ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/مقدمه

انتقال گرماچیست؟

بدون قاب

به بیان بسیار ساده می‌توان این گونه بیان کرد که انتقال گرما، گذر انرژی بر اثر اختلاف دماست.

در واقع هر گاه درون یک محیط و یا میان دو یا چند محیط اختلاف دما وجود داشته باشد انتقال گرما (به صورتهای مختلف) روی خواهد داد. انواع مختلف انتقال گرما را شیوه‌های آن می‌گویند.

شیوه های انتقال گرما

به طور خلاصه می توان شیوه های انتقال گرما را در سه دسته ی کلی جای داد:

۱) رسانش (Conduction)

۲) جابجایی (Convection)

۳) تشعشع (Radiation)

در واقع انتقال دهنده های اصلی گرما شامل الکترون‌های آزاد و فوتون‌ها (در شیوه هدایت) ذرات سیال (در شیوه جابجایی) و فوتونها یا امواج الکترومغناطیسی (در شیوه تشعشع) می شود.

انتقال حرارت

برای وقوع هر یک از سه پدیده ی فوق شرایطی لازم است که هر کدام را بصورت جداگانه توضیح می دهیم.

رسانش

وقتی در محیط ساکنی، که می‌تواند جامد یا سیال باشد، شیب دما وجود داشته باشد برای انتقال گرمایی که در محیط روی می دهد از واژه ی رسانش استفاده می کنیم. هنگام بحث در مورد رسانش باید مفاهیمی چون فعالیت اتمی و مولکولی را مورد توجه قرار دهیم زیرا فرآیند ها در این سطوح است که انتقال گرما راتداوم می بخشند. رسانش را به عنوان انتقال انرژی از ذرات پر انرژی به ذرات کم انرژی ماده، بر اثر برهمکنش های بین آن ها می توان دانست.

انتقال گرمای رسانشی با قانون فوریه بیان میشود و برای استفاده از این قانون در تعیین شار گرما باید تغییرات دما در محیط (توزیع دما) معلوم باشد.

نمونه هایی از انتقال گرمای رسانشی:

انتهای آزاد یک قاشق فلزی که به طور ناگهانی در فنجان قهوه ی داغی غوطه‌ور می شود.

انرژی زیادی که در یک روز سرد زمستانی از اتاق گرمی به هوا ی خارج منتقل می شود.

از قانون فوریه می دانیم که شارانتقال حرارت رسانشی که یک بردار است بصورت زیر تعریف می شود:

${\overrightarrow {q''}}=-k{\nabla }T$

علامت منفی به این دلیل ظاهر میشود که گرما همیشه در جهت کاهش دما انتقال می یابد.

البته بیشتر اوقات این انتقال حرارت را در راستای x فرض می کنیم و رابطه ی فوق به این شکل در می آید:

$q''_{x}=-k{\frac {dT}{dx}}$

که در این روابط k به معنی رسانندگی گرمایی است و با واحد ( وات/متر کلوین) مشخص می شود.ترم دوم این عبارت نیز گرادیان دماست که در رابطه ی دوم منظور گرادیان دما در راستای x است.

همچنین از فرم انتگرالی داریم:

${\frac {\partial Q}{\partial t}}=-k\oint _{S}{{\overrightarrow {\nabla }}T\cdot \,{\overrightarrow {dS}}}$

${\frac {\partial Q}{\partial t}}$ این عبارت بیانگر مقدار حرارت انتقال یافته بر واحد زمان است( بر حسب وات ).

${\overrightarrow {dS}}$ این عبارت بیانگر المانی از سطح می باشد(بر حسب متر مربع).

${\big .}\nabla T{\big .}$ این عبارت گرادیان دما را بیان می کند( بر حسب کلوین/متر ).

$\ k$ این عبارت نیز بیانگر رسانندگی گرمایی است( بر حسب وات/متر کلوین).

تا اینجا بحث ما پیرامون دستگاه مختصات خاصی نبوددر حالی که بسته به نوع دستگاه انتخابی عبارت گرادیان دما می تواند شکلهای متفاوتی داشته باشدمثلا برای مختصات دکارتی در جهت X معادله را باز کردیم.حال می توانیم شکل معادلات قبل رابا دستگاه مختصات های دیگر نظیر استوانه ای و کروی بیان کنیم که این مهم درقسمت مقدمه ای از جابجایی بحث شده است. حال برای نمونه معادله گرما را در دستگاه مختصات استوانه ای برای یک استوانه مینویسیم:

اگر استوانه بلند باشد به گونه ای که بتوان فرض یک بعدی را برای ان در جهت شعاعی کرد آنگاه داریم:

$Q=-kA_{r}{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}=-2k\pi r\ell {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} r}}$

به عبارتی دیگر

$Q\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\mathrm {d} r=-2k\pi \ell \int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathrm {d} T$

بنابر این انتقال حرارت برابر است با

$Q=2k\pi \ell {\frac {T_{1}-T_{2}}{\ln r_{2}-\ln r_{1}}}$

که در رابطه ی فوق

$T_{2}-T_{1}$ بیانگر اختلاف دما بین دیواره ی بیرونی و داخلی است.

$r_{1}$ بیانگر شعاع داخلی است.

$r_{2}$ بیانگر شعاع خارجی است.

L نیز بیانگر طول است.

جابجایی

برای انتقال گرمای بین سطح و سیالی متحرک، که دمای آن‌ها با هم متفاوت است، از واژهٔ جابجایی استفاده می‌شود. انتقال گرمای جابجایی از دو مکانیزم تشکیل می‌شود. یکی انتقال انرژی ناشی از حرکت تصادفی مولکول‌ها (پخش) و دیگری انتقال انرژی بر اثر حرکت کپه‌ای (ماکروسکوپیک) سیال است. معمولاً از واژهٔ کنوکسیون برای این انتقال ترکیبی و از واژهٔ ادوکسیون برای انتقال ناشی از حرکت کپه‌ای سیال استفاده می‌شود.
حرکت تصادفی مولکولی (پخش) در نزدیک سطح که درآنجا سرعت سیال کم است سهم اصلی را دارد.
وقتی که جریان توسط وسایل خارجی از قبیل فن و یا پمپ به وجود بیاید جابجایی واداشته داریم. در مقابل در جابجایی آزاد (یا طبیعی)، جریان بر اثر نیروهای شناوری (نیروهایی که از اختلاف چگالی ناشی از تغییرات دما در سیال به وجود می‌آیند) بوجود می‌آید.

نمونه‌ای از انتقال گرمای جابجایی:

فن‌های کامپیوتر که بردهای داخل کیس کامپیوتر را خنک می‌کنند.
ماهیت فرایند انتقال گرمای جابه جایی هر چه باشد معادلهٔ آهنگ آن به صورت زیر است:

${q}''=h(T(t)-{{T}_{env}})$

رابطهٔ بالا را قانون سرمایش نیوتن می‌نامند.

در این نوع از انتقال حرارت رابطهٔ زیر برقرار است:

${\frac {dQ}{dt}}=h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)\quad$

${\text{h}}$ در این عبارت ضریب انتقال حرارت جابجایی نام دارد (بر حسب وات/متر مربع کلوین).

${\text{A}}$ این عبارت بیانگر مساحت مقطعی است که انتقال حرارت از آن انجام می‌گیرد (برحسب متر مربع).

$T$ این عبارت بیانگر دمای سطح جسم است (بر حسب کلوین).

${{T}_{\text{env}}}$ این عبارت بیانگر دمای محیط است (بر حسب کلوین).

$\Delta T(t)=T(t)-{{T}_{\text{env}}}$ این عبارت بیانگر اختلاف دمای بین سطح جسم و محیط بر حسب زمان است.

تشعشع

تمام سطوح با دمای معین انرژی را به شکل امواج الکترو مغناطیس (یا به عبارت دیگر فوتون ها)گسیل می دارند. از این رو، در نبود محیط واسط، میان دو سطح با دماهای مختلف انتقال گرمای خالص تشعشعی را داریم. به عبارتی دیگر تشعشع گرمایی، انرژی گسیل شده توسط ماده ایست که در دمای معینی قرار دارد. تشعشع می تواند از سطح جامدات، مایعات و حتی گاز ها نیز صورت بگیرد. به طور کلی ماده به هر شکلی که باشد، گسیل انرژی را می توان به به تغییرات وضعیت الکترون های اتم ها یا مولکول های تشکیل دهنده ی آن ارتباط داد. انتقال حرارت به شیوه ی تشعشع بر خلاف دو شیوه ی دیگر نیازمند فضای مادی نیست.در حقیقت انتقال تشعشع در خلا به موثرترین وجه انجام میشود.

نمونه ای از انتقال گرمای تشعشی:

انتقال حرارت از سطح یک فلز داغ سرخ شده.

یک حد بالایی برای توان گسیل وجود دارد که با قانون استفان-بولتزمن بیان میشود(چنین سطحی را جسم سیاه می گویند) :

$j^{\star }=\sigma T^{4}.$

T:دمای مطلق سطح(کلوین)

$\sigma =5.67*{{10}^{-8}}(w/{{m}^{2}}.{{k}^{4}})$ ثابت استفان-بولتزمن

برای اجسام دیگر(شار گرمای گسیل شده توسط سطوح حقیقی کمتر از شار گرمای جسم سیاه با همان دما است)، رابطه ذیل با احتساب ضریبی برقرار است :

$j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.$

در عبارت فوق $\varepsilon$ یکی از خواص تشعشعی سطح به نام گسیلمندی است.( $0\leq \varepsilon \leq 1$

و توان کلی انتقال یافته برابر است با :

$P=\epsilon \cdot \sigma \cdot A\cdot T^{4}$

و هم چنین تبادل گرمای تشعشعی را به صورت زیر بیان میکنیم:

${{q}_{rad}}={{h}_{r}}A(T-{{T}_{sur}})$

${{h}_{r}}$ ضریب انتقال گرمای تشعشعی

${{h}_{r}}=\sigma \varepsilon (T+{{T}_{sur}})({{T}^{2}}+T_{sur}^{2})$

${{T}_{sur}}$ دمای محیط اطراف

روش تحلیل (الگوریتم) مسائل انتقال حرارت

۱) سطح کنترل مشخص گردد که جهت انتقال گرما را نشان دهد و ماده همگن در نظر گرفته می‌شود مثلاً آهن خالص.

۲) روش انتقال حرارت مشخص شود که یک بعدی و یا سه بعدی می‌باشد.

۳) مبنای زمانی تعیین می‌شود که معمولاً در یک ثانیه انتقال حرارت محاسیه می‌شود.

۴)معادله حرارت یا انرژی نوشته می‌شود که مبنای زمانی یک ثانیه است. هر دو دارای یک واحد می‌باشد.

۵) حجم کنترل را در نظر می‌گیریم و معادله دیفرانسیل را برای هر نقطه از سیستم حل می‌کنیم.

۶) با در نظر گرفتن فرض‌های مسئله محاسبات را تا رسیدن به نتایج خواسته شده انجام می‌دهیم.

مثال۱

بررسی انتقال حرارت در فلاسک چای:

انتقال گرما در فلاسک چای

در فلاسک چای اگر شرایط واقعی را بخواهیم در نظر بگیریم، هر ۳ راه انتقال حرارت رسانشی، جابجایی، تشعشعی وجود دارد.

هدف از ایجاد فلاسک این است که چای و یا محتوای خود را از انتقال حرارت با محیط بازدارد، و آهنگ انتقال گرما را به شدت کاهش دهد.

از آنجایی که رسانش نیاز به ماده دارد بخش گسترده‌ای از بدنه فلاسک را با جداره‌ای که بین آن خلاء ایجاد شده می‌پوشانند.

برای جلوگیری از انتقال گرمای جابجایی نیز باید از بزرگ در نظر گرفتن اندازه فلاسک بدون نیاز، پرهیز کرد.

با توجه به اینکه اثر انتقال حرارت رسانش و جابجایی تا حدود زیادی با این روش‌ها کاهش می‌یابد به سراغ انتقال حرارت تشعشعی می‌رویم. برای کاهش این نوع از انتقال حرارت نیز جداره را آینه‌ای می‌سازیم تا اثر تابش نیز ناچیز شود.

مثال۲

سیالی از روی ساچمهٔ نشان داده شده در شکل عبور می‌کند، توزیع دما $T(t)$ را بیابید. مشخصات سیال و دمای سطح ساچمه در شکل مشخص شده است، همچنین فرض می‌کنیم که دمادر همه جای ساچمه یکسان است.

ساچمه

با توجه به شرایط مرزی داریم:

${\begin{aligned}&T(T=0)={{T}_{0}}\\&T(T=\infty )={{T}_{\infty }}\\\end{aligned}}$

معادله بقای انرژی عبارت است از:

${\frac {\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}}={{\dot {E}}_{in}}-{{\dot {E}}_{out}}+{{\dot {E}}_{gen}}$

از قبل داشتیم که:

$m=\rho v$

با فرض:

${{\dot {E}}_{in}}={{\dot {E}}_{gen}}=0$

با توجه به جابجایی در سطح:

${{\dot {E}}_{out}}=h{{A}_{s}}(T-{{T}_{\infty }})$

همچنین مساحت کره برابر است با:

${{A}_{S}}=\pi {{D}^{2}}$

حال با جایگذاری روابط بالا در رابطه بقای انرژی خواهیم داشت:

${\frac {\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}}=mc{\frac {\partial T}{\partial t}}$

$\rho c{\frac {\pi {{D}^{3}}}{6}}{\frac {dT}{dt}}=-h\pi {{D}^{2}}(T-{{T}_{\infty }})$

${\frac {dT}{dt}}={\frac {-6h}{\rho cD}}(T-{{T}_{\infty }})$

تغییر متغیر:

$\theta =(T-{{T}_{\infty }})$

حال با انتگرال‌گیری از طرفین معادله زیر

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {-6h\theta }{\rho cD}}\int _{{{T}_{0}}-{{T}_{\infty }}}^{T(t)-{{T}_{\infty }}}{\frac {d\theta }{\theta }}=\int _{0}^{t}{\frac {-6h}{\rho cD}}dt$

به رابطه جدیدی دست پیدا می‌کنیم

$\ln({\frac {T(t)-{{T}_{\infty }}}{{{T}_{0}}-{{T}_{\infty }}}})={\frac {-6h}{\rho cD}}t$

حال با کمی ساده‌سازی به رابطه نهایی دست می‌یابیم

$T(t)={{T}_{\infty }}+({{T}_{0}}-{{T}_{\infty }}){{e}^{\frac {-t}{\tau }}}$

$\tau ={\frac {\rho cD}{6h}}$