تحلیل ابعادی در مکانیک سیالات

مقدمه

اساسا تحلیل ابعادی روشی است برای کاهش تعداد و پیچیدگی آزمایش متغیرهایی که بر پدیده‌های فیزیکی مشخصی با استفاده از نوعی متراکم‌سازی آزمایشات اثر میگذارد. اگر پدیده‌ای بستگی به n متغیر ابعادی داشته باشد تحلیل ابعادی مسئله را تا حد k متغیر بدون بعد کاهش میدهد به طوری که 4 یا 3 یا 2و n-k=1 است که بستگی به پیچیدگی مسئله دارد .

به هر کمیتی که می سنجیم یا محاسبه می کنیم، معمولاً بعدی وابسته است، مثلاً مقدار جذب صوت در یک محیط بسته و احتمال وقوع واکنش‌های هسته‌ای، هر دو بعد مساحت دارند . هر کمیت را می‌توان بر حسب یکاهای متفاوتی بیان کرد، اما این کار بعد کمیت را عوض نمی‌کند؛ مساحت را چه بر حسب m 2 {\displaystyle m^{2}} {\displaystyle m^{2}} بین کنند، چه بر حسب f t 2 {\displaystyle ft^{2}} {\displaystyle ft^{2}}، چه بر حسب هکتار، چه بر حسب سابین ( برای جذب صوت )، و چه بر حسب بارن ( برای واکنش‌های هسته‌ای) به هر حال مساحت است و بعد مساحت دارد. با توجه به کمیت‌های بنیادی ( مثل طول، زمان و ... ) می‌توانیم مجموعه‌ای از ابعاد بنیادی را بر اساس استانداردهای مستقل، انتخاب کنیم. در میان کمیت‌های مکانیکی، جرم، طول، زمان، شدت روشنایی( در SI بر حسب شمع)، مقدار ماده(در SI بر حسب مول)، شدت جریان الکتریکی (در SIبر حسب آمپر)، بنیادی و مستقل از یکدیگرند و کمیت‌های دیگر را می‌توان بر حسب آنها بیان کرد. پس اینها را به عنوان ابعاد بنیادی می گیریم و به ترتیب با M ، L ، T نشان می دهیم. باید توجه داشت که برای نشان دادن دیمانسیون هر کمیتی آن را در علامت [ ] قرار می‌دهند و دیمانسیون (ابعاد بنیادی) را با حروف بزرگ نشان می‌دهند. در هر معادله‌ای باید بعد کمیت‌های دو طرف معادله یکسان باشد. در خیلی از موارد توجه به بعد کمیت‌ها می‌تواند جلوی اشتباه را بگیرد.

در علم مکانیک سیالات اغلب پدیده‌ها به متغیرهای زیادی وابسته‌اند و تجزیه وتحلیل آنها با استفاده از نمونه اصلی و این تعداد متغیرها، کار پرهزینه و وقت گیری است این مشکل با استفاده از آنالیز ابعادی حل شده است بدین ترتیب که به جای استفاده از تک تک متغیرها، اعداد بدون بعد مربوط را بدست آورده و از آنها استفاده می‌کنیم و در نتیجه تعداد متغیرها کاهش می‌یابد. از طرف دیگر با استفاده از قانون تشابه حاصل از آنالیز ابعادی داده‌ای مربوط به یک مدل کوچک را می‌توان به داده‌های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل نمود.

ابعاد

چهار بعد اصلی مورد استفاده در مکانیک سیالات عبارتند از:

• جرم(M)
• طول(L)
• زمان(T)
• درجه حرارت($\theta$)

لازم به ذکر است که ما در کل هفت بعد داریم که علاوه بر چهار بعد اشاره شده در بالا جریان، شدت روشنایی و شار مغناطیسی نیز از ابعاد اصلی هستند.

کمیت‌هایی که از بُعد اصلی گرفته می‌شود در جدول زیر نوشته شده است.

---

نکته : ضریب گرمای مقاومت، اختلاف فاز، شدت نسبی احساس صوت، عدد رینولدز، عدد ماخ و ضریب اتمیسیته گاز دیمانسیون ندارند.

---

مزایای تحلیل ابعادی

گرچه هدف تحلیل ابعادی، کاهش متغیرها و گروه بندی آنها به صورت بی بعد است؛ اما مزایای جنبی زیادی نیز در بر دارد:

الف) اولین مزیت تحلیل ابعادی صرفه جویی در وقت و پول است. فرض کنید میدانیم که نیروی F روی یک جسم مشخص شناور در جریان یک سیال، فقط به طول جسم(L)، سرعت جریان(V)، جرم مخصوص(ρ)، لزجت سیال(µ) بستگی دارد.

Fluid 1.jpg

اگر شکل هندسی و شرایط جریان به قدری پیچیده باشندکه تئوریهای انتگرالی و دیفرانسیلی قادر به یافتن نیرو نباشند، آنگاه باید F را به صورت تجربی بیابیم. اگر برای تعریف یک منحنی نیاز به ۱۰ نقطهٔ تجربی باشد. برای مثال باید به ازای ۱۰ طول مختلف ۱۰ آزمایش انجام داد. سپس به ازای هر طول معین Fluid 1 (13).jpg و در کل 10 4 {\displaystyle 10^{4}} {\displaystyle 10^{4}} آزمایش انجام داد. که نیازمند صرف هزینه و وقت بسیار است. اما با استفاده از روش تحلیل ابعادی معادلهٔ نیرو به صورت زیر ساده میشود:

Fluid 1 (1).jpg

که در آن ضریب بی بعد نیروFluid 1 (11).jpg فقط تابعی از عدد رینولدزFluid 1 (12).jpg است. به این صورت با انجام تنها ۱۰ آزمایش به ازای تغییرات عدد رینولدز می‌توان به نتیجهٔ مشابه حاصل از ۱۰۰۰۰ آزمایش به صورت عادی رسید.

ب)دومین مزیت تحلیل ابعادی این است که ما را در تعمق برای طرح ریزی یک آزمایش یا تئوری یاری میکند. تحلیل ابعادی گاهی بعضی از متغیرها را کنار میگذارد و گاهی متغیرهایی را که با چند آزمایش ساده، بی اهمیت بودن آنها روشن شده است، گردآوری و گروه بندی میکند.

ج)سومین مزیت تحلیل ابعادی این است که به کمک قوانین تشابه حاصل از تحلیل ابعادی، می‌توان داده‌های مربوط به یک مدل کوچک و ارزان قیمت را به داده‌های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل کرد. هنگامی که امکان استفاده از قانون تشابه فراهم است، گفته می‌شود که شرایط تشابه بین مدل و نمونه واقعی برقرار است. برای نمونه در مورد مثال فوق اگر عددهای رینولدز مدل و نمونه واقعی برابر باشند تشابه کامل برقرار است.

Fluid 1 (2).jpg

که اندیس‌های m و p به ترتیب نشانهٔ مدل و نمونهٔ واقعی هستند. پس با استفاده از تشابه داریم:

Fluid 1 (3).jpg

پس به سادگی با اندازه گیری نیروی مدل در یک عدد رینولدز، نیروی نمونه واقعی در همان عدد رینولدز بدست می آید.

دیمانسیون یا تحلیل ابعادی

درتحلیل ابعادی به جای استفاده از تک تک متغیرها، اعداد بدون بعد مربوط را بدست آورده و از آنها استفاده میکنیم. گروه‌های بی بعد تحلیل ابعادی به کمک نوعی روش فشرده کردن، به رفع پیچیدگی و کاستن از تعداد متغیر های تجربی موثر روی یک پدیده فیزیکی منجر می شود. مهم ترین هدف تحلیل ابعادی کاهش متغیرها و گروه بندی آنها به صورت بی بعد است،اما مزایای جانبی زیادی نیز دارد. از جمله صرفه جویی در وقت و پول است از این جهت که تعداد آزمایش ها را بسیار کمتر می کند.همچنین می توان با استفاده از این روش و به کمک قوانین تشابه حاصل از تحلیل ابعادی،داده های مربوط به یک مدل کوچک و ارزان قیمت را به داده های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل کرد..
اهمیت تحلیل ابعادی:
یکی از مهمترین ویژگی‌های تحلیل ابعادی، استفاده از آن برای تشخیص غلط یا درست بودن یک معادله فیزیکی است. یعنی در یک معادله معتبر فیزیکی ابعاد تمام جمله‌ها باید یکسان باشد. نمادهای ابعادی مربوط به کمیت‌های مختلف را می‌توان کاملاً مانند کمیت‌های جبری در نظر گرفت و آنها را درست مانند عواملی که در معادلات هستند، ترکیب یا حذف کرد. به عنوان مثال اگر رابطه نیرو را در نظر بگیریم به صورت F=ma می‌باشد که در این رابطه F بیانگر نیرو، a شتاب خطی و m جرم است.
بُعد نیرو به صورت ${M}{L}{T}^{-2}$ است؛ بنابراین بُعد کمیت‌های طرف دوم نیز باید ${M}{L}{T}^{-2}$ باشد تا اینکه این رابطه از نظر فیزیکی درست باشد. بُعد m برابر M بوده و بُعد شتاب برابر ${L}{T}^{-2}$ است، لذا بُعد حاصل ضرب ma برابر ${M}{L}{T}^{-2}$ است که با بُعد طرف اول برابر است.

تحلیل ابعادی روشی در تجزیه و تحلیل مسائل مکانیک سیالات با استفاده از پارامترها و متغیرهای بی بعد است. ازآنالیز ابعادی در حالت‌های زیر می‌توان استفاده کرد:

۱- انتقال از یک سیستم آحاد به سیستم دیگر

۲- کاهش تعداد متغیرهای لازم در یک برنامه آزمایشگاهی

۳- تعیین اصول طراحی مدل‌ها با استفاده از مفهوم تشابه،تعیین مقیاس لازم برای خواص سیال و ابعاد مختلف فیزیکی

۴- کمک به فهم فیزیک مسئله و استخراج معادلات حاکم

در صورتی که متغیرهای مؤثر در یک پدیده فیزیکی شناخته شده بوده اما ارتباط بین آنها معلوم نباشد، با استفاده از آنالیز ابعادی می‌توان پدیده را به صورت رابطه‌ای بین چند گروه بی بعد که تعدادشان کمتر از تعداد متغیرها است فرموله کرد. به این ترتیب تعداد آزمایشات لازم برای تعیین رابطه بین متغیرها کمتر شده و غالباً نوع آزمایشات نیز ساده‌تر می‌شوند.

راهنمای انتخاب (پارامترها) متغیرهای تکرار شونده:

۱- متغیری را که می‌خواهید برای آن رابطه پیدا کنید را جزء متغیرهای تکرار شونده قرار ندهید.

۲- پارامترهای تکرار شوندهٔ انتخاب شده، نباید خودشان قادر باشند یک گروه بدون بعد تشکیل دهند.

۳- پارامترهای بی بعد را انتخاب نکنید؛ چرا که خود یک گروه بی بعد هستند.

۴- در صورت امکان، متغیرهای معمولی انتخاب شوند (مانند چگالی، طول یک جسم و سرعت جریان). از انتخاب متغیرهایی مانند کشش سطحی، زبری سطح و سرعت صوت باید اجتناب کرد. بهتر است لزجت انتخاب نشود.

تذکر:توجه داشته باشید که از انتخاب دو متغیر که دارای بعد یکسانی باشند و تنها اختلافشان توان بعد باشد خودداری شود.

تذکر:اگر قرار باشد سه متغیر تکرار شونده انتخاب شود بهتر است یکی از آنها از بین خواص فیزیکی سیال مثل چگالی، دیگری از ابعاد هندسی جریان L یا D و سومی از خواص حرکتی سیال مثل V باشد.

یافتن گروه های بی بعد

برای تغییر تعداد متغیرهای ابعادی به تعداد کمتری از گروه های بی بعد،چند روش وجود دارد که یکی از آنها قضیه (پی بوکینگهام) است که در ادامه به آن اشاره می شود:

در این روش به دنبال تشکیل گروه‌های پی یا بی بعد هستیم. برای یافتن گروه‌های بی‌بعد ابتدا باید تمام متغیرهای تاثیرگذار روی جسم مورد بررسی را نوشته و ابعاد هر یک را مشخص کنیم. باید دقت کرد که اگر یک متغیر هم فراموش شود به جواب صحیح نمی رسیم. حال تعداد کمیت های تکرار شونده را مشخص کرده و تعداد گروه های بی بعد را از رابطه ی زیر می یابیم:

تعداد متغیرهای تکرار شونده - تعداد متغیرها = تعداد گروه های بی بعد

البته تعداد گروه های بی بعد را ازطریق تشکیل یک ماتریس که متغیر ها، ستون های آن و واحدهای اصلی، ردیف های آن را تشکیل میدهند، نیز می توان بدست آورد. اما روند بدست آورد گروه ها در مثال زیر شرح داده شده است:

فرض کنید در یک سوال نیروی وارد بر جسم درون یک سیال، به طول جسم، سرعت و چگالی آن و لزجت سیال بستگی داشته باشد یعنی:

 F=f(L,U,ρ,M)

ابعاد هر یک از متغیر ها را می نویسیم:

[m]=${M}{L}^{-1}{T}^{-1}$        [ρ]=${M}{L}^{-3}$           [U]=${L}{T}^{-1}$      [L]=${L}$        [F]=${M}{L}{T}^{-2}$  

M=جرم L=طول T=زمان

تعداد متغیرهای تکرار شونده=3 ، تعداد متغیرها=5 وتعداد گروه های بی بعد=2

حال با دادن توان های a,b,c,... به متغیرهای تابع و نوشتن رابطه بر حسب ابعاد متغیرها، a,b,c,... را می یابیم:

${L}^{a}{U}^{b}{P}^{c}{M}^{d}$ =[F]

${M}{L}{T}^{-2}=({L})^{a}({L}{T}^{-1})^{b}({M}{L}^{-3})^{c}({M}{L}^{-1}{T}^{-1})^{d}$

a,b,c رابر حسب d می یابیم:

$a=2-d$

$b=2-d$

$c=1-d$

${\frac {F}{{L}^{2}{U}^{2}{P}}}=f({\frac {m}{LUP}})$

بنا براین دو گروه پی بدست آمد. برای بدست آوردن گروه های بی بعد دیگر کافیست روی این دو گروه عملیاتی (ضرب،تقسیم و...) انجام دهیم تا گروه های بی بعد دیگر حاصل گردد.

قضیه پای باکینگهام

تعریف قضیه

در قوانین تحلیل ابعادی آمده است رابطه ای که از لحاظ ابعادی هم خوانی نداشته باشد لزوما غلط است. برای تحلیل ابعادی از چهار مقدار {M} برای جرم ، {L} برای طول ، {T} برای زمان و {K} برای دما است. همچنین از مهم ترین نظریه ها در تحلیل ابعادی، نظریه ی " پای باکینگهام " می باشد . تئوری پای اولین بار به وسیله یک ریاضی دان فرانسوی به نام، جی. برتراند J. Bertrand در سال 1878 اثبات شد. نظریه برتراند، فقط گونه خاصی از مسایل الکترودینامیک وانتقال گرما را شامل می شد. استفاده از روش قضیه پای به طور گسترده به دلیل کار های رایلی شناخته شد. تعمیم رسمی تئوری پای برای تعداد دلخواهی از مقادیر برای اولین بار توسط A. Vaschy در سال 1981 بعد آن، ظاهرا به طور مستقل توسط ا. فدرمن A. Federman در سال 1911 و ای باکینگهامE. Buckinghamدر سال 1914 ارائه شد. نام پای از نماد ریاضی πبه معنای حاصلضرب متغیرها گرفته شده‌است. گروه‌های پای بعد یافته شده توسط این روش حاصلضرب‌هایی توانیπها هستند. در این روش می‌توان πها را بدون اجبار به تعریف جداگانه آنها، سلسله وار پیدا کرد.
نکته:این روش نسبت به روش دیفرانسیلی، محدودیت ندارد و برای ابعاد بزرگ نیز کارایی دارد.

این قضیه شامل دو بخش است:

1. کاهش در تعداد متغیر:

اگر یک تحول فیزیکی اصل همگنی ابعادی را برآورده کند و شامل n متغیر ابعادی باشد، می‌توان آن رابه یک رابطه بین تنها r یا π متغیر بی بعد کاهش داد. کاهش p=n-r، معادل حداکثر تعداد متغیرهایی است که بین خود،π تشکیل نمی‌دهند و همیشه کمتر یا مساوی تعداد ابعاد بیان کننده متغیرها خواهد بود.البته تعداد گروه های بی بعد را ازطریق تشکیل یک ماتریس که متغیر ها،ستون های آن و واحدهای اصلی، ردیف های آن را تشکیل میدهند،نیز می توان بدست آورد.

2. چگونگی یافتن همزمان πها:

کاهش میزان p را بیابید، آنگاه p متغیر را به گونه‌ای انتخاب کنید که π حاصل از آنها بین خودشان یکسان نباشد. در هر گروه π دلخواه، باید حاصلضرب توانی این p متغیر بعلاوه یک متغیر اضافی با هر توان مناسب غیر صفر باشد؛ بنابراین، هر گروه π یافت شده، مستقل خواهد بود.

${{a}_{1}}=f\left({{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{n}}\right)$

${{\Pi }_{1}}={{f}^{*}}\left({{\Pi }_{2}},{{\Pi }_{3}},...,{{\Pi }_{p}}\right)$

p = n - r: تعداد کمیت های تکرار شونده

r :رنک ماتریس ابعادی

$\left({\begin{matrix}\end{matrix}}\right)$

حال با یک مثال نحوهٔ استفاده از این روش را برای شما شرح خواهیم داد :
در حقیقت r، ابعاد بزرگ ترین ماتریسی است که دترمینان آن صفر نشود. شرح آن چنین است که اگر دترمینان سه بردار در فضا صفر نشد، این سه بردار مستقل خطی هستند و پایه ای برای توصیف بردار های دیگر.

فرض کنید در آزمایشی نیروی F، تابعی از چگالی، ویسکوزیته، طول و سرعت باشد. داریم:

${\begin{aligned}&Example\\&F=f(\rho .\mu .{\text{V}}{\text{.L)}}\\\end{aligned}}$

حال ماتریس ابعادی را تشکیل می‌دهیم:
$\left({\begin{matrix}{}&F&\mu &\rho &L&V\\M&1&1&1&0&0\\L&1&-1&-3&1&1\\T&-2&-1&0&0&-1\\\end{matrix}}\right)$

r = Rank =3

n = 5

p = n - r = 2

حال میدانیم که r=۳ متغیر تکرار شونده داریم. این متغیرها را باید طوری انتخاب کنیم که در ماتریس ابعادی سه در سه آنها هیچ سطری صفر نباشد.
یا هر سطر (یا ستون) مضرب سطر (یا ستون) دیگر نباشد. باید طوری متغیر ها را انتخاب کرد که دترمینان آن صفر نشود.

در اینجا سه متغیر ρ، L، V را انتخاب می‌کنیم. ابتدا µ، ρ، L، V را در نظر گرفته و می‌نویسیم:

${\begin{aligned}&\left[\mu \times {{\rho }^{\alpha }}{{L}^{\beta }}{{V}^{\gamma }}\right]=1\to M{{L}^{-1}}{{T}^{-1}}{{\left(M{{L}^{-3}}\right)}^{\alpha }}{{L}^{\beta }}{{\left(L{{T}^{-1}}\right)}^{\gamma }}=1\\&\to {{M}^{1+\alpha }}{{L}^{-1-3\alpha +\beta +\gamma }}{{T}^{-1-\gamma }}=1\\&\left\{1+\alpha =0\right.\\&\left\{-1-3\alpha +\beta -\gamma =0\right.\to \left\{\alpha =-1\right.,\beta =-1,\gamma =-1\to {{\Pi }_{2}}={\frac {\mu }{\rho LV}}\\&\left\{-1-\gamma =0\right.\\\end{aligned}}$

حال F، ρ، L، V را در نظر می‌گیریم و می‌نویسیم:

${\begin{aligned}&\left[F\times {{\rho }^{\alpha }}{{L}^{\beta }}{{V}^{\gamma }}\right]=1\\&\to ML{{T}^{-2}}{{\left(M{{L}^{-3}}\right)}^{\alpha }}{{L}^{\beta }}{{\left(L{{T}^{-1}}\right)}^{\gamma }}=1\\&\to {{M}^{1+\alpha }}{{L}^{1-3\alpha +\beta +\gamma }}{{T}^{-2-\gamma }}=1\\&\left\{1+\alpha =0\right.\\&\left\{1-3\alpha +\beta +\gamma =0\right.\to \left\{\alpha =-1,\beta =-2,\gamma =-2\to {{\Pi }_{2=}}\right.{\frac {F}{\rho {{L}^{2}}{{V}^{2}}}}\\&\left\{-2-\gamma =0\right.\\\end{aligned}}$

حال می‌توان نوشت:

${{\Pi }_{1}}={{f}^{*}}\left({{\Pi }_{2}}\right)$

هر پدیده فیزیکی را می‌توان به صورت تابعی در نظر گرفت که n متغیر دارد و خود آن پدیده به n-1 پارامتر مستقل دیگر وابسته است؛ و به صورت:

$\mathop {q} _{1}=f(\mathop {q} _{2}.\mathop {q} _{3}.\mathop {q} _{4}.....\mathop {q} _{n})$

نمایش داد.

طبق نظریه پای باکینگهام برای هر رابطه ${{q}_{1}}=f\left({{q}_{2}},{{q}_{3}},...,{{q}_{n}}\right)$می توان n پارامتر داده شده را به صورت n-r نسبت بی بعد مستقل گروه بندی کرد. این نسبت‌ها را پارا متر های π گویند و به صورت ${{\pi }_{1}}={{f}^{*}}\left({{\pi }_{2}},{{\pi }_{3}},...,{{\pi }_{n-r}}\right)$ نمایش می‌دهند.

r برابر است با rank ماتریس A که ماتریس ابعادی پارامترهای تابع است؛ که معمولاً، نه همیشه، برابر است با کمترین تعداد ابعاد مستقلی که برای مشخص کردن ابعاد تمام پارامترهای تابع نیاز است.

تعیین گروه‌های Π

برای تعیین پارامترهای بی بعد در یک پدیده، ابتدا تمام پارامترهایی را که می دانیم (یا فکر می‌کنیم) مهم است فهرست می‌کنیم که بیشتر به صورت تجربی است.

اگر شک دارید که پارامتری مهم است، آن را وارد کنید. اگر شک شما درست باشد، آزمایش نشان می‌دهد که برای کسب نتایج درست باید ان پارامتر را وارد کرد. در غیر این صورت، پارامتر اضافی π به وجود می‌آید که آزمایش نشان می‌دهد که می‌توان آن را حذف کرد. بنابراین تمام پارامترهایی که فکر می‌کنید مهم است را وارد نمایید.

برای تعیین پارامترهای π از روش زیر استفاده کنید:

۱- تمام پارامترهای موجود را فهرست کنید. (تعداد پارامترها را n بگیرید)

۲- هر پارامتر را به صورت تابعی از ابعاد اصلی M,L,T یا F,L,T بنویسید. (در انتقال گرما و الکترسیته باید دمای T و بار q در نظر گرفته شود)

۳- ماتریس A را طوری بنویسید که سطرها درجه وابستگی به هر یک از ابعاد اصلی باشد و ستون‌ها مربوط به هر یک از پارامترها باشد.

۴- r=rank، را پیدا کنید. (برابر است با مرتبه بزرگترین دترمینانی که مقدارش صفر نمی‌شود).

۵- تعداد گروه‌های بدون بعد، P، را مشخص کنید. P=n-r در این صورت تعداد π‌ها مشخص می‌شود.

۶- پارامترهای تکراری را مشخص کنید، معمولاً پارامترهایی که در دترمینان مرحله قبل از آن‌ها استفاده شد انتخاب می‌شود.

'پیشنهاد': این مرحله معمولاً تجربی است ولی اگر در تابع L,V,ρ (طول، سرعت، چگالی) داشتیم این سه پارامتر را به عنوان پارامتر تکراری انتخاب می‌کنیم.

۷- برای تعیین گروه‌های بدون بعد نسبت وابستگی هر یک از پارامترها به پارامترهای تکراری را مشخص کنید. و هر یک از گروه‌های بدون بعد را بنویسید.

............................................................

