ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/مکانیک سیالات/معادلات انتگرالی بقا

حجم کنترل ثابت اختیاری:

تغیرات ذخیرهB = ورودی B - خروجی B + تولید B

${\begin{aligned}&{{\left.{{B}_{Cv}}\right|}_{t}}\\&{{B}_{C{{\left.v\right|}_{t+\Delta t}}}}\\\end{aligned}}$

به دست آودن نرخ تغییرات ذخیرهB

${{B}_{C{{\left.v\right|}_{t+\Delta t}}}}-{{\left.{{B}_{Cv}}\right|}_{t}}=\Delta {{B}_{in}}-\Delta {{B}_{out}}+\Delta {{B}_{gen}}$

$\Rightarrow *{\frac {1}{\Delta {\text{t}}}}$

و

$\Delta t\to 0$

${\frac {\partial B}{\partial t}}Cv={{\dot {B}}_{in}}-{{\dot {B}}_{out}}+{{\dot {B}}_{gen}}$

${{B}_{Cv}}={\underset {cv}{\mathop {\int } }}\,{\text{d}}B$

و

${\text{d}}B=b\times {\text{d}}m$ $\to$ $b={\frac {{\text{d}}B}{{\text{d}}m}}$ ${\begin{aligned}&dm=\rho d\forall \\&dB=b\rho d\forall \\&{{B}_{Cv}}={\underset {cv}{\mathop {\int } }}\,b\rho d\forall \\\end{aligned}}$

نرخ تغییرات ذخیره B

${\frac {\partial }{\partial t}}{\underset {C\nu }{\mathop {\int } }}\,b\rho d\forall$

اگرشکل حجم کنترل تغییر نکند:

${{(\rho b)}_{in}}(-{{v}_{rel}}.dA)\Delta t=d{{B}_{in}}$

${{\dot {B}}_{in,net}}=-\int \limits _{c.s}{\rho b{{v}_{rel}}}.dA$

${{\dot {B}}_{in-}}{{\dot {B}}_{out}}=-\int \limits _{C.S}{\rho b{{v}_{rel}}}.dA$

قانون دوم نیوتن:

${\frac {d{{(m\mathbf {\overrightarrow {V}} )}_{sys}}}{dt}}=\sum {{\overrightarrow {F}}_{ext,sys}}$

معادله انتقال رینولدز

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{cv}{b\rho }d\forall +\int \limits _{cs}{b\rho {{v}_{rel}}}.dA={\frac {d{{B}_{sys}}}{dt}}$

نکته: قضیه انتقال رینولدز برای حجم معیار متحرک در بردارنده ی سرعت نسبی است.

نکاتی که موقع انتخاب حجم معیار باید به آنها توجه نمود:

1- هر حجمی در فضا را می توان به عنوان حجم معیار در نظر گرفت. این حجم معیار بسته به نوع تحلیلی که انجام می شود، می تواند دارای اندازه ای متناهی یا بی نهایت کوچک باشد.

2- در اکثر موارد، حجم معیار حجمی ثابت و تغییرشکل ناپذیر است.

3- در بعضی حالتها، حجم معیاری را در نظر خواهیم گرفت که با سرعت ثابت حرکت می کند.

انتخاب یک حجم معیار مناسب در مکانیک سیالات کاملا مشابه با انتخاب نمودار ایستایی در دینامیک یا استاتیک است. همانطور که این دقت در دینامیک و استاتیک با تمرین به دست می آید در مکانیک سیالات نیز به همین نحو است. غالبا راحتی حل هر مسئله مکانیک سیالاتی مفروض به انتخاب حجم معیار به کار رفته کاملا بستگی خواهد داشت.

حل مسئله نوعا شامل تعیین پارامترهایی همچون سرعت،فشار ونیرو در نقطه ای از میدان جریان است. معمولا بهترین حالت، اطمینان از استقرار این نقطه بر روی سطح معیار می باشد. در این صورت در قضیه انتقال رینولدز مجهول در جمله جابجایی (انتگرال سطح) ظاهر خواهد شد. در صورت امکان، سطح معیار باید عمود بر سرعت سیال باشد، به گونه ای که زاویه ی

$\theta$ ( $V.n=V\cos \theta$ )

در جمله های انتقال رینولدز مساوی با صفر یا

${{180}^{{}^{\circ }}}$

شود. معمولا این کار فرآیند حل را ساده تر می کند.

مثلا در شکل بالا سه حجم معیار ممکن را برای جریان درون لوله نشان می دهد. اگر مسئله تعیین فشار در نقطه ی A باشد، انتخاب حجم معیار (الف) بهتر از حجم معیار (ب) خواهد بود،چون نقطه ی A بر روی سطح معیار قرار می گیرد. همین گونه، حجم معیار (الف)از (ج) بهتر خواهد بود، چون جریان عمود بر قسمت های خروجی و ورودی حجم معیار است. هیچ کدام از این حجم معیارها غلط نیستند، ولی برای استفاده حالت (الف) از بقیه راحتتر است.

حجم معیارهای متحرک

در اکثر مسائل مکانیک سیالات حجم معیار را حجم ثابتی در نظر می گیرند که سیال از میان آن جریان می یابد. اما حالاتی هم وجود دارد که اگر به حجم معیار اجازه ی حرکت یا تغییر شکل بهیم تحلیل آن آسانتر می شود. کلی ترین حالت شامل حجم معیاری که حرکت میکند، شتاب می گیرد و میتواند تغییر شکل بدهد.

تعدادی از مسائل مهم را می توان با استفاده حجم معیار تغییر شکل ناپذیر که با سرعت ثابت حرکت می کند، به سادگی تحلیل کرد. مثلا شکل بالا که جریان آن با سرعت $\mathop {V} _{1}$ به پره ی متحرکی با سرعت ثابت $\mathop {V} _{0}$ برخورد میکند نشان داده شده است. ممکن است تعیین نیروی F که آب به پره وارد می کند موردنظر باشد. معمولا این گونه مسائل در توربین ها با برخورد جریان سیال(برای مثال آب یا بخار) به مجموعه ای از پره ها که از جلو شیپور عبور می کنند رخ می دهند. برای تحلیل چنین مسائلی بهتر است از حجم معیار متحرک استفاده شود. قضیه ی انتقال رینولدز برای چنین حجم معیارهایی استفاده می شود. تفاوت اصلی بین حجم معیار ثابت و متحرک در سرعت نسبی W است که سیال در عرض سطح معیار متحرک دارد، در حالیکه این سرعت مطلق V است که سیال در عرض سطح معیار ثابت دارد.

سرعت نسبی: سرعت سیال نسبت به حجم معیار متحرک است(سرعت سیالی که توسط ناظر سوار بر حجم معیار مشاهده می شود.

سرعت مطلق: سرعت سیال است که توسط ناظر ساکن در یک دستگاه متخصات ثابت دیده خواهد شد.

بنابراین اختلاف سرعت مطلق و سرعت نسبی، سرعت حجم معیار

$\mathop {\overrightarrow {V}} _{cv}={\overrightarrow {V}}-{\overrightarrow {W}}$

می باشد.