ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/انتقال حرارت تشعشعی

ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد

ضریب دید[ویرایش]

ضریب دید برای محاسبه تبادل تشعشع بین دو سطح، ابتدا ضریب دید را (که به آن ضریب وضعیت یا ضریب شکل نیز گویند) تعریف می‌کنیم. ضریب دید کسری از تشعشع خروجی از سطح است که توسط سطح دریافت می‌شود. برای تعیین عبارت کلی ، سطوح و را که وضعیت آنها به طور اختیاری است در نظر می‌گیریم. مساحتهای جزیی هر سطح، و ، با خطی به طول R به هم وصل شده‌اند. این خط با عمودهای و وارده بر سطوح، به ترتیب، زوایای قطبی و را می‌سازد. مقادیر R، teta1 و teta2 با تغییر مکان جزء مساحت روی و تغییر می‌کنند.

از تعریف شدت تشعشع، معادله آهنگ تشعشعی را که از خارج و توسط دریافت می‌شود به صورت زیر می‌توان بیان کرد:

با برابر قرار دادن انتگرال‌ها رابطه مهم تقابل بدست می‌آید. در واقع برای تعیین یک ضریب دید از روی ضریب دید دیگر می‌توان از رابطه تقابل استفاده نمود. این رابطه به صورت زیر می‌باشد:

همچنین قانون جمع زنی زیر را برای هر یک از سطح داخل یک محفظه می‌توان بکار برد:

ضریب دید:

میزان تابش دریافتی سطح j از سطح i به روی کل تابش سطح i

ّ

برای سطوح صاف = ۰

برای سطوح محدب = ۰

برای سطوح مقعر >0

برای یک محفظه بسته n سطحی:

تعداد مجهولات:

تعداد معادلات قانون جمع:

n

تعداد معادلات قانون عکس:

جمع کلیه روابط:

مثال)

محفظه سه سطحی:

تعداد مجهولات = ۹

قانون جمع = ۳

قانون عکس = ۳

۳ مجهول باید با استفاده از حل معادله تعیین شود.

حفاظ تشعشعی[ویرایش]

حفاظ‌های تشعشعی از موادی با ضریب صدور کم ساخته می‌شوند و برای کاهش انتقال خالص تشعشع بین دو سطح بکار می‌برند. بدون وجود حفاظ تشعشعی نرخ خالص انتقال تشعشع بین سطوح ۱ و۲ افزایش می‌یابد. توجه کنید که ضریب صدور یک طرف حفاظ شاید با ضریب صدور یک طرف دیگر متفاوت باشد. با جمع کردن این مقاومت‌ها داریم:

و در صورتی که حفاظ داشته باشیم:

پس در حالت کلی و با در نظر گرفتن N حفاظ تشعشعی می‌توانیم بنویسیم:

تبادل گرمایی بین اجسام غیر سیاه

در جسم سیاه تمام انرژی تابشی فرودی جذب می‌شود در حالی که در جسم غیر سیاه اینطور نیست و بخشی از انرژی جذب می‌شود و بخشی دیگر به سمت سطحی دیگر منعکس می‌شود و ممکن است بخشی از آن به کلی از سیستم خارج شود.

برای اثبات فرمولها دو پارامتر زیر را تعریف می‌کنیم:

G : پرتوگیری (شدت تابش ورودی)

J: شدت تابش خروجی

ضریب گسیل

توان گسیل جسم سیاه

ضریب انعکاس

اگر مخرج کسر بالا را مقاومت سطح در برابر انتقال گرمای تابشی و صورت کسر را اختلاف پتانسیل آنگاه می‌توان یک شبکه مانند شکل دید.

تبادل انرژی تابشی توسط دو سطح A1 و A2 را در نظر بگیرید.

بخشی از کل مقدار تابش که از سطح ۱ به سطح ۲ می‌رسد:

بخشی از کل مقدار تابش که از سطح ۲ به سطح ۱ می‌رسد:

تبادل خالص بین دو سطح از رابطه زیر بدست می‌آید:

انتقال گرمای تشعشی در گازها[ویرایش]

مثالی از قانون بیر: نور لیزر سبز در محلولی از Rhodamine 6B. شدت پرتو هنگام عبور از محلول کاهش می‌یابد.

انتقال گرمای تشعشعی در گازها ناشی از انرژی چرخشی مولکول‌ها و نوسان‌های اتمی داخل مولکول هاست.