چند نکته مهم در باره انتخاب متغیر ها
1- متغیر های تکرار شونده باید به گونه ای انتخاب شوند که از ترکیب آنها ،به هر شکل، یک گروه بی بعد تشکیل نشود.
مثلا با در نظر گرفتن چگالی و شتاب جاذبه ، نمیتوان وزن مخصوص را به عنوان متغییر تکراری درنظر گرفت چون از حاصل ضرب چگالی و شتاب جاذبه به دست می آید و میتواند با آنها یک گروه بی بعد تشکیل دهد.

2-متغییر های تکرار شونده نباید از میان متغییر های خروجی(که خواسته ی مسآله است )انتخاب شوند.

3-در صورت امکان متغیر های معمولی را انتخاب کنید .(مثل چگالی، طول و سرعت). از انتخاب متغیر هایی مانند کشش سطحی ، لزجت زبری سطح و سرعت صوت بپرهیزید.

4-توجه داشته باشید که از انتخاب دو متغییر که دارای بعد یکسانی باشند و تنها اختلافشان توان بعد باشد خودداری کنید.همچنین بر اساس تجربه بهتر است لزجت را به عنوان متغییر تکراری انتخاب نکنید.

مثال ۱

نیروی درگ F وارد شده به یک کره صیقلی به قطر D که با سرعت کم V در یک سیال لزج در حال حرکت است، علاوه بر دو متغیر نامبرده به جرم مخصوص $\rho$ و لزجت سیال $\mu$ وابسته می‌باشد.بنابراین نیروی درگ F را می‌توان به صورت تابعی نامعلوم از این متغیرها بیان کرد:

$\ F=f(D,V,\rho ,\mu )$

برای استخراج تابع بی بعد، متغیرهای تکراری D, V و $\rho$، را انتخاب می‌کنیم. این متغیرها یک گروه بی بعد را تشکیل نمی‌دهند، بنابراین
r = ۳، و تعداد گروه‌های بی بعد چنین است:

$p=n-r=5-3=2$

$A=\left({\begin{matrix}\mu &\rho &V&D&F\ \\+1&+1&0&0&+1\\-1&-3&+1&+1&+1\\-1&0&-1&0&-2\\\end{matrix}}\right){\begin{matrix}M\\L\\T\\\end{matrix}}$

${{\Pi }_{1=}}{{f}^{*}}({{\Pi }_{2}})$

${{\Pi }_{1=}}{\frac {F}{\rho {{V}^{2}}{{D}^{2}}}}$

${{\Pi }_{2}}={\frac {\mu }{\rho VD}}$

${\frac {F}{\rho {{V}^{2}}{{D}^{2}}}}={{f}^{^{*}}}({\frac {\mu }{\rho VD}})$

مثال ۲

مثال: مقدار گشتاورT مورد نیاز است تا استوانه‌ای را که درون سیالی با لزجت μ قرار دارد با سرعت زاویه‌ای ثابت ω بچرخاند. گروه‌های بدون بعد را بیابید. طول استوانه l، قطر دو قسمت استوانهdو D است.

تمام پارامترها را فهرست می‌کنیم:

$T=f\left(\omega ,d,D,l,\mu \right)$

پارا مترها را به صورت توابعی از ابعاد اصلی می‌نویسیم:

${\begin{aligned}&\left[T\right]=M{{L}^{2}}{{T}^{-2}}\\&\left[\omega \right]={{T}^{-1}}\\&\left[d\right]=\left[D\right]=\left[l\right]=L\\&\left[\mu \right]=M{{L}^{-1}}{{T}^{-1}}\\\end{aligned}}$

ماتریس A را می‌نویسیم:

$A=\left({\begin{matrix}0&0&0&0&+1&+1\\1&+1&+1&0&-1&+2\\0&0&0&-1&-1&-2\\\end{matrix}}\right){\begin{matrix}M\\L\\T\\\end{matrix}}$

r=۳چون بزرگترین دترمینانی که صفر نمی‌شود دترمینان زیر است:

$\left|{\begin{matrix}\omega &d&\mu \\0&0&1\\0&1&-1\\1&0&-1\\\end{matrix}}\right|=1\neq 0$

تعداد گروه‌های بدون بعد: p=n-r=۶-۳=۳ یعنی حالت بدون بعد به صورت ${{\pi }_{1}}=f\left({{\pi }_{2}},{{\pi }_{3}}\right)$ است: پارامترهای تکراری را ω,μ,D انتخاب می‌کنیم و نسبت وابستگی سایر پارامترها به این سه پارامتر را تعیین می‌کنیم:

......................................................

مثال ۳

مثال: ظرفی مطابق شکل حاوی مقداری سیال با چگالی ρ است که به وسیلهٔ یک همزن با سرعت زاویه‌ای ω در حال چرخیدن است. اگر قطر ظرف D باشد ؛گروه های بدون بعد را محاسبه کنید.

${\begin{aligned}&H=f(\omega ,g,D)\\&[H]=L\\&[\omega ]={{T}^{-1}}\\&[g]=L{{T}^{-2}}\\&[D]=L\\&A=\left({\begin{matrix}H&\omega &g&D&\\0&0&0&0\\1&0&1&1\\0&-1&-2&0\\\end{matrix}}\right){\begin{matrix}{}\\M\\L\\T\\\end{matrix}}\\&\Rightarrow n=4\\\end{aligned}}$

g و D متغیرهای تکرار شونده هستند.

${\begin{aligned}&*\left|{\begin{matrix}g&D\\1&1\\-2&0\\\end{matrix}}\right|=-3\\&\Rightarrow r=RankA=2\\\end{aligned}}$

${\pi _{1}={\frac {H}{D}}}$

${\pi _{1}={\frac {\omega }{*}}}$

که در آن * برابر (رادیکال) (sqr(g/D است

تعیین تابع نامعلوم فوق از طریق آزمایش مستلزم صرف مقدار زیادی کار، هزینه و زمان می‌باشد چون در هر بار یکی از کمیت‌های داخل پرانتز را می‌توان تغییر داده و به همین ترتیب تعداد زیادی نمودار به وجود خواهد آمد همچنین در چنین روشی از تعداد زیادی کره و سیالات گوناگون با لزجت‌ها و جرم مخصوص‌های مختلف باید استفاده کرد.

با استفاده از روش تحلیل ابعادی,این پدیده را می‌توان با یک رابطه بین تنها دو گروه بی بعد فرمول بندی کرد. این تحلیل ابعادی به کمک نوعی فشرده کردن، به رفع پیچیدگی و کاستن از تعداد متغیرهای تجربی مؤثر,روی یک پدیده معین فیزیکی منجر می‌شود.

اعداد بدون بعد

عدد رینولدز (نسبت نیروی اینرسی به نیروی لزجت)

${Re}={\frac {\rho VD}{\mu }}$

عدد ماخ (نسبت سرعت جریان جسم به سرعت صوت)

${Ma}={\frac {V}{c}}$

ضریب فشار (نسبت نیروی فشاری به نیروی اینرسی) یا (نسبت فشار استاتیکی به فشار دینامیکی)

${{C}_{p}}={\frac {{p}-{p}_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho {{V}^{2}}}}$

ضریب نیروی پسا (نسبت نیروی پسا به نیروی اینرسی)

${{C}_{D}}={\frac {{F}_{D}}{{\frac {1}{2}}\rho {{V}^{2}}A}}$

ضریب نیروی برآ (نسبت نیروی برآ به نیروی اینرسی)

${{C}_{l}}={\frac {{F}_{l}}{{\frac {1}{2}}\rho {{V}^{2}}A}}$

عدد فرود (نسبت نیروی اینرسی به نیروی جاذبه)

 $Fr={\sqrt {\frac {{V}^{2}}{gL}}}={\frac {V}{\sqrt {gL}}}$

باند (نسبت نیروی گرانش به نیروی کشش سطحی)

${Bo}={\frac {\rho gL^{2}}{\sigma }}$

عدد وبر (نسبت اینرسی به کشش سطحی)

${\text{We=}}{\frac {{{\text{V}}^{\text{2}}}{\text{l }}\!\!\rho \!\!{\text{ }}}{{\text{ }}\!\!\sigma \!\!{\text{ }}}}$

زبری نسبی (نسبت زبری دیواره به قطرمشخصه جسم)

${\frac {\epsilon }{D}}$

• • • نکته:هرگاه سرعت سیال نزدیک یا بالاتر از سرعت صوت در سیال باشد عدد ماخ مهمترین پارامتر جریان است.

نکاتی در مورد استفاده از اعداد بدون بعد:

۱-برای جریان داخل کانال بسته عدد رینولدز مهم است. البته اگر از افت فشار بحث شود عدد اویلر مد نظر است.

۲-برای جریان تراکم پذیر عدد ماخ مهم است.

۳-هر گاه جریان دارای یک سطح آزاد باشد عدد وبر مهم است ولی اگر ابعاد جسم بزرگ باشد(مانند قایق در آب) اهمیت آن کم می شود.

۴-در حرکت کششی عدد فرود مهم است.

۵-در لایه مرزی نیروهای لزجی و اینرسی دارای اهمیت است.

۶-در جریان‌های روباز نظیر امواج سطحی و کانال‌های روباز و رودخانه‌ها عدد فرود مهم است.

۷-اهمیت نیروی وزنی و نیروی کشش سطحی برای جریان داخل لوله ناچیز است.

۸- هرگاه افت فشار به گونه ای باشد که سبب تبخیر و کاویتاسیون شود عدد اویلر مهم است.

۹- از عدد وبر جهت کشش سطحی امواج و سرریز شدن سیالات استفاده می شود.

.۱- برای جریان هایی که ناپایا بوده و به صورت تناوبی تکرار می شوند عدد استروهال مهم است.

۱۱- برای جریان های لزج دارای سرعت پایین و بدون سطح آزاد,عدد رینولدز مهم است.

مزایای تحلیل ابعادی

گرچه هدف تحلیل ابعادی، کاهش متغیرها و گروه بندی آنها به صورت بی بعد است؛ اما مزایای جنبی زیادی نیز در بر دارد:

الف) اولین مزیت تحلیل ابعادی؛همان طور که در مثال ۱ توضیح داده شد، صرفه جویی در وقت و پول است. اگر شکل هندسی و شرایط جریان به قدری پیچیده باشند که تئوری های انتگرالی و دیفرانسیلی قادر به یافتن نیرو نباشند، آنگاه باید F را به صورت تجربی بیابیم.

اگر برای تعریف یک منحنی نیاز به ۱۰ نقطهٔ تجربی باشد,برای مثال باید به ازای ۱۰ قطر مختلف، ۱۰ آزمایش انجام داد. سپس به ازای هر قطر معین، ۱۰ مقدار V و ۱۰ مقدار $\rho$ و ۱۰ مقدار F بدست آورد و در کل $10^{4}$ آزمایش انجام داد؛ که نیازمند صرف هزینه و وقت بسیار است.

اما با استفاده از روش تحلیل ابعادی معادلهٔ نیرو به صورت زیر ساده می‌شود:

${\frac {F}{\rho {{V}^{2}}{{D}^{2}}}}=g({\frac {\rho VD}{\mu }})$

${{C}_{F}}=g(\operatorname {Re} )$

که در آن ضریب بی بعد نیرو

$({\frac {F}{\rho {{V}^{2}}{{D}^{2}}}})$

فقط تابعی از عدد رینولدز

$({\frac {\rho VD}{\mu }})$

است.

به این صورت با انجام تنها ۱۰ آزمایش به ازای تغییرات عدد رینولدز,می‌توان به نتیجهٔ مشابه حاصل از ۱۰۰۰۰ آزمایش به صورت عادی رسید.

ب) دومین مزیت تحلیل ابعادی این است که ما را در تعمق برای طرح ریزی یک آزمایش یا تئوری یاری می‌کند. تحلیل ابعادی گاهی بعضی از متغیرها را کنار می‌گذارد و گاهی متغیرهایی را که با چند آزمایش ساده، بی اهمیت بودن آنها روشن شده است، گردآوری و گروه بندی می‌کند.

ج) سومین مزیت تحلیل ابعادی این است که به کمک قوانین تشابه حاصل از تحلیل ابعادی، می‌توان داده‌های مربوط به یک مدل کوچک و ارزان قیمت را به داده‌های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل کرد. هنگامی که امکان استفاده از قانون تشابه فراهم است، گفته می‌شود که شرایط تشابه بین مدل و نمونه واقعی برقرار است. برای نمونه در مورد مثال فوق اگر عددهای رینولدز مدل و نمونه واقعی برابر باشند تشابه سینماتیکی کامل برقرار است.

اگر:

${{\operatorname {Re} }_{m}}={{\operatorname {Re} }_{p}}$

آنگاه:

${{C}_{{F}_{m}}}={{C}_{{F}_{p}}}$

که اندیس‌های m و p به ترتیب نشانهٔ مدل(model) و نمونهٔ واقعی(prototype) هستند. پس با استفاده از تشابه به سادگی با اندازه‌گیری نیروی مدل در یک عدد رینولدز، نیروی نمونه واقعی در همان عدد رینولدز بدست می‌آید.

مثال1

یک بالون بزرگ، با سرعت ۵m/s,در هوای ℃۲۰ حرکت می‌کند. مدل این بالون، با مقیاس (۱/۲۰) در آب ℃۲۰ آزمایش می‌شود.

الف) سرعت آب در آزمایش مدل را بیابید.
ب) نیروی درگ برای مدل 2KN است، نیروی درگ مؤثر بر نمونه اصلی را بیابید.
حل:
الف) برای هوا و آب داریم:

${\begin{aligned}&{{\rho }_{air=1.20(kg/{{m}^{3}})}}\\&{{\mu }_{air=1.8\times {{10}^{-5}}(N.s/{{m}^{2}})}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{\rho }_{w=998(kg/{{m}^{3}})}}\\&{{\mu }_{w=1.003\times {{10}^{-3}}(N.s/{{m}^{2}})}}\\\end{aligned}}$

طبق داده مسأله:

${\begin{aligned}&{{V}_{a=5(m/s)}}\\&{{D}_{a=20}}\\&{{F}_{w=2(/kN)}}\\\end{aligned}}$

برای برقراری تشابه دینامیکی، اعداد رینولدز در مدل و نمونه اصلی را مساوی هم قرار می‌دهیم:

${\frac {{{\rho }_{w}}{{V}_{w}}{{D}_{w}}}{{\mu }_{w}}}={\frac {{{\rho }_{a}}{{V}_{a}}{{D}_{a}}}{{\mu }_{a}}}\Rightarrow {{V}_{w}}={{V}_{a}}{\frac {{\mu }_{w}}{{\mu }_{a}}}{\frac {{\rho }_{a}}{{\rho }_{w}}}{\frac {{D}_{a}}{{D}_{w}}}=5(m/s)\times ({\frac {1.003\times {{10}^{-3}}}{1.8\times {{10}^{-5}}}})\times ({\frac {1.20}{998}})\times 20\Rightarrow {{V}_{w}}=6.7(m/s)$

ب) ضرایب درگ در مدل و نمونه اصلی را برابر هم قرار می‌دهیم:

${\frac {{F}_{a}}{1/2{{\rho }_{a}}{{A}_{a}}{{V}_{a}}^{2}}}={\frac {{F}_{w}}{1/2{{\rho }_{w}}{{A}_{w}}{{V}_{w}}^{2}}}$

اما:

$({\frac {{A}_{a}}{{A}_{w}}})=({\frac {{D}_{a}^{2}}{{D}_{w}^{2}}})=D_{a}^{2}$

در نتیجه، نیروی درگ برای نمونه اصلی چنین است:

${{F}_{a}}={{F}_{w}}{\frac {{\rho }_{a}}{{\rho }_{w}}}D_{a}^{2}{{\left({\frac {{V}_{a}}{{V}_{w}}}\right)}^{2}}=2000(N)\times \left({\frac {1.20}{998}}\right)\times {{20}^{2}}\times {{\left({\frac {5}{6.7}}\right)}^{2}}\Rightarrow {{F}_{a}}=535.71N$

مثال 2

تونل باد

مدل یک اتومبیل، با مقیاس ${\frac {1}{16}}$ در تونل باد در هوای استاندارد آزمایش می‌شود. سرعت باد در تونل 26.5m/s است. مدل دارای عرض 152mm، ارتفاع200mm و طول 762mm است. نیروی دراگ مؤثر بر مدل 6.09N است. شیب فشار در قسمت آزمایش تونل باد $-11.8{\frac {\frac {N}{{m}^{2}}}{m}}$ است. بر اثر این شیب فشار، نیروی شناوری بوجود می‌آید. مطلوب است: الف) نیروی دراگ تصحیح شده برای مدل. ب) ضریب دراگ تصحیح شده برای مدل. ج) نیروی دراگ مؤثر بر نمونه اصلی، در صورتی که سرعت آن ۱۰۰km/h باشد.

حل:
الف) ضریب دراگ چنین است:

${{C}_{D}}={\frac {{F}_{D}}{{\frac {1}{2}}\rho {{V}^{2}}A}}$

که در آن A برابر است با:

$A=wH$

(در این فرمول $\omega$ عرض مدل و H ارتفاع و L طول مدل می‌باشد)

همچنین نیروی شناوری برابر است با:

${{F}_{B}}={{p}_{1}}A-{{p}_{2}}A=({{p}_{1}}-{{p}_{2}})A$

اما:

${{p}_{2}}={{p}_{1}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta x={{p}_{1}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}L$

$\Rightarrow {{p}_{1}}-{{p}_{2}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}L\Rightarrow {{F}_{B}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}LA=-{\frac {\partial P}{\partial X}}LwH$

$\Rightarrow {{F}_{B}}=-(-11.8){\frac {N}{{m}^{3}}}\times 0.762m\times 0.152m\times 0.200m=0.273N$

نیروی درگ تصحیح شده برابر است با:

${{F}_{{D}_{C}}}={{F}_{{D}_{m}}}-{{F}_{B}}=(6.09-0.273)N=5.82N$

${{F}_{{D}_{m}}}$ نیروی درگ مؤثر بر مدل می‌باشد.

ب) ضریب درگ تصحیح شده برای مدل چنین است:

${{C}_{D}}_{m}={\frac {{F}_{{D}_{C}}}{{\frac {1}{2}}\rho {{V}^{2}}A}}=2\times 5.82N\times {\frac {{m}^{3}}{1.23kg}}\times {\frac {{s}^{2}}{{{(26.5)}^{2}}{{m}^{2}}}}\times {\frac {1}{(0.200)(0.152){{m}^{2}}}}\times {\frac {kg.m}{N.{{s}^{2}}}}=0.443$

ج) فرض می‌کنیم آزمایش در اعداد رینولدز زیاد انجام شده است. در نتیجه:

${{C}_{{D}_{p}}}={{C}_{{D}_{m}}}$

${{F}_{{D}_{p}}}={{C}_{D}}_{_{p}}{{A}_{p}}{\frac {1}{2}}\rho {{{V}_{p}}^{2}}$

$={\frac {1}{2}}\times 0.443\times 0.200(16)m\times 0.152(16)m\times 1.23{\frac {kg}{{m}^{3}}}\times {{\left[100{\frac {km}{hr}}\times 1000{\frac {m}{km}}\times {\frac {hr}{3600s}}\right]}^{2}}\times {\frac {N.{{s}^{2}}}{kg.m}}$

$\Rightarrow {{F}_{{D}_{p}}}=1.64kN$

روش‌های دیگر برای حل مسائل تحلیل ابعادی:

روش فهرست نویسی (Exponent,Rayleigh)

با تعداد کم متغیرها روش مفیدی است.

a. متغیرهای مستقل و وابسته را مشخص می‌کنیم.

b. متغیر وابسته به صورت حاصل ضرب توانی متغیرهای مستقل نوشته می‌شود.

c. در دو طرف رابطه، پارامترها به صورت ابعادی نوشته می‌شوند.

d. دستگاه معادلات را حل کرده، توان‌های مجهول را بدست می‌آوریم.

مثال: دبی جریان عبوری از کانال :

${\begin{aligned}&Q=f(w,h,g)\\&a)Q=f(w,h,g)\\&b)Q=\varphi ((w)_{}^{a}{{(h)}^{b}}{{(g)}^{c}})\\&c)\left[{{L}^{3}}{{T}^{-1}}\right]=\varphi {{\left\{\left[L\right]\right.}^{a}}{{\left[L\right]}^{b}}{{\left[L{{T}^{-2}}\right]}^{c}}\left.{}\right\}\\&3=a+b+c\Rightarrow a+b={\frac {5}{2}}\Rightarrow b={\frac {5}{2}}-a\\&-1=-2c\Rightarrow c={\frac {1}{2}}\\&Q=\varphi \left({{(w)}^{a}}{{(h)}^{{\frac {5}{2}}-a}}{{(g)}^{\frac {1}{2}}}\right)\\&Q={{h}^{\frac {5}{2}}}{{g}^{\frac {1}{2}}}\varphi \left({{({\frac {w}{h}})}^{a}}\right)\\&{\frac {Q}{{{h}^{\frac {5}{2}}}{{g}^{\frac {1}{2}}}}}=\varphi ({\frac {w}{h}})\\&\\\end{aligned}}$

روش گام به گام

پارامترهای موثر به نحوی با هم ترکیب می‌شوند که در هر مرحله یکی از ابعاد اصلی در همه متغیرها حذف می‌شوند.

مثال: نیروی درگ :

${\begin{aligned}&{{F}_{D}}={{f}_{1}}(V,\rho ,{{\mu }_{}},D)\\&[F],[L{{T}^{-1}}],[{\frac {F{{T}^{2}}}{{L}^{4}}}],[{\frac {FT}{{L}^{2}}}],[L]\\&\\&{\frac {{F}_{D}}{\rho }}={{f}_{2}}(V,{\frac {\rho }{\rho }},{\frac {\mu }{\rho }},D)={{f}_{2}}(V,{\frac {\mu }{\rho }},D)\\&[{{L}^{4}}{{T}^{-2}}],[L{{T}^{-1}}],[{{L}^{2}}{{T}^{-1}}],[L]\\&{\frac {{F}_{D}}{\rho {{v}^{2}}}}={{f}_{3}}({\frac {V}{V}},{\frac {\mu }{\rho v}},D)={{f}_{3}}({\frac {\mu }{\rho V}},D)\\&[{{L}^{2}}],[L],[L]\\&{\frac {{F}_{D}}{\rho {{V}^{2}}{{D}^{2}}}}={{f}_{4}}({\frac {\mu }{\rho VD}},{\frac {D}{D}})={{f}_{4}}({\frac {\mu }{\rho VD}})\\&\\&\\\end{aligned}}$

روش هاینسکر و رایت مایر :

a. متغیرهای تکرار شونده به عنوان ابعاد اصلی در نظر گرفته می‌شوند.

b. ابعاد اصلی برحسب متغیرهای تکراری محاسبه می‌شوند.

c. با جایگزینی ابعاد اصلی جدید، در معادله ابعادی متغیرهای باقیمانده، پارامترهای بدون بعد بدست می‌آیند.

مثال:

افت لوله در واحد طول لوله :

${\begin{aligned}&\\&{\frac {\Delta h}{L}}=f(V,\rho ,\mu ,g,D)\\&a)\rho ,V,D\\&b)\left({\begin{aligned}&D=L\\&V=L{{T}^{-1}}=D{{T}^{-1}}\\&\rho =M{{L}^{-3}}=M{{D}^{-3}}\\\end{aligned}}\right)\Rightarrow \left({\begin{aligned}&L=D\\&T=D{{V}^{-1}}\\&M=\rho {{D}^{3}}\\\end{aligned}}\right)\\&\\&c)\\&g=[L{{T}^{-2}}]=D{{(D{{V}^{-1}})}^{-2}}={{D}^{-1}}{{V}^{2}}={\frac {{V}^{2}}{D}}\Rightarrow {{\pi }_{1}}={\frac {{V}^{2}}{Dg}}\\&\mu =[M{{L}^{-1}}{{T}^{-1}}]=(\rho {{D}^{3}}){{(D)}^{-1}}{{(D{{V}^{-1}})}^{-1}}=\rho VD\Rightarrow {{\pi }_{2}}={\frac {\rho VD}{\mu }}\\&{\frac {\Delta h}{L}}=f({\frac {{V}^{2}}{gD}},{\frac {\rho VD}{\mu }})\\\end{aligned}}$