مختصات قطبی دید .

استفاده از نمادها و ترتیب مختصات در منابع و رشته ها متفاوت است. این مقاله از کنوانسیون ISO  که اغلب در فیزیک با آن مواجه می‌شود، استفاده می‌کند :فاصله شعاعی، زاویه قطبی و زاویه ازیموت را نشان می دهد. در بسیاری از کتاب های ریاضی،یافاصله شعاعی، زاویه ازیموتال و زاویه قطبی را نشان می‌دهد و معانی θ و φ را تغییر می‌دهد . قراردادهای دیگری نیز استفاده می شود، مانند r برای شعاع از محور z ، بنابراین باید دقت زیادی برای بررسی معنای نمادها انجام شود.

طبق قراردادهای سیستم های مختصات جغرافیایی ، موقعیت ها با طول و عرض جغرافیایی و ارتفاع (ارتفاع) اندازه گیری می شوند. تعدادی سیستم مختصات آسمانی بر اساس صفحات بنیادی مختلف و با اصطلاحات مختلف برای مختصات مختلف وجود دارد. سیستم های مختصات کروی مورد استفاده در ریاضیات معمولاً به جای درجه از رادیان استفاده می کنند و زاویه آزیموتال را در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور x به محور y اندازه می گیرند نه در جهت عقربه های ساعت از شمال (0 درجه) به شرق (90 درجه) مانند سیستم مختصات افقی . .  زاویه قطبی اغلب با زاویه جایگزین می شودزاویه ارتفاع از صفحه مرجع اندازه گیری می شود، به طوری که زاویه ارتفاع صفر در افق باشد.

سیستم مختصات کروی سیستم مختصات قطبی دو بعدی را تعمیم می دهد. همچنین می توان آن را به فضاهای با ابعاد بالاتر گسترش داد و سپس به عنوان یک سیستم مختصات ابرکره ای نامیده می شود .

نقطه‌ای که با دستگاه مختصات کروی نمایش داده شده‌است

منابع

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system

درحال تحقیق

مختصات استوانه ای

یک سیستم مختصات استوانه ای یک سیستم مختصات سه بعدی است که موقعیت نقطه را با فاصله از یک محور مرجع انتخابی (محور L در تصویر مقابل)، جهت از محور نسبت به یک جهت مرجع انتخابی (محور A) مشخص می کند. فاصله از صفحه مرجع انتخاب شده عمود بر محور (صفحه حاوی بخش بنفش). بسته به اینکه کدام طرف صفحه مرجع رو به نقطه است، فاصله اخیر به عنوان یک عدد مثبت یا منفی داده می شود. یک سیستم مختصات استوانه‌ای با مبدا O، محور قطبی A و محور طولی L. نقطه نقطه با فاصله شعاعی ρ = 4، مختصات زاویه‌ای φ = 130 درجه و ارتفاع z = 4 است. مبدأ سیستم نقطه‌ای است که هر سه مختصات را می‌توان صفر داد. این نقطه تقاطع بین صفحه مرجع و محور است. محور را به‌طور متفاوتی محور استوانه‌ای یا طولی می‌نامند تا آن را از محور قطبی متمایز کند، که پرتویی است که در صفحه مرجع قرار دارد و از مبدأ شروع می‌شود و در جهت مرجع قرار می‌گیرد. سایر جهات عمود بر محور طولی را خطوط شعاعی می نامند. فاصله از محور ممکن است فاصله شعاعی یا شعاع نامیده شود، در حالی که مختصات زاویه ای گاهی اوقات به عنوان موقعیت زاویه ای یا به عنوان آزیموت نامیده می شود. شعاع و آزیموت با هم مختصات قطبی نامیده می شوند، زیرا با یک سیستم مختصات قطبی دوبعدی در صفحه از طریق نقطه، موازی با صفحه مرجع مطابقت دارند. مختصات سوم ممکن است ارتفاع یا ارتفاع (اگر صفحه مرجع افقی در نظر گرفته شود)، موقعیت طولی،یا موقعیت محوری نامیده می شود. مختصات استوانه‌ای در ارتباط با اجسام و پدیده‌هایی که دارای تقارن چرخشی حول محور طولی هستند، مانند جریان آب در یک لوله مستقیم با مقطع گرد، توزیع گرما در یک استوانه فلزی، میدان‌های الکترومغناطیسی تولید شده توسط جریان الکتریکی در سیم بلند و مستقیم، قرص های برافزایشی در نجوم و غیره. آنها گاهی اوقات «مختصات قطبی استوانه‌ای»و «مختصات استوانه‌ای قطبی» نامیده می‌شوند و گاهی برای تعیین موقعیت ستارگان در یک کهکشان («مختصات قطبی استوانه‌ای کهکشانی مرکزی») استفاده می‌شوند.

منابع

هندسه فضایی

هندسه مقدماتی

مکعب

مُکَعَّب (به انگلیسی: Cube) به حجم بسته سه بعدی گویند که از ۶ مربع برابر تشکیل شده باشد. به صورتی که هر ضلع هریک از مربع‌ها با تنها یک مربع دیگر مشترک باشد و در رأس‌ها سه مربع با یکدیگر در ارتباط هستند. مکعب را می‌توان یک شش وجهی منظم نامید و یکی از پنج جسم افلاطونی است. اگر همه یا برخی از وجوه یک مکعب را از مربع به مستطیل تغییر بدهیم، شش وجهی به وجود آمده مکعب مستطیل نامیده می‌شود و اگر وجه های آن را به لوزی و متوازی الاضلاع تبدیل کنیم،به متوازی السطوح تبدیل می شود. گاه برای تمایز با مکعب مستطیل، مکعب (با وجوه مربع) را مکعب مربع نیز ممکن است بنامند.

مکعب درکل۲تا قاعده،۴تا وجه جانبی،۶تا وجه،۸تا راس و۱۲تا یال دارد.

حجم و مساحت

حجم مکعب

محاسبه حجم مکعب از طریق توان سوم اضلاع آن، توان سوم مکعب نامیده می‌شود همان‌طور که توان دوم مربع نامیده می‌شود.حجم آن به این صورت است:

$a.a.a=(a.a).a=a^{2}.a=a^{3}$

محاسبه حجم مکعب به صورت مساحت چندضلعی منتظم

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.$V=({\frac {1}{4}}n.a^{2}\cot({\frac {\pi }{n}}).a)=({\frac {1}{4}}4.a^{2}\cot({\frac {\pi }{4}}).a)=(a^{2}.({\sqrt {1}})).a=a^{2}.1.a=a^{3}$در اینجا:

${\frac {1}{4}}4.a^{2}=1.a^{2}=a^{2}$

$\cot {\frac {\pi }{4}}={\sqrt {1}}=1$

مساحت

مربع از نوع چندضلعی های منتظم است و از وجه های مکعب و قاعده مکعب مربع است.مساحت مربع همواره با فرمول مساحت چندضلعی برابر است.و مکعب از شش وجه مربع ساخته شده است و به همین از تشکیل وجه های چندضلعی منتظم،چندوجهی منتظم ساخته می شود.

مکعب نیز دارای مساخت کل نیز است.و مساحت آن برابر با این رابطه است:

$6.a.a=6.a^{2}=6a^{2}$

اگر طبق مساحت چندضلعی حساب شود،به این صورت است.

$A=(6.\frac{1}{4}n.a^2\cot <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}))=6.(\frac{1}{4}4.a^2\cot <!--\; \; -->(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{4})$