آشنایی با چندوجهی‌ها/دوگانی
هر چندوجهی با شکل دوگان خود مرتبط است، به طورى که رئوس یکی با وجه های دیگرى مطابقت دارد و ضلع های بین جفت رئوس یکی با ضلع های بین جفت وجه های دیگرى مطابقت دارد.[۱] بنابرين مشخصه اويلر دو چندوجهى دوگان برابر و نماد اشلفلى آنها متقارن است. چنين دوگان هايى همواره چندوجهی ترکیبی یا انتزاعی هستند، اما همه آنها چندوجهی هندسی نیستند. [۲] با شروع از هر چندوجهی مشخص، دوگان دوگان آن برابر با چندوجهی اوليه است.
دوگانی، تقارن های چندوجهی را حفظ می کند. بنابراین ، برای بسیاری از خانواده هاى چندوجهی که با تقارن خود تعریف می شوند، دوگان ها به یک گروه تقارنى تعلق دارند. بنابراین ، چندوجهی های منتظم - اجسام افلاطونی (محدب) و چندوجهى هاى کپلر – پوآنسو (ستاره اى) - جفت های دوگانى تشکیل می دهند ، البته لازم به ذكر است که چهاروجهى منتظم خود-دوگان است.
دوگان چندوجهی اى كه وجوه در هر رأس به يك شكل به هم برسند یک چندوجهی داراى وجوه برابر خواهد بود و بالعکس. دوگان چندوجهى اى كه اضلاع برابر دارد نيز، يك چندوجهى است به أضلاعش با هم برابرند.
ساختار دورمن لوك
[ویرایش]برای یک چندوجهی متحدالشكل ، وجه چندوجهی دوگان را می توان از شکل گوشه چندوجهی اصلی با استفاده از ساختار دورمن لوك پیدا کرد.[۳]
به عنوان مثال ، تصویر زیر شكل گوشه مكعب هشت وجهى (قرمز) را نشان می دهد که برای استخراج وجه دوازده لوزوجهى (آبی) استفاده می شود:
قبل از شروع ساخت ، شکل گوشه ABCD با برش هر ضلع متصل به رأس از نقطه میانی آن بدست می آید.
ساخت دورمن لوك سپس ادامه می یابد:
- كشيدن شکل گوشه ABCD.
- كشيدن دایره محيطى ABCD (مماس هر گوشه A ، B ، C و D).
- كشيدن خطوط مماس بر هر گوشه A ، B ، C ، D و مماس بر دايره.
- مشخص نقاط E ، F ، G ، H در محل هايى که خطوط با هم تقاطع دارند.
- چند ضلعی EFGH وجه چندوجهی دوگان است.
چندوجهى خود-دوگان
[ویرایش]از نظر توپولوژیکی ، چندوجهی خود-دوگان چندوجهى اى است که اتصال بین رئوس ، ضلع ها و وجه هايش دقيقاً برابر با دوگانش باشد. به طور خلاصه، نمودار هسه یکسانی با دگانش داشته باشد.
یک چندوجهی هندسی از نوع خود-دوگان نه تنها از نظر توپولوژیکى خود-دوگان است ، بلکه عکس متقابل قطبی آن در مورد یک نقطه خاص ، به طور معمول مرکز آن ، یک شکل مشابه است. به عنوان مثال ، دوگان چهاروجهى منتظم یک چهاروجهى منتظم دیگر است که از مبدا منعکس می شود.
از نظر هندسی بی نهایت چندوجهی خود-دوگان وجود دارد. ساده ترین خانواده بی نهایت، اهرام هستند. یک خانواده بی نهایت دیگر ، اهرام کشیده شده - که تقریباً می توان آن را هرمی كه در بالای منشور (با همان تعداد اضلاع) نشسته توصیف کرد - است. افزودن یک هرم ناقص -هرم با قسمت بریده شده بالا- در زیر منشور ، خانواده نامحدود دیگری ایجاد می کند و غیره. مثلاً در زير أعضايى از ٣تا از خانواده هاى بى نهايت آورده شده:
 ٣ |
 ٤ |
 ٥ |
 ٦ |
 ٣ |
 ٤ |
 ٥ |
 ٣ |
 ٤ |
 ٥ |
 ٦ |
 ٧ |
بسیاری از چندوجهی های محدب ، خود-دوگان دیگر وجود دارد. به عنوان مثال ، ٦ چندوجهى مختلف با ٧ راس ، و ١٦ مورد چندوجهى با ٨ رأس وجود دارد. [۴]
بيست وجهى غیر محدب خود-دوگانى با وجوه شش ضلعی توسط خود بروكنر در سال ١٩٠٠ كشف شد.[۵][۶][۷] چندوجهى هاى غير محدب حول-دوگان تحت تعاريفى از چندوجهى هاى غير محدب و دوگان هايشان وجود دارد.
پانویس
[ویرایش]- ↑ Wenninger (1983), "Basic notions about stellation and duality", p. 1.
- ↑ Grünbaum (2003)
- ↑ Cundy & Rollett (1961), p. 117; Wenninger (1983), p. 30.
- ↑ 3D Java models at Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra, based on paper by Gunnar Brinkmann, Brendan D. McKay, Fast generation of planar graphs PDF [۱]
- ↑ Anthony M. Cutler and Egon Schulte; "Regular Polyhedra of Index Two", I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.
- ↑ N. J. Bridge; "Faceting the Dodecahedron", Acta Crystallographica, Vol. A 30, Part 4 July 1974, Fig. 3c and accompanying text.
- ↑ Brückner, M.; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte, Teubner, Leipzig, 1900.