تبادل تابش خالص بین سطوح

محاسبه تشعشع:

سطوح جسم سیاه:

دو صفحه که در مقابل یکدیگرند را در نظر بگیرید.یکی در دمای ${\rm {T}}_{\rm {1}}$ و دیگری در دمای ${\rm {T}}_{\rm {2}}$.

${\rm {q}}_{\rm {12}}$= ${\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {E}}_{\rm {b}}({\rm {T}}_{\rm {1}}){\rm {A}}_{\rm {1}}-{\rm {F}}_{\rm {21}}{\rm {E}}_{\rm {2}}({\rm {T}}_{\rm {2}}){\rm {A}}_{\rm {2}}$

$={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\left[{\rm {E}}_{\rm {b}}({\rm {T}}_{\rm {1}}){\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b}}({\rm {T}}_{\rm {2}})\right]$

$={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}})$

${\rm {q}}_{\rm {21}}-=$

مثال1: یک جسم سیاه داریم که با محیط اطراف تشعشع می کند.خالص خروجی از سطح چقدر است؟

حل: عدد 2 را به محیط اطراف نسبت می دهیم.

${\rm {F}}_{\rm {11}}=0$

${\rm {F}}_{\rm {12}}=1$

${\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta \ ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {Surr}}^{\rm {4}})$

مثال2: یک استوانه که سطح جانبی آن عایق است در نظر بگیرید.ارتفاع استوانه 2متر و قطر آن 1 متر است.شار ورودی از کف استوانه چقدر باشد تا دمای سطح جانبی 1000 کلوین بماند.سطح بالای استوانه به محیط باز است و دمای محیط اطراف 300 کلوین است.

حل:

سطح پایین را 1 و سطح اطراف را 2 مینامیم. بالای استوانه را فرض می کنیم با یک جسم سیاه که همدمای محیط است پوشیده شده است و این سطح را 3 می نامیم.

$A:{\rm {q}}_{\rm {1}}{\rm {=}}{\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {+}}{\rm {q}}_{\rm {13}}$

$B:{\rm {q}}_{\rm {12}}={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}})$

$C:{\rm {q}}_{\rm {13}}={\rm {F}}_{\rm {13}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {Surr}}^{\rm {4}})$

$D:{\rm {q}}_{\rm {2}}={\rm {q}}_{\rm {21}}+{\rm {q}}_{\rm {23}}=0$

$E:{\rm {q}}_{\rm {21}}{\rm {=-}}{\rm {q}}_{\rm {12}}={\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {A}}_{\rm {1}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}})$

$F:{\rm {q}}_{\rm {23}}={\rm {F}}_{\rm {23}}{\rm {A}}_{\rm {2}}\delta ({\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}{\rm {-}}{\rm {T}}_{\rm {3}}^{\rm {4}})$

${\rm {q}}_{\rm {3}}{\rm {=}}{\rm {q}}_{\rm {31}}{\rm {+}}{\rm {q}}_{\rm {32}}=-{\rm {q}}_{\rm {1}}$

از معادله F داریم:

$pi{\rm {DL}}{\rm {\times }}0.118\times 5.67\times {\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}({\rm {1000}}^{\rm {4}}-{\rm {300}}^{\rm {4}})=41700W$

از معادله E داریم:

${\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}={\rm {T}}_{\rm {2}}^{\rm {4}}-{\frac {{\rm {q}}_{\rm {21}}}{\pi {\frac {{\rm {D}}^{\rm {2}}}{\rm {4}}}{\rm {0.944*5.67*}}{\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}}}$

با حل معادله داریم:

${\rm {T}}_{\rm {1}}=1188K$

از معادله D داریم:

${\rm {q}}_{\rm {21}}=-{\rm {q}}_{\rm {23}}=-41700W$

از معادله C داریم:

$\pi {\frac {{\rm {D}}^{\rm {2}}}{\rm {4}}}{\rm {0.056*5.67*}}{\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}({\rm {1188}}^{\rm {4}}-{\rm {300}}^{\rm {4}})=4950W$

پس

${\rm {q}}_{\rm {1}}=41800w+4950w=46650w$

حل EESمسئله

دمای K در مثال بالا چقدر حرارت بدهيم تا دمای کف به1000K برسد؟دمای جداره جانبی در اين حالت چقدر است؟ دمای سطوح ثابت و سطوح جسم سياه هستند.اثرات جابجايی اجباری را لحاظ کنيد.

E_b1=sigma#*(1000)^4

E_b3=sigma#*(300)^4 E_b2=sigma#*T_2^4 R_12=1.53 R_13=7.49 R_32=1.53 R_23=1.53 R_31=7.49 h=12[W/m^2*K] A=3.14[m^2] T_3=300[K] q_1=((E_b1-E_b2)/R_12)+((E_b1-E_b3)/R_13)

((E_b2-E_b1)/R_12)+((E_b2-E_b3)/R_23)+h*A*(T_2-T_3)=0

q_3=((E_b3-E_b1)/R_31)+((E_b3-E_b2)/R_32)

جواب:A=3.14 [m^2]

E_b1=56696 E_b2=16163 E_b3=459.2 h=12 [W/m^2*K] q_1=34001 q_3=-17772 R_12=1.53 R_13=7.49 R_23=1.53 R_31=7.49 R_32=1.53 T_2=730.7 T_3=300 [K]

مثال2:

سیالی با دمای ورودی 300کلوین وارد لوله داخلی یک مبدل تشعشعی میشود.با توجه به اطلاعات داده شده دمای خروجی سیال را بیابید.

دبی جرمی سیال1kg/s

${\rm {C}}_{\rm {p}}=4005$

h=100w/squre meter

${\rm {T}}_{\rm {2}}=cte$

${\rm {D}}_{\rm {1}}{\rm {=5cm}}$

${\rm {\ }}{\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {=10cm}}$

طول=1m

$?={\rm {T}}_{\rm {out}}$

حل:

${\rm {A}}_{\rm {2}}{\rm {F}}_{\rm {21}}={\rm {\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}\times {\rm {F}}_{\rm {12}}({\rm {F}}_{\rm {12}}{\rm {=1)}}$

${\rm {q}}_{\rm {12}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}}}{{\rm {R}}_{\rm {12}}}}$

${\rm {R}}_{\rm {12}}{\rm {=}}{\frac {\rm {1}}{\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}}}$

${\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}({\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}})$

${\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=}}h{\rm {A}}_{\rm {2}}\Delta {\rm {T}}_{\rm {ln}}$

$\Delta {\rm {T}}_{\rm {ln}}={\frac {{\rm {\ }}\left({\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}\right){\rm {-}}{\rm {(}}{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {)}}}{{\rm {ln}}{\frac {{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}}{{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}}}}}$

${\rm {q}}_{\rm {12}}{\rm {=\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}({\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {-}}{\rm {E}}_{\rm {b2}})={\dot {\rm {m}}}{\rm {c}}_{\rm {p}}({\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {in}})$

${\rm {E}}_{\rm {b1}}{\rm {=}}{\rm {T}}_{\rm {1}}^{\rm {4}}\delta =5.67\times {\rm {10}}^{{\rm {-}}{\rm {8}}}\times {\rm {1000}}^{\rm {4}}=5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})$

$\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L(}}5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})-{\rm {\ }}{\rm {E}}_{\rm {b2}})=1\times 4000({\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {-}}{\rm {\ 300}})$

$\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L(}}5.67({\rm {10}}^{\rm {4}})-{\rm {\ }}{\rm {E}}_{\rm {b2}})=h{\rm {\ }}\pi {\rm {D}}_{\rm {2}}{\rm {L}}{\frac {{\rm {\ }}\left({\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}\right){\rm {-}}{\rm {(}}{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}{\rm {)}}}{{\rm {ln}}{\frac {{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {i}}}{{\rm {T}}_{\rm {2}}{\rm {-}}{\rm {\ }}{\rm {T}}_{\rm {out}}}}}}$

حال بایستی با سعی و خطا ${\rm {T}}_{out}$ و ${\rm {T}}_{2}$ را بدست آورد.

حلEES:

در یک لامپ 100 واتی با ضریب صدور0.2 و با فرض جابجایی آزاد دمای سطح لامپ را بیابید؟

T=300[K];D=.1[m];P=101[kpa];v=Mio/Den;a=.6;q=100[W];A_1=.03[m^2];E=.2; Tf=(Ts+T)/2 B=1/Tf; Ra=((9.8*B*(Ts-T)*(D^3)*pr)/(v^2));

Nu=2+((.589*(Ra^(1/4)))/(1+(.469/Pr)^(9/16))^(4/9))

h=(Nu*k)/D

((a*q)/(A_1))=(E*(5.67)*(10^(-8)))*((Ts^4)-(T^4))+h*(Ts-T)

Pr = PRANDTL(Air,T=Tf) Mio= VISCOSITY(Air,T=Tf) Den = DENSITY(Air,T=Tf,P=P) K = CONDUCTIVITY(Air,T=Tf)

جواب به صورت زیر است: a=0.6 [m^2] A_1=0.03 [m^2] B=0.002536 D=0.1 [m] Den=0.8924 E=0.2 h=7.661 k=0.03244 Mio=0.00002269 Nu=23.62 P=101 [kpa] pr=0.7071 q=100 [W] Ra=5.129E+06 T=300 [K] Tf=394.3 Ts=488.6 v=0.00002542

منبع: جزوه دکتر فاتحی دانشگاه خلیج فارس