نگاهی به ریاضیات پیشرفته/گشتی در دنیای هندسه/هندسه نااقلیدسی

ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد

هندسه غیراقلیدسی یا نااقلیدوسی شامل دو هندسه مبتنی بر بدیهیات است که نزدیک به آنهایی است که هندسه اقلیدسی را مشخص می کنند . از آنجایی که هندسه اقلیدسی در تقاطع هندسه متریک و هندسه وابسته قرار دارد ، هندسه غیراقلیدسی با جایگزین کردن اصل موازی با یک جایگزین یا کاهش نیاز متریک به وجود می آید. در مورد اول، هندسه هذلولی و هندسه بیضوی ، هندسه‌های سنتی غیر اقلیدسی به دست می‌آیند. هنگامی که نیاز متریک آرام شد، در آن صورت صفحات همبسته مرتبط با جبرهای مسطح وجود دارد، که هندسه های سینماتیکی را به وجود می آورند که هندسه نااقلیدسی نیز نامیده می شود.

نمونه استدلال[ویرایش]

توازی دو خط چگونه است؟[ویرایش]

نمودار شماره ۱ - تصویری از سه حالت اصلی در بحث هندسه‌های نااقلیدسی.

هندسه نااقلیدوسی:رفتار خطوط با عمود مشترک در هر یک از سه نوع توازی به صورت بیضوی،اقلیدوسی یا خط راست و هذلولی مانند۱

هندسه اقلیدوسی:فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ P تا Q باقی می‌مانند.۲


  • ۱=به نمودار شماره یک مراجعه کنید(تعریف از راست به چپ است)
  • ۲=قسمت وسط نموادر شماره یک ببینید.

گسترش[ویرایش]

هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط گاوس و ریمان در قالب هندسهٔ کلّی‌تری بسط داده شدند. همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتین استفاده شده‌است. در هندسه نااقلیدوسی مجموعه زوایای داخلی مثلت ۱۸۰درجه نمی‌باشد. برای مثال اگر ضلع‌های مثلث هذلولوی باشد مجموعه زوایای داخلی هیچگاه به۱۸۰درجه نمی‌رسد و کمتر می‌باشد. همچنین اگر هندسه بیضوی باشد، هیچگاه ۱۸۰ درجه نمی‌شود؛ بلکه بیشتر می‌باشد.

بدیهیات[ویرایش]

هندسه اقلیدسی را می توان به روش های مختلفی به صورت اصولی توصیف کرد. متأسفانه، سیستم اصلی اقلیدس متشکل از پنج اصل (بدیهیات) یکی از اینها نیست، زیرا براهین او بر چندین فرض بیان نشده تکیه می کنند که باید به عنوان بدیهیات نیز در نظر گرفته می شدند. سیستم هیلبرت متشکل از 20 بدیهیات  از نزدیکترین رویکرد اقلیدس را دنبال می کند و توجیه همه براهین اقلیدس را فراهم می کند. سیستم‌های دیگر، با استفاده از مجموعه‌های مختلف اصطلاحات تعریف‌نشده ، هندسه یکسانی را با مسیرهای مختلف به دست می‌آورند. با این حال، همه رویکردها بدیهی دارند که از نظر منطقی با فرض پنجم اقلیدس، یعنی اصل موازی، معادل است. هیلبرت از فرم بدیهی Playfair استفاده می کند، در حالی که Birkhoffبرای مثال، از این اصل استفاده می‌کند که می‌گوید: "یک جفت مثلث مشابه اما متجانس وجود دارد." در هر یک از این سیستم‌ها، حذف یک اصل اصلی معادل اصل موازی، به هر شکلی که باشد، و دست نخورده ماندن همه بدیهیات دیگر، هندسه مطلق را ایجاد می‌کند . از آنجایی که 28 گزاره اول اقلیدس (در عناصر ) نیازی به استفاده از فرض موازی یا چیزی معادل آن ندارند، همه آنها گزاره های واقعی در هندسه مطلق هستند.

برای به دست آوردن یک هندسه غیر اقلیدسی، فرض موازی (یا معادل آن) باید با نفی آن جایگزین شود . نفی شکل بدیهی Playfair ، از آنجایی که یک دستور مرکب است (... یک و تنها یک وجود دارد ...)، می تواند به دو روش انجام شود:

  • یا بیش از یک خط از طریق نقطه موازی با خط داده شده وجود خواهد داشت یا هیچ خطی در نقطه موازی با خط داده شده وجود نخواهد داشت. در حالت اول، جایگزینی فرض موازی (یا معادل آن) با عبارت "در یک صفحه، با توجه به نقطه P و خط l که از P نمی گذرد، دو خط از P وجود دارد که l را برآورده نمی کنند " و حفظ همه بدیهیات دیگر، هندسه هذلولی را نشان می دهد.
  • مورد دوم به این راحتی قابل رسیدگی نیست. صرفاً جایگزین کردن فرض موازی با این جمله، "در یک صفحه، با توجه به نقطه P و خط l که از P نمی گذرد، تمام خطوط از طریق P با l ملاقات می کنند "، مجموعه ای از بدیهیات را به دست نمی دهد. از آنجایی که خطوط موازی در هندسه مطلق وجود دارند، نتیجه می‌شود اما این عبارت می گوید که هیچ خط موازی وجود ندارد. این مشکل برای خیام، ساکری و لامبرت (در ظاهری دیگر) شناخته شده بود و مبنایی برای رد آنچه به عنوان «مورد زاویه مبهم» شناخته می‌شد، شد. برای به دست آوردن مجموعه ای ثابت از بدیهیات که شامل این اصل در مورد نداشتن خطوط موازی می شود، برخی بدیهیات دیگر باید بهینه سازی شوند. این تنظیمات به سیستم بدیهی مورد استفاده بستگی دارد. از جمله، این ترفندها تأثیری بر تغییر فرض دوم اقلیدس از این جمله دارند که پاره‌های خط را می‌توان به طور نامحدود به این جمله که خطوط نامحدود هستند گسترش داد. هندسه بیضوی ریمان به عنوان طبیعی ترین هندسه ای که این اصل را برآورده می کند ظاهر می شود.

منابع[ویرایش]

منابع موجود در ویکی پدیای فارسی

منابع موجود در ویکی پدیای انگلیسی