پرش به محتوا

نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تابع نمایی

ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد

تابع نمایی (به انگلیسی: Exponential function) تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت ‎‎ یا نوشته می‌شود که عدد اویلر(ثابت نپر) با مقدارِ تقریبی ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ می‌خوانیم که عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع است.

عموماً متغیر می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس را گویند.

تعریف رسمی[ویرایش]

تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع اولین عبارت سری توان آن (به رنگ قرمز).

تابع نمایی واقعی را می‌توان به روش‌های مختلف معادل مشخص کرد. معمولاً با سری‌های قدرت زیر تعریف می‌شود: از آنجایی که شعاع همگرایی این سری توانی نامحدود است، این تعریف در واقع برای همه اعداد مختلط قابل استفاده است (به بخش مختلط برای گسترش به صفحه مختلط). سپس ثابت е را می توان به صورت زیر تعریف کرد.

تمایز ترم به ترم این سری توان نشان می دهد که

برای همه x واقعی ، منجر به یکی دیگر از خصوصیات رایج به عنوان راه حل منحصر به فرد معادله دیفرانسیل می شود. ارضای شرط اولیه بر اساس این مشخصه، قاعده زنجیره نشان می دهد که تابع معکوس آن، لگاریتم طبیعی، را بروارده می کند.برای یا

این رابطه منجر به تعریف کمتری از تابع نمایی واقعی به عنوان راه حل معادله می شود. با استفاده از قضیه دو جمله ای و تعریف سری توان، تابع نمایی نیز می تواند به عنوان حد زیر تعریف شود:

منابع[ویرایش]

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی