توابع مثلثاتی/مساحت مثلث

مساحت هر مثلث برابر است با:

نصف قاعده ضرب در ارتفاع.

فرمول مساحت

فرمول درون جعبه آبی به ما این اجازه را می‌دهد که مساحت هر مثلث را به دست بیاوریم. هر کدام از اضلاع مثلث را که خواستید می‌توانید به عنوان قاعده انتخاب کنید. برای به دست آوردن ارتفاع، فاصله آن ضلع با راس روبرویش را اندازه می‌گیریم. ارتفاع عمود بر هر کدام از اضلاع مثلث زیر در شکل نشان داده شده است:

سه ارتفاع مثلث

محل برخورد ارتفاع با قاعده یا امتداد آن، پای عمود نام دارد. بلندترین ارتفاع به کوتاه‌ترین قاعدهٔ مثلث عمود می‌شود.

در مثلث‌های قائم‌الزاویه

در مثلث‌های قائم‌الزاویه، دو ضلع عمود برهم وجود دارد که هر کدام می‌تواند قاعده یا ارتفاع دیگری باشند؛ ولی به طور قراردادی به ضلع بزرگتر قاعده و به ضلع کوچکتر ارتفاع می‌گوییم.

فرمول مساحت را در مثلث‌های قائم‌الزاویه می‌توانیم این‌گونه نشان دهیم: اگر دو مثلث قائم‌الزاویه مساوی را از طرف یکی از اضلاع زاویه قائمه بهم بچسبانیم، یک مثلث جدید تشکیل می‌شود که مساحت آن برابر نصف حاصلضرب ارتفاع (ضلع قائمی که مثلث‌ها را از طرفش بهم چسباندیم) در قاعده (دو برابر ضلع دیگر قائمه) است.

تقسیم کردن مثلث‌های دیگر به دو مثلث قائم‌الزاویه

حال که کاربرد فرمول مساحت در مثلث‌های قائم‌الزاویه را نشان دادیم می‌توانیم نشان بدهیم که فرمول مساحت برای هر مثلثی کار می‌کند. در شکل زیر یک مثلث فرضی به دو مثلث قائم‌الزاویه تقسیم شده است. در اینجا $h$ ارتفاع مشترک دو مثلث قائم‌الزاویه است و $a$ و $b$ قاعده‌های این دو مثلث.

مساحت دو مثلث قائم‌الزاویه برابر با ${\frac {a\times h}{2}}$ و ${\frac {b\times h}{2}}$ است؛ بنابراین مساحت مثلث بزرگ مساوی می‌شود با:

${\frac {ah}{2}}+{\frac {bh}{2}}={\frac {ah+bh}{2}}={\frac {(a+b)h}{2}}={\frac {(a+b)}{2}}h$

توجه داشته باشید که در مثلث بزرگ قاعده برابر است با $a+b$ و ارتفاع هم همان $h$ است. پس مساحت هر مثلث برابر است با نصف قاعده ضرب در ارتفاع.

البته باید حواسمان جمع باشد که اگر مثلث یک زاویه باز داشته باشد این روش نشان‌دهندهٔ فرمول مساحت نیست. در آن صورت می‌توان یک مثلث قائم‌الزاویه در کنار مثلث اصلی اضافه کرد:

مساحت آن را با استفاده از مساحت دو مثلث قائم‌الزاویه بدست می‌آوریم:

${\frac {ah}{2}}-{\frac {bh}{2}}={\frac {ah-bh}{2}}={\frac {(a-b)h}{2}}={\frac {(a-b)}{2}}h$

با توجه به شکل قاعده مثلث اصلی برابر $a-b$ و ارتفاع آن هم $h$ است. پس فرمول در مثلث‌هایی با زاویه باز هم صدق می‌کند.

مساحت هر مثلث برابر است با:

نصف قاعده ضرب در ارتفاع.