مقطع مخروطی/دایره
|
|
در هندسه، دایره یک منحنی مسطح و بسته و شامل نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه مقداری ثابت باشد. نقطهٔ ثابت، مرکز دایره و مقدار ثابت، اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود. همچنین دایره را می‌توان یک بیضی دانست که کانون‌های آن بر همدیگر منطبقند (برون‌مرکزی آن صفر است)؛ ازین‌رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است. مقطع مخروطی منحنی‌ای است که در محل تقاطع یک صفحه با یک مخروط پدیدار می‌شود، و هنگامی که صفحه با مقطع مخروط موازی باشد منحنی حاصل دایره خواهد بود. دایره را همچنین می‌توان به عنوان چندضلعی متساوی‌الاضلاعی تعریف کرد که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند.
تعریف دایره
[ویرایش]معمولی
[ویرایش]دایره مجموعهٔ نقاط صفحه را به سه گروه تقسیم (اِفراز) می‌کند: داخل دایره (یا قرص)، روی دایره (یا محیط)، و بیرون دایره. نسبت محیط دایره به قطر آن (بیشترین فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط) همیشه ثابت است و عددِ پی نامیده می‌شود. محاسبهٔ عدد پی سابقه‌ای طولانی در تاریخ بشر دارد. ارشمیدس روشی با استفاده از چهارضلعی‌های محاطی و محیطی برای محاسبهٔ عدد پی ابداع کرد. آپولونیوس و غیاث‌الدین جمشید کاشانی هم عدد پی را با دقتی بالا محاسبه کردند. همچنین مساحت دایره برابر است با حاصلضربِ مربعِ شعاع دایره در عدد پی. دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط و حداقل محیط ممکن برای مقدار معین مساحت را دارد.
به عنوان مقطع مخروطی
[ویرایش]دایره «حالت خاص تبهگون» از بیضی است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید. در هندسه تصویری، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است.
در هندسه اقلیدوسی
[ویرایش]دایره مکان هندسی همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ معین (موسوم به مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت (موسوم به شعاع) داشته باشند. یعنی:
این تعریف دایره معادل همان تعریفی است که اقلیدس در اصول ارائه می‌کند:
دایره شکلی مسطح است که در یک خط به نام محیط مظروف شده است، به‌شکلی که همهٔ خط‌های راستی که از یک نقطهٔ معین در داخل آن به محیط کشیده می‌شوند با یکدیگر مساویند.
و در ادامه
نقطهٔ مذکور «مرکز دایره» نام دارد.