مقطع مخروطی/تعریف

در ریاضیات، مقطع مخروطی (یا به سادگی مخروطی، گاهی اوقات منحنی درجه دوم نامیده می‌شود) منحنی است که به عنوان تقاطع سطح یک مخروط با یک صفحه به دست می‌آید. سه نوع مقطع مخروطی عبارتند از هذلولی، سهمی، و بیضی. دایره یک مورد خاص از بیضی است، اگرچه از نظر تاریخی گاهی اوقات آن را نوع چهارم می‌نامند. ریاضیدانان یونان باستان مقاطع مخروطی را مورد مطالعه قرار دادند که در حدود ۲۰۰ سال قبل از میلاد با کار سیستماتیک آپولونیوس پرگا بر روی خواص آنها به اوج رسید.

ویژگی ها

مقاطع مخروطی در صفحه اقلیدسی دارای ویژگی های متمایز مختلفی هستند که بسیاری از آنها را می توان به عنوان تعاریف جایگزین استفاده کرد. یکی از این ویژگی‌ها مخروطی غیر دایره‌ای  را مجموعه‌ای از نقاطی تعریف می‌کند که فواصل آن‌ها تا یک نقطه خاص به نام کانون و یک خط خاص به نام جهات در یک نسبت ثابت است که خروج از مرکز نامیده می‌شود . نوع مخروط با مقدار خروج از مرکز تعیین می شود. در هندسه تحلیلی ، مخروطی ممکن است به عنوان یک منحنی جبری صفحه درجه 2 تعریف شود. یعنی به عنوان مجموعه نقاطی که مختصات آنها معادله درجه دوم را برآورده می کنددر دو متغیر که ممکن است به صورت ماتریسی نوشته شوند. این معادله امکان استنتاج و بیان جبری خواص هندسی مقاطع مخروطی را فراهم می کند.

در صفحه اقلیدسی، سه نوع بخش مخروطی کاملاً متفاوت به نظر می رسند، اما ویژگی های بسیاری دارند. با گسترش صفحه اقلیدسی تا شامل یک خط در بی نهایت، به دست آوردن یک صفحه نمایشی ، تفاوت ظاهری ناپدید می شود: شاخه های یک هذلولی در دو نقطه در بی نهایت به هم می رسند و آن را به یک منحنی بسته تبدیل می کنند. و دو انتهای یک سهمی به هم می رسند تا آن را به یک منحنی بسته مماس بر خط در بی نهایت تبدیل کنند. گسترش بیشتر، با گسترش مختصات واقعی برای پذیرش مختصات پیچیده ، ابزاری را برای مشاهده این یکسان سازی به صورت جبری فراهم می کند.

دوران اشکال مخروطی

از دوران هر شکل دور یک محورش شکل جدیدی به وجود می‌آید.

مثلاً از دوران مستطیل حول یک محورش، استوانه به دست می‌آید.

مثلاً پاره‌خطی را حول خطی که بر آن عمود است دوران دهیم، یک دایره ایجاد می‌شود.

مثلا از دوران یک دایره حول قطر آن یک کره به وجود می آید.

مثلا از دوران یک بیضی حول یکی از قطر هایش یک کره گون به وجود می آید.

مثلا از دوران یک سهمی حول یکی از قطرهایش یک سهمی گون به وجود می آید

مثلا از دوران یک هذلولی حول یکی از قطرهایش ،یک هذلولی گون به وجود می آید.

تعریف مختصر مقاطع مخروطی

دایره

دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.

بیضی

بیضی مجموعه‌ی نقاطی از صفحه است که جمع فواصل آن نقاط از دو نقطه‌ی ثابت در صفحه، عددی ثابت است.

به این دو نقطه ثابت کانون‌های بیضی گفته می‌شود و فاصله این دو را فاصله‌ی کانونی می‌نامند. بیضی دارای دو قطر می‌باشد که بر هم عمود هستند و به محل برخورد این دو قطر مرکز بیضی گفته می‌شود.

سهمی

سهمی مکان هندسی و مجموعه نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند.سهمی خمی باز است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای حاصل می‌شود که با یکی از وترهای مخروط موازی باشد ولی با ارتفاع مخروط موازی نباشد. اگر این صفحه با قاعدهٔ مخروط موازی باشد حاصل دایره، اگر با ارتفاع مخروط موازی باشد حاصل هذلولی، و اگر با هیچ‌یک از وترهای مخروط یا ارتفاع آن موازی نباشد حاصل بیضی خواهد بود.

هذلولی

هُذلولی خمی باز است که از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه، موازی با محورِ سطحِ مخروطی باشد، پدید می‌آید. در صفحهٔ اقلیدسی و از نظر مکان هندسی، هذلولی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه است که تفاضل فاصلهٔ هر یک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها)، مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد؛ اگر نصف اندازهٔ طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصلهٔ کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطهٔ c² = a² + b² برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می‌کنند.