نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تعریف ریاضیات

ریاضیات یا انگارش فن محاسبه اعداد بوده و نیز به مطالعهٔ مباحثی چون کمیت (نظریه اعداد)، ساختار (جبر)، فضا (هندسه)، و تغییرات (آنالیز ریاضیات) می‌پردازد. در حقیقت تعریفی جهانی که همه بر سر آن توافق داشته باشند برای ریاضیات وجود ندارد.

بیشتر فعالیت های ریاضی شامل کشف و اثبات ویژگی های اشیاء انتزاعی با استدلال محض است. این اشیاء یا انتزاعی از طبیعت هستند، مانند اعداد یا خطوط طبیعی ، یا - در ریاضیات مدرن - موجوداتی هستند که دارای ویژگی‌های خاصی هستند که بدیهیات نامیده می‌شوند . یک برهان متشکل از مجموعه ای از کاربردهای برخی قوانین قیاسی برای نتایج شناخته شده از قبل، از جمله قضایای اثبات شده قبلی ، بدیهیات و (در صورت انتزاع از طبیعت) برخی ویژگی های اساسی است که به عنوان نقطه شروع واقعی نظریه مورد بررسی در نظر گرفته می شوند. نتیجه یک برهان را قضیه می گویند.

ریاضیات به طور گسترده ای در علم برای مدل‌سازی پدیده ها استفاده می شود. این امکان استخراج پیش بینی های کمی از قوانین تجربی را فراهم می کند. به عنوان مثال، حرکت سیارات را می توان با استفاده از قانون گرانش نیوتن همراه با محاسبات ریاضی به طور دقیق پیش بینی کرد. استقلال حقیقت ریاضی از هر آزمایشی دلالت بر این دارد که صحت چنین پیش‌بینی‌هایی تنها به کفایت مدل برای توصیف واقعیت بستگی دارد. پیش‌بینی‌های نادرست مستلزم نیاز به بهبود یا تغییر مدل‌های ریاضی است، نه اینکه ریاضیات در خود مدل‌ها اشتباه است. برای مثال، تقدم حضیض عطارد را نمی توان با قانون گرانش نیوتن توضیح داد، اما به طور دقیق توسط قانون گرانش نیوتن توضیح داده می شود. نسبیت عام اینشتین _ این تایید تجربی نظریه انیشتین نشان می دهد که قانون گرانش نیوتن تنها یک تقریب است، هرچند در کاربردهای روزمره دقیق است.

ریاضیات در بسیاری از زمینه‌ها از جمله علوم طبیعی ، مهندسی ، پزشکی ، مالی ، علوم کامپیوتر و علوم اجتماعی ضروری است . برخی از حوزه های ریاضیات، مانند آمار و تئوری بازی ها، در ارتباط نزدیک با کاربردهای آنها توسعه یافته اند و اغلب در زیر ریاضیات کاربردی گروه بندی می شوند . سایر حوزه‌های ریاضی مستقل از هر کاربرد توسعه می‌یابند (و بنابراین ریاضیات محض نامیده می‌شوند )، اما کاربردهای عملی اغلب بعداً کشف می‌شوند.  یک مثال مناسب مسئله فاکتورسازی اعداد صحیح، که به اقلیدس برمی‌گردد، اما قبل از استفاده در سیستم رمزنگاری RSA (برای امنیت شبکه‌های کامپیوتری) کاربرد عملی نداشت.

از نظر تاریخی، مفهوم برهان و دقت ریاضی مرتبط با آن برای اولین بار در ریاضیات یونان ظاهر شد، به ویژه در عناصر اقلیدس.  از آغاز، ریاضیات اساساً به هندسه ، و حساب (دستکاری اعداد و کسرهای طبیعی ) تقسیم شد تا اینکه در قرن 16 و 17، جبر  و حساب بی نهایت کوچک به عنوان حوزه‌ای جدید معرفی شدند. از آن زمان، تعامل بین نوآوری های ریاضی و اکتشافات علمی به رشد سریع ریاضیات منجر شده است. در پایان سده نوزدهم، بحران اساسی ریاضیات منجر به نظام‌بندی روش بدیهی شد. این به نوبه خود باعث افزایش چشمگیر تعداد حوزه های ریاضی و زمینه های کاربردی آنها شد. نمونه ای از این طبقه بندی موضوع ریاضیات است که بیش از شصت حوزه سطح اول ریاضیات را فهرست می کند.

تاریخ

لوح ریاضیاتی بابلیان، پلیمپتون ۳۲۲، مربوط به ۱۸۰۰ قبل از میلاد است.

ارشمیدس از روش افنا برای تقریب مقدار عدد پی استفاده کرد.

سیستم عددی استفاده شده در دستنویس بخشالی (مربوط به ریاضیات هند) که بر می‌گردد به سده دوم قبل از میلاد و سده دوم پس از میلاد.

تاریخ ریاضیات را می‌توان به عنوان دنباله‌ای از تجرید سازی‌های فزاینده دید. اولین قابلیت تجرید سازی که در بسیاری از حیوانات مشترک است، احتمالاً مفهوم عدد است: فهم این مطلب که مجموعه دو سیب و مجموعه دو پرتقال (به عنوان مثال) با هم اشتراکی دارند، و آن کمیت تعدادشان است.

همان‌طور که شواهد بر روی چوب‌خط نشان می‌دهد، مردم پیشاتاریخ می‌توانستند اشیاء فیزیکی را بشمرند و توانایی شمردن اشیاء تجریدی مثل روز، فصل و سال را نیز داشتند.

شواهد مربوط به ریاضیات پیچیده‌تر تا ۳۰۰۰ قبل میلاد مشاهده نشده، زمانی که بابلی‌ها و مصری‌ها شروع به استفاده از حساب، جبر و هندسه برای محاسبات مربوط به مالیات و دیگر مفاهیم اقتصادی، و ساخت و ساز یا نجوم کردند. قدیمی‌ترین متون ریاضیاتی مربوط به بین‌النهرین و مصر می‌شود که به ۲۰۰۰–۱۸۰۰ قبل از میلاد بازمی‌گردد. بسیاری از متون اولیه سه تایی‌های فیثاغوری را ذکر کرده و لذا به نظر می‌رسد که قضیه فیثاغورس

این قضیه بارها به روش‌های مختلف هندسی و جبری اثبات شده‌است که برخی از این اثبات‌ها به هزاران سال گذشته برمیگردند.</ref> کهن‌ترین و گسترده‌ترین توسعه ریاضیاتی بعد از حساب مقدماتی و هندسه باشد. در اسناد تاریخی، در ریاضیات بابلی‌ها بود که حساب مقدماتی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) ابتدا پدیدار گشت. بابلی‌ها همچنین از یک دستگاه مکان-ارزشی بهره می‌جستند که در آن دستگاه اعداد پایه ۶۰ پیاده‌سازی شده بود، ازین دستگاه عددی هنوز هم برای اندازه‌گیری زاویه و زمان استفاده می‌شود.

با آغاز سده ششم قبل از میلاد مسیح، ریاضیات یونانی‌ها با فیثاغورسی‌ها مطالعهٔ نظام مندی را در ریاضیات، به هدف شناخت بیشتر خود ریاضیات آغاز نمودند که سرآغاز ریاضیات یونانی‌ها بود. حدود ۳۰۰ قبل از میلاد، اقلیدس روش اصول موضوعه ای را که هنوز هم در ریاضیات به کار می‌رود را معرفی کرد که شامل تعاریف، اصول، قضیه و اثبات بود. کتاب مرجع او که به اصول اقلیدس معروف است به‌طور گسترده به عنوان موفق‌ترین و تأثیر گذارترین کتاب مرجع همه زمان‌ها شناخته می‌شود. بزرگترین ریاضیدانان باستان را اغلب ارشمیدس (۲۸۷ تا ۲۱۲ قبل از میلاد) اهل سیراکوز می‌دانند.او فرمول‌هایی برای محاسبهٔ مساحت و حجم اجسام در حال دوران پیدا کرد و از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر منحنی سهمی با استفاده از جمع یک سری بی‌نهایت استفاده کرد به گونه ای که بی شباهت با حساب دیفرانسیل و انتگرال مدرن نیست. دیگر دستاوردهای قابل توجه در ریاضیات یونان مقاطع مخروطی (آپولونیوس اهل پرگا، سده سوم قبل از میلاد)، مثلثات (هیپارکوس اهل نیکا (سده دوم قبل از میلاد))، و آغاز جبر (دیوفانتوس، سده سوم پس از میلاد) بود.

سیستم عددی هندو-عربی و قواعد استفاده از عملیاتش که امروزه در سراسر جهان استفاده می‌شود، در طی هزارهٔ اول میلادی در هند توسعه یافت و سپس از طریق ریاضیات اسلامی به جهان غرب انتقال یافت. دیگر پیشرفت‌های مربوط به ریاضیات هندی‌ها شامل تعریف مدرن سینوس و کسینوس و فرم اولیه سری‌های بی‌نهایتی است.

صفحه ای از کتاب جبر خوارزمی

در طی عصر طلایی اسلام، که در سده نهم و دهم میلادی شکل گرفت، ریاضیات نوآوری‌های مهمی را به خود دید که بر اساس ریاضیات یونانی‌ها پایه‌ریزی شده بود. مهم‌ترین دستاوردهای ریاضیات اسلامی توسعهٔ جبر بود. دیگر دستاوردهای مهم ریاضیات دورهٔ اسلامی پیشرفت در مثلثات کروی و اضافه شدن اعشار به سیستم عددی عربی بود. بسیاری از ریاضیدانان این دوره فارسی‌زبان بودند مثل خوارزمی، خیام و شرف الدین توسی.

در طی اوایل عصر مدرن، ریاضیات شروع به توسعه شتابداری در غرب اروپا کرد. توسعه حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتون و لایبنیز در سده هفدهم میلادی ریاضیات را متحول کرد. لئونارد اویلر مهم‌ترین ریاضیدان سده هجدهم میلادی بود که چندین قضیه و کشفیات را به ریاضیات افزود. شاید مهم‌ترین ریاضیدانان سده نوزدهم میلادی ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس بود که خدمات متعددی به شاخه‌های مختلف ریاضیات چون جبر، آنالیز، هندسه دیفرانسیل، نظریه ماتریس، نظریه اعداد و آمار کرد. در اوایل سده بیستم میلادی، کورت گودل، ریاضیات را با انتشار قضایای ناتمامیت خویش دچار تغییر کرد. این قضایا نشان دادند که هر سیستم اصول موضوعه سازگاری شامل گزاره‌های غیرقابل اثبات اند.

ریاضیات از آن زمان به‌طور گسترده‌ای توسعه یافته‌است و کنش و واکنش‌های ثمربخشی بین ریاضیات و علوم ایجاد شده که به نفع هردو است. کشفیات ریاضیات تا به امروز نیز ادامه دارد. بر اساس نظر میخائیل سوریوک، که در ژانویه ۲۰۰۶ در بولتن انجمن ریاضی آمریکا منتشر شد، "تعداد مقالات و کتب پایگاه اطلاعاتی ژورنال Mathematical Review از سال ۱۹۴۰ (اولین سال عملیاتی شدن MR) اکنون به ۱٫۹ میلیون می‌رسد که سالانه بیش از ۷۵ هزار مورد به این پایگاه افزوده می‌شود. اکثریت کارهای گسترده‌ای که در این اقیانوس وجود دارد شامل قضایای جدید ریاضیاتی و اثبات‌هایشان است.

چند اصطلاح مرتبط با ریاضیات

• ریاضیات کاربردی

• ریاضیات محض

• علوم ریاضیات

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی