نگاهی به ریاضیات پیشرفته/انواع هندسه

هندسه اقلیدوسی

هندسه اقلیدوسی یک دستگاهی ریاضیاتی از هندسه است که آن را به ریاضیدان یونانی،اقلیدوس نسبت داده اند،چون اقلیدوس در کتاب خود به اسم اصول اقلیدوس به این نوع هندسه اشاره و توصیف کرده است.این هندسه شامل هندسه فضایی نیز می گردد

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی، می‌تواند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شود:

از هر دو نقطه متمایز، یک و تنها یک خط راست می‌گذرد.
هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابرند. (این اصل معیاری طبیعی برای اندازه‌گیری زاویه‌ها در اختیار می‌گذارد)
اگر یک خط، دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دوقائمه است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).

هندسه فضایی

ر ریاضیات،هندسه فضایی یا هندسه سه بعدی،نوعی هندسه اقلیدوسی است که به فضای حجمی یا سه بعدی اطلاق می شود.این هندسه برای آشنایی با احجام هندسی،احجام چندوجهی و... و مقاطع مخروطی،فضای سه بعدی،مختصات کروی،استوانه ای،حجم،مساحت و... است.

حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز فرمول آن را می‌نویسیم.

در ریاضیات فضای سه بعدی فضای برداری دارای سه بعد و یک مدل هندسی از جهان فیزیکی است که در آن زندگی می‌کنیم. ابعاد سه‌گانه معمولاً به نام طول، عرض، و ارتفاع (یا عمق) شناخته می‌شوند اگر چه این نامگذاری اختیاری است.

هندسه نااقلیدسی

هندسه نااقلیدوسی به مطالب عمین تر و گسترده تر از هندسه اقلیدوسی می پردازد و شامل موارد های هندسی جدید مثل هندسه کروی،البته مطالب هندسه نا اقلیدوسی به مطالب هندسه اقلیدوسی به صورتی عمیق تر بررسی می کند.

هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط گاوس و ریمان در قالب هندسهٔ کلّی‌تری بسط داده شدند. همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتین استفاده شده‌است. در هندسه نااقلیدوسی مجموعه زوایای داخلی مثلت ۱۸۰درجه نمی‌باشد. برای مثال اگر ضلع‌های مثلث هذلولوی باشد مجموعه زوایای داخلی هیچگاه به۱۸۰درجه نمی‌رسد و کمتر می‌باشد. همچنین اگر هندسه بیضوی باشد، هیچگاه ۱۸۰ درجه نمی‌شود؛ بلکه بیشتر می‌باشد.

هندسه ریمانی

هندسه ریمانی شاخه ای از هندسه دیفرانسیل است که به بررسی و مطالعه مطالب منیفلدهای ریمانی می پردازد، یعنی منیفلدهای هموار مجهز به متریک ریمانی، این ساختار منیفلد را در هر نقطه مجهز به ضرب داخلی روی فضای مماس می کند، به طوری که از نقطه‌ای به نقطه دیگر به طور هموار تغییر می‌کند. همچنین این ساختار به طور خاص مفاهیم موضعی چون زاویه، طول خم، مساحت رویه و حجم را بدست می دهد. از این‌ها، برخی از سایر کمیّت‌های سرتاسری را می توان به وسیله انتگرال‌گیری بدست آورد.

هندسه ریمانی اولین بار به طور کلی توسط برنهارد ریمان در قرن نوزدهم مطرح شد. با طیف وسیعی از هندسه‌ها سروکار دارد که ویژگی‌های متریک آنها از نقطه‌ای به نقطه دیگر متفاوت است، از جمله انواع استاندارد هندسه غیراقلیدسی . هر منیفولد صاف یک متریک ریمانی را می پذیرد که اغلب به حل مسائل توپولوژی دیفرانسیل کمک می کند . همچنین به عنوان سطح ورودی برای ساختار پیچیده‌تر منیفولدهای شبه ریمانی ، که (در چهار بعد) اشیاء اصلی نظریه نسبیت عام هستند، عمل می‌کند. از دیگر تعمیم هندسه ریمانی می توان به هندسه فینسلر اشاره کرد.

هندسه جبری

هندسهٔ جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که به‌طور سنتی به مطالعهٔ صفرهای چندجمله‌ایهای چند متغیره می‌پردازد. هندسهٔ جبری مدرن بر اساس استفاده از تکنیک‌های جبر مجرد بنا شده که اساساً از جبر جابجایی استفاده می‌کند تا مسائل هندسی مربوط به این مجموعه صفرها (ریشه این چند جمله‌ای‌ها) را مطالعه کند.

هندسه تحلیلی

هندسه تحلیلی شاخه‌ای از ریاضیات است که از ترکیب هندسه و جبر مقدماتی به وجود آمده‌است. در این رشته اشکال هندسی و روابط بین آن‌ها را با مقادیر و معادلات عددی و جبری و اتحادی بیان می‌کنند.

بنیانگذاران این مبحث در اروپا ، دکارت و فرما در قرن ۱۷ میلادی بوده‌اند.

رایج‌ترین سیستم مختصاتی در هندسه تحلیلی که استفاده در فضای دوبعدی می‌شود، سیستم مختصات دکارتی است ، که در آن هر نقطه دارای یک مختصات x است و گاهی هم مختصاتyاست.در معادله خطی هم از مختصات دکارتی استفاده می کنیم،که موقعیت افقی آن را نشان می‌دهد و یک مختصات y که موقعیت عمودی آن را نشان می‌دهد. اینها معمولاً به صورت یک جفت مرتب شده ( x , y ) نوشته می شوند. این سیستم همچنین می تواند برای هندسه سه بعدی استفاده شود، که در آن هر نقطه در فضای اقلیدسی با یک سه مرتبه مختصات ( x ، y ، z ) نشان داده می شود.در مختصات درکارتی موارد برداری هم تعریف می گردد.

هندسه دیفرانسیلی

هندسه دیفرانسیل یک مبحث ریاضیاتی پیشرفته است که به بررسی و مطالعه هندسه اشکال صاف و فضاهای صاف به همراه مختصات آنها بر اساس انحنا آنها می پردازد که در غیر این صورت منیفولدهای صاف نامیده می شوند.هندسه دیفرانسیل به کمک هندسه ریمانی به بررسی مینفولدهای خم و پیچیده می پردازد.از تکنیک های حساب دیفرانسیل ، حساب انتگرال ، جبر خطی و جبر چند خطی و هندسه فضایی،هندسه تحلیلی،آنالیز ریاضی و...استفاده می کند. ریشه این رشته در مطالعه هندسه کروی از دوران باستان است. همچنین به نجوم ، ژئودزی زمین و بعدها مطالعه هندسه هذلولی توسط لوباچفسکی مربوط می شود .. ساده‌ترین نمونه‌های فضاهای صاف، منحنی‌ها و سطوح صفحه و فضا در فضای سه‌بعدی اقلیدسی هستند و مطالعه این اشکال مبنای توسعه هندسه دیفرانسیل مدرن در قرن‌های 18 و 19 بود.

هندسه دیفرانسیل در سراسر ریاضیات و علوم طبیعی کاربرد دارد(مثل:ساختار مهندسی در معماری مخروطی و کروی و ساختار جغرافیایی مثل کوها وپزشکی در دستگاه رادیولوژی). زبان هندسه دیفرانسیل بیشتر توسط آلبرت انیشتین فیزیکدان و ریاضیدان آمریکایی در نظریه نسبیت عام و متعاقباً توسط فیزیکدانان در توسعه نظریه میدان کوانتومی و مدل استاندارد فیزیک ذرات مورد استفاده قرار گرفت. خارج از فیزیک، هندسه دیفرانسیل در شیمی ، اقتصاد ، مهندسی ، تئوری کنترل ، گرافیک کامپیوتری و بینایی کامپیوتر و اخیراً در یادگیری ماشین کاربرد دارد.

هندسه تصویری

هندسه تصویری شاخه از ریاضیات و هندسه است که اشکال هندسی و روابط قضیه هندسی را به صورت ترسیم تصویر نمایش می دهد.این نوع ترسیم نوعی تصویرخوانی ریاضی-هندسی است.

رابطه فیثاغورس طبق مفاهیم(a²=b²+c²⁾است طبق تصویر هندسی زیر این رابطه به صورت مربعی شکل است