ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/تشعشع

مقدمه

همان طور که در قسمت‌های قبل گفته شد، انتقال گرمای رسانشی و جابه جایی نیازمند شیب دما در ماده است. اما، انتقال گرمای تشعشعی به محیط مادی نیاز ندارد. تشعشع فرایند بسیار مهمی است و از نظر فیزیکی جالب ترین نوع انتقال گرماست. بسیاری از فرایندهای گرمایش، سرمایش، خشک کردن، احتراق سوخت‌های فسیلی و تابش خورشید با تشعشع سر و کار دارند.

در روش تشعشعی انتقال حرارت به وسیله امواج شبیه امواج نوری یا رادیویی صورت می‌گیرد. برای مثال انرژی خورشید توسط تشعشعات خورشیدی به زمین انتقال می‌یابد. از آنجایی که حرکت امواج احتیاج به محیط مادی نداشته و درخلاء نیز امکان‌پذیر است، لذا انجام این روش انتقال حرارت مستقل از وجود یک محیط مادی خواهد بود. درحالیکه برای انجام دو روش دیگر وجود یک محیط مادی الزامی است.

هر سطح گرمی می‌تواند گرمایش را از طریق تشعشع به فضا یا سطوح سردتر اطراف خود انتقال دهد. درحالیکه یک سطح سرد می‌تواند جذب کننده تشعشعات حرارتی باشد. در بعضی از سیستم‌ها برای گرم کردن اتاق از منابع گرمایش تشعشعی در سقف‌ها، دیواره‌ها و یا کف‌ها استفاده می‌نمایند.

هنگامی که گرما به وسیله تشعشع انتقال می‌یابد هوای میان دو جسم گرم و سرد، گرم نمی‌شود زیرا هوا بیشتر تشعشعات را از خود عبور می‌دهد. دمای هوا در معرض خورشید تقریباً هم دمای هوایی است که در سایه قرار دارد. با این وجود اگر شخص درمعرض تشعشعات خورشید قرارداشته باشد بیشتر احساس گرما خواهد کرد، تا هنگامی که درسایه قرارداشته باشد. این فقط به دلیل برخورد مستقیم تشعشعات خورشیدی است که شخص احساس گرمای بیشتری می‌کند. در دماهای پایین و اختلاف دماهای کوچک مقدار تشعشع کم است؛ لذا در کاربردهای واقعی تبرید، انتقال حرارت تشعشعی کم اهمیت می‌باشد. به هرحال اگر سالن سرد در معرض تشعشعات خورشیدی قرار داشته باشد، سالن می‌تواند یک جذب کننده گرما باشد. این گرمای جذب شده از تشعشعات مستقیم خورشیدی می‌تواند یک فاکتور بزرگی در محاسبات بار گرمایی باشد.

ضریب نشر همه اجسام بستگی به طول موجشان دارد. دما توزیع طول موج تشعشعی الکترومغناطیسی را بیان می‌کند که منجر به قانون تشعشع جسم سیاه می‌شود (قانون پلانک). برای هر جسم انعکاس به طول موج تشعشعی وارد شده به آن جسم و همچنین به دمای چشمه تشعشع نیز بستگی دارد. ضریب نشر به طول موج و همچنین دمای خود جسم بستگی دارد، برای مثال برف که یک نور مرئی را منعکس می‌کند سفید به نظر می‌رسد، به دلیل اینکه انعکاس نور خورشید با طول موج انرژی حدود ۰/۵ میکرومتر می‌باشد. ضریب صدور آن در دمای ۵- درجه سانتیگراد و با طول موج ۱۲ میکرومتر ۰/۹۹ است.

گازها انرژی را با طول موج‌های متفاوت جذب و دفع می‌کنند که برای هر گاز متفاوت است. نور مرئی یکی دیگر از امواج الکترومغناطیسی تشعشعی با طول موج کوتاهتر می‌باشد. (البته با فرکانس بالاتر) دو نوع ضریب صدور در رنگ امواج الکترومغناطیس تشعشعی با هم تفاوت دارند.

تشعشع

مفهوم تشعشع:

در این نوع انتقال حرارت، هر جسم با اجسام دیگر در صورت تفاوت دما تبادل انرژی دارد. این تبادل انرژی از طریق تشعشع از جسم با دمای بالاتر به جسم با دمای پایین‌تر صورت می‌گیرد و به هم دما شدن این دو جسم می‌انجامد.

یکی از معروف ترین نظریه‌های موجود، تشعشع را به صورت انتشار مجموعه‌ای از ذرات به نام "فوتون" یا "کوانتا" می‌داند. نظریهٔ دیگری نیز وجود دارد که تشعشع را انتشار امواج الکترومغناطیس می‌داند. بر اساس هر دو نظریه، می‌توان تشعشع را به دو خاصیت مهم امواج یعنی به فرکانس و طول موج ارتباط داد. بر اساس این رابطه حاصل تقسیم سرعت نور در محیط بر فرکانس برابر با طول موج است.

نمایش توان عبور سه اشعهٔ آلفا - بتا - گاما از موانع مختلف.

همانطور که در شکل بالا دیده می‌شود، تشعشع اشعهٔ گاما طول موج کوتاهی دارد و از این رو مورد توجه فیزیک‌دان‌هایی که با انرژی بالا سر و کار دارند و مهندسان هسته‌ای است. سایر تشعشعات مانند مایکروویوها و امواج رادیویی که طول موج بلند دارند بیشتر مورد توجه مهندسان برق هستند.

در این میان تنها آن بخش از طیف الکترومغناطیسی که از ۰٫۱ میکرومتر شروع و تا ۱۰۰ میکرومتر ادامه می‌یابد و شامل قسمت UV و تمام امواج مرئی و مادون قرمز (IR) است، تشعشع گرمایی نام دارد و به بحث انتقال حرارت مربوط می‌شود.

تشعشع گرمایی

فلزکاری گرم از یک آهنگر. مشتعل بودن زرد-نارنجی قسمت قابل رؤیت تشعشع گرمایی است که به دلیل دمای بالا ایجاد شده است. هر چیزی غیر از تصویر با تشعشع گرمایی به خوبی مشتعل شده است ، اما روشنایی کمتر و طول موج بلندتر با چشم بشر می تواند دیده شود. یک دوربین با اشعه مادون قرمز این تشعشع را نشان خواهد داد. .

این نمودار نشان می دهد که چگونه ماکزیمم طول موج و مقدار شعاع کل با دما تغییر می کند. هرچند که این نمودار دماهای بالا را نشان می دهد به همان نسبت ها برای هر دمای پایین تا صفر مطلق صادق می باشد. نور قابل رؤیت بین 380 تا 750 نانو متر است..

ک مثال تشعشع گرمایی اشعه مادون قرمز ساطع شده به وسیله یک رادیاتور خانگی رایج یا گرمکن الکتریکی است. یک شخص نزدیک یک آتش بزرگ گرمای متشعشع از آتش را احساس خواهد کرد، حتی اگر هوای اطراف خیلی سرد باشد. تشعشع گرمایی به وجود آمده از جابجایی بار در مواد (الکترون‌ها و پروتون‌ها در شکل رایج ماده) به تشعشع الکترومغناطیسی تبدیل می‌شود. تابش آفتاب، یا تشعشع خورشیدی، تشعشع گرمایی از گازهای به شدت گرم خورشید است و این تشعشع زمین را گرم می‌کند. زمین نیز همچنین تشعشع گرمایی ساطع می‌کند، اما در یک چگالی خیلی پایین‌تر زیر زمین سردتر است. تعادل بین گرم شدن به وسیله تشعشع گرمایی خورشیدی وارد شده و سرد شدن به وسیله تشعشع گرمایی خارج شده از زمین یک فرایند مقدماتی است که دمای سرتاسر زمین را مشخص می‌کند.

اگر شیء یک جسم سیاه در تعادل ترمودینامیکی باشد، تشعشع، تشعشع جسم سیاه نامیده می‌شود چهار ویژگی اصلی که تشعشع گرمایی دارد عبارتست از

تشعشع گرمایی، حتی در یک دمای انتخابی، در محدوده فرکانس‌های وسیع اتفاق می‌افتد. چه مقدار فرکانس به وسیله تشعشع قانون پلانک (برای مواد ایده آل) داده می‌شود.

محدوده فرکانس اصلی (یا رنگ) تشعشع ساطع شده شامل فرکانس‌های بالاتر به صورت افزایش دما می‌باشد. برای مثال، یک شیء گرم قرمز به مقدار کافی در طول موج‌های بلند (قرمز و نارنجی) نوار قابل رؤیت برای دیدن تشعشع می‌کند که قرمز به نظر می‌رسد.

کل مقدار تشعشع همه فرکانس‌ها، خیلی سریع به صورت دما بالا می‌رود. یک شیء در دمای اجاق آشپزخانه (حدود دو برابر دمای اتاق در شرایط مطلق) ۱۶ بار به قدرت هر واحد سطح تشعشع می‌کند.

نرخ تشعشع گرمایی یک نوع خاص موج الکترومغناطیسی به نسبت مقدار جذب است که همان نوع موج تجربه شده است؛ بنابراین، یک سطح بیشتر تشعشع گرمایی روشن قرمز را جذب می‌کند.

این ویژگی‌ها به کار برده می‌شود اگر فاصله در نظر گرفته شده بزرگتر از طول موج‌های شرکت کننده به رنگ‌های مرئی باشد. در واقع، تشعشع گرمایی این جا تنها موج‌های حرکتی را می‌گیرد.

°C	Subjective colour [۱]
۴۸۰	faint red glow
۵۸۰	dark red
۷۳۰	bright red, slightly orange
۹۳۰	bright orange
۱۱۰۰	pale yellowish orange
۱۳۰۰	yellowish white
> ۱۴۰۰	white (yellowish if seen from a distance through atmosphere)

شدت تشعشع

شکل روبرو ماهیت جهتی تشعشع را نشان می‌دهد. در این شکل گسیل تشعشع از یک مساحت دیفرانسیلی بر سطحی دیگر تحت زاویهٔ فضایی dw دیده می‌شود. فرود تشعشع در هر سطح می‌تواند از جهت‌های مختلف باشد و نحوهٔ پاسخ سطح به این تشعشع به جهت فرود آن بستگی دارد.

این تاثیرات جهتی را با وارد کردن مفهوم شدت تشعشع می‌توان بررسی کرد. شدت تشعشع را با $dq=I\,d\omega \,\cos \theta \,dA$ نشان می‌دهند که در آن:

• $dA$مساحت سطح گسیلنده ودر امتداد عمود بر جهت تشعشع است.
• $dq$گرمای انتقال داده شده به سطح $dA$است.
• $d\omega$زاویهٔ فضایی در جهت گسیل است.
• $d\theta$زاویهٔ بین بردار نرمال سطح گسیلنده وجهت گسیل است.
• $d\omega$ توسط زاویهٔ بین شعاع‌های یک کره تعریف می‌شود

رابطه شدت تشعشع با گسیل آن

با توجه به شکل بالا اکنون مفهوم آهنگ تشعشع گسیل شده را بر حسب شدت طیفی تشعشع گسیل شده بیان می‌کنیم. شدت طیفی تشعشع گسیل شده عبارت است از آهنگ تشعشعی که با طول موج $\lambda$ در امتداد $(\theta ,\phi )$ از مساحت واحد سطح گسیلنده‌ای که عمود بر امتداد مذکور قرار دارد به داخل ناحیه متناظر با زاویه فضایی واحد در بازه $d\lambda$ حول آن گسیل می‌شود. توجه کنید که سطحی که در این تعریف استفاده می‌شود تصویر سطح $d{{A}_{1}}$ در امتداد عمود بر تشعشع است. یعنی $d{{A}_{1}}\cos \theta$ . بنابراین شدت طیفی برابر است با:

${{I}_{\lambda ,e}}(\lambda ,\theta ,\phi )\equiv {\frac {dq}{d{{A}_{1}}\cos \theta .d\omega .d\lambda }}$

و از آن آهنگ تشعشع گسیل شده از یک سطح بدست می‌آید:

$d{{q}_{\lambda }}={{I}_{\lambda ,e}}(\lambda ,\theta ,\phi )d{{A}_{1}}\cos \theta .d\omega$

همچنین شار تشعشع طیفی مربوط به سطح $d{{A}_{1}}$ می‌شود:

$d{{q}^{''}}_{\lambda }={{I}_{\lambda ,e}}(\lambda ,\theta ,\phi )\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi$

با انتگرالگیری از این معادله می‌توان توان گسیل نیم کروی را بدست آورد:

${{E}_{\lambda }}(\lambda )={{q}^{''}}_{\lambda }(\lambda )=\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{\pi /2}{{{I}_{\lambda ,e}}(\lambda ,\theta ,\phi )\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi }}$

و توان گسیل کروی نیز برابر است با:

$E=\int _{0}^{\infty }{{{E}_{\lambda }}(\lambda )d\lambda }$

اگر برای یک جسم خاصیت پخشی در نظر گرفته شود برای آن روابط به صورت زیر ساده می‌شود:

${{E}_{\lambda }}(\lambda )=\pi {{I}_{\lambda ,e}}(\lambda )$

و

$E=\pi {{I}_{e}}$

توجه کنید که در این رابطه واحد ثابت $\pi$ استرادیان است.

شدت تشعشع فرودی

تشعشع فرودی بر یک سطح ممکن است ناشی از گسیل و بازتاب تشعشع از سطوح دیگر باشد. تشعشع فرودی نیز مانند تشعشع گسیل شده دارای توزیع طیفی و جهتی است (یعنی به طول موج و جهت تشعشع بستگی دارد) در اینجا می‌خواهیم شار تشعشعی را بر حسب شدت طیفی بیان کنیم. شار تشعشع فرودی تشعشع از تمام جهت‌ها را در نظر می‌گیریم. شار تشعشع ورودی طیفی ${{G}_{\lambda }}$ با واحد ${\frac {w}{{{m}^{2}}.\mu m}}$ عبارت است از آهنگ تشعشع با طول موج $\lambda$که در بازه$d\lambda$(حول$\lambda$) بر مساحت واحد سطح فرود می‌آید. با توجه به این تعریف،

${{G}_{\lambda }}=\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{{{I}_{\lambda ,i}}\left(\lambda ,\theta ,\phi \right)}}\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi$

شار تشعشع فرودی کل $G$ با واحد ${\frac {w}{{m}^{2}}}$ آهنگ فرود تشعشع بر مساحت واحد سطح از تمام جهت‌ها و در تمام طول موج‌ها را نشان می‌دهد. رابطه آن چنین است:

$G=\int _{0}^{\infty }{{{G}_{\lambda }}\left(\lambda \right)}d\lambda$

با توجه معادله بالا:

$G=\int _{0}^{\infty }{\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{{{I}_{\lambda ,i}}\left(\lambda ,\theta ,\phi \right)}}}\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi d\lambda$

اگر تشعشع فرودی پخشی باشد ،${{I}_{\lambda ,i}}$ مستقل از$\theta ,\phi$خواهد بود. در این حالت،

${{G}_{\lambda }}\left(\lambda \right)=\pi {{I}_{\lambda ,i}}\left(\lambda \right)$

$G=\pi {{I}_{i}}$

شدت تشعشع خروجی

تعریف شار شدت تشعشع خروجی:

این شار شامل قسمت بازتاب شده شار تشعشع فرودی و شار تشعشع گسیل شده از سطح است.

تعریف شار شدت تشعشع خروجی طیفی: آهنگ تشعشعی که با طول موج $\lambda$ در بازه $d\lambda$ از مساحت واحد یک سطح خارج می‌شود.

${{J}_{_{\lambda }}}\left(\lambda \right)=\int _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{{I}_{\lambda ,e+r}}}\left(\lambda ,\theta ,\phi \right)\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi$

که در فرمول بالا ${{I}_{\lambda ,e+r}}$ شدت گسیل و بازتاب تشعشع است. از فرمول بالا انتگرال می‌گیریم تا شار تشعشع خروجی کل بدست آید:

$J=\int \limits _{0}^{\infty }{{{J}_{\lambda }}\left(\lambda \right)d\lambda }$

یا

$J=\int \limits _{0}^{\infty }{\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{{I}_{\lambda ,e+r}}\left(\lambda ,\theta ,\phi \right)}}\cos \theta \sin \theta d\theta d\lambda$

و اگر سطح بازتاب کننده پخشی و گسیلنده پخشی باشد، ${{I}_{\lambda ,e+r}}$ مستقل از $\theta ,\phi$ است. در این صورت:

${{J}_{\lambda }}\left(\lambda \right)=\pi {{I}_{\lambda ,e+r}}$

$J=\pi {{I}_{e+r}}$

تبدیل انرژِی

یک پنل اندازه‌گیری گرما در یک مرکز تحقیقاتی در انتاریوی کانادا

تشعشع گرمایی یک مفهوم مهم در ترمودینامیک است به صورتی که آن عامل جزئی برای مبادله گرما بین اشیاء است به صورتی که تشعشع اجسام گرم تر بیشتر از اجسام سرتر است. ( ضرایب دیگر رسانش و جابجایی هستند. ) اثر متقابل تبدیل انرژی به وسیله معادله زیر مشخص شده است

$\alpha +\rho +\tau =1.\,$

ضریب جذب طیفی $\alpha \,$ ضریب بازتابش طیفی $\rho \,$ ضریب انتقال طیفی $\tau \,$

همه این اجزا به طول موج بستگی دارند ضریب صدور emissivity

$\epsilon \,$

این رابطه به عنوان تشعشع گرمایی قانون کیرشهف نامیده می شود

$\alpha =\epsilon =1.\,$

فرمول

نیروی تشعشع گرمایی یک جسم سیاه واحد سطح ، قسمت زاویه جامد ، که شامل این مطالب نمی شود و قسمت فرکانس به وسیله قانون پلانک داده شده است

$u(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}}$

یا

$u(\lambda ,T)={\frac {\beta }{\lambda ^{5}}}\cdot {\frac {1}{e^{hc/k_{B}T\lambda }-1}}$

که بتا ثابت است

این فرمول ها به طور ریاضی محاسبه توزیع انرژی طیفی در زمینه الکترومغناطیسی تدریجی شده را به دنبال دارد که در تعادل گرمایی کامل با شیء تشعشعی می باشد

انرژی خارجی داده شده به وسیله قانون استفان-بولتزمن به دست می آید به صورت

$P=\sigma \cdot A\cdot T^{4}$

طول موج که برای شدت صدور بالاترین است به وسیله قانون وین به دست می آید به صورت

$\lambda _{max}={\frac {b}{T}}$

برای سطوحی که اجسام سیاه نیستند ، باید ضریب صدور ملاحظه گردد. این ضریب در فرمول طیفی تشعشع قبل از انتگرال گیری ضرب می شود. اگر به صورت یک ثابت باشد ، فرمول نتیجه گیری شده برای نیروی خارجی می تواند در یک راهی نوشته شود

$P=\epsilon \cdot \sigma \cdot A\cdot T^{4}$

این نوع مدل تئوری که با صدور فرکانس مستقل کمتر از یک جسم سیاه کامل است ، اغلب به عنوان یک جسم خاکستری نامیده می شود

ثابت ها

مفاهیم ثابت های استفاده شده در معادلات بالا

$h\,$	ثابت پلانک	6.626 0693(11)×10−34 J·s = 4.135 667 43(35)×10−15 eV·s
$b\,$	ثابت جابجایی وین	2.897 7685(51)×10−3 m·K
$k_{B}\,$	ثابت بولتزمن	1.380 6505(24)×10−23 J·K−1 = 8.617 343(15)×10−5 eV·K−1
$\sigma \,$	ثابت استفان-بولتزمن	5.670 400(40)×10−8 W·m−2·K−4
$c\,$	سرعت نور	299,792,458 m·s−1

متغیرها

مفاهیم متغیرها با مقادیر مثالی

$T\,$	دما	میانگین دمای سطح روی زمین = 288 K
$A\,$	مساحت سطح	Acuboid = 2ab + 2bc + 2ac; Acylinder = 2π·r(h + r); Asphere = 4π·r2

---

مثال)سرامیک زیرکونیومی دارای گسیلمندی طیفی نیم کروی نشان داده شده است و از ان به عنوان رشته لامپ حبابی استفاده می شود.

الف)گسیلمندی نیم کروی کلی رشته زیرکونیمی که در 3000 کلوین کار میکند چقدر است؟

ب) با استفاده از توزیع طیفی گسیلمندی کلی نیم کروی یک رشته تنگستنی را که در 3000 کلوین کار می کند بیابید و آن را با نتیجه مربوط به رشته زیر کونیومی و تنگستنی که در یک لامپ خلا در 3000 کلوین کار می کنند قدرت مصرفی کدام بیش تر است ؟

ج) در رابطه با تولید تشعشع مرئی کدام یک از این دو رشته موثر تر است؟

الف) برای زیر کونیوم داریم:

${\begin{aligned}&\varepsilon =\int \limits _{0}^{\infty }{\mathop {\varepsilon } _{\lambda }}(\mathop {E} _{\lambda }-\mathop {E} _{b})\mathop {d} _{\lambda }=\mathop {\varepsilon } _{1}\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{2}\mathop {F} _{(0.4\to 0.7\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{3}\mathop {F} _{(0.7\mu m\to \infty )}\\&\varepsilon =\mathop {\varepsilon } _{1}\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{2}\mathop {(F} _{(0\to 0.7\mu m)}-\mathop {F} _{(0\to 0.4\mu m)})+\mathop {\varepsilon } _{3}(1-\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)})\\&from\mathop {} ^{}table\mathop {} ^{}12.1,with\mathop {} ^{}T=3000K\\&\lambda T=0.4\mu m\times 3000=1200\mu m.K\mathop {} ^{}\mathop {F} _{(0\to 0.4\mu m)}=0.0021\\&\lambda T=0.7\mu m\times 3000=2100\mu m.K\mathop {} ^{}\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)}=0.0838\\&\varepsilon =0.2\times 0.0021+0.8(0.0838-0.0021)+0.2\times (1-0.0838)=0.249\\&\\\end{aligned}}$
ب)برای تنگستن

${\begin{aligned}&\varepsilon =\mathop {\varepsilon } _{1}\mathop {F} _{(0\to 2\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{2}(1-\mathop {F} _{(0\to 2\mu m)})\\&With\mathop {} ^{}\mathop {} ^{}\lambda T=6000\mu m.K,\mathop {F} _{(0\to 2\mu m)}=0.738\\&\varepsilon =0.45\times 0.738+0.1(1-0.738)=0.358\\\end{aligned}}$

توان الکتریکی برای زیرکونیوم:

$P=\varepsilon \sigma {{T}^{4}}=0.249\times 5.67\times {{10}^{-8}}\times {{3000}^{4}}=1.14\times {{10}^{6}}w/{{m}^{2}}$

توان الکتریکی برای تنگستن:

$P=\varepsilon \sigma {{T}^{4}}=0.385\times 5.67\times {{10}^{-8}}\times {{3000}^{4}}=1.64\times {{10}^{6}}w/{{m}^{2}}$
همانطور که مشاهده می شود برای شرایط مشابه تنگستن توان بیشتری مصرف می کند.

ج)

$\mathop {\eta } _{vis}={\frac {\int \limits _{0.4}^{0.7}{{{\varepsilon }_{\lambda }}{{E}_{\lambda ,b}}{{d}_{\lambda }}}}{E}}={\frac {\int \limits _{0.4}^{0.7}{{{\varepsilon }_{\lambda }}({{E}_{\lambda ,b}}/{{E}_{b}})}}{E}}={\frac {{\varepsilon }_{vis}}{\varepsilon }}{{F}_{(0.4\to 0.7\mu m)}}$

${\text{With}}\mathop {} ^{}\mathop {} ^{}{\text{F=0}}{\text{.0817 for T=3000K}}$

${\begin{aligned}&{\text{Zirconia: }}{{\eta }_{vis}}={\text{(0}}{\text{.8 / 0}}{\text{.249)0}}{\text{.0817 = 0}}{\text{.263}}\\&{\text{Tungsten: }}{{\eta }_{vis}}={\text{(0}}{\text{.45/ 0}}{\text{.358)0}}{\text{.0817 = 0}}{\text{.103}}\\&\\\end{aligned}}$

بنابراین تولید تشعشع مرئی در زیرکونیوم موثر تر است .

جسم سیاه و تشعشع از آن

هر جسم جامدی کسری از تابش فرودی بر سطح خود را جذب می‌کند، بقیه این تابش بازتاب می‌یابد. یک جسم سیاه ایده‌آل به صورت ماده‌ای است که تمامی تابش فرودی را، بدون هیچ بازتابس جذب، کند

از دیدگاه نظریه کوانتومی، جسم سیاه عبارت است از ماده‌ای که تعداد بیشماری تراز انرژی کوانتیده (در گستره وسیعی از اختلاف انرژیها) را داشته باشد بطوری که هر نوترونی که با بسامدی بر آن فرود آیدجذب کند. از آنجا که انرژی جذب شده بوسیله یک ماده دمای آن را افزایش می‌دهد، اگر هیچ انرژی گسیل نشود، یک جاذب کامل یا جسم سیاه، گسیل کننده کامل نیز هست.

خواص عمومی تابش جسم سیاه

انرزی که در بازه کوچک فرکانسی

dv

بین فرکانس‌های

v,dv+v

گسیل می‌شود، در دمای ثابت نخست با فرکانس افزایش پیدا می‌کند، سپس به یک تعداد ماکزیمم می‌رسد، و سرانجام در فرکانس‌های باز هم بالاتر کاهش می‌یابد

با افزایش دمای جسم تابش کننده کسر بیشتری از تابش گسیل شده توسط مولفه‌های فرکانس بالاتر حمل می‌شود

طیف تابش جسم سیاه مستقل از ماده‌ای است که تابش کننده از آن ساخته شده است

جسم سیاه را بهتر بشناسیم:

جسم سیاه یک سطح ایدال با خواص زیر است: ۱. تمام تشعشع فرودی را جذب می‌کند ۲. در یک دما وطول موج مشخص هیچ سطحی نمی‌تواند بیشتر از جسم سیاه انرژی کسیل کند ۳. تشعشع جسم سیاه مستقل از جهت است یعنی جسم سیاه یک گسیلنده پخشیست

جسم سیاه که جذب کننده ویک گسیلمند کامل است، به عنوان استانداردی عمل می‌کند که خواص تشعشعی سطوح دیگر با آن مقایسه می‌شود. گرچه بعضی سطوح تقریبا سیاه‌اند، ولی باید توجه داشت که هیچ سطحی دقیقن خواص جسم سیاه را ندارد. بهتربن تقریب برای جسم سیاه، حفره‌ای است که سطح داخلی آن در دمای یکنواخت است (به طور عام می‌توان گفت که جسم سیاه کامل وجد ندارد)

اگر تشعشعی از روزنه کوچکی وارد شود قبل از خروج بازتاب‌های متعدد می‌دهد. لذا، تمام تشعشع تقریبا توسط حفره جذب وورفتار حفره تقریبا مانند جسم سیاه است. اگر معادله توزیع پلانک را برای دماهای مختلف رسم شود، یکی از ویژگی‌های این است که کسرقابل توجهی از تشعشعی که توسط خورشید، که می‌توان آن را تقریبا جسم سباه با دمای 5800kدانست کسیل می‌شود در ناحیه مرئی طیف است، ولی برای دما کمتر از800k، گسیل عمدتا در ناحیه مادون قرمز طیف است وبرای چشم مرئی نیست.

برای توصیف کردن مشخصه‌های تشعشعی سطوح، از مفهوم جسم سیاه استفاده می‌کنیم.

استرادیان

جسم سیاه تقریبی

کاواکی که حفره بسیار کوچکی در روی آن تعبیه شده است، تقریب بسیار خوبی از جسم سیاه است. هر تابشی که بر این حفره بتابد، از طریق آن وارد کاواک می‌شود و احتمال بسیار کمی وجود دارد که بلافاصله مجددا باز تابیده شود. در نتیجه عملا تمامی تابش که از طریق این حفره وارد کاواک می‌شود، در این ظرف می‌ماند.

حال اگر کاواک مورد نظر را تا دمای مفروض T حرارت دهیم، دیواره‌های درونی آن، با آهنگ یکسان فوتون‌ها را گسیل می‌کنند. تحت این شرایط می‌توان گفت که تابش الکترومغناطیسی با دیواره‌های داخلی در تعادل گرمایی است. کیرشهف نشان داد که طبق قانون دوم ترمودینامیک تابش داخل کاواک در هر طول موجی باید همسانگرد (یعنی، شار تابشی مستقل از راستا باشد)، همگن (شار تابشی در تمام نقاط فضا یکسان باشد) بوده و نیز در تمام کاواک‌هایی که دمایشان برابر است یکسان باشد.

طیف رنگی جسم سیاه در راستای x و y ... همانطور که دیده می‌شود به شدت به دمای جسم سیاه وابسته است و با تغییر دما متغیر است.

خورشید به عنوان یک جسم سیاه

می‌دانیم که انتقال گرمای رسانشی و جابه جایی نیازمند گرادیان دما در ماده است ولی انتقال گرما توسط تشعشع به ماده نیاز ندارد. تشعشع فرایند بسیار مهمی است و از نظر فیزیکی شاید جالب ترین نوع انتقال گرما است. بسیاری از فر آیندهای گرمایش، سرمایش، خشک کردن صنعتی وهمچنین روشهای تبدیل انرژی نظیر احتراق سوخت فسیلی وتشعشع خورشیدی با فرایند تشعشع سروکار دارند.

از آنجا که تابش یکی از روشهای انتقال گرما می‌باشد و در بسیاری از موارد موجود در صنعت که نیاز به دقت فراوان است و تابش سهم مهمی در تولید و یا جذب انرژی دارد، شناخت این پدیده لازم وضروری است. خورشید به عنوان یک منبع انرژی بسیار خوب در سالهای آتی مورد توجه خاص قرار خواهد گرفت. ساخت وسایل و ابزارهایی که بتوانند انرزی خورشید را جذب کرده و به صورتهای متعارف تبدیل کنند نیازمند شناخت کامل پدیده تابش است. همان طور که می‌دانیم خورشید عنصر کلیدی برای ادامه حیات است. توسط فرایندهای گرمایی، خورشید می‌تواند اغلب نیازهای گرمایشی محیط، گرمای فرایندها و الکتریسیته را تامین کرد. توزیع طیفی تشعشع خورشیدی باتوزیع طیفی گسیل تشعشع از سطوح صنعتی خیلی تفاوت دارد. این توزیع تقریبا توزیعی مانند توزیع جسم سیاه دارد و نمودار آن شبیه به نمودار جسم سیاه در بالا در دمای T=۵۵۰۰ می‌باشد.

نمایشی از ساختار درونی خورشید:
۱. هسته
۲. منطقه تشعشع کننده
3. Convective zone
۴. فوتوسفر
5. Chromosphere
۶. کرون
7. Sunspot
۸. گرانول
9. Prominence

توزیع پلانک

توزیع طیفی گسیل تشعشع از جسم سیاه به خوبی معلوم شده است، و این کار اولین بار توسط پلانک تعیین شد. این توزیع به شکل زیر است:

طیف جسم سیاه. هرکدام از خط‌های رنگی (که نمایندهٔ دماهای گوناگون هستند) نشان می‌دهند که در طول موج‌های گوناگون شدت تابش چه قدر است. با کم شدن دما، قلهٔ تابش جسم سیاه به سمت شدت‌های کمتر و طول موج‌های بیشتر می‌رود.

${{E}_{\lambda ,b}}(\lambda ,T)={\frac {{C}_{1}}{{{\lambda }^{5}}\left[\exp \left({\frac {{C}_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}$

${\begin{aligned}&{{C}_{1=}}2\pi hc_{o}^{2}=3.742\times {{10}^{8}}{\frac {W.\mu {{m}^{2}}}{{m}^{2}}}\\&{{C}_{2}}=\left({\frac {h{{c}_{o}}}{k}}\right)=1.439\times {{10}^{4}}\mu m.K\\\end{aligned}}$

اگر تابع توزیع پلانک را برای دماهای مختلف رسم کنیم به چندویژگی مهم می‌رسیم:

۱) تشعشع گسیل شده بر حسب طول موج به طور پیوسته تغییر می‌کند.

۲) در هر طول موج مقدار تشعشع گسیل شده با افزایش دما افزایش می‌یابد.

۳) ناحیه طیفی که در آن تشعشع متمرکز می‌شود، به دما بستگی دارد و با افزایش دما تشعشع بیش تر برای طول موج‌های کوتاهتر است.

رابطهٔ شدت تابش بر حسب بسامد (که رابطهٔ عکس با طول موج دارد) از قانون پلانک برای جسم سیاه به دست می‌آید:

${{I}_{\lambda ,b}}\left(\lambda ,T\right)={\frac {2hc_{o}^{2}}{{{\lambda }^{5}}\left[\exp \left({\frac {h{{c}_{o}}}{\lambda kT}}\right)-1\right]}}$

در رابطهٔ بالا:

• I(ν)dν مقدار انرژی بر واحد سطح بر واحد زمان است که در واحد زاویهٔ فضایی در بازهٔ بسامدی ν و ν+dν می‌تابد؛
• T دمای جسم سیاه است؛
• $h=6.626\times {{10}^{-34}}j.s$ثابت پلانک است؛
• ${{c}_{o}}=2.998\times {{10}^{8}}{\frac {m}{s}}$سرعت نور در خلا است.
• $k=1.381\times {{10}^{-23}}{\frac {J}{K}}$ثابت بولتزمن است.

قانون وین

توزیع طیفی جسم سیاه یک ماکزیمم دارد و طول موج متناظر با این نقطه ماکزیمیم،($\lambda _{\mathrm {max} }$)، به دما بستگی دارد. برای تعیین رابطهٔ بین $\lambda _{\mathrm {max} }$ و دمای متناظر آن با دیفرانسیل گیری از رابطهٔ توزیع پلانک نسبت به $\lambda$، و مساوی صفر قرار دادن آن نتیحه می‌شود:

${{\lambda }_{\max }}T={{C}_{3}}$

در این رابطه،${{C}_{3}}=2898\mu m.K$

به معادله مذکور، قانون جابجایی وین گفته می‌شود. طبق این قانون، ماکزیمم توان گسیل طیفی با افزایش دما به طرف طول موج‌های کوتاهتر جابجا می‌شود.

این گسیل در وسط طیف مریی تشعشع خورشیدی ۰٫۵=$\lambda$، قرار دارد، زیرا خورشید مانند جسم سیاه با دمای 5800 k تشعشع می‌کند.

قانون استفان بولتزمن

با استفاده از این قانون می‌توان مقدار تشعشع گسیل شده در تمام جهات و در تمام طول موج‌ها را فقط با استفاده از دمای جسم سیاه محاسبه کرد.

که رابطه آن برابر است با:

${{E}_{b}}=\sigma {{T}^{4}}$

در این رابطه ثابت استفان- بولتزمن برابر است با:

$\sigma =5.67\times {{10}^{-8}}{\frac {W}{{{m}^{2}}.{{k}^{4}}}}$

مقدار تشعشع گسیل شده توسط اجسام دیگر نظیر جسم خاکستری را نیز می‌توان محاسبه کرد که جهت این امر فرمول زیر معرفی می‌گردد:

${{E}_{b}}=\varepsilon \sigma {{T}^{4}}$

قانون سرمایش نیوتن

قانون سرمایش نیوتن بیان می‌کند که نرخ حرارت دفع شده از جسم به تفاوت دما بین جسم و محیط بستگی دارد. این قانون به صورت معادله دیفرانسیلی در زیر داده شده است:

${\frac {dQ}{dt}}=h\cdot A(T_{\text{env}}-T(t))=-h\cdot A\Delta T(t)\quad$

$Q=$انرژی گرمایی در واحد ژول

$h=$ ضریب انتقال حرارت

$A=$ مساحت سطحی که گرما انتقال می‌دهد

$T=$ دمای سطح جسم

$T_{\text{env}}=$ دمای محیط

$\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ تغییرات دمایی بین محیط و جسم

این معادله بعضی اوقات خیلی دقیق نیست، فرمول دقیق نیازمند تحلیل جریان گرمایی می‌باشد که بر اساس معادلات انتقال حرارت در اجسام ناهمگن یا اجسام دارای رسانایی ضعیف یا متوسط می‌باشد. در بعضی موارد جسم کامل به صورت مجموع ظرفیت ذخیره گرمایی رفتار می‌کند، با کل حجم گرمایی که با ظرفیت گرمایی متناسب است.

از تعریف ظرفیت گرمایی رابطه زیر به دست می‌آید:

$C={\frac {dQ}{dT}}$

${\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\mathrm {env} })=-r\Delta T(t)\quad$

مشخصه ثابت مثبت سیستم عبارت است از

r = hA/C

درسیستم‌های گرمایی

t₀ = C/hA.

ظرفیت گرمایی کل یک سیستم ممکن است بیشتر به وسیله ظرفیت گرمایی ویژه آن ضرب در جرم آن معرفی شود. بنابراین معادله بالا ممکن است به صورت مفید زیر نوشته شود

${\frac {dT(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)\quad$

حل این معادله دیفرانسیل، به وسیله روش‌های انتگرال گیری و جانشینی شرایط مرزی می‌دهد

$T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.\quad$

سپس حل نیوتن به صورت زیر نوشته می‌شود

$\Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.\quad$

معادلات مدل‌های انتقال حرارت متفاوت و مقاومت گرمایی آن ها

مدل انتقال	نرخ انتقال گرما	مقاومت گرمایی
رسانش	${\dot {Q}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\frac {L}{kA}}}$	${\frac {L}{kA}}$
همرفت	${\dot {Q}}={\frac {T_{surf}-T_{envr}}{\frac {1}{h_{conv}A_{surf}}}}$	${\frac {1}{h_{conv}A_{surf}}}$
تشعشع	${\dot {Q}}={\frac {T_{surf}-T_{surr}}{\frac {1}{h_{r}A_{surf}}}}$	${\frac {1}{h_{r}A}}$ $h_{r}=a\sigma (T_{surf}+T_{surr})(T_{surf}^{2}+T_{surr}^{2})$

در مواردی که مدل‌های انتقال گرمای متفاوت وجود دارد، مقاومت کل مجموع مقاومت‌های مدل‌های متفاوت است. به عنوان مثال، یک سطح مقطع عرضی یک دیوار مرکب را در نظر بگیرید. ترکیب آن از یک پلاستر سیمان با یک ضریب گرمایی و فایبرگلاس پوشیده شده با کاغذ با یک ضریب گرمایی دیگر تشکیل شده است.

دمای سطح چپ دیوار

T_i

ضریب هدایت سطح چپ در معرض هوا

h_i

دمای سطح راست دیوار

T_o

ضریب هدایت سطح راست در معرض هوا

h_o

پرونده:Thermal Circuits2.jpg

با استفاده از مفهوم مقاومت گرمایی، گرمای جریان داشته در ترکیب به صورت زیر است

${\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}$ جایی که

$R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}},R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}},R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}},R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}$

جداول

$h\,$	ثابت پلانک	۶٫۶۲۶ ۰۶۹3(11)×10−34 J·s = ۴٫۱۳۵ ۶۶۷ ۴3(35)×10−15 eV·s
$b\,$	ثابت جابجایی وین (Wien's displacement law)	۲٫۸۹۷ ۷۶۸5(51)×10−3 m·K
$k_{B}\,$	ثابت بولتزمن	۱٫۳۸۰ ۶۵۰5(24)×10−23 J·K−1 = ۸٫۶۱۷ ۳۴3(15)×10−5 eV·K−1
$\sigma \,$	ثابت استفان-بولتزمن	۵٫۶۷۰ ۴۰0(40)×10−8 W·m−2·K−4
$c\,$	سرعت نور	299,792,458 m·s−1

$T\,$	دما	میانگین دمای سطح روی زمین = 288 K
$A\,$	مساحت سطح	Acuboid = 2ab + 2bc + 2ac; Acylinder = ۲π·r(h + r); Asphere = ۴π·r2

گسیلمندی

یکی از خواص تشعشعی در سطح، به نام گسیلمندی، به عنوان نسبت تشعشع گسیل شده توسط سطح به تشعشع گسیل شده توسط جسم سیاه با همان دما تعریف می‌شود.

باید دانست به طور کلی، تشعشع طیفی گسیل شده توسط سطح با توزیع پلانک تفاوت دارد. به علاوع توزیع جهتی ممکن است پخشی نباشد.

لذا بر حسب اینکه گسیل در یک طول موج معین را بخواهیم یا در جهت معینی را، گسیل مندی مقادیر متفاوتی خواهد داشت.

گسیلمندی طیفی جهتی هر سطح بادمای T به عنوان نسبت تشعشع گسیل شده در طول موج $\lambda$ و در جهت $\theta$ و $\varphi$ به شدت تشعشع گسیل شده جسم سیاه در همان T و $\lambda$ تعریف می‌شود

$\varepsilon (\lambda ,,\theta ,\varphi ,T)={\frac {{{I}_{\lambda ,e}}(\lambda ,,\theta ,\varphi ,T)}{{{I}_{\lambda ,b}}(\lambda ,T)}}$

اندیس‌های $\lambda$ و $\theta$ طول موج و جهت خاصی را برای گسیلمندی، و جمله‌های داخل پرانتز وابستگی تابعی به طول موج، جهت یا دما را نشان می‌دهند نبود متغیرهای جهتی در پرانتز مخرج در معادله بالا می‌رساند که شدت مستقل از جهت است و این مشخصه گسیل تشعشع از جسم سیاه است به طور مشابه گسیل مندی جهتی کلی ${{\varepsilon }_{\theta }}$ که میانگین طیفی ${{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}$ را نشان می‌دهد به صورت زیر تعریف می‌شود

${{\varepsilon }_{\theta }}(\theta ,\varphi ,T)={\frac {{{I}_{e}}(\theta ,\varphi ,T)}{{{I}_{b}}(T)}}$

در اغلب محاسبات مهندسی بهتر است با آن دسته خواص از سطح که میانگین‌های جهتی را نشان می‌دهند کار شود لذا گسیلمندی طیفی نیمکروی به صورت زیر تعریف می‌شود

${{\varepsilon }_{\lambda }}(\theta ,T)={\frac {{{E}_{\lambda }}(\lambda ,T)}{{{E}_{b}}(T)}}$

با جایگذاری عبارت توان گسیل طیفی را بطهٔ ${{\varepsilon }_{\lambda }}(\lambda ,\theta )$ با گسیلمندی جهتی ${{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}$ به دست می‌آید

${{\varepsilon }_{\lambda }}(\lambda ,\theta )={\frac {\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{I}_{\lambda ,e}}(\lambda ,\theta ,\rho ,T)\cos \theta d\theta d\varphi }}}{\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{I}_{\lambda ,b}}\cos \theta d\theta d\varphi }}}}$

می‌بینیم که در اینجا وابستگی به دما وجود ندارد در نتیجه:

${{\varepsilon }_{\lambda }}(\lambda ,\theta )={\frac {\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\rho ,T)\cos \theta d\theta d\varphi }}}{\int \limits _{0}^{2\pi }{\int \limits _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{\cos \theta d\theta d\varphi }}}}$

به فرض اینکه ${{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}$ مستقل از $\varphi$ است که فرض منطقی برای اغلب سطوح است و با محاسبه صورت بالا به دست می‌آوریم

${{\varepsilon }_{\lambda }}(\lambda ,\theta )=2\int \limits _{0}^{\pi /2}{{{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\varphi ,T)\cos \theta \sin \theta d\theta d\varphi }$

گسیلمندی نیم کروی که میانگین روی تمام جهت‌ها و طول موج‌ها را نشان می‌دهد به صورت زیر تعریف می‌شود

${{\varepsilon }_{T}}={\tfrac {E(T)}{{{E}_{b}}(T)}}$

با جایگذاری از معادلات بالا نتیجه می‌شود

$\varepsilon (T)={\frac {\int \limits _{0}^{\infty }{{{\varepsilon }_{\lambda }}(\lambda ,T){{E}_{\lambda ,b}}(\lambda ,T)d\lambda }}{{{E}_{b}}(T)}}$

اگر گسیلمندی یک سطح معلوم باشد، محاسبه‌های مشخصه‌های گسیل آن ساده است، مثلا اگر ${{\varepsilon }_{\lambda }}(\lambda ,T)$ معلوم باشد، از آن می‌توان برای محاسبهٔ توان گسیل طیفی سطح در هر طول موج و دما می‌توان استفاده کرد. به طور مشابه اگر $\varepsilon (T)$ معلوم باشد از آن می‌توان برای محاسبه توان گسیل کلی سطح در هر دما استفاده می‌شود برای تعیین این خواص برای اغلب مواد و روکش‌های سطحی، اندازه‌گیری‌هایی انجام شده است گسیلنده جهتی گسیلنده پخشی یک مقدار ثابت و مستقل از جهت است. ولی گرچه اغلب این شرط یک تقریب منطقی است ولی تمام سطوح تا حدودی از رفتار پخشی انحراف دارند

${{\varepsilon }_{\theta }}$ برای رساناها در گستره $\theta \leq 40$ تقریبا ثابت است و پس از آن با افزایش $\theta$ افزایش می‌یابد اما سرانجام تا صفر کاهش می‌یابد

${{\varepsilon }_{\theta }}$ برای نارساناها برای $\theta \leq 70$ تقریبا ثابت است و پس از آن با افزایش $\theta$ به شدت کاهش می‌یابد. یکی از نتایج این تغییرات این است که گر چه جهت‌های ترجیحی برای گسیل وجود دارد، ولی گسیلمندی نیمکروی $\varepsilon$ با گسیلمندی عمودی ${{\varepsilon }_{n}}$ خیلی تفاوت ندارد لذا با یک تقریب منطقی ${{\varepsilon }_{n}}=\varepsilon$

مقادیر مختلف گسیلمندی برای انواع مواد مختلف، در کتب گوناگون مرتبط با علم انتقال حرارت آمده است. در اینجا فقط اشاره‌ای گذرا به برخی از نکات مهم می‌کنیم:

۱) گسیلمندی سطوح فلزی معمولا کم است.

۲) وجود لایه‌های اکسیدی می‌تواند گسیلمندی فلزات را افزایش دهد.

۳) گسیلمندی نارساناها تقریبا زیاد است.

۴) گسیلمندی رساناها با افزایش دما، زیاد می‌شود.

مثال : یک سطح پخشی با دمای 1600k دارای گسیلمندی طیفی نیمکروی داده شده در زیر است:

$0\leq \lambda (\mu m)\leq 2\to \varepsilon =0.4$

$2\leq \lambda (\mu m)\leq 5\to \varepsilon =0.8$

$5\leq \lambda (\mu m)\leq \infty \to \varepsilon \approx 0$

گسیلمندی نیمکروی کلی و توان گسیل را بیابید

پاسخ

$\varepsilon ={\frac {\int \limits _{0}^{\infty }{{{\varepsilon }_{\lambda }}{{E}_{\lambda ,b}}d\lambda }}{{E}_{b}}}={\frac {{{\varepsilon }_{1}}\int \limits _{0}^{2}{{{E}_{\lambda ,b}}d\lambda }}{{E}_{b}}}+{\frac {{{\varepsilon }_{2}}\int \limits _{2}^{5}{{{E}_{\lambda ,b}}d\lambda }}{{E}_{b}}}$

$\varepsilon ={{\varepsilon }_{1}}{{F}_{(0\to 2\mu m)}}+{{\varepsilon }_{2}}[{{F}_{(0\to 5\mu m)}}-{{F}_{(0\to 2\mu m)}}]$

${{\lambda }_{1}}T=2\mu m\times 1600K=3200\mu m.K:{{F}_{(0\to 2\mu m)}}=0.318$

${{\lambda }_{2}}T=5\mu m\times 1600K=8000\mu m.K:{{F}_{(0\to 5\mu m)}}=0.856$

$\varepsilon =0.4\times 0.318+0.8[0.856-0.318]=0.558$

$E=\varepsilon {{E}_{b}}=\varepsilon \sigma {{T}^{4}}$

$E=0.558(5.67\times {{10}^{-8}}){{(1600)}^{4}}$

$E=207KW/{{m}^{2}}$

جذب مندی

جذبمندی خاصیتی است که کسری از تشعشع فرودی را که توسط سطح جذب می‌شود تعیین می‌کند. چون این خاصیت، مانند گسیل، وابستگی جهتی و کیفی است، تعیین آن مشکل است. جذبمندی طیفی جهتی هر سطح،${{\alpha }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\varphi )$، کسری از شدت طیفی فرودی در جهت$\theta ,\varphi$است که توسط سطح جذب می‌شود. لذا،

${{\alpha }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\varphi )={\frac {{{I}_{\lambda ,i,abs}}(\lambda ,\theta ,\varphi )}{{{I}_{\lambda ,i}}(\lambda ,\theta ,\varphi )}}$

در این عبارت، از وابستگی جذبمندی به دمای سطح صرف نظر شده است این وابستگی برای اغلب خواص تشعشعی طیف ضعیف است. از نتیجه بالا دیده می‌شود که سطوح می‌توانند نسبت به طول موج و جهت تشعشع فرودی جذب انتخابی داشته باشند. ولی، در اغلب محاسبات مهندسی بهتر است خواصی از سطح که میانگین‌های جهتی را نشان می‌دهند به کار بریم. لذا، جذبمندی طیفی نیمکروی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

${{\alpha }_{\lambda }}(\lambda )\equiv {\frac {{{G}_{\lambda ,abs}}(\lambda )}{{{G}_{\lambda }}(\lambda )}}$

و آن را به صورت زیر می‌توان بیان کرد

${{\alpha }_{\lambda }}(\lambda )={\frac {\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{\alpha }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\varphi ){{I}_{\lambda ,i}}(\lambda ,\theta ,\varphi )\cos \theta \sin \theta d\theta d\varphi }}}{\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{I}_{\lambda ,i}}(\lambda ,\theta ,\varphi )\cos \theta \sin \theta d\theta d\varphi }}}}$

لذا ${{\alpha }_{\lambda }}$ به توزیع جهتی تشعشع فرودی، به طول موج تشعشع و ماهیت سطح جذب کننده بستگی دارد. اگر توزیع تشعشع فرودی به طور پخشی و ${{\alpha }_{\lambda ,\theta }}$ مستقل از $\varphi$ باشد، معادله قبلیبه صورت زیر در می‌آید

${{\alpha }_{\lambda }}(\lambda )=2\int _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{\alpha }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta )\cos \theta \sin \theta d\theta }$

جذبمندی نیم کروی کلی،، میانگین انتگرالی شذه روی جهت و طول موج را نشان می‌دهد. این خاصیت به عنوان کسری از شدت تشعشع فرودی کل جذب شده توسط سطح تعریف می‌شود

$\alpha \equiv {\frac {{G}_{abs}}{G}}$

در نتیجه می‌توان گفت

$\alpha ={\frac {\int _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}(\lambda ){{G}_{\lambda }}(\lambda )d\lambda }}{\int _{0}^{\infty }{{{G}_{\lambda }}(\lambda )d\lambda }}}$

لذا ${\alpha }$ به توزیع طیفی تشعشع فرودی، به توزیع جهتی آن و به ماهیت سطح جذب کننده بستگی دارد. گرچه $\alpha$ تقریبا مستقل از دمای سطح است، ولی گسیلمندی نیمکروی کلی، $\varepsilon$ ، مستقل از دمای سطح نیست و شدیدا به دما بستگی دارد.

چون $\alpha$ به توزیع طیفی شار تشعشع فرودی بستگی دارد، مقدار آن برای سطحی که در معرض تشعشع خورشیدی است می‌تواند خیلی متفاوت به مقدار آن برای مکان سطحی باشد که در معرض تشعشع گسیل شده از منبعی با دمای پایین‌تر و با طول موج بلندتر قرار دارد. چون توزیع طیفی تشعشع خورشیدی تفریبا با توزیع طیف گسیل تشعشع از جسم سیاه، با دمای5800K، متناسب است، از معادلهٔ قبل نتیجه می‌شود که جذمندی کلی برای تشعشع خورشیدی، ${{\alpha }_{s}}$ ، را به صورت زیر می‌توان تقریب زد

${{\alpha }_{s}}\approx {\frac {\int _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}(\lambda ){{E}_{\lambda ,b}}(\lambda ,5800k)d\lambda }}{\int _{0}^{\infty }{{{E}_{\lambda ,b}}(\lambda ,5800k)d\lambda }}}$

انتگرال‌هایی را که در این معادله وارد شده‌اند با استفاده از تابع تشعشع جسم سیاه، ${{F}_{(0\to \lambda )}}$ ، در جدول۱-۱۲ کتاب می‌توان ارزیابی کرد.

بازتابندگی

بازتابندگی، خاصیتی است که کسری از تشعشع فرودی را که توسط سطح بازتاب می‌شود تعیین می‌کند. و به چند طورت تعریف می‌شود، زیرا این خاصیت ذاتا دوجهتی است، یعنی، هم به جهت تشعشع فرودی بستگی دارد، و هم به جهت تشعشع بازتاب شده. جهت رفع این مشکل با یک بازتابندگی کار می‌کنیم. لذا، پارامتری به نام بازتابندگی جهتی طیفی، $\rho \,$، را برای سطح به عنوان کسری از شدت طیفی فرودی در جهتی که توسط سطح بازتاب می‌شود، تعریف می‌کنیم.

$\rho (\lambda )={\frac {G_{\mathrm {refl} }(\lambda )}{G_{\mathrm {incid} }(\lambda )}}$

عبورپذیری

عبورپذیری، خاصیتی است که کسری از تشعشع فرودی را که توسط سطح عبور داده می‌شود، تعیین می‌کند. و با پارامتر $\tau \,$ نمایش داده می‌شود.

عبورپذیری طیفی جهتیهر سطح،${{\tau }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\varphi )$، کسری از شدت طیفی فرودی در جهت$\theta ,\varphi$است که توسط سطح عبور ذاذه می‌شود. لذا،

${{\tau }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\varphi )={\frac {{{I}_{\lambda ,i,abs}}(\lambda ,\theta ,\varphi )}{{{I}_{\lambda ,i}}(\lambda ,\theta ,\varphi )}}$

در این عبارت، از وابستگی عبورپذیری به دمای سطح صرف نظر شده است این وابستگی برای اغلب خواص تشعشعی طیف ضعیف است. از نتیجه بالا دیده می‌شود که سطوح می‌توانند نسبت به طول موج و جهت تشعشع فرودی عبورپذیری انتخابی داشته باشند. ولی، در اغلب محاسبات مهندسی بهتر است خواصی از سطح که میانگین‌های جهتی را نشان می‌دهند به کار بریم. لذا، عبورپذیری طیفی نیمکروی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

${{\tau }_{\lambda }}(\lambda )\equiv {\frac {{{G}_{\lambda ,abs}}(\lambda )}{{{G}_{\lambda }}(\lambda )}}$

و آن را به صورت زیر می‌توان بیان کرد

${{\tau }_{\lambda }}(\lambda )={\frac {\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{\tau }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta ,\varphi ){{I}_{\lambda ,i}}(\lambda ,\theta ,\varphi )\cos \theta \sin \theta d\theta d\varphi }}}{\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{I}_{\lambda ,i}}(\lambda ,\theta ,\varphi )\cos \theta \sin \theta d\theta d\varphi }}}}$

لذا ${{\tau }_{\lambda }}$ به توزیع جهتی تشعشع فرودی، به طول موج تشعشع و ماهیت سطح عبور دهنده بستگی دارد. اگر توزیع تشعشع فرودی به طور پخشی و ${{\tau }_{\lambda ,\theta }}$ مستقل از $\varphi$ باشد، معادله قبلیبه صورت زیر در می‌آید

${{\tau }_{\lambda }}(\lambda )=2\int _{0}^{{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;}{{{\tau }_{\lambda ,\theta }}(\lambda ,\theta )\cos \theta \sin \theta d\theta }$

چون $\tau$ به توزیع طیفی شار تشعشع فرودی بستگی دارد، مقدار آن برای سطحی که در معرض تشعشع خورشیدی است می‌تواند خیلی متفاوت به مقدار آن برای مکان سطحی باشد که در معرض تشعشع گسیل شده از منبعی با دمای پایین‌تر و با طول موج بلندتر قرار دارد. چون توزیع طیفی تشعشع خورشیدی تفریبا با توزیع طیف گسیل تشعشع از جسم سیاه، با دمای5800K، متناسب است، از معادلهٔ قبل نتیجه می‌شود که عبورپذیری کلی برای تشعشع خورشیدی، ${{\tau }_{s}}$ ، را به صورت زیر می‌توان تقریب زد

${{\tau }_{s}}\approx {\frac {\int _{0}^{\infty }{{{\tau }_{\lambda }}(\lambda ){{E}_{\lambda ,b}}(\lambda ,5800k)d\lambda }}{\int _{0}^{\infty }{{{E}_{\lambda ,b}}(\lambda ,5800k)d\lambda }}}$

انتگرال‌هایی را که در این معادله وارد شده‌اند با استفاده از تابع تشعشع جسم سیاه، ${{F}_{(0\to \lambda )}}$ ، در جدول۱-۱۲ کتاب می‌توان ارزیابی کرد.

رابطهٔ موجود بین این سه پارامتر به قرار زیر است.

$\alpha +\rho +\tau =1\,$

البته اگر محیط کدر باشد، عبور وجود ندارد و جذب و بازتاب فرایندهای سطحی اند.

۶)یک جسم کوچک، کدر، پخشی با دمای Ts=400k در کورهی بزرگی که دیوارهی داخلی آن در Tf=2000k است آویزان شده است، دیوارهٔ پخشی و خاکستری و با گسیلمندی ۰٫۲ است. اگر گسیلمندی سطح جسم کوچک برای طول موج‌های کمتر از ۱ میکرو متر، صفر باشد وبرای طول موج بین ۱تا۳ میکرو متر، ۰٫۷ باشدو برای طول موج‌های بیشتر از ۳ میکرو متر برابر ۰٫۵ باشد به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) جذبمندی و گسیلمندی کلی سطح جسم را بیابید.

ب) شار تشعشعی بازتاب شده از سطح وشار تشعشعی خالص داده شده به سطح چقدر است؟

ج) توان گسیل طیفی در طول موج ۰٫۲ میکرو متر چقدر است؟

قانون کیرشهف

یک محفظه بزرگ و دما ثابت با دمای سطح Ts در نظر بگیرید که چند جسم کوچک درون آن قرار دارندچون اجسام مزبور نسبت به محفظه کوچکند، لذا تاثیری بر میدان تشعشع که مجموع اثرات صدور و انعکاس انرژی توسط سطح محفظه است، نمی‌گذارند. به خاطر دارید که چنین سطحی صرف نظر از خواص تشعشی آن، یک حفره جسم سیاه را تشکیل می‌دهد. بر این اساس و بدون توجه به وضعیت قرار گرفتن سطح، شدت تشعشع ورودی بر هر سطح در داخل محفظه به صورت پخشی است و برابر صدور انرژی از یک جسم سیاه به دمای${{T}_{s}}$ برابراست با:

$G={{E}_{b}}\left({{T}_{s}}\right)$

در شرایط دائم، تعادل گرمایی باید بین اجسام و محفظه وجود داشته باشد. بنابراین T1=T2...... =Ts و نرخ خالص انتقال انرژی به هر سطح برابر صفر است. با اعمال موازنه انرژی بر سطح کنترل روی جسم ۱ داریم:

${{\alpha }_{1}}G{{A}_{1}}-{{E}_{1}}(Ts){{A}_{1}}=0$

یا

${\frac {{{E}_{1}}(Ts)}{{\alpha }_{1}}}={{E}_{b}}(Ts)$

چون نتیجه فوق باید روی هرکدام از اجسام محصور در محفظه اعمال شود رابطه زیر به دست می‌آید:

${\frac {{{E}_{1}}(Ts)}{{\alpha }_{1}}}={\frac {{{E}_{2}}(Ts)}{{\alpha }_{2}}}=.....{{E}_{b}}(Ts)$

رابطه فوق قانون کیرشهف نام دارد. نتیجه مهمی که از قانون فوق به دست می‌آید این است که توان صدور یک سطح واقعی نمی‌تواند ا ز توان صدور سطح سیاه در همان دما تجاوز کند و لذا ملحوظ داشتن جسم سیاه به عنوان صادرکننده ایده آل تایید می‌شود. با استفاده از تعریف ضریب صدور کلی نیمکره‌ای شکل دیگری از قانون کیرشهف چنین نوشته می‌شود:

${\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\alpha }_{1}}}={\frac {{\varepsilon }_{2}}{{\alpha }_{2}}}=....=1$

بنابراین برای هر سطح واقع در محفظه داریم:

$\alpha =\varepsilon$

یعنی ضریب صدور کلی نیمکره‌ای سطح برابر ضریب جذب کلی نیمکره‌ای آن است. روند فوق را می‌توان برای شرایط طیفی نیز تکرار کرد:

${{\alpha }_{\lambda }}={{\varepsilon }_{\lambda }}$ معادله بالا هنگامی بکار می‌رود که شدت تشعشع ورودی دیفیوز بوده یا سطح دیفیوز باشد. شکل خاصی از قانون کرشهف که هیچ گونه محدودیتی ندارد، شامل خواص طیفی و جهتی است. یعنی:

${{\alpha }_{\lambda ,\theta }}={{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}$

سطح خاکستری

با قبول این واقعیت که ضرایب صدور و جذب طیفی جهتی در هر شرایطی برابرند، این سوال مطرح می‌شود که معادله زیر تحت چه شرایطی معتبر است؟

${{\varepsilon }_{\lambda }}={\frac {\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{{{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}\cos \theta \sin d\theta d\phi }}}{\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi }}}}$

${{\alpha }_{\lambda }}={\frac {\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{{{\alpha }_{\lambda ,\theta }}{{I}_{\lambda ,i}}\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi }}}{\int _{0}^{2\pi }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{{{I}_{\lambda ,i}}\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi }}}}$

چون ${{\alpha }_{\lambda ,\theta }}={{\varepsilon }_{\lambda ,\theta }}$است نتیجه می‌شود که معادله ${{\alpha }_{\lambda }}={{\varepsilon }_{\lambda }}$ هنگامی قابل اعمال است که یکی از شرایط زیر برقرار باشد:

۱-شدت تشعشع ورودی دیفیوز است.

۲-سطح دیفیوز است.

با فرض اینکه شدت تشعشع ورودی یا سطح دیفیوز باشند، شرایط دیگری را بررسی می‌کنیم که برای ارضای معادله $\alpha =\varepsilon$لازمند. این تساوی هنگامی برقرار است که:

$\varepsilon ={\frac {\int _{0}^{\infty }{{{\varepsilon }_{\lambda }}{{E}_{\lambda ,b}}(\lambda ,T)d\lambda }}{{{E}_{b}}(T)}}={\frac {\int _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}{{G}_{\lambda }}(\lambda )d\lambda }}{G}}=\alpha$ چون ${{\alpha }_{\lambda }}={{\varepsilon }_{\lambda }}$است، نتیجه می‌شود که معادله $\alpha =\varepsilon$در صورت برقرار بودن هر کدام از شرایط زیر صادق است.

۱-شدت تشعشع ورودی شامل صدور انرژی از یک جسم سیاه در دمای سطح Tباشد که در این حالت:

${{G}_{\lambda }}(\lambda )={{E}_{\lambda ,b}}$

$G={{E}_{b}}(T)$

۲-سطح خاکستری است.

چون ضریب جذب کلی سطح به توزیع طیفی شدت تشعشع ورودی به آن بستگی دارد، صریحا نمی‌توان گفت که $\alpha =\varepsilon$است. برای مثال یک سطح خاص ممکن است تشعشع را در یک ناحیه طیفی به شدت جذب کند در حالی که در ناحیه دیگر جذب نکند. بنابراین بر هیچ اساسی نمی‌توان گفت که همواره معادله $\alpha =\varepsilon$برقرار است.

برای اینکه فرض خاکستری بودن سطح معتبر باشد لازم نیست که ${{\alpha }_{\lambda }}$و ${{\varepsilon }_{\lambda }}$در سرتسر طیف مستقل از $\lambda$باشند. از نظر عملی سطح خاکستری به عنوان سطحی تعریف می‌شود که در آن ${{\varepsilon }_{\lambda }}$و ${{\alpha }_{\lambda }}$در نواحی طیفی شدت تشعشع ورودی و صدور انرژی از سطح مستقل از $\lambda$باشند

تشعشع در طبیعت

تشعشع خورشید برای حیات ضرورت دارد. فرایند فتوسنتز، نیازهای غذایی، پوشاک و سوخت را مرتفع می‌کند. با استفاده از انرژی خورشید، نیازهای گرمایشی و الکتریکی را نیز می‌توان تامین کرد.
خورشید مانند یک منبع تشعشع تقریبا کروی به قطر 1.39E9 m است، که در فاصله 1.50E11 m از زمین قرار دارد. تشعشع خورشید مانند تشعشع از یک جسم سیاه با دمای 5800K است. شار تشعشع خورشید، هنگام عبور از فضا، کاهش می‌یابد، زیرا سطح کروی تشعشع افزایش می‌یابد.
ثابت خورشیدی عبارت است از شار انرژی خورشیدی که بر یک سطح واقع در لبهٔ خارجی اتمسفر زمین و در وضعیت عمود بر اشعه خورشیدی فرود می‌آید. در این تعریف، فاصله متوسط زمین از خورشید در نظر گرفته می‌شود. برای یک سطح افقی (موازی با سطح زمین)، تشعشع خورشید به صورت اشعه‌های موازی، تحت زاویهٔ سمت الراس θ با عمود بر زمین، ظاهر می‌شود. شار تشعشع بیرون از جو زمین به عرض جغرافیایی و طول روز و سال بستگی دارد.
توزیع طیفی تشعشع خورشید، در مقایسه با توزیع طیفی گسیل تشعشع از سطوح معمولی، بسیار متفاوت است. این توزیع تقریبا مانند توزیع جسم سیاه با دمای 5800K است. تشعشع خورشید در ناحیهٔ طیف گرمایی با طول موج ۰٫۲ تا ۰٫۳ میکرو متر متمرکز است و نقطهٔ ماکزیمم طیف تقریبا در ۰٫۵ میکرو متر است. برای سطوحی که تحت تشعشع خورشید قرار دارند، رفتار خاکستری را نمی‌توان در نظر گرفت، زیرا گسیل تشعشع عموما در ناحیهٔ طیفی خارج از ۴ میکرو متر است و خواص طیفی یک سطح در یک چنین گسترهٔ طیفی عریض ثابت نمی‌ماند. هنگام عبور تشعشع خورشید از اتمسفر زمین، مقدار شار، توزیع جهتی آن تغییر می‌کند. این تغییرات ناشی از جذب و پراکندگی تشعشع خورشید توسط عناصر جوی است. جذب تشعشع توسط ازن در ناحیهٔ فرابنفش شدید است، به طوری که قسمت زیادی از تشعشع با طول موج کم تر از ۰٫۴ میکرومتر و تمام تشعشع با طول موج کمتر از ۰٫۳ میکرومتر جذب می‌شود. در ناحیهٔ مرئی اوزون و اکسیژن تا اندازه‌ای تشعشع را جذب می‌کنند؛ در نواحی نزدیک مادون قرمز و دور از آن، بخار آب به شدت تشعشع را جذب می‌کند. گرد و غبار موجود در جو نیز تشعشع خورشید را جذب می‌کند.
اتمسفر زمین، باعث پراکندگی تشعشع خورشید می‌شود. این پراکندگی دو نوع است: پراکندگی ریلی و پراکندگی مای.
پراکندگی ریلی توسط مولکول‌های گاز روی می‌دهد. در این فرایند تقریبا نیمی از تشعشع پراکنده دوباره به فضا برمی گردد و قسمت باقی مانده به سطح زمین برخورد می‌کند. پراکندگی مای توسط ذرات گرد و غبار معلق در اتمسفر اتفاق می‌افتد و هنگامی روی می‌دهد که نسبت πD به λ تقریبا برابر ۱ باشد. در این فرایند، تمام تشعشع پراکنده به سطح زمین برخورد می‌کند.
آن قسمت از تشعشع که بدون پراکندگی در اتمسفر نفوذ می‌کند، در جهت زاویهٔ سمت الراس قرار می‌گیرد. این تشعشع را تشعشع مستقیم می‌گویند. در مقابل، تشعشع پراکنده تشعشعی است که با شدت‌های متفاوت از تمام جهت‌ها فرود می‌آید. اما معمولا فرض می‌شود که شدت تشعشع پراکنده به جهت بستگی ندارد. به همین دلیل تشعشع پراکنده را تشعشع پخشی نیز می‌گویند. به این ترتیب، تشعشعی که به سطح زمین می‌رسد مجموع توزیع‌های مستقیم و پخشی است. گسترهٔ تغییرات توزیع پخشی تقریبا ده درصد تشعشع کل خورشیدی در یک روز آفتابی تا صد در صد تشعشع کل خورشیدی در یک روز ابری است. اندازه خواص طیفی یک سطح در طول موج‌های کوتاه ممکن است با اندازه خواص طیفی آن در طول موج‌های بلند تفاوت زیادی داشته باشد. چون تشعشع خورشید در طول موج کوتاه طیف متمرکز است و گسیل تشعشع از سطوح در طول موج‌های بسیار بلند تر روی می‌دهد، اغلب سطوح را برای شار تشعشع فرودی خورشیدی نمی‌توان خاکستری دانست. به عبارت دیگر برای تشعشع خورشیدی ضریب جذب یک سطح با ضریب گسیل آن ممکن است متفاوت باشد.

مثال‌ها

مثال

مسئله ۱۲-۹۷ (کتاب اینکروپرا ویرایش چهارم)

استوانه‌ای به قطر 30mm و طول 150mm در کوره بزرگی گرم می‌شود. دیواره کوره در 1000K است، و ضمناً هوای 400K با 3m/s گردش می‌کند. در شرایط داده شده زیر، دمای پایای استوانه را تخمین بزنید.

الف) استوانه در جریان عرضی است، اما سطح آن پخشی و خاکستری با گسیلمندی ۵/۰ است.

ب) استوانه در جریان عرضی است، اما سطح آن به طور کیفی انتخابی است، و برای $\lambda \leq 3\mu m$، ${{\alpha }_{\lambda }}=0.1$ و برای $\lambda \geq 3\mu m$، ${{\alpha }_{\lambda }}=0.5$.

ج) سطح استوانه طوری قرار دارد که جریان هوا به طور طولی است و سطح آن پخشی و خاکستری است.

د) برای شرایط قسمت (الف)، دمای استوانه را به صورت تابعی از سرعت هوا برای $1\leq V\leq 20m/s$ محاسبه و رسم کنید.

حل:

شماتیکی از استوانه شرایط آن ومحیط اطراف و همچنین نمودار تغییرات ${{\varepsilon }_{\lambda }}$ برحسب $\lambda$ در شکل زیر نشان داده شده است:

فرضیات:

1-استوانه همدماست

2-شرایط حالت پایا برقرار است

3-دیواره کوره نیز همدما و مساحت سطح آن در مقایسه با سیلند خیلی بزرگ است

خواص: با توجه به جدول A-4، برای هوا (${{T}_{f}}=600K$):

$\nu ={\text{52}}.{\text{69}}\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}/s$

$k=46.9\times {{10}^{-3}}W/m.K$

$\Pr =0.685$

جدول الف-4 خواص ترموفیزیکی گازها در فشار اتمسفر

الف) وقتی سطح سیلندر خاکسری و ضریب پخش برابر با $\varepsilon =0.5$ تعادل انرژی به صورت زیر برقرار است:

${{{q}''}_{rad}}-{{{q}''}_{conv}}=0$

$\Rightarrow \varepsilon \sigma (T_{surr}^{4}-T_{s}^{4})-{\bar {h}}({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }})=0$

برای بدست آوردن ${\bar {h}}$ از رابطه چرچیل- برنشتاین استفاده می‌کنیم:

${\bar {N}}{{u}_{D}}=({\bar {h}}D/k)=0.3+{\frac {0.62\operatorname {Re} _{D}^{1/2}{{\Pr }^{1/3}}}{{\left[1+{{(0.4/\Pr )}^{2/3}}\right]}^{1/4}}}{{\left[1+{{\left({\frac {{\operatorname {Re} }_{D}}{282000}}\right)}^{5/8}}\right]}^{4/5}}$

$\Rightarrow {{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {VD}{\nu }}={\frac {3m/s\times 30\times {{10}^{-3}}m}{52.69\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}/s}}=1710$

$\Rightarrow {\bar {N}}{{u}_{D}}=20.8$

$\Rightarrow {\bar {h}}={\frac {20.8\times 46.9\times {{10}^{-3}}W/m.K}{30\times {{10}^{-3}}m}}=32.5W/{{m}^{2}}.K$

با استفاده از معادله انرژی در ابتدای حل مسئله می‌توان دمای سطح را به صورت زیر محاسبه کرد:

$0.5\times 5.67\times {{10}^{-8}}({{1000}^{4}}-T_{s}^{4})W/{{m}^{2}}-32.5W/{{m}^{2}}.K({{T}_{s}}-400)K=0$

$\Rightarrow {{T}_{s}}\approx 839K$

ب) وقتی سطح سیلندر به طور کیفی انتخابی است معادله تعادل انرژی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\alpha G-\varepsilon {{E}_{b}}({{T}_{s}})-{{{q}''}_{conv}}=0$

از طرفی

$G={{E}_{b}}({{T}_{surr}})$ , $\alpha =\int \limits _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}{{G}_{\lambda }}d\lambda /G}$

$\Rightarrow \alpha =0.1\times {{F}_{(0\to 3)}}+0.5\times (1-{{F}_{(0\to 3)}})=0.1\times 0.273+0.5(1-0.273)=0.391$

با استفاده از جدول ۱۲-۱ $\lambda T=3\times 1000=3000\mu m.K$ و ${{F}_{(0\to 3)}}=0.273$. فرض می‌شود که ${{T}_{s}}$ برای صدور در ناحیه طیفی $\lambda \leq 3\mu m$ قابل چشمپوشی باشد، پس تعادل انرژی به صورت زیر می‌شود:

$0.391\times 5.67\times {{10}^{-8}}\times {{1000}^{4}}W/{{m}^{2}}-0.5\times 5.67\times {{10}^{-8}}\times T_{s}^{4}W/{{m}^{2}}-32.5W/{{m}^{2}}.K({{T}_{s}}-400)K=0$

$\Rightarrow {{T}_{s}}\approx 770K$

$\lambda T=3\times 770=2310\mu m.K$

$\Rightarrow {{F}_{(0\to \lambda )}}\approx 0.11$

بنابراین فرض $\varepsilon =0.5$ قابل قبول است. همچنین مقدار ${\bar {h}}$ که بر اساس ${{T}_{f}}=600K$ بدست آمده صحیح است.

جدول 1-12 توابع تشعشع جسم سیاه

ج) وقتی سیلندر پخشی خاکستری با جریان هوا به طور طولی تماس مستقیم دارد، مشخصه طول برای جابجایی متفاوت می‌شود. با فرض شرایطی که سیال طولی از صفحه تخت مدل را که می‌پوشاند L=150mm باشد، داریم:

${{\operatorname {Re} }_{D}}={\frac {VD}{\nu }}={\frac {3m/s\times 150\times {{10}^{-3}}m}{52.69\times {{10}^{-6}}{{m}^{2}}/s}}=8540$

$\Rightarrow {\bar {N}}{{u}_{D}}=({\bar {h}}D/k)=0.664\operatorname {Re} _{L}^{1/2}{{\Pr }^{1/3}}==0.664{{(8540)}^{1/2}}{{0.685}^{1/3}}=54.1$

$\Rightarrow {\bar {h}}={\frac {54.1\times 0.0469W/m.K}{0.150m}}=16.9W/{{m}^{2}}.K$

حال با استفاده از تعادل انرژی داریم:

$0.5\times 5.667\times {{10}^{-8}}W/{{m}^{2}}.{{K}^{4}}({{1000}^{4}}-T_{s}^{4}){{K}^{4}}-16.9W/{{m}^{2}}.K({{T}_{s}}-400)K=0$

$\Rightarrow {{T}_{s}}\approx 850K$

د) رسم نموداربرای شرایط قسمت (الف)، دمای استوانه را به صورت تابعی از سرعت هوا برای $1\leq V\leq 20m/s$ در نظر می‌گیریم.

مثال

جذبندی طیفی نیمکروی یک سطح کدر و شار تشعشع فرودی بر این سطح در شکل‌های زیر نشان داده شده‌اند.

تغییرات جذبمندی طیف نیمکروی را بر حسب طول موج رسم کنید. جذبمندی نیم کدوی کلی سطح چقدر است؟ اگر سطح با دمای اولیه500kودارای گسیلمندی نیمکروی کلی0.8 باشد، دمای آن بر اثر شار تشعشع فرودی چقدر است؟

حل:

1- ${{\rho }_{\lambda }}=1-{{\alpha }_{\lambda }}$

در نتیجه داریم

۲-

$\alpha ={\frac {{G}_{abs}}{G}}={\frac {\int _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}{{G}_{\lambda }}d\lambda }}{\int _{0}^{\infty }{{{G}_{\lambda }}d\lambda }}}={\frac {0.2\int _{2}^{6}{{{G}_{\lambda }}d\lambda }+500\int _{6}^{8}{{{\alpha }_{\lambda }}d\lambda +1\int _{8}^{16}{{{G}_{\lambda }}d\lambda }}}{\int _{2}^{6}{{{G}_{\lambda }}d\lambda }+\int _{6}^{12}{{{G}_{\lambda }}d\lambda }+\int _{12}^{16}{{{G}_{\lambda }}d\lambda }}}$

$=\left[0.2\left({\frac {1}{2}}\right)500(6-2)+500\left[0.2(8-6)+(1-0.2)({\frac {1}{2}})(8-6)\right]+\left[1\times 500(12-8)+({\frac {1}{2}})500(16-12)\right]\right]$

$\div \left[({\frac {1}{2}})500(6-2)+500(12-6)+({\frac {1}{2}})500(16-12)\right]$

$\alpha ={\frac {{G}_{abs}}{G}}={\frac {3800}{5000}}=0.76$

۳-با صرف نظر از اثر جابجایی، شار گرمای خالص داده شده به سطح برابراست با

${{{q}''}_{net}}=\alpha G-E=\alpha G-\varepsilon \sigma {{T}^{4}}=0.76(5000)-0.8(5.67\times {{10}^{-8}}){{(500)}^{4}}=965{}^{w}\!\!\diagup \!\!{}_{{m}^{2}}\;$

چون ${{{q}''}_{net}}\rangle 0$ ، دمای سطح بر حسب زمان افزایش می‌یابد.

مثال

سرامیک زیرکونیومی دارای گسیلمندی طیفی نیم کروی نشان داده شده است و از ان به عنوان رشته لامپ حبابی استفاده می‌شود.

الف) گسیلمندی نیم کروی کلی رشته زیرکونیمی که در ۳۰۰۰ کلوین کار می‌کند چقدر است؟

ب) با استفاده از توزیع طیفی گسیلمندی کلی نیم کروی یک رشته تنگستنی را که در ۳۰۰۰ کلوین کار می‌کند بیابیید و آن را با نتیجه مربوط به رشته زیر کونیومی و تنگستنی که در یک لامپ خلا در ۳۰۰۰ کلوین کار می‌کنند قدرت مصرفی کدام بیش تر است؟

ج) در رابطه با تولید تشعشع مرئی کدام یک از این دو رشته موثرتر است؟

الف) برای زیر کونیوم داریم:

${\begin{aligned}&\varepsilon =\int \limits _{0}^{\infty }{\mathop {\varepsilon } _{\lambda }}(\mathop {E} _{\lambda }-\mathop {E} _{b})\mathop {d} _{\lambda }=\mathop {\varepsilon } _{1}\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{2}\mathop {F} _{(0.4\to 0.7\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{3}\mathop {F} _{(0.7\mu m\to \infty )}\\&\varepsilon =\mathop {\varepsilon } _{1}\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{2}\mathop {(F} _{(0\to 0.7\mu m)}-\mathop {F} _{(0\to 0.4\mu m)})+\mathop {\varepsilon } _{3}(1-\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)})\\&from\mathop {} ^{}table\mathop {} ^{}12.1,with\mathop {} ^{}T=3000K\\&\lambda T=0.4\mu m\times 3000=1200\mu m.K\mathop {} ^{}\mathop {F} _{(0\to 0.4\mu m)}=0.0021\\&\lambda T=0.7\mu m\times 3000=2100\mu m.K\mathop {} ^{}\mathop {F} _{(0\to 0.7\mu m)}=0.0838\\&\varepsilon =0.2\times 0.0021+0.8(0.0838-0.0021)+0.2\times (1-0.0838)=0.249\\&\\\end{aligned}}$
ب) برای تنگستن

${\begin{aligned}&\varepsilon =\mathop {\varepsilon } _{1}\mathop {F} _{(0\to 2\mu m)}+\mathop {\varepsilon } _{2}(1-\mathop {F} _{(0\to 2\mu m)})\\&With\mathop {} ^{}\mathop {} ^{}\lambda T=6000\mu m.K,\mathop {F} _{(0\to 2\mu m)}=0.738\\&\varepsilon =0.45\times 0.738+0.1(1-0.738)=0.358\\\end{aligned}}$

توان الکتریکی برای زیرکونیوم:

$P=\varepsilon \sigma {{T}^{4}}=0.249\times 5.67\times {{10}^{-8}}\times {{3000}^{4}}=1.14\times {{10}^{6}}w/{{m}^{2}}$

توان الکتریکی برای تنگستن:

$P=\varepsilon \sigma {{T}^{4}}=0.385\times 5.67\times {{10}^{-8}}\times {{3000}^{4}}=1.64\times {{10}^{6}}w/{{m}^{2}}$
همانطور که مشاهده می‌شود برای شرایط مشابه تنگستن توان بیشتری مصرف می‌کند.

ج)

$\mathop {\eta } _{vis}={\frac {\int \limits _{0.4}^{0.7}{{{\varepsilon }_{\lambda }}{{E}_{\lambda ,b}}{{d}_{\lambda }}}}{E}}={\frac {\int \limits _{0.4}^{0.7}{{{\varepsilon }_{\lambda }}({{E}_{\lambda ,b}}/{{E}_{b}})}}{E}}={\frac {{\varepsilon }_{vis}}{\varepsilon }}{{F}_{(0.4\to 0.7\mu m)}}$

${\text{With}}\mathop {} ^{}\mathop {} ^{}{\text{F=0}}{\text{.0817 for T=3000K}}$

${\begin{aligned}&{\text{Zirconia: }}{{\eta }_{vis}}={\text{(0}}{\text{.8 / 0}}{\text{.249)0}}{\text{.0817 = 0}}{\text{.263}}\\&{\text{Tungsten: }}{{\eta }_{vis}}={\text{(0}}{\text{.45/ 0}}{\text{.358)0}}{\text{.0817 = 0}}{\text{.103}}\\&\\\end{aligned}}$

بنابراین تولید تشعشع مرئی در زیرکونیوم موثر تر است.

تشعشع جسم سیاه

۱)پوستهٔ آلومینیومی کروی با قطر داخلی 2m از هوا تخلیه و از آن به عنوان محفظهٔ تست تشعشع استفاده می‌شود، اگر سطح داخلی دوده اندود ودر 600k نگه داشته شود، شار تشعشع فرودی بر سطح تست کوچک واقع بر محفظه چقدر است ؟اگر سطح داخلی دوده اندود نشود در همان دما شار تشعشع فرودی چقدر است؟

۲)اگر سطح زمین را سیاه و خورشید را جسم سیاهی با دمای 5800k بگیریم دمای سطح زمین را تخمین بزنید. قطر خورشید 1.39Gm وقطر زمین 12.9Mm وفاصلهٔ بین خورشید وزمین 0.15Tm می‌باشد.

۳)طول موج متناظر با ماکزیمم گسیل تشعشع از هر یک از سطوح زیر تخمین بزنید. خورشید، رشته یتنگستن در دمای 2500k، فلز گرم با دمای 1500k، پوست بدن انسان در 305k، سطح فلزی که به طور کریوژنیک تا 60k سرد شده است. کسری از گسیل خورشیدی را مه در ناحیه‌های طیفی زیر قرار دارد، تخمین بزنید. ماورا بنفش، مرئی. مادون قرمز.

۴)لامپ ۱۰۰ص از رشتهٔ نازک مستطیلی به طول 5mm وبه عرض 2m ساخته شده است ومانند جسم سیاه با دمای 2900k تشعشع می‌کند. به فرض اینکه لامپ تمام تشعشع مرئی تابیده شده بر خود را عبور دهد، بازده یلامپ چقدر است؟

مثال

قسمت جسم سیاه:

یک لامپ رشته‌ای 100 w، دمای سیم 3000 k، چه کسری از انرژی تابشی به نور مرئی تبدیل می‌شود؟

${{f}_{(0.4\to 0.7)}}={{f}_{(0\to 0.7)}}-{{f}_{(0\to 0.4)}}$

${{\lambda }_{1}}=.4\mu m\to {{\lambda }_{1}}T=1200\mu mk\to {{f}_{(0\to .4)}}=0.002134$

${{\lambda }_{2}}=.7\mu m\to {{\lambda }_{1}}T=2100\mu mk\to {{f}_{(0\to .7)}}=0.083$

${{f}_{(.4\to .7)}}=0.081\to 81\%$

مثال

مثال:ضریب دید برای دو کره در هم را بدست آورید.

${\begin{aligned}&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}=1\\&{{F}_{21}}+{{F}_{22}}=1\\&{{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\\&{{F}_{11}}=0\\&{{F}_{12}}=1\\&{{F}_{21}}={{F}_{12}}{\frac {{A}_{1}}{{A}_{2}}}={{\left({\frac {{D}_{1}}{{D}_{2}}}\right)}^{2}}\\&{{F}_{22}}=1-{{F}_{21}}=1-{{\left({\frac {{D}_{1}}{{D}_{2}}}\right)}^{2}}\\\end{aligned}}$

مثال

ضریب دید مثلث قائمی که دو ضلع زاویه قائم برابرند را بدست آورید.

${\begin{aligned}&{{F}_{11}}+{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1\\&{{F}_{21}}+{{F}_{22}}+{{F}_{23}}=1\\&{{F}_{31}}+{{F}_{32}}+{{F}_{33}}=1\\&{{F}_{11}}={{F}_{22}}={{F}_{33}}=0\\&{{A}_{1}}={{A}_{2}}\to {{A}_{1}}{{F}_{12}}={{A}_{2}}{{F}_{21}}\to {{F}_{12}}={{F}_{21}}\\&{{A}_{3}}={\sqrt {2}}{{A}_{1}}\to {{A}_{1}}{{F}_{13}}={{A}_{3}}{{F}_{31}}\to {{F}_{13}}={\sqrt {2}}{{F}_{31}}\\&{{A}_{2}}{{F}_{23}}={{A}_{3}}{{F}_{32}}\\&{{F}_{12}}+{{F}_{13}}=1*\\&{{F}_{12}}+{{F}_{23}}=1**\\&*\wp **\to {\frac {{F}_{13}}{\sqrt {2}}}+{\frac {{F}_{23}}{\sqrt {2}}}=1\to {{F}_{12}}=1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\end{aligned}}$

G=A+R+T A=absorbation

R=reflection

T=transmision

$1=\alpha +\rho +\tau$

$\alpha$  ضریب جذب

$\rho$ ضریب انعکاس

$\tau$ ضریب عبور

$\alpha \cdot \varepsilon .....$ اگر تابع $\lambda$ نباشد جسم خاکستری

اگر $\tau =0$ جسم کدر

مثال)

الف)

${{\alpha }_{s}}=.9,\varepsilon =.9$

ب)

${{\alpha }_{s}}=.1,\varepsilon =.1$

ج)

${{\alpha }_{s}}=.1,\varepsilon =.9$

${{q}_{net}}$ خالص دریافتی را حساب کنید؟

${\begin{aligned}&{{q}_{net}}=\left[\alpha G-\varepsilon \sigma ({{T}_{s}}^{4}-{{T}_{sky}}^{4})\right]A\\&\\&A=1m\\\end{aligned}}$

الف)

${{q}_{net}}=307w$

ب)

${{q}_{net}}=34w$

ج)

${{q}_{net}}=234w$

${\begin{aligned}&{{E}_{b}}(T)=\sigma {{T}^{4}}\\&{{q}_{1}}=\alpha {{E}_{b}}(T)\\&{{q}_{2}}=\varepsilon {{E}_{b}}(T)\\\end{aligned}}$

${{q}_{1}}={{q}_{2}}$

$\varepsilon (T)=\alpha (T)$

$\alpha (T)=\int \limits _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}(T)d\lambda }$

$\varepsilon (T)=\int \limits _{0}^{\infty }{{{\varepsilon }_{\lambda }}(T)d\lambda }$

اگر حسم خاکستری باشد:

$\alpha (T)=\varepsilon (T)$

$\varepsilon (T){{E}_{b}}(T)=\int \limits _{0}^{\infty }{{{\varepsilon }_{\lambda }}(T){{E}_{b\lambda }}(T)d\lambda }$

$\alpha (T){{E}_{b}}({{T}_{solar}})=\int \limits _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}(T){{E}_{b\lambda }}({{T}_{solar}})d\lambda }$

$\alpha (T)={\frac {\int \limits _{0}^{\infty }{{{\alpha }_{\lambda }}(T){{E}_{b\lambda }}({{T}_{solar}})d\lambda }}{\int \limits _{0}^{\infty }{{{E}_{b\lambda }}({{T}_{solar}})d\lambda }}}$

$\varepsilon (T)={\frac {\int \limits _{0}^{\infty }{{{\varepsilon }_{\lambda }}(T){{E}_{b\lambda }}(T)d\lambda }}{\int \limits _{0}^{\infty }{{{E}_{b\lambda }}({{T}_{solar}})d\lambda }}}$

اگر جسم خاکستری باشد:

${{\alpha }_{\lambda }}={{c}_{1}}\Rightarrow \alpha (T)={{c}_{1}}$

${{\varepsilon }_{\lambda }}={{c}_{2}}\Rightarrow \varepsilon (T)={{c}_{2}}$

$\Rightarrow {{c}_{1}}={{c}_{2}}$

تابش دریافتی از خورشید:

$(4\pi {{r}^{2}}){{E}_{b}}(T)={{G}_{s}}(4\pi {{l}^{2}})$

${{G}_{s}}={{E}_{b}}(T){{(r/l)}^{2}}=1373w/{{m}^{2}}$