جذب و صدور تشعشع در گازها بر خلاف سطوح جامد در محدوده‌ای کوچک از طول موج‌ها صورت می‌گیرد. به طور کلی گازهایی مانند هیدروژن هلیوم اکسیژن در دماهای پایین نسبت به تشعشع، شفاف هستند. در صورتی که گازهایی مانند دی اکسید کربن و مونواکسید کربن درای تشعشع هستند.

می‌توان گفت معمولاً گازهایی که دارای ساختمان قطبی هستند در دماهای پایین نسبت به تشعشع شفافند.

در حالت کلی ضرایب صدور و جذب گارها پایین است. مثلاً ضریب صدور بخار آب و یا دی اکسید کربن کمتر از ۰٫۱ است که اگر آن را با ضریب صدور دوده که ۰٫۹۵ است مقایسه کنیم بسیار پایین است.

در حالتی که مخلوط دو گاز را داشته باشیم تشعشع کلی مخلوط دو گاز کمتر از تشعشع هر گاز به صورت تنها خواهد بود، چون ممکن است هر یک از گازها نسبت به تشعشع گاز دیگر کدر باشد.

قانون بیر (Beer)

موقعی که اشعه تابشی از توده گازی عبور می‌کند به تدریج توان نشر آن کم می‌شود. قانون بیر نشان می‌دهد که این کاهش به صورت نمایی است.

لازم است ذکر شود که عامل تعیین کننده ضرایب صدور و جذب در یک فضا، تعداد کل مولکول‌های تابشی موجود در آن فضا است.

ضریب صدور یک گاز به دما، فشار جزیی، جنس گاز، شکل هندسی توده گاز و طول موج وابسته‌است و با افزایش فشار کل گاز ضریب صدور آن افزایش می‌یابد، ولی با افزایش دما ضریب صدور گاز کاهش می‌یابد.

جذب حجمی:

ذب طیفی تشعشع در گازها یا در مایعات و جامدات نیمه شفاف تابعی از ضریب جذب و ضخامت محیط است. اگر نور تک فامی با شدت بر محیط بتابد شدت ان بر اثر جذب کاهش می‌یابد و کاهش حاصل را در لایه بی‌نهایت کوچکی به ضخامت به صورت زیر می‌توان بیان کرد:

قابلیت جذب:

با جدا کردن متغییرها و انتگرال گیری روی تمام لایه خواهیم داشت:

که در آن فرض می‌شود مستقل از است.

به این کاهش نمایی قانون بیر گفته می‌شود که وسیله مفیدی برای تحلیل تقریبی تشعشع است. مثلاً از آن برای جذب مندی طیفی کلی محیط می‌توان استفاده کرد. به خصوص با تعریف عبور پذیری به صورت زیر:

برای جذب مندی داریم:

هرگاه گازی با دمای Tg و ضریب جذب و ضریب صدور با یک سطح جامد با دمای Ts تبادل تشعشی کند، نرخ خالص تبادل تشعشع از رابطه زیر بدست می‌آید.

انتقال گرمای مرکب[ویرایش]

در اغلب کاربردها، هدایت و یا جابه‌جایی با تشعشع قابل مقایسه‌اند و باید در تجربه و تحلیل انتقال گرما لحاظ شوند. شکل زیر را در نظر بگیرید، فرض کنید که این صفحه توسط یک گرمکن الکتریکی گرم می‌شود و از طریق هدایت و جابه‌جایی و تابش با محیط انتقال حرارت دارد.

از موازنه انرژی سطحی داریم:

در این رابطه نرخ خالص انتقال تشعشع از سطح بوده و و به ترتیب نرخ انتقال حرارت هدایت و جابه‌جایی از سطح است. هم گرمای انتقال یافته به سطح است. به طور کلی از یکی از دو رابطه زیر بدست می‌آید و و هم با توجه به شرایط از روابط مربوط به خود بدست می‌آیند.

مدار تشعشعی نظیر شکل قبل به صورت زیر خواهد بود.

باید توجه داشت که و با اختلاف بین دماها متناسب‌اند ولی با اختلاف توان چهارم دماها تناسب دارد. اگر پشت سطح عایقبندی باشد، شرایط مسئله ساده‌تر می‌شود و در این حالت است. علاوه بر این اگر گرمایش خارجی وجود نداشته و جابه‌جایی ناچیز باشد، سطح بازتابنده خواهد بود.

