نگاهی به ریاضیات پیشرفته/آنالیز پیچیده

آنالیز مختلط که به طور سنتی به عنوان نظریه توابع یک متغیر مختلط شناخته می شود، شاخه ای از آنالیز ریاضی است که به بررسی توابع اعداد مختلط می پردازد. در بسیاری از شاخه های ریاضیات از جمله هندسه جبری ، نظریه اعداد ، ترکیبات تحلیلی ، ریاضیات کاربردی مفید است . و همچنین در فیزیک , از جمله شاخه های هیدرودینامیک , ترمودینامیک , و به ویژه مکانیک کوانتومی . با گسترش، استفاده از تحلیل پیچیده در زمینه های مهندسی نیز کاربرد داردمهندسی هسته ای , هوافضا , مکانیک و برق .

از آنجایی که یک تابع قابل تمایز یک متغیر مختلط با سری تیلور آن برابر است (یعنی تحلیلی است )، تحلیل مختلط به ویژه به توابع تحلیلی یک متغیر مختلط (یعنی توابع هولومورفیک ) مربوط می شود.

تاریخ

آنالیز پیچیده یکی از شاخه های کلاسیک ریاضیات است که ریشه در قرن هجدهم و کمی قبل از آن دارد. ریاضیدانان مهم مرتبط با اعداد مختلط عبارتند از: اویلر، گاوس، ریمان، کوشی، وایرشتراس و بسیاری دیگر در قرن بیستم. تجزیه و تحلیل پیچیده، به ویژه تئوری نقشه های همگام، کاربردهای فیزیکی زیادی دارد و همچنین در سراسر نظریه اعداد تحلیلی استفاده می شود. در عصر مدرن، از طریق افزایش جدید دینامیک پیچیده و تصاویر فراکتال تولید شده با تکرار توابع هولومورف، بسیار محبوب شده است. یکی دیگر از کاربردهای مهم تحلیل پیچیده در نظریه ریسمان است که متغیرهای یکسان را در نظریه میدان کوانتومی بررسی می کند.

تابع پیچیده

تابع مختلط تابعی از اعداد مختلط به اعداد مختلط است. به عبارت دیگر تابعی است که زیر مجموعه ای از اعداد مختلط به عنوان دامنه و اعداد مختلط به عنوان کد دامنه دارد. توابع پیچیده معمولاً دامنه ای دارند که شامل یک زیر مجموعه باز غیر خالی از صفحه مختلط است.

برای هر تابع پیچیده، مقادیرz از دامنه و تصاویر آنهادر محدوده تابع (f(z را می توان به بخش های واقعی و خیالی تقسیم کرد :$z=x+iy\quad {\text{ and }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$

جایی که$x,y,u(x,y),v(x,y)$همه دارای ارزش واقعی هستند.

به عبارت دیگر، یک تابع پیچیده$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ممکن است تجزیه شود

$u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad$و$\quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,$

می توان به عنوان مثال، به دو تابع با ارزش واقعی ($u,v$) از دو متغیر واقعی ($x,y$)باشد.

به طور مشابه، هر تابع با مقادیر مختلط f در مجموعه دلخواه X را می توان به عنوان یک جفت مرتب از دو تابع با ارزش واقعی در نظر گرفت : (Re f , Im f ) یا به عنوان یک تابع با مقدار برداری از X بهR^2.

برخی از ویژگی های توابع با ارزش پیچیده (مانند پیوستگی) چیزی بیش از ویژگی های متناظر توابع با ارزش برداری دو متغیر واقعی نیستند. سایر مفاهیم تحلیل پیچیده، مانند تمایزپذیری، تعمیم مستقیم مفاهیم مشابه برای توابع واقعی هستند، اما ممکن است ویژگی های بسیار متفاوتی داشته باشند. به طور خاص، هر تابع پیچیده قابل تمایز، تحلیلی است (به بخش بعدی مراجعه کنید)، و دو تابع متمایز که در همسایگی یک نقطه برابر هستند، در تقاطع دامنه های خود برابر هستند (اگر دامنه ها به هم متصل باشند). ویژگی اخیر اساس اصل تداوم تحلیلی است، که اجازه می دهد تا هر تابع تحلیلی واقعی را به روشی منحصر به فرد گسترش دهیم تا یک تابع تحلیلی پیچیده به دست آوریم که دامنه آن کل صفحه پیچیده با تعداد محدودی از کمان های منحنی حذف شده است گسترش دهد وبه حد نصاب برساند. بسیاری از توابع پیچیده اساسی و ویژه به این ترتیب تعریف می شوند که شامل توابع نمایی پیچیده، توابع لگاریتمی پیچیده و توابع مثلثاتی می شود.

منابع

ویکی پدیای انگلیسی