ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/مکانیک سیالات/آشنایی با سيال/مفهوم محيط پيوسته

مکانیک محیط‌های پیوسته (به فرانسوی: Mécanique des milieux continus) زیرشاخه‌ایست وسیع از مکانیک کلاسیک که به مطالعهٔ رفتار جامدات، و سیالات می‌پردازد.

مدل و مفهوم پیوسته بودن محیط‌ها از ریاضیات می‌آید. مجموعه اعداد حقیقی یک محیط پیوسته ایجاد می‌کند که در آن بین هر دو عدد حقیقی مجزا عدد حقیقی مجزای دیگری وجود دارد، و بدین گونه، همواره بینهایت عدد حقیقی دیگر مابین هر دو عدد مجزای حقیقی (هرچقدر هم نزدیک به هم) یافت می‌شود.

چنانچه مفهوم بالا پیرامون پیوستگی مجموعه اعداد حقیقی را در مورد مواد تعمیم دهیم به مدل توزیع پیوسته مواد در فضا (مکان) خواهیم رسید.

محیط پیوسته

ماده حالت پیوسته دارد و تغییرات خواص(چگالی و دما و...) به صورت دیفرانسیلی تغییر می‌کند.

$(k)_{n}={\frac {\lambda }{L}}$

Kn= عدد نودسون (نادسن)

$\lambda$=طول متوسط پویش آزاد(فاصله‌ای که مولکول تا برخورد با مولکول دیگر یا با دیواره طی می‌کند)

L= طول مشخصه مسئله

$\lambda$تابع دما و فشار است

اگر Kn خیلی کوچکتر از 1 باشد مسئله محیط پیوسته است.

اگر Kn تقریبا برابر با 1 باشد مسئله محیط پیوسته نیست.

ما سراغ محیط حالت مولکولی نمی‌رویم و محور بحث ما محیط حالت پیوسته است.

فرضیه محیط پیوسته (Continuum)

هر ماده‌ای از مولکلول‌هایی تشکیل یافته که بین آنها نیروهایی قوی اثر می‌کند و فضاهایی خالی بین مولکول‌ها وجود دارد. در فاصله‌های خیلی کم (خیلی نزدیک) یک نیروی دافعه قوی پیش می‌آید و در فاصله‌های زیاد یک نیروی جاذبه ایجاد می‌شود که با زیاد شدن فاصله ابتدا بزرگ و سپس به طرف صفر میل می‌کند. فاصلهٔ α که در آن نیروی بر آیند صفر می‌شود مکان تعادل پایدار مولکول هاست.

- در محدودهٔ ابعاد مولکولی عقربه دستگاه به علت پخش غیر یکنواخت جرم مقادیر وجود δ v* متفاوتی را نشان می‌دهد. همان طور که از شکل پیداست یک حجم حدی دارد که در حجم کمتر از آن تغییرات مولکولی (دیدگاه میکروسکوپی) و در حجم بزرگتر از آن تغییرات تجمع مولکولی (دیدگاه ماکروسکوپی) اهمیت دارد.

۱۰−9mm برای تمام مایعات و گازها در فشار یک اتمسفر برابر ۳ δ v* حجم حدی جهت تحلیل مسائل، سیال را می‌توان δ v* است. با در نظر گرفتن حجم بزرگتر از یک محیط پیوسته در نظر گرفت.

همانطور که پیش از این نوشتم تمام مواد تنها به دو حالت سیال و جامد در طبیعت موجودند. تفاوت اصلی این دو حالت، عکس العمل ماده تحت تنش مماسی یا برشی است.

جسم جامد می‌تواند در مقابل تنش برشی مقاومت کند اما تنش برشی روی یک سیال باعث جریان و حرکت در سیال می‌شود (مادامیکه تنش برشی اعمال شود). دقت شود لفظ تغییر شکل را برای سیال به آن خاطر به کار نمی‌برم چون ماهیت لغت “تغییر شکل” آنی بودن را همراه خود دارد اما در سیالات تنش برشی یک جریان که در طول زمان در حال تغییر است را بوجود می‌آورد.

فرض کنید دستتان را درون ظرف آبی فرو می‌کنید و حرکت می‌دهید، لایه‌های آب به خاطر حرکت دست که موجب اعمال نیرو و به تبع آن ایجاد تنش برشی می‌شوند، شروع به حرکت می‌کنند. جریان ایجاد شده با خروج دست از آب (قطع منبع ایجاد تنش) رو به آرامی می‌نهد. به سادگی نتیجه می‌گیریم این چریان سیال به خاطر نیروی خارجی بوده است. در حقیقت سیال بر اثر برهم کنش جریان یافته است و مادامیکه تنش وجود دارد جریان هم در سیال موجود است و با بیرون آوردن دست تنش حذف ولی برهم کنش مولکولی همچنان ادامه می‌یابد تا سیال به حالت پایدار برسد. فرض کنید ظرفی پر از بتن داشته باشیم. مرد می‌خواهیم که دستش را با همان سرعت و شدتی که داخل آب فرو کرده داخل بتن هم فرو کند!! با من هم عقیده‌اید که تغییر شکل بتن اولا به سادگی ممکن نیست و وسیله می‌خواهد (اعمال نیروی بیشتر و به تبع آن تنش بیشتر) ثانیا اگر زورمان برسد، نیروی ما اغلب باعث تغییر شکل دائمی در بتن خواهد شد.

باز هم یاد آور می‌شوم که تغییر شکل برای مواد جامد (مثل بتن) کلمهٔ مناسبی است اما برای سیال نامناسب است. در حقیقت تغییر شکل واکنشی است که در طول زمان ادامه نمیابد (برخلاف جریان) و تنها در مورد جامدات صادق است.

به دوشکل زیر دقت کنید. ما نیرویی را به سطح یک سیال و سطح یک جسم جامد اعمال کرده‌ایم. با وارد کردن نیروی F به سطح سیال با توجه به جهت نیرو یک تنش برشی اعمال می‌شود که باعث تغییر شکل پیوسته (اصطلاح رایج) شده و سیال جریان می‌یابد. در سطح جامد با اعمال نیروی F به صورت برشی جسم جامد دچار تغییر شکل می‌شود. (البته نمی‌دانیم تغییر شکل متناسب با نیروست یا خیر. چون از ماهیت پلاستیکی یا الاستیکی جسم بی خبریم- اگر در مورد مواد الاستیک و پلاستیک اطلاعی ندارید اینجا را بخوانید)

به سادگی قابل درک است که در مرز جامد و سیال سرعت یکسان است (فرض اعمال نیروی ما توسط یک واسطه مثل کاغذ به سیال وارد شدهاست.) یعنی مولکول‌های متصل به سطح جامد همان سرعتی را دارند که صفحهٔ روی آنها با آن سرعت در حال واکنش به نیروی اعمالیست. این موضوع از مشاهدهٔ رفتار سیال حاصل شده نتیجه می‌گیریم در مرز سیال لغزشی وجود ندارد.

نکتهٔ مهم: چون حرکت سیال با ادامه یافتن تنش برشی (نیروی برشی واحد سطح) ادامه می‌یابد، پس سیال ماده ایست که اگر ساکن باشد نمی‌تواند در برابر تنش مقاومت کند. در حقیقت اگر سیالی در حال تلاطم و حرکت (یا همان تغییر شکل پیوسته!) باشد حتما تنش برشی به آن وارد شده است. در مورد تنش برشی و تغییرات اعمال شده به سیال در بخش‌های بعدی بیشتر خواهیم خواند.

ما حالت‌های گوناگونی از سیال مثل مایعات (آب و جیوه و روغن و ….) و یا گاز ها (هوا، هیدروژن و…) را می‌شناسیم و می‌توانیم به راحتی سیال بودن‌شان را تشخیص دهیم. اما باید توجه کرد که وضعیت‌های بینابینی وجود دارد که در تشخیص آنها باید دقت نمود. مثلا آسفالت ممکن است برای مدت کوتاهی در مقابل تنش برشی مقاومت کند اما به تدریج تغییر شکل می‌دهد و اگر بازهٔ زمانی اعمال تنش را بیشتر کنیم، می‌بینیم که رفتاری سیال گونه از خود نشان می‌دهد. همچنین ممکن است بعضی مواد در مقابل تنش‌های کم از خود مقاومت نشان دهند اما با اعمال تنش‌های بیشتر تسلیم شده و رفتار سیالی از خود نشان دهند (مثل پارافین)

دقت شود در محاسبات مکانیک سیالات، سیال (مثل آب و هوا) مانند یک محیط پیوسته در نظر گرفته می‌شود. این سوال مطرح است که محیط پیوسته چیست و چرا علاقمندیم سیال را یک محیط پیوسته بدانیم؟

پیش از این گفتیم علم مکانیک بر پایه نیرو و حرکت بنا شده است. برای تحلیل نیرو و حرکت در سیالات ما به مشخصات همهٔ نقاط سیال نیازمندیم. در حقیقت با در نظر گرفتن پیوستگی محیط سیال، هر خاصیت سیال (مثل چگالی، دما و سرعت و …) در هر نقطه از فضا مقدار معینی شده و به صورت یک تابع پیوسته از مکان و زمان قابل تحلیل است. مفهوم پیوستگی محیط سیال مبنای مکانیک کلاسیک سیالات است.

سیال از مولکول‌های زیادی تشکیل شده که دائما در حال حرکت و برخورد به یکدیگر هستند. اگر بخواهیم تحلیل دقیقی انجام دهیم باید از علم آمار کمک بگیریم، یعنی باید رفتار تمام مولکول‌ها یا گروهی از آنها را بررسی کنیم که این کار کمی دور از ذهن است. در مهندسی چون معمولا از خواص مواد به عنوان پایه اطلاعات محاسباتی استفاده می‌شود (مثل چگالی) بهتر است روشی اعمال کنیم که با حداقل خطا، سرعت و نتایج دقیق تری در محاسبات داشته باشیم. بر این اساس سیال را محیط پیوسته در نظر می‌گیریم. حال محیط پیوسته چیست؟ مثلا در مورد چگالی فرمول جرم تقسیم بر حجم صادق است، اما مقدار حاصل از این فرمول برای حجم کل سیال با حجم کوچکی از سیال متفاوت است. (به علت ثابت نبودن مولکول‌ها در شبکهٔ مولکولی سیال. چون تعداد مولکول‌هایی که حجم معینی را اشغال می‌کنند دائما در حال تغییر هستند).

اگر واحد حجم را خیلی کوچک در نظر بگیریم (کمی بیشتر از یک مولکول) دیگر تعداد مولکول‌ها در این حجم ناچیز خواهد بود. چون با وجود عبور ذرات از مرز فوق تعداد تقریبی مولکول‌ها ثابت خواهد ماند. اما اگر حجم مورد نظر بزرگ باشد، می‌توان تغییرات زیادی در تعداد مولکول‌ها مشاهده کرد. در نمودار زیر اگر روی محور افقی از راست به چپ حرکت کنیم مشاهده می‌شود در حجمی به اندازهٔ “دلتا وی استار” (حجم حدی) می‌توان به یک تعریف نسبتا دقیق برای جرم مخصوص سیال دست یافت.

در حقیقت ما با کاهش جزء حجم (دلتا وی) چگالی متوسط را به سمت یک مقدار حدی میل داده‌ایم.

(دقت شود اگر این “جزءحجم” خیلی کوچک باشد فقط شامل تعداد کمی از مولکول‌ها می‌شود و نمی‌تواند مقدار ثابتی برای جرم مخصوص به ما بدهد، زیرا با حرکت مولکول‌ها به طرف داخل و خارج این فضای فرضی، مقدار جرم مخصوص به طور غیر قابل پیش بینی تغییر خواهد کرد)

دقت شود که محل انتخاب نقطهٔ C اختیاری است و می‌تواند هر نقطه‌ای از سیال باشد. این یعنی چگالی سیال را توسط هر منطقه از آن می‌توان حساب کرد.

در این مطلب سعی شد سیال و خصوصیت چگالی معرفی شود. چگالی یکی از مهمترین پارامترها برای ارزیابی مکانیکی یک سیال است که در تمام مباحث سیالات نقش کلیدی دارد. در ادامه به معرفی چهار نکته مهم در سیالات می‌پردازم که پایه محاسبات به حساب می‌آیند:

۱- چگالی با تقسیم جرم ماده بر حجم آن محاسبه می‌شود در سیالات به جرم مخصوص معروف است و براساس یک رابطهٔ حدی محاسبه شده است.(واحد آن کیلوگرم بر مترمکعب است)

۲- جرم مخصوص یک کمیت اسکالر است.(اگر در مورد کمیت‌ها چیزی نمی‌دانید اینجا را بخوانید) درحقیقت فقط با یک عدد بیان می‌شود و جهتی ندارد.

۳- جرم مخصوص مایعات و حتی جامدات را می‌توان با کمیت بی بعد SG (گرانش ویژه) نشان داد. این کمیت به شکل زیر تعریف می‌شود.

حاصل تقسیم چگالی ماده به ماکزیمم چگالی آب واحد ندارد

مثلا باید بدانیم برای جیوه SG=۱۳٫۶ است، یعنی چگالی جیوه ۱۳/۶ برابر چگالی آب است.

مقدار گرانش ویژه با تغییر دما تغییر می‌کند و معمولا با افزایش دما کاهش می‌یابد.(آب رفتاری غیر عادی دارد) در جدول زیرمقادیر گرانش ویژه چند مایع ذکر شده است.

۴/ وزن مخصوص به شکل زیر تعریف می‌شود:

حاصل تقسیم وزن سیال به حجم سیال (واحد نیوتن بر متر مکعب)

در حقیقت می‌توان وزن مخصوص را “وزن حجم واحد” نامید.(فرمول جرم مخصوص را به یاد آورید، اگر به جای جرم، وزن مایع را قرار دهیم، فرمول فوق حاصل می‌شود. وزن مخصوص آب ۹/۸۱ کیلو نیوتن بر متر مکعب است.

کشش سطحیِ قطره‌ای در حال چکیدن از شیر

کشش سطحی خاصیتی در مایعات است که باعث می‌شود لایه بیرونی آن‌ها به صورت ورقه‌ای w:fa:کشسان عمل کند. این همان ویژگی‌ای است که موجب ربایش دو سطح w:fa:مایع به یکدیگر می‌شود؛ مانند دو قطرهٔ w:fa:آب که همدیگر را می‌ربایند و قطرهٔ بزرگ‌تری می‌سازند.

کشش سطحی کمیتی است که بعد نیرو در واحد طول یا انرژی در واحد سطح دارد و در فیزیک معمولاً با $\gamma$ نشان داده می‌شود.

کشش سطحی را همچنین می‌توان مقدار w:fa:کار لازم برای ایجاد واحد سطح مشترک جدید در نظر گرفت.

علت

نمودار نیروهای وارد شده به دو w:fa:مولکول از w:fa:مایع.

هر مولکول مایع از سوی مولکول‌های دیگرِ مایع ربوده می‌شود. مولکول‌هایی که درون حجم مایع هستند، از همه جهت ربوده می‌شوند و برایند نیروی وارد به آن‌ها صفر است. اما مولکول‌هایی که در سطح مایع هستند، تنها از یک جهت از سوی دیگر مولکول‌ها ربوده می‌شوند و نیروی ربایش در آن سوی مرز مایع (مثلاً از طرف مولکول‌های هوا) به آن‌ها کمتر است. بنابراین، به مولکول‌های روی سطح مایع نیروی خالصی به سمت درون وارد می‌شود که این نیرو با مقاومت مایع در برابر فشرده‌شدن خنثی می‌شود. در نتیجه، نیرویی در مایع به وجود می‌آید که می‌خواهد سطح مایع را کم کند. از همین رو سطح مایع به شکل ورقه‌ای الاستیک عمل می‌کند و آن قدر جمع می‌شود که کمترین سطح ممکن را داشته باشد.

راه دیگر برای توضیح کشش سطحی این است که یک مولکول اگر در کنار مولکول همسایه‌اش باشد، انرژی‌اش کمتر از وقتی است که کنار آن همسایه نباشد. مولکول‌های درونی بیشترین تعداد همسایه‌های ممکن را دارند. ولی مولکول‌هایی که در سطح هستند همسایه‌های کمتری دارند و بنابراین انرژی‌شان بیشتر از انرژی مولکول‌های درونی است. بنابراین، وقتی که مایع می‌خواهد انرژی کل‌اش را کمینه کند، می‌کوشد تا از شمار مولکول‌های سطحی‌اش بکاهد، و این یعنی یک مایع می‌خواهد کمترین سطح ممکن را داشته باشد.

برای کاستن از سطح، یک مایع همیشه هموارترین شکل ممکن را در سطح خود می‌گیرد (اثبات ریاضی این که چرا هموارترین سطح متناظر است با کمترین مساحت نیازمند قضیهٔ اویلر-لاگرانژ است). هر خمیدگی تازه بر روی سطح به مساحت بیشتر و در نتیجه انرژی بیشتر می‌انجامد.

نمایش سطح‌های کمینه با سطح مایع

سطح کمینه

اگر بخواهیم رویهٔ دوبعدی‌ای را بیابیم که میان مرزهای مشخصی قرار بگیرد و کمترین سطح ممکن را داشته باشد، شاید با ریاضیات به سختی به نتیجه برسیم. ولی به جایش می‌توانیم مرزها را با سیم بسازیم و آن را درون ظرفی پر از آب و صابون فرو ببریم. لایهٔ حباب صابونی که بین سیم‌ها ساخته می‌شود به تقریب نشان‌دهندهٔ رویه‌ای با کمترین سطح ممکن است (اگر گرانش زمین نبود دقیقاً کمترین سطح را می‌ساخت).

کشش سطحی در پدیده‌های روزمره

کشش سطحی: در درون مایعات هر مولکول توسط مولکول های دیگر جذب می شود و در سطح سیالات (بیشتر مایعات) تحت نیروی بین مولکولی که از طرف مولکول های داخل یا زیرین همان سیال است قرار می گیرد که بیشتر از نیروی بین سیال و مولکول های اطراف مثلا˝ هوا است . در نتیجه مولکول ها به طرف هم روی سطح کشیده می شوند که به این پدیده کشش سطحی گفته می شود . در واقع این پدیده در سطح مشترک سیالات (یک مایع و گاز یا دو مایع مخلوط نشدنی) صورت می گیرد و این نیرو (کشش سطحی) باعث می شود این سطح مشترک مانند یک پوسته عمل کند هر چند که چنین پوسته ای در عمل وجود ندارد. کشش سطحی در هر مایع به دما و سیال دیگری که در تماس با مایع مورد نظر است بستگی دارد. ابعاد کشش سطحی نیرو بر واحد طول است که معمولا نیرو را بر حسب نیوتون(N) و طول مورد نظر را بر حسب متر(m) بیان می کنند.

پشه روی سطح آب

حشره‌ای که به کمک کشش سطحی آب شناور مانده است.

کشش سطحی آب:

• دانه‌دانه‌شدن قطره‌های باران روی سطح خودرو. آب به سطوح روغنی بسیار کم جذب می‌شود و به خودش به‌شدت جذب می‌شود. از همین رو، روی سطح خودرو قطره تشکیل می‌دهد.

کشش سطحی در پدیده‌های دیگری هم رخ می‌دهد، مثلاً در موادی که کشش سطحی آن‌ها کم است:

• حباب صابون سطح بسیار بزرگی با مادهٔ بسیار کمی دارد. قطره‌هایی که از آب ساخته‌شده‌اند ناپایدارند.

چند مثال:

هنگامی که یک سوزن را به صورت خیلی آرام روی سطح سیال(مایع) قرار دهید نیروی ایجاد شده در سطح (کشش سطحی) باعث می شود که سوزن در مایع فرو نرود و روی آن شناور می ماند.

کشش سطحی باعث می شود فشار داخل قطرات مایع از فشار محیط بیشتر شود .

اثرها

نیروی چسبندگی

نیروی چسبندگی: هر گاه یک لوله نازک در سطح آزاد مایع فرو برده شود با توجه به رابطه ی بین کشش سطحی ونیروی چسبندگی بین مایع وجامد ، مایع این لوله بالا یا پایین می رود که این پدیده در اثر نیروهای چسبندگی ایجاد می شوند .

اثر مویینگی

نمایش اثر مویینگی برای دو لوله از جنس‌های متفاوت. چسبندگی آب به لولهٔ قرمزرنگ بیشتر و به لولهٔ آبی‌رنگ کمتر از چسبندگی آب به خودش است.

اثر مویینگی یعنی بالاآمدن سطح مایع درون لوله‌ای که درون مایع فروبرده شده است. اگر لوله به قدر کافی باریک باشد و چسبندگی آب به لوله زیاد باشد، کشش سطحی می‌تواند آب را در لوله بالا بکشد. ارتفاع آب بالاآمده برابر است با

$h\ =\ {\frac {2\gamma _{\mathrm {la} }\cos \theta }{\rho gr}}$

که در آن

• $\scriptstyle h$ ارتفاع مایع بالاآمده است
• $\scriptstyle \gamma _{\mathrm {la} }$ کشش سطحی بین مایع و هواست.
• $\scriptstyle \rho$ چگالی مایع است.
• $\scriptstyle r$ شعاع لولهٔ مویین است.
• $\scriptstyle g$ شتاب گرانش است.
• $\scriptstyle \theta$ زاویهٔ تماس مایع و سطح لوله است. اگر $\scriptstyle \theta$ بیشتر از ‎۹۰°‎ باشد، مثل جیوه در لولهٔ شیشه‌ای، مایع به جای بالاآمدن پایین می‌رود.

شکستن جریان مایع به قطره

حالت میانی جریانی که به قطره شکسته می‌شود.

جریان آبی که از شیر می‌آید، هر چه‌قدر هم که یکنواخت باشد، قطره‌قطره می‌شود. این به خاطر پدیده‌ای به نام w:fa:ناپایداری پلاتو-ریلی است که خود پیامد مستقیمی از کشش سطحی است.

موئینگی

موئینگی یکی از پدیده‌های فیزیکی ناشی از نیروهای چسبندگی سطحی است.

پدیده مویینگی در لوله‌های مویین در آب و جیوه.

اگر یک لوله موئین (لوله‌ای بسیار باریک) شیشه‌ای را در آب قرار دهیم آب در لوله بالا می‌رود و سطح آن کاو (مقعر) خواهد بود اما اگر همین لوله را در جیوه مایع قرار دهیم، جیوه از سطح قبلی خود پایین‌تر می‌ایستد و سطح کوژ (محدب) پیدا می‌کند.

بین مولکولهای آب و شیشه نیروی چسبندگی سطحی قوی‌تر از نیروی چسبندگی بین مولکول‌های آب با یکدیگر است بنابراین مولکول‌های آب هرچه بیشتر به طرف مولکول‌های شیشه در سطح داخلی لوله موئین کشیده می‌شوند و در لوله بالا می‌روند.

اما در مورد جیوه برعکس، نیروی چسبندگی بین مولکول‌های جیوه با یکدیگر قوی‌تر از نیروی چسبندگی سطحی بین مولکول‌های جیوه و شیشه است پس مولکول‌های جیوه به طرف مرکز لوله کشیده می‌شوند و در سطحی برجسته تجمع می‌یابند.

ارتفاع بالا آمدن مایع در لوله موئین از فرمول زیر بدست می‌آید:

$h={\frac {2\gamma \cos \theta _{c}}{\rho Rg}}$

که در آن

R شعاع لوله

$\gamma$ ضریب کشش سطحی

$\theta$ زاویه برخورد هوا و مایع

$\rho$ چگالی مایع و

g شتاب گرانشی می‌باشد.

جابجایی ذرات سیال که موجب حرکت کلی سیال گردد را جریان یافتن سیال می‌نامند.

توجه: پدیده مویینگی در لوله های باریک که دربردارنده فصل مشترک مایع و جامد و گاز است بوسیله کشش سطحی بوجود می آید.

مویینگی دارای دو حالت می باشد.

۱- اگر میزان چسبندگی مایع به جامد از چسبندگی مایع به مایع(نیروی بین مولکولی مایعات) بیشتر باشد سطح آزاد باشد و اگر در لوله مویین باشد . در لوله بالا می رود و سطح آن روی سطح پهن می شود یا به عبارت دیگر سطح را تر می کند.

۲- اگر میزان چسبندگی مایع به جامد از پیوستگی مایع کمتر باشد (مثلا جیوه) مایع در لوله پایین رفته و سطح آزاد آن به صورت محدب خواهد بود یعنی اگر روی سطح صاف جیوه بریزیم جیوه آب روی سطح پهن نمی شود. میزان بالا رفتن آب در لوله مویین را می توان حساب کرد.