مثال‌ها[ویرایش]

مثال۱[ویرایش]

مطابق جدول ۲–۱۳ کتاب ضریب دید برای دیسکهای موازی هم محور مطابق فرمول داده شده‌است.


مثال۲[ویرایش]

محاسبه ضریب دید برای دو کره که یکی درون دیگری قرار گرفته‌است:


مثال۳[ویرایش]

ضریب دید سطوح مثلث متساوی الاضلاع داده شده را بیابید؟


مثال۴[ویرایش]

دو صفحه عمود برهم بی‌نهایت را در نظر بگیرید. اگر صفحه عمودی را ۱ در نظر بگیریم را بدست آورید.

حل:

یک سطح سوم را در نظر می‌گیریم به شکلی که یک محفظه بسته تشکیل شود.

با ساده‌سازی معادلات بالا داریم:

حال از قانون عکس استفاده می‌کنیم:

از این سه رابطه برای ساده کردن سه معادله قبل بهره می‌بریم:

با رابطه اول یک دستگاه دو مجهولی ایجاد می‌کنیم:

حال باحذف یک مجهول از دستگاه داریم:

که در اینجا


مثال۵[ویرایش]

برای شکل زیر  را بدست آورید.


مثال۶[ویرایش]

مقدار  را بیابید.

حل: یک سطح کمکی می‌گیریم به طول 2L آن را می‌نامیم. فاصله خالی را می‌نامیم. از مثال قبل نیز استفاده می‌کنیم.


مثال۷[ویرایش]

برای شکل زیر را بدست آورید.

با تشکیل یک محفظه بسته مستطیلی شکل می‌توان قانون جمع را نوشت:

با رسم خط فرضی یک مثلث تشکیل داده و خواهیم داشت:

به شکلی مشابه مطابق شکل خط را رسم کرده و خواهیم داشت:

و نهایتاً با توجه به اینکه خواهیم داشت:


مثال۸[ویرایش]

برای شکل زیر  و  را محاسبه کنید.

با استفاده از جدول ۱–۱۳ کتاب انتقال حرارت اینکروپرا (ویرایش چهارم) ضریب دید برای دو دیسک موازی هم محور به طریق زیر محاسبه می‌شود:

با نوشتن قانون جمع:

از تقارن خواهیم داشت:


مثال۹[ویرایش]

دو صفحه عمود برهم بی‌نهایت را در نظر بگیرید. اگر صفحه عمودی را ۱ در نظر بگیریم را بدست آورید.

حل:

یک سطح سوم را در نظر می‌گیریم به شکلی که یک محفظه بسته تشکیل شود.

با ساده‌سازی معادلات بالا داریم:

حال از قانون عکس استفاده می‌کنیم:

از این سه رابطه برای ساده کردن سه معادله قبل بهره می‌بریم:

با رابطه اول یک دستگاه دو مجهولی ایجاد می‌کنیم:

حال باحذف یک مجهول از دستگاه داریم:

که در اینجا


مثال۱۰[ویرایش]

دو صفحه موازی بینهایت در مقابلا یکدیگر به فاصله L قرار دارند. مقدار را بیابید.

حل: یک سطح کمکی می‌گیریم به طول 2L آن را می‌نامیم. فاصله خالی را می‌نامیم. از مثال قبل نیز استفاده می‌کنیم.


مثال۱۱[ویرایش]

یک استوانه به ارتفاع ۲ متر وقطر ۱ متر در نظر بگیرید. اگر سطح بالا ۱ و اطراف ۲و زیر را ۳ بنامیم. مقدار و را بیابید.

حل:


مثال ۱۲[ویرایش]

شکل زیر را در نظر بگیرید. دمای محیط اطراف ۳۰۰ درجه کلوین است. سطح ۲ عایق است و به سطح ۱ که در دمای ۷۰۰ درجه کلوین است شار گرمایی q داده می‌شود. دمای سطح ۲ و مقدار q داده شده به سطح یک را حساب کنید. مساحت سطوح با هم برابر و برابر واحد است.

حل: در نظر یگیریم که به منظور حل این مسئله ابتدا باید سطح سوم که همچون سیاه بوده و هم دما با دمای محیط است را به شکل اضافه کنیم تا محفظه بسته داشته باشیم و بهتر بتوانبم مسئله را حل کنیم.

با ساده‌سازی داریم

مساحت‌ها با هم برابر است.

از طرفی هم با توجه به روابط بالا داریم:

در نتیجه با توجه به جدول ۱۳–۱ کتاب

نمودار معادل این جسم به شکل زیر است

دمای سطوح یک و سه مشخص است. پس می‌توانیم با نوشتن رابطه بین این دو سطح به مقدار q سطح یک دسترسی پیدا کنیم. ابتدا مقاومت معادل بین این دو سطح را حساب می‌کنیم و سپس مقدار q سطح یک را به دست می‌آوریم.


مثال۱۳[ویرایش]

برای کورهٔ موجود در شکل زیر که سطح کنارهٔ آن عایق است، دمای سطح ۱ را به دست آورید. دمای هوای اطراف ۳۰۰ کلوین است و قسمت بالایی کوره آزاد است.

حل: سطح ۳ با خصوصیات جسم سیاه و با دمای هوای اطراف را به شکل اضافه می‌کنیم. برای محاسبه ضریب دید سطح ۱ نسبت به سطح ۳ از فرمول‌های جدول ۲–۱۳ کتاب استفاده می‌کنیم. سپس با نوشتن رابطه تقابل بین سطوح و همچنین رابطه مجموع ضریب دید سطوح محفظه می‌توانیم ضریب‌های دید مجهول را به دست آوریم. با توجه به شکل نمودار معادل این مسئله نیاز هست که پس از پیدا کردن ضریب سطوح، مقومت‌های بین سطوح هم محاسبه شود.

نمودار معادل این کوره به شکل روبروست.

نمودار معادل بین سطح ۱ و سطح ۳ به شکل زیر است که در آن دارریم:


مثال۱۴[ویرایش]

در صورتی که ضریب دید تشعشعی بین دو صفحه بالا و پایین یک مکعب برابر ۰٫۲۵ باشد ضریب دید صفحه بالایی مکعب با یکی از صفحات جانبی چقدر می‌شود؟

ره حل سؤال ۱: بطور کلی در حل ضرایب دید برای سطوح مکعب شکل و کلیه سطوحی که به نوعی تقارن دارند اگر تقارن را درست تشخیص دهیم مسئله خیلی ساده حل می‌شود:

سطح بالایی مکعب را سطح شماره ۱ سطح پایین مکعب را سطح شماره ۲ و سطوح جانبی را شماره ۳ تا ۶ نامگذاری می‌کنیم از قانون جمع داریم:

میدانیم:

از طرفی به لحاظ تقارن داریم:

بنابراین:


مثال۱۵[ویرایش]

سطوح بالایی و جانبی یک کورهٔ مکعبی، سیاه در نظر گرفته می‌شوند و در دمای ثابت نگه داری می‌شوند. نرخ انتقال حرارت خالص تشعشعی به سطح کف از سطوح بالایی و جانبی را تعیین کنید.
فرض: شرایط عملکرد پایا و سطوح کدر و پخشی و خاکستری هستند و حرارت جابجایی در نظر گرفته نمی‌شود.
آنالیز: سطح پایینی را سطح ۱ و سطح بالایی را ۲ و سطح جانبی را ۳ در نظر می‌گیریم. سیلندر مکعبی می‌تواند به عنوان یک سطح بسته سه تایی با شبکه تشعشعی زیر نشان داده شده‌است




ضریب دید از کف به سطح بالایی مکعب است و از قانون جمع زنی ضرایب دید این گونه محاسبه می‌شوند.



از آن جا که سطح کف تخت استبنابراین مقاومت‌های تشعشعی به صورت زیر تعیین می‌شوند.

>

با توجه به این که سطوح جانبی و بالایی سیاه هستند، بنابراین گسیلندگی آن‌ها برابر با توان خروجی آن هاست


نرخ خالص انتقال حرارت تشعشعی میان کف و سطوح جانبی


نرخ خالص انتقال حرارت تشعشعی میان کف از سطح بالایی


نرخ خالص انتقال حرارت به کف سرانجام این گونه محاسبه می‌شود



بحث: نتایج مشابه این گونه محاسبه می‌شود


مثال۱۶[ویرایش]

یک کوره را در نظر که گرما با نرخ 50 kw/m2 به کف آن داده می‌شود و اطراف آن یک کویل آب سرد پیچیده شده‌است. اگر دمای سطح جانبی کوره 400K باشد و دهانه کوره نیز به محیط باز باشد، دمای کف کوره T1 و گرمای انتقال یافته به آب سرد q2 را بدست آورید.

دمای محیط 300K است و قطر و طول کوره به ترتیب 1 m و 2 m است.

برای حل مسئله ابتدا باید یک سطح فرضی در دهانه کوره در نظر بگیریم (سطح ۳).

داده‌های مسئله

مقادیر ضریب شکل برای این کوره به صورت زیر است:

حل مسئله


مثال۱۷[ویرایش]

یک کوره استوانه‌ای داریم، که دیواره آن عایق شده و بالای آن باز است.

فرضیات: دمای سطوح یکنواخت است.

سطوح را جسم سیاه فرض کنید.

جابجایی آزاد را برای دیواره داخلی لحاظ کنید. h= ۱۰

مطلوب:

حرارت مورد نیاز برای اینکه دمای سطح در ۱۰۰۰ کلوین ثابت بماند.

حل به کمک نرم‌افزار ees

پاسخ نرم‌افزار:


مثال ۱۸[ویرایش]

مثال ۱۷ را با فرضیات زیر در نظر بگیرید:

فرضیات جدید:

دمای سطوح یکنواخت است.

سطوح را جسم خاکستری فرض کنید. e = ۰٫۷

جابجایی آزاد را برای دیواره داخلی لحاظ کنید. h= ۱۰

مطلوب:

حرارت مورد نیاز برای اینکه دمای سطح در ۱۰۰۰ کلوین ثابت بماند؟

حل به کمک نرم‌افزار ees

پاسخ نرم‌افزار:


مثال۱۹[ویرایش]

دو ورق موازی به ابعاد ۵/۰ متر در ۱متر به فاصله ۵/۰متر از یکدیگر قرار دارند. دمای دیواره اتاق ۳۰۰ کلوین می‌باشد. اندیس ۱ برای صفحه بالایی و اندیس ۲ برای صفحه پایینی می‌باشد.انتقال گرمای خالص به هرکدام از ورق‌ها را بیابید.

می‌توان اتاق را سطح فرضی ۳ در نظر گرفت که شرایط زیر را دارد:

با استفاده از جداول ضریب شکل و روابط جبری ضریب شکل و حل مسئله داریم:

با مرتب کردن جمع جبری جریانهای گرمایی وارد شده به گره‌های J1 و J2 و مساوی قرار دادن آنها با صفر داریم:

با قرار دادن مقادیر فوق در معادله‌های بالا J1 و J2 بدست می‌آیند:


مثال ۲۰[ویرایش]

برای کورهٔ نشان داده شده در شکل زیر دمای سطح ۲ و سطح ۳ را محاسبه کنید. سطح جداره کناری کوره عایق است و سقف کوره باز است. ضریب گسیلمندی سطح شماره ۲ برابر با ۰٫۵ و ضریب گسیلمندی سطح ز برابر با ۰٫۸ می‌باشد.

حل: سطح بالایی کوره را جسم سیاه فرض کرده و دمای آن را دمای محیط با۳۰۰ کلوین در نظر می‌گیریم.


مثال ۲۱[ویرایش]

برای کورهٔ نشان داده شده در شکل زیر دمای سطح ۲ و مقدار q را محاسبه کنید. سطح جداره کناری کوره عایق است و سقف کوره باز است. ضریب گسیلمندی سطح شماره ۲ برابر با ۰٫۵ و ضریب گسیلمندی سطح ز برابر با ۰٫۱۸ می‌باشد. (ضمنا داخل کوره وات بر مترمربع درجه کوین h=۴۵۰)

حل:

معادلات حاکم:

پس از حل توسط نرم‌افزار EES جواب‌ها به شرح زیر بدست می‌آید:


مثال ۲۲[ویرایش]

در صورتی که ضریب دید تشعشعی بین دو صفحه بالا و پایین یک مکعب برابر ۰٫۲۵ باشد ضریب دید صفحه بالایی مکعب با یکی از صفحات جانبی چقدر می‌شود؟

ره حل سؤال ۱: بطور کلی در حل ضرایب دید برای سطوح مکعب شکل و کلیه سطوحی که به نوعی تقارن دارند اگر تقارن را درست تشخیص دهیم مسئله خیلی ساده حل می‌شود:

سطح بالایی مکعب را سطح شماره ۱ سطح پایین مکعب را سطح شماره ۲ و سطوح جانبی را شماره ۳ تا ۶ نامگذاری می‌کنیم از قانون جمع داریم:

میدانیم:

از طرفی به لحاظ تقارن داریم:

بنابر این:


مثال ۲۳[ویرایش]

یک جسم سیاه داریم که با محیط اطراف تشعشع می‌کند. خالص خروجی از سطح چقدر است؟

حل:

عدد ۲ را به محیط اطراف نسبت می‌دهیم.


مثال ۲۴[ویرایش]

سیالی با دمای ورودی ۳۰۰کلوین وارد لوله داخلی یک مبدل تشعشعی می‌شود. با توجه به اطلاعات داده شده دمای خروجی سیال را بیابید.

دبی جرمی سیال1kg/s

h=100w/squre meter

طول=1m

حل:

حال بایستی با سعی و خطا و را بدست آورد.


مثال ۲۵[ویرایش]

در یک لامپ ۱۰۰ واتی با ضریب صدور۰٫۲ و با فرض جابجایی آزاد دمای سطح لامپ را بیابید؟

حل تمرین با استفاده از نرم‌افزار EES انجام گرفته، بدین صورت که در این نرم‌افزار معادلات حاکم بر مسئله داده می‌شود و نرم‌افزار به صورت سعی و خطا مسئله را حل نموده و جواب را به ما می‌دهد.

همان‌طور که می‌دانید برنامه EES یک برنامه حل دستگاه معادلات می‌باشد، که ما می‌توانیم معادلات و معلومات مسئله خود را به صورت معادله به آن داده و در نهایت برنامه با روش سعی و خطا دستگاه را برای ما حل می‌کند. اگر در کد زیر دقت کنید، داده‌های مسئله مثل دما، قطر و ... به نرم‌افزار داده شده، سپس معدلات موازنه انرژی، عدد ناسلت برای کره، عدد رایلی و ... و در نهایت پارامترهای لازم برای حل مسئله مثل عدد پرانتل، لزجت، چگالی و ضریب رسانش که در معادلات استفاده شده، تعریف کرده‌ایم. کد مسئله به صورت زیر است:

T=300[K]
D=0.1[m]
P=101[kpa]
Nu=Mio/Den
a=0.6
q=100[W]
A_1=0.03[m^2]
epsilon=0.2
T_f=(T_s+T)/2
Beta=1/T_f
Ra=((g*Beta*(T_s-T_infinity)*(D^3))*Pr)/(Nu^2)
Nusselt=2+((0.589*(Ra^(1/4)))/((1+((0.469/Pr)^(9/16)))^(4/9)))
h=(Nusselt*k)/D
(a*q)/A_1=(epsilon*5.67*(10^(-8))*(T_s^4-T_infinity^4))+(h*(T_s-T_infinity))
Pr=PRANDTL(Air,T=T_f)
Mio=VISCOSITY(Air,T=T_f)
Den=DENSITY(Air,T=T_f,P=P)
K=CONDUCTIVITY(Air,T=T_f)

جواب حاصل از حل معادلات بالا توسط نرم‌افزار به صورت زیر است:

منبع: جزوه دکتر فاتحی دانشگاه خلیج فارس


مثال ۲۶[ویرایش]

راهنمایی سپر تابشی با شماره ۳ نامگذاری شده‌است

اگر جسم سیاه باشند

انتقال گرما در حالت بدون سپر تابشی

انتقال گرما با وجود سپر تابشی

بنابراین اگر nسپر تابشی قرار دهیم داریم:

اگر جسم سیاه نباشند

مانند حالت قبل داریم

اما مقادیر

و

و

بصورت زیر محاسبه می‌شوند:

انتقال گرما در حالت بدون سپر:

انتقال گرما با وجود سپر:

اگر

آنگاه:


مثال ۲۷[ویرایش]

یک استوانه که سطح جانبی آن عایق است در نظر بگیرید.

ارتفاع استوانه ۲متر و قطر آن ۱ متر است.

شارورودی از کف استوانه چقدر باشد تا دمای سطح جانبی ۱۰۰۰ کلوین بماند.

سطح بالای استوانه به محیط باز است و دمای محیط اطراف ۳۰۰ کلوین است.

حل:

سطح پایین را ۱ و سطح اطراف را ۲ می‌نامیم. بالای استوانه را فرض می‌کنیم با یک جسم سیاه که همدمای محیط است پوشیده شده‌است و این سطح را ۳ می‌نامیم.

از معادله F داریم: