تحلیل ابعادی در مکانیک سیالات

مقدمه

در علم مکانیک سیالات اغلب پدیده ها به متغیرهای زیادی وابسته اند و تجزیه وتحلیل آنها با استفاده از نمونه اصلی و این تعداد متغیرها ،کار پرهزینه و وقت گیری است این مشکل با استفاده از آنالیز ابعادی حل شده است بدین ترتیب که به جای استفاده از تک تک متغیرها ،اعداد بدون بعد مربوط را بدست آورده و از آنها استفاده می کنیم و در نتیجه تعداد متغیرها کاهش می یابد. از طرف دیگر با استفاده از قانون تشابه حاصل از آنالیز ابعادی داده ای مربوط به یک مدل کوچک را می توان به داده های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل نمود.

ابعاد

چهار بعد اصلی مورد استفاده در مکانیک سیالات عبارتند از:

• جرم(M)
• طول(L)
• زمان(T)
• درجه حرارت($\theta$)

تحلیل ابعادی

با استفاده از تحلیل ابعادی می توانیم تفاوت بین جریان های گوناگون سیال را بهتر درک نماییم و این مطالعات می تواند مبنای بررسی تجربی پدیده های سیالاتی نیز باشد.

هر پدیده سیالاتی می تواند به متغیرهای مختلفی وابسته باشد که با استفاده از روش تحلیل ابعادی می توان پدیده مورد نظر را به صورت رابطه ای بین چند گروه بدون بعد که تعدادشان کمتر از متغیرهاست فرمول بندی کرد که مزیت آن کاهش تعداد آزمایش های لازم برای تعیین رابطه بین متغیرها در یک محدوده معین می باشد.

تحليل ابعادي روشي در تجزيه و تحليل مسائل مكانيك سيالات با استفاده از پارامترها و متغيرهاي بي بعد است.ازآناليز ابعادي در حالات زير مي توان استفاده كرد:

-1 انتقال از يك سيستم آحاد به سيستم ديگر

-2 كاهش تعداد متغيرهاي لازم در يك برنامه آزمايشگاهي

-3 تعيين اصول طراحي مدلها با استفاده از مفهوم تشابه و تعيين مقياس لازم براي خواص سيال و ابعاد مختلف فيزيكي

-4 كمك به فهم فيزيك مسئله و استخراج معادلات حاكم

در صورتي كه متغيرهاي موثر در يك پديده فيزيكي شناخته شده بوده اما ارتباط بين آنها معلوم نباشد، با استفاده ازآناليز ابعادي مي توان پديده را به

صورت رابطه اي بين چند گروه بي بعد كه تعدادشان كمتر از تعداد متغيرها است فرموله كرد. به اين ترتيب تعداد آزمايشات لازم براي به منظور تعيين رابطه

بين متغيرها كمتر شده و غالبا نوع آزمايشات نيز ساده تر مي شوند.

مثال 1

نیروی درگ F وارد شده به یک کره صیقلی به قطر D که با سرعت کم V در یک سیال لزج در حال حرکت است، علاوه بر دو متغیر نامبرده به جرم مخصوص $\rho$ و لزجت سیال $\mu$ وابسته می باشد بنابراین نیروی درگ F را می توان به صورت تابعی نامعلوم از این متغیرها بیان کرد:

$\ F = f (D,V,\rho,\mu)$

تعیین تابع نامعلوم فوق از طریق آزمایش مستلزم صرف مقدار زیادی کار ،هزینه و زمان می باشد چون در هر بار یکی از کمیت های داخل پرانتز را می توان تغییر داده و به همین ترتیب تعداد زیادی نمودار به وجود خواهد آمد همچنین در چنین روشی از تعداد زیادی کره و سیالات گوناگون با لزجت ها و جرم مخصوص های مختلف باید استفاده کرد.

با استفاده از روش تحلیل ابعادی این پدیده را می توان با یک رابطه بین تنها دو گروه بی بعد فرمول بندی کرد. این تحلیل ابعادی به کمک نوعی فشرده کردن ، به رفع پیچیدگی و کاستن از تعداد متغیرهای تجربی موثر روی یک پدیده معین فیزیکی منجر میشود.

اعداد بدون بعد

عدد رینولدز(نسبت نیروی اینرسی به نیروی لزجت)

${Re}=\frac{\rho VD}{\mu}$

عدد ماخ (نسبت سرعت جریان جسم به سرعت صوت)

${Ma}=\frac{V}{c}$

ضریب فشار(نسبت نیروی فشاری به نیروی اینرسی)

${Cp}=\frac{2\Delta p}{\rho v^2}$

ضریب نیروی پسا(نسبت نیروی پسا به نیروی اینرسی)

${Cd}=\frac{{F}_{D}}{\rho v^2D^2}$

ضریب نیروی برآ(نسبت نیروی برآ به نیروی اینرسی)

${Cl}=\frac{FL}{\rho v^2D^2}$

عدد فرود

 $Fr=\sqrt{\frac{{{v}^{2}}}{gL}}=\frac{{v}}{\sqrt{gL}}$

باند (نسبت نیروی گرانش به نیروی کشش سطحی)

${Bo}=\frac{\rho gL^2}{\sigma}$

عدد وبر

$\text{We=}\frac{{{\text{V}}^{\text{2}}}\text{l }\!\!\rho\!\!\text{ }}{\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }}$ 

زبری نسبی

$\frac{\epsilon }{D}$

• • • نکته:هرگاه سرعت سیال نزدیک یا بالاتر از سرعت صوت در سیال باشد عدد ماخ مهمترین پارامتر جریان است.

مزایای تحلیل ابعادی

گرچه هدف تحلیل ابعادی، کاهش متغیرها و گروه بندی آنها به صورت بی بعد است؛ اما مزایای جنبی زیادی نیز در بر دارد:

الف) اولین مزیت تحلیل ابعادی همان طور که در مثال 1 توضیح داده شد ،صرفه جویی در وقت و پول است. اگر شکل هندسی و شرایط جریان به قدری پیچیده باشند که تئوریهای انتگرالی و دیفرانسیلی قادر به یافتن نیرو نباشند، آنگاه باید F را به صورت تجربی بیابیم.

اگر برای تعریف یک منحنی نیاز به 10 نقطه ی تجربی باشد. برای مثال باید به ازای 10 قطر مختلف، 10 آزمایش انجام داد. سپس به ازای هر قطر معین، 10 مقدار V (و)، 10 مقدار $\rho$ و 10 مقدار F بدست آورد و در کل $10^4$ آزمایش انجام داد. که نیازمند صرف هزینه و وقت بسیار است.

اما با استفاده از روش تحلیل ابعادی معادله ی نیرو به صورت زیر ساده میشود:

$\frac{F}{\rho {{V}^{2}}{{D}^{2}}}=g(\frac{\rho VD}{\mu })$

${{C}_{F}}=g(\operatorname{Re})$

که در آن ضریب بی بعد نیرو $(\frac{F}{\rho {{V}^{2}}{{D}^{2}}})$ فقط تابعی از عدد رینولدز $(\frac{\rho VD}{\mu })$ است. به این صورت با انجام تنها 10 آزمایش به ازای تغییرات عدد رینولدز میتوان به نتیجه ی مشابه حاصل از 10000 آزمایش به صورت عادی رسید.

ب)دومین مزیت تحلیل ابعادی این است که ما را در تعمق برای طرح ریزی یک آزمایش یا تئوری یاری میکند. تحلیل ابعادی گاهی بعضی از متغیرها را کنار میگذارد و گاهی متغیرهایی را که با چند آزمایش ساده، بی اهمیت بودن آنها روشن شده است ، گردآوری و گروه بندی میکند.

ج)سومین مزیت تحلیل ابعادی این است که به کمک قوانین تشابه حاصل از تحلیل ابعادی، میتوان داده های مربوط به یک مدل کوچک و ارزان قیمت را به داده های طراحی یک نمونه واقعی تبدیل کرد. هنگامی که امکان استفاده از قانون تشابه فراهم است، گفته میشود که شرایط تشابه بین مدل و نمونه واقعی برقرار است. برای نمونه در مورد مثال فوق اگر عددهای رینولدز مدل و نمونه واقعی برابر باشند تشابه سینماتیکی کامل برقرار است.

اگر :

${{\operatorname{Re}}_{m}}={{\operatorname{Re}}_{p}}$

آنگاه :

${{C}_{{{F}_{m}}}}={{C}_{{{F}_{p}}}}$

که اندیس های m و p به ترتیب نشانه ی مدل و نمونه ی واقعی هستند. پس با استفاده از تشابه به سادگی با اندازه گیری نیروی مدل در یک عدد رینولدز، نیروی نمونه واقعی در همان عدد رینولدز بدست می آید.

مثال2

یک بالون بزرگ ,با سرعت (m/s)5 ,در هوای ℃20 حرکت می کند.مدل این بالون , با مقیاس (1/20) در آب ℃20 آزمایش می شود.

الف)سرعت آب در آزمایش مدل را بیابید.

ب)نیروی درگ برای مدل kN 2 است, نیروی درگ موثر بر نمونه اصلی را بیابید.
حل: الف) برای هوا و آب داریم:

$\begin{align}
  & {{\rho }_{air=1.24(kg/{{m}^{3}})}} \\ 
 & {{\mu }_{air=1.8\times {{10}^{-5}}(N.s/{{m}^{3}})}} \\ 
\end{align}$

 $\begin{align}
  & {{\rho }_{w=9999(kg/{{m}^{3}})}} \\ 
 & {{\mu }_{w={{10}^{-3}}(N.s/{{m}^{3}})}} \\ 
\end{align}$

طبق داده مسأله:

$\begin{align}
  & {{v}_{a=5(m/s)}} \\ 
 & {{l}_{r=20}} \\ 
 & {{F}_{w=2(kN)}} \\ 
\end{align}$

برای برقراری تشابه دینامیکی,اعداد رینولدز در مدل و نمونه اصلی را مساوی هم قرار می دهیم:

$\frac{{{\rho }_{w}}{{v}_{w}}{{l}_{w}}}{{{\mu }_{w}}}=\frac{{{\rho }_{a}}{{v}_{a}}{{l}_{a}}}{{{\mu }_{a}}}\Rightarrow {{v}_{w}}={{v}_{a}}\frac{{{\mu }_{w}}}{{{\mu }_{a}}}\frac{{{\rho }_{a}}}{{{\rho }_{a}}}\frac{{{l}_{a}}}{{{l}_{w}}}=5(m/s)\times (\frac{{{10}^{-3}}}{1.8\times {{10}^{-5}}})\times (\frac{1.24}{999})\times 20\Rightarrow {{v}_{w}}=6.9(m/s)$

ب)ضرایب درگ در مدل و نمونه اصلی را برابر هم قرار می دهیم:

$\frac{{{F}_{a}}}{1/2{{\rho }_{a}}{{A}_{a}}{{v}_{a}}^{2}}=\frac{{{F}_{w}}}{1/2{{\rho }_{w}}{{A}_{w}}{{v}_{w}}^{2}}$

اما:

$\frac{{{A}_{a}}}{{{A}_{w}}}=(\frac{{{l}_{a}}}{{{l}_{a}}})=l_{r}^{2}$

در نتیجه,نیروی درگ برای نمونه اصلی چنین است:

${{F}_{a}}={{F}_{w}}\frac{{{\rho }_{a}}}{{{\rho }_{w}}}l_{r}^{2}{{\left( \frac{{{v}_{a}}}{{{v}_{w}}} \right)}^{2}}=2000(N)\times \left( \frac{1.24}{999} \right)\times {{20}^{2}}\times {{\left( \frac{5}{6.9} \right)}^{2}}\Rightarrow {{F}_{a}}=522N$

مثال2

مدل یک اتوموبیل ،با مقیاس 16/1 در تونل باد در هوای استاندارد آزمایش می شود. سرعت باد در تونل m/s 26.5 است. مدل دارای عرضmm 152،ارتفاعmm200 و طولmm 762 است. نیروی دراگ موثر بر مدلN 6.09 است. شیب فشار در قسمت آزمایش تونل بادm/(N/m2) 11.8 است. بر اثر این شیب فشار ، نیروی شناوری بوجود می آید. مطلوب است: الف) نیروی دراگ تصحیح شده برای مدل ب) ضریب دراگ تصحیح شده برای مدل ج) نیروی دراگ موثر بر نمونه اصلی، در صورتی که سرعت آن 100 باشد. حل:

Add caption here

Add caption here

Add caption here

Add caption here

Add caption here

Add caption here

Add caption here

Add caption here

Add caption here