ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/رسانش پایای دو بعدی

ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

مقدمه[ویرایش]

چند روش برای بررسی هدایت دائمی دو بعدی می‌توان استفاده کرد؛ که این روش‌ها عبارتند از:

۱-روش‌های دقیق (تحلیلی): روش‌های دقیق برای شرایط ایده‌آلی بدست می‌آیند. در این روش‌ها، با حل ریاضی معادله پخش حرارتی سروکار داریم. برای حل معادله پخش حرارتی روش‌های گوناگون وجود دارد، ولی این حل‌ها شامل سری‌ها وتوابع پیچیده ریاضی‌اند و آنها را فقط برای بعضی شکل‌های ساده هندسی و شرایط مرزی ساده می‌توان بدست آورد. با این وجود، این حل‌ها خیلی با ارزشند، زیرا متغیر وابسته T به صورت تابع پیوسته‌ای از متغیرهای مستقل (x,y) تعیین می‌شود. با استفاده از این تابع می‌توان دما را در هر نقطه محیط محاسبه کرد.

۲-روش‌های تقریبی (ترسیمی، عددی): برخلاف روش‌های تحلیلی، که نتایج دقیق را در هر نقطه می‌دهند، روش‌های ترسیمی وعددی فقط می‌توانند نتایج تقریبی را در نقاط مجزا بدهند. چون از این روشها برای شکل‌های هندسی و شرایط مرزی پیچیده نیز می‌توان استفاده کرد، اغلب به عنوان تنها روش حل مسائل رسانش چند بعدی به کار می‌روند.

روش های تحلیلی[ویرایش]

جداسازی متغیرها[ویرایش]

معادله پخش هدایت گرما:

شرایط دائمی:

مثال ۱[ویرایش]

Yaghoub...mousavi1.jpg
















تغییر متغییر:


نسبت به شرایط مرزی x همگن میباشد

جداسازی متغییرها:






مثال ۲[ویرایش]

Morteza2.jpg












تغییر متغییر :






ضریب شکل در رسانش (s)[ویرایش]

برای تعیین انتقال حرارت در شکل‌های هندسی مختلف ضریب شکل تعریف می شود. در جدول زیر ضریب شکل (s) در حالت‌های مختلف آمده است.



Aghil-05.png Aghil-06.png

مثال‌ها[ویرایش]

مثال ۳[ویرایش]

با توجه به شکل زیر توزیع دما را بدست بیاورید .


Aghil-01.png
معادله پخش گرما :

شرایط دائمی:


اینگونه مسائل که شرایط مرزی همگن ندارند میتوان با استفاده از اصل برهم نهی به دو مسئله مانند زیر تبدیل کرد و جواب ها را با هم جمع کرد :
مـــــــــــعـــــــا د لــــــــــــه 1 :

مـــــــــــعـــــــا د لــــــــــــه 2 :

جواب کلی بصورت زیر است :


مثال ۴[ویرایش]

کل نرخ انتقال حرارت را در سطح پایینی (y=0) را بدست آورید.

Aghil-04.png


در معادله بالا y=0 میگذاریم:




مثال ۵[ویرایش]

نرخ انتقال حرارت را در شکل زیر بیابید.


Aghil-02.png

حل :


مثال ۶[ویرایش]

در مرکز قطعه‌ای به طول L=2m با مقطع عرضی چهارگوش به ضلع w=1m سوراخی به قطر d=0.25m در امتداد طول قطعه مته شده است. رسانندگی گرمایی قطعه k=150w/m.k است. عبور سیال از سوراخ باعث می‌شود سطح داخلی در T=75 و سطح خارجی آن در T=25 بمانند. آهنگ انتقال گرما در قطعه چقدر است؟


Aghil-03.png

حل : با توجه به شکل های بالا داریم :

مثال ۷[ویرایش]

آهنگ انتقال گرما را برای استوانه تک دمای افقی در داخل یک محیط نیم‌نامتناهی اگر T2 وT1 به ترتیب برابر با صفر درجه ساتیگراد و ۱۰۰ درجه سانتیگراد باشد، بدست آورید.

Wqweq33.png