بقای جرم

ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

بقای جرم[ویرایش]

بنا بر بیان لاوازیه از قانون بقای جرم( conservation of mass)،هیچ جرمی معدوم نمی‌شود و هیچ جرمی نیز از عدم بوجود نمی‌آید و یا به عبارت دیگر مقدار جرم مادی که در عالم وجود دارد همواره ثابت است.

قضیه انتقال رینولدز (که به قضیه انتقال رینولدز-لایبنیتز نیز مشهور است) برای بقای جرم،رابطه‌ای بین نرخ تغییرات سیستم و سطح کنترل و انتگرال‌های حجم ایجاد می‌کنند ولی مشتق‌های سیستم به معادلات اساسی مکانیک مربوطند. متغیر کمکیB به ترتیب جای جرم، اندازهٔ حرکت خطی، اندازه حرکت زاویه‌ای و انرژی را می‌گیرد. برای بقای جرم B=m یعنی Bsys = msys = جرم سیستم، می‌باشد.

برای حجم کنترل ثابت داریم:

اگر حجم کنترل فقط چند ورودی و خروجی یک بعدی داشته باشد آنگاه:

این حالات بیانگر لزوم معادل بودن دبی جرم ورودی و دبی جرم خروجی در جریان پایدار است.

در حالت پایدار و یک ورودی و یک خروجی برای حجم کنترل که در موارد بیشتری در مسایل مکانیک سیالات کاربرد دارد،داریم:

CtrlVolume web.jpg





مثال ۱[ویرایش]

شکل زیر یک مخزن استوانه‌ای با سطح مقطع A=2m2 را نشان می‌دهد که در پایین آن یک سوراخ به قطر d=0.1 وجود دارد که آب از آن خارج می‌شود. از اصطکاک سیال با دیواره ظرف صرف نظر کنید.

آب با دبی جرمی 20kg/s و چگالی ρ=1000kg/m3 توسط یک شیلنگ وارد مخزن می‌شود و با سرعت v=1m/s از سوراخ پایین خارج می‌شود.

الف) اگر ارتفاع H مخزن که شامل آب است با زمان تغییر کند مقدار نرخ تغییرات H را بدست بیارید.
ب) مقدار دبی جرمی ورودی لازم برای اینکه مقدار H ثابت باشد را بدست آورید.

بقای جرم مثال1.jpg

الف)بقای جرم :

فرم انتگرالی بقای جرم را برای حجم کنترل می‌نویسیم


چون چگالی و سطح حجم کنترل ثابت است

حال برای دبی جرمی خروجی با توجه سرعت و قطر داده شده داریم

ب)بقای جرم :


چون در سوال گفته شده است که ارتفاع ثابت می‌ماند پس جرم حجم کنترل تغییری نمی‌کند و در این صورت شرایط پایا داریم و دبی جرمی خروجی برابر با دبی جرمی ورودی است.

چون حالت پایدار داریم و سیالی تراکم ناپذیر داریم


مثال ۲[ویرایش]

سیالی با چگالی ρ با سرعت ثابت U0 وارد کانالی به ارتفاع H و عمق b می‌شود.
اگر از اثر لزجت صرف نظر کنیم تابع سرعت خروجی سیال از کانال یک سهمی می‌شود که بیشترین مقدار سرعت آن در فاصله H/2 از سطح کانال است. اگر حالت پایدار و تراکم ناپذیر برای سیال داشته باشیم بیشترین سرعت خروجی سیال umax را بر حسب سرعت ورودی U0 بدست آورید. بقای جرم مثال2.jpg

بقای جرم:

چون حالت پایدار دایم و تراکم ناپذیر است

برای بدست آوردن تابع u: از آنجاییکه تابع سهمی است

لذا
u(y)=Ay2+By+C

و با اعمال شرایط مرزی u(0)=۰ و u(H)=۰ و u(H/2)=umac:



مثال ۳[ویرایش]

شکل زیر یک مخزن استوانه‌ای با سطح مقطع A=10m2 را نشان می‌دهد که در پایین آن یک سوراخ به قطر d وجود دارد که آب از آن خارج می‌شود. از اصطکاک سیال با دیواره مخزن صرف نظر کنید.

آب با دبی جرمی 2kg/s و چگالی ρ=1000kg/m3 توسط یک شیلنگ وارد مخزن می‌شود و با دبی جرمی 1kg/s از سوراخ پایین خارج می‌شود.

  • نرخ تغییرات H را بدست بیارید.

Reza5.jpg

جرم حجم کنترل را با استفاده از فرم انتگرالی قانون بقای جرم بدست می‌آوریم و می‌بینیم که در آن فقط ارتفاع نسبت به زمان تغییر می‌کند و دبی جرمی ورودی و خروجی را داریم حال قانون بقای جرم را می‌نویسیم و نرخ تغییرات ارتفاع را بدست می‌آوریم

بقای جرم:


مثال ۴[ویرایش]

شکل زیر یک سرنگ به قطر D=1cm را نشان می‌دهد که حاوی سیالی با چگالی ثابت ρ می‌باشد.

الف: با توجه به داده‌های هندسی شکل و در نظر گرفتن حالت پایدار و تراکم ناپذیر برای سیال مقدار سرعت لازم پیستون u را برای اینکه سیال با سرعت v=2cm/s از سرنگ در مقطع d=1mm خارج شود را بدست آورید.

بقای جرم4.jpg

بقای جرم:

چون هیج جریانی وارد حجم کنترل نمی‌شود

در این جا برای محاسبه جرم حجم کنترل فقط حجم پیستون را می‌نویسیم زیرا بقیه حجم ثابت است و هنگام مشتق گیری حذف می‌شود

ب: اگر سرعت خروجی را یکنواخت در نظر بگیریم، آنرا محاسبه کنید؟ (راهنمایی: با استفاده از C.V2 حل شود)

Ampool.jpg

از بقای جرم استفاده می‌کنیم و چون شرایط پایا است داریم




مثال ۵[ویرایش]

سیالی با سرعت ثابت V1 وارد نازلی به قطر مقاطع D1 و D2 می‌شود.
اگر از اثر اصطکاک صرف نظر کنیم. سرعت خروجی سیال V2 را بر حسب سرعت ورودی V1 بدست آورید.

Reza1.jpg

حجم کنترل را کل نازل در نظر می‌گیریم و چون شرایط پایا است با نوشتن قانون بقای جرم به سادگی نسبت سرعت‌ها بدست می‌آید که سرعت ورودی یا خروجی ؛ -u است که برابر است با حاصلضرب سرعت مقطع ورودی در مساحت مقطع ورودی تقسیم بر مساحت مقطع خروجی که در این سوال با گذاشتن v1 ثابت در معادله و حل آن سرعت خروجی برابر v2 میشود

بقای جرم:

حالت پایدار و تراکم ناپذیر


مثال ۶[ویرایش]

مطابق شکل زیر، لایه نازک مایعی که از روی سطح شیبدار فرو می‌ریزد دارای پروفیل سرعت آرام

می‌باشد که

مقدار سرعت در سطح است.

مقدار دبی حجمی در لایه مایع را بیابید. فرض کنید

دبی حجمی در هر فوت عرض سطح برابر با است. مقداررا برحسببه دست آورید.

Sob.jpg

دستگاه مختصات را روی سطح شیبدار در نظر می‌گیریم و فرم انتگرالی قانون بقای جرم را می‌نویسیم و چون شرایط پایا است دبی خروجی را برابر با دبی ورودی قرار می‌دهیم: