آشکار سازی جریان

برای بررسی جریانها، چهار الگوی اصلی بکار می‌رود:

۱) خط جریان (Stream Line) که بردار سرعت در هر نقطه بر آن مماس است.

۲) خط مسیر (Path Line) مسیری است که هر ذره معین داخل جریان آن را طی می‌کند.

۳) خط رگه (Streak Line) مکان هندسی ذراتی است که از یک نقطه خاص داخل جریان عبور کرده‌اند.

۴) خط زمان، مجموعه ذراتی از سیال است که در هر لحظه، یک خط را تشکیل می‌دهد.

در جریان دائمی هر سه خط (خط جریان، مسیر جریان و خط تمایل) برهم منطبق می‌شوند. در حالیکه خط جریان الگوی فعلی جریان را نشان می‌دهد، مسیر جریان و خط تمایل تاریخچه جریان را ارائه می‌دهند.

خط جریان(Stream Line)

خطی است که در هر نقطه بردار سرعت جریان در آن نقطه مماس است.

به عنوان مثال یک روبان سبک را در جریان می‌گذاریم اگر روبان سبک باشد بر جریان تاثیر نمی‌گذارد. سپس از روبان درون جریان در هر لحظه عکس می‌گیریم. منحنی که این عکس‌ها به ما می‌دهند در هر لحظه بر سرعت جریان مماس است. این مفهوم مربوط به رویکرد "اویلری" می‌باشد.

در عرض خط جریان هیچ جریانی عبور نمی کند.

باتوجه به تغییر بردار سرعت در یک نقطه، شکل خطوط جریان با زمان تغییر می کند.

در یک جریان پایا خطوط جریان منحنیهای ثابتی هستند.

امکان تقاطع خطوط جریان به جز در نقاط منفردی با سرعت صفر یا بی نهایت وجود ندارد چون در این صورت در نقطه تقاطع ذره دارای دو سرعت خواهد بود که از لحاظ فیزیکی ممکن نیست.

اگر سرعت باشد:

$V=f({\text{u,v,w}})$

آنگاه برای حل از این رابطه استفاده می‌کنیم:

${\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}}={\frac {dz}{w}}$

---

مثال ۱

معادله خط جریان را بیابید.

${\begin{cases}U={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+Y^{2}}}}\\V={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+Y^{2}}}}\end{cases}}$

حل:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {v}{u}}={\frac {-x}{y}}$
${\frac {y^{2}}{2}}={\frac {-x^{2}}{2}}+constant$
${\color {red}x^{2}}+{\color {red}y^{2}}={\color {red}constant}$ $\Rightarrow$

---

مثال۲

خط جریانی را بیابید که در t=0.5s از این نقطه بگذرد:

$(x,y)=(1,2)$

$\left\{{\begin{aligned}&u=2ty\\&v=-x\\\end{aligned}}\right.$

${\frac {dy}{v}}={\frac {dx}{u}}\to {\frac {dx}{2ty}}={\frac {dy}{-x}}\to -xdx=2tydy$

t را ثابت فرض می‌کنیم

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{2ty}}=f(x,y){\text{ }}\to {\text{t=0}}{\text{.5}}\to {\text{ -x}}dx=ydy$

$c-{\frac {{x}^{2}}{2}}={\frac {{y}^{2}}{2}}\to {\frac {{x}^{2}}{2}}+{\frac {{y}^{2}}{2}}=c{\text{ or }}{{\text{x}}^{2}}{\text{+}}{{\text{y}}^{2}}=c$

اگر ۲=t بود، چون ضریب y بزرگتر از x است، معادله بصورت بیضی در می‌آمد.

$(x,y)=(1,2)\to 1+{{2}^{2}}=c\to c=5\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5$

خط مسیر(Path Line)

اگر ذره‌ای با چگالی بسیار کم را در سیال بیاندازیم و در لحظات مختلف از آن عکس بگیریم و درون عکس‌های متوالی ردپای ذره را دنبال کنیم به اینصورت که نقاط مختلف را به هم وصل کنیم و به وسیلهٔ نقاط یک خط را تشکیل دهیم توانسته‌ایم خط مسیر را بیابیم.

این مفهوم مربوط به رویکرد "لاگرانژی" می‌باشد و روابط ریاضی آن بدین صورت است:

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {V}}({{\vec {r}}_{0}},t)$

آنگاه:

${\begin{aligned}&{\frac {dx}{dt}}=u({{\vec {r}}_{0}},t)\\&{\frac {dy}{dt}}=v({{\vec {r}}_{0}},t)\\&{\frac {dz}{dt}}=w({{\vec {r}}_{0}},t)\\\end{aligned}}$

در جریان پایا خطوط جریان و خطوط مسیر برهم منطبق هستند و شکل لوله جریان در فضا ثابت است.

مثال۱

خط مسیر $u=10+2x$ را بیابید.

حل:

${\frac {dx}{dt}}=u=10+2x$
$\int _{0}^{x}{\frac {1}{10+2x}}\,dx=\int _{0}^{t}\,dt$
${\frac {1}{2}}Ln({\frac {5+x}{5}})=t$ $\Longrightarrow$
${\color {red}x}={\color {red}5(e^{2t}-1)}$$\Longrightarrow$

مثال۲

خطوط مسیر را بیابید که در t=۰ از نقطه $({{x}_{0}},{{y}_{0}})=(1,1)$ بگذرد.

${u=\exp(-2t)}$
${v=y\exp(-t)}$
${u={\frac {dx}{dt}}=\exp(-2t)\to \int \limits _{1}^{x}{dx}=\int \limits _{0}^{t}{\exp(-2t)}dt\to x=1+{\frac {1}{2}}(1-\exp(-2t)}$
${v={\frac {dy}{dt}}=y\exp(-t)\to \int \limits _{1}^{y}{\frac {dy}{y}}=\int \limits _{0}^{t}{\exp(-t)}dt\to y=1\times \exp(1-\exp(-t))}$

معادله مستقل از زمان خطوط جریان برابر است با:

$y=1\times \exp(1-{{\left[1-2(x-1)\right]}^{^{\frac {1}{2}}}})$

خط رگه(Streak Line)

اگر با یک سوزن یک مقدار جوهر درون سیال تزریق کنیم ذرات جوهر درون سیال حرکت کرده و پخش می‌شوند. در این صورت خط اثر به جای مانده از جوهر درون سیال خط رگه را به ما می‌دهد. این عمل، ترکیبی از دیدگاه اویلری و دیدگاه لاگرانژی است.

اگر جریان steady باشد هر سه حالت ذکر شده روی هم می‌افتند. همچنین استفاده از خط رگه برای آشکارسازی جریان روش مناسبتری است زیرا اثر آن بر روی جریان کمتر است.

در مکانیک سیالات برای قابل مشاهده ساختن نتایج ریاضی، از الگوی خطوط جریان استفاده می‌شود. شکل (a) نشان دهنده نمونه یک مجموعه از چند خط جریان است، شکل (b) یک الگوی بسته به نام لوله جریان را نشان می‌دهد.

هر بردار dr در امتداد خط جریان، باید بر V مماس باشد.

مثال‌های کامل از دو هر روش:

مثال۱

در توضیح سرعت زیر:

u=x+y

v=2t

الف: Stream line که در لحظه t=1 از مبدا مختصات می‌گذرد، بدست آورید.

ب: Path Line برای ذره‌ای که در t=0 در نقطه (1,1) باشد، بدست آورید.

جواب:

الف)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {v}{u}}={\frac {2}{x+y}}$

${\frac {dx}{dy}}={\frac {(x+y)}{2}}\rightarrow e-{\frac {y}{2}}({\frac {dx}{dy}}-{\frac {x}{2}})=e-{\frac {y}{2}}({\frac {y}{2}})$

$\rightarrow \int d(xe-{\frac {y}{2}}=\int e-{\frac {y}{2}}{\frac {y}{2}}dy\rightarrow xe-{\frac {y}{2}}={\frac {y}{2}}(2e-{\frac {y}{2}}-1/2\int -2e-{\frac {y}{2}}dy=-ye-{\frac {y}{2}}-2e-{\frac {y}{2}}+c$

${x=-y+2({\frac {ey}{2}}-1)}$

ب)

${\frac {dy}{dt}}=v=2t\to y={{t}^{2}}+{{c}_{1}}={{t}^{2}}+1$

${\frac {dx}{dt}}=u=x+y\rightarrow {\frac {dx}{dt}}=x+{{t}^{2}}+1$

${e-t({\frac {dx}{dt}}-x)=({{t}^{2}}+1)-t\to {\frac {d(xe-t)}{dt}}=({{t}^{2}}+1(e-t)}$

${\to \int d(xe-t)=\int ({{t}^{2}}+1)e-tdt\to ({{t}^{2}}+1)e-t-2te-t-2e-t+{{c}_{2}}=xe-t}$ ${\to x=-{{t}^{2}}-2t-4{{e}^{t}}-3}$

مثال۲

${\begin{cases}u=x\\v=-y\end{cases}}$

الف) معادله خط جریان را بیابید.
ب) معادله خطوط مسیر را بیابید.

حل  :
الف:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {v}{u}}={\frac {-y}{x}}$
${\color {red}xy}={\color {red}constant}$ $\Rightarrow$

ب :

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=u=x\\{\frac {dy}{dt}}=v-=y\end{cases}}$
${\begin{cases}x=c_{1}e^{t}\\y=c_{2}e^{-t}\end{cases}}$

${\color {red}xy}={\color {red}c_{3}}$$\Rightarrow$

نکته:چونکه جریان steady بود، معادلات خطوط جریان و خطوط مسیر یکی شدند.

سایر مثال‌ها

مثال 1

خطوط مسیر را بیابید که در t=0 از نقطه $({{x}_{0}},{{y}_{0}})=(1,1)$ بگذرد.

${\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&u=\exp(-2t)\\&v=y\exp(-t)\\\end{aligned}}\right.\\&u={\frac {dx}{dt}}=\exp(-2t)\to \int \limits _{1}^{x}{dx}=\int \limits _{0}^{t}{\exp(-2t)}dt\to x=1+{\frac {1}{2}}(1-\exp(-2t))\\&v={\frac {dy}{dt}}=y\exp(-t)\to \int \limits _{1}^{y}{\frac {dy}{y}}=\int \limits _{0}^{t}{\exp(-t)}dt\to y=1\times \exp(1-\exp(-t))\\\end{aligned}}$

معادله مستقل از زمان خطوط جریان برابر است با :

$y=1\times \exp(1-{{\left[1-2(x-1)\right]}^{^{\frac {1}{2}}}})$

مثال 2

مثال 6. خط جریانی را بیابید که در t=0.5s از این نقطه بگذرد: $(x,y)=(1,2)$

$\left\{{\begin{aligned}&u=2ty\\&v=-x\\\end{aligned}}\right.$

${\frac {dy}{v}}={\frac {dx}{u}}\to {\frac {dx}{2ty}}={\frac {dy}{-x}}\to -xdx=2tydy$

t را ثابت فرض میکنیم

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{2ty}}=f(x,y){\text{ }}\to {\text{t=0}}{\text{.5}}\to {\text{ -x}}dx=ydy$

$c-{\frac {{x}^{2}}{2}}={\frac {{y}^{2}}{2}}\to {\frac {{x}^{2}}{2}}+{\frac {{y}^{2}}{2}}=c{\text{ or }}{{\text{x}}^{2}}{\text{+}}{{\text{y}}^{2}}=c$

اگر 2=t بود,چون ضریب y بزرگتر از x است,معادله بصورت بیضی در می آمد.

$(x,y)=(1,2)\to 1+{{2}^{2}}=c\to c=5\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5$