نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تابع نمایی

تابع نمایی (به انگلیسی: Exponential function) تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت ‎$\exp(x)$‎ یا $e^{x}$ نوشته می‌شود که $e$ عدد اویلر(ثابت نپر) با مقدارِ تقریبی ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت $a^{x}$ نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

$\,\!\,a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}$

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ $a$ می‌خوانیم که $a$ عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع $ka^{x}$ است.

عموماً متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس $\ln(y)=x$ را $\exp(x)=e^{x}=y$ گویند.

تعریف رسمی

تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع اولین $n+1$ عبارت سری توان آن (به رنگ قرمز).

تابع نمایی واقعی $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ را می‌توان به روش‌های مختلف معادل مشخص کرد. معمولاً با سری‌های قدرت زیر تعریف می‌شود:

$$\exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots$$

از آنجایی که شعاع همگرایی این سری توانی نامحدود است، این تعریف در واقع برای همه اعداد مختلط $z\in \mathbb {C}$ قابل استفاده است (به بخش مختلط برای گسترش $\exp x$ به صفحه مختلط). سپس ثابت е را می توان به صورت زیر تعریف کرد.${\textstyle e=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!)}$

تمایز ترم به ترم این سری توان نشان می دهد که ${\textstyle {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x}$

برای همه x واقعی ، منجر به یکی دیگر از خصوصیات رایج $\exp x$ به عنوان راه حل منحصر به فرد معادله دیفرانسیل می شود.

$$y'(x)=y(x)$$

ارضای شرط اولیه $y(0)=1.$ بر اساس این مشخصه، قاعده زنجیره نشان می دهد که تابع معکوس آن، لگاریتم طبیعی، ${\textstyle {\frac {d}{dy}}\log _{e}y=1/y}$ را بروارده می کند.برای $y>0$ یا ${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}\,.}$

این رابطه منجر به تعریف کمتری از تابع نمایی واقعی $\exp x$ به عنوان راه حل $y$ معادله می شود.

$$x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.$$

با استفاده از قضیه دو جمله ای و تعریف سری توان، تابع نمایی نیز می تواند به عنوان حد زیر تعریف شود:

$$\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی