نگاهی به ریاضیات پیشرفته/زاویه داخلی و خارجی

زاویه‌داخلی یا زاویه‌داخلی چندضلعی نوعی دیگر از زاویه است که در مورد اندازه‌گیری زاویه درون چندضلعی‌ منتظم به‌کارگیری می‌رود.

زاویه‌خارجی نوعی دیگر از زاویه است که در مورد اندازه‌گیری زاویه بیرون چندضلعی منتظم به کار می‌رود.

زاویهٔ داخلی(internal) و خارجی(external)

ویژگی‌ها

• در زاویه‌داخلی هرچقدر تعداد ضلع‌ها بیشتر شود،اندازه زاویه‌داخلی بیشتر می‌شود.
• در زاویه‌خارجی هرچقدر تعداد ضلع‌ها بیشتر شود،اندازه زاویه خارجی کمتر می‌شود.
• اگر زاویه‌داخلی را با زاویه‌خارجی جمع کنیم،برابر با°۱۸۰درجه می‌شود.
• زاویه‌داخلی و زاویه‌خارجی باهم مکمل هستند.
• مجموع زاویه‌های داخلی بستگی به تعداد ضلع چندضلعی منتظم دارد
• مجموع زاویه‌هایی خارجی چندضلعی منتظم٬همیشه برابر با°۳۶۰درجه است
• مثلث متساوی الاضلاع تنها چندضلعی منتظم است که زاویه‌خارجی او بیشتر زاویه‌داخلی اش می‌باشد
• مجموع زاویه داخلی یک مثلث برای با°۱۸۰درجه است.
• مربع تنها چندضلعی‌منتظم است که زاویه داخلی او برابر با زاویه‌خارجی او است⁦.

اندازه‌گیری زاویه داخلی

یک nضلعی منتظم را درنظر بگیرید.

ابتدا تعداد مثلث هایش را طبق چندضلعی‌ های معروف محاسبه می‌کنیم

• مربع:۲مثلث
• پنج ضلعی منتظم:۳مثلث
• شش ضلعی منتظم:۴مثلث
• هفت ضلعی منتظم:۵مثلث
• هشت ضلعی منتظم:۶مثلث
• نه ضلعی منتظم:۷مثلث
• ده ضلعی منتظم:۸مثلث

طبق این الگو،متوجه می‌شویم که تعداد مثلث ها از تعداد ضلع‌های چندضلعی های منتظم دوتا کمتر است.پس تعداد مثلث درون هر چندضلعی منتظم برابر با این رابطه است.

تعداد مثلث:$n-2$

چون مجموعه زاویه‌هایی داخلی یک مثلث°۱۸۰درجه است پس مجموعه زاویه‌هایی داخلی بر اساس مجموع زاویه های تعداد مثلث های دورن او است.

مجموع زاویه داخلی:$180(n-2)$

اندازه زاویه‌داخلی چندضلعی منتظم برابر با تقسیم تعداد ضلع‌ها است.چون تعداد راس ها با تعداد ضلع‌ها برابر است.

اندازه زاویه‌داخلی:${\frac {180}{n}}(n-2)$

اندازه زاویه خارجی

مجموع زاویه خارجی هر چندضلعی منتظم برابر با۳۶۰ درجه است.پس برای اندازه گیری زاویه خارجی باید ۳۶۰ درجه به تعداد اضلاع چندضلعی منتظم تقسیم کنیم،تا اندازه زاویه آن مشخص گردد.

مجموع زاویه خارجی:360درجه اندازه زاویه خارجی:${\frac {360}{n}}$

مجموع اندازه زاویه داخلی وجه های چندوجهی منتظم

مجموع زاویه داخلی وجه های چندوجهی،چون وجه های آن به صورت چندضلعی منتظم است،به صورت فرمول زاویه داخلی خود چندضلعی حساب می گردد.این زاویه را می گوییم زاویه فضایی داخلی چندوجهی که یه صورت این رابطه است.

اندازه زاویه داخلی چندوجهی منتظم:$n[(n'-2){\frac {180}{n'}}]$

که در اینجاnبرابر با تعداد وجه ها است،و'nتعداد ضلع وجه های چندوجهی منتظم است.

جدول زاویه های داخلی

نام چندضلعی	مجموع زاویه داخلی	اندازه زاویه داخلی	اندازه زاویه خارجی
مثلث متساوی الاضلاع	$180$	$60$	$120$
مربع	$360$	$90$	$90$
پنج ضلعی منتظم	$540$	$108$	$72$
شش ضلعی منتظم	$720$	$120$	$60$
هشت ضلعی منتظم	$1080$	$135$	$45$
نه ضلعی منتظم	$1260$	$140$	$40$
ده ضلعی منتظم	$1440$	$144$	$36$
دوازده ضلعی منتظم	$1800$	$150$	$30$
پانزده ضلعی منتظم	$2340$	$156$	$24$
شانزده ضلعی منتظم	$2520$	$157.5$	$22.5$
بیست ضلعی منتظم	$3240$	$162$	$18$
بیست و چهار ضلعی منتظم	$3960$	$165$	$15$
سی ضلعی منتظم	$5040$	$168$	$12$
سی و دو ضلعی منتظم	$5400$	$168.75$	$11.25$
سی و شش ضلعی منتظم	$6120$	$170$	$10$
چهل ضلعی منتظم	$6840$	$171$	$9$
شصت ضلعی منتظم	$10440$	$174$	$6$
نود ضلعی منتظم	$15840$	$176$	$4$
صد ضلعی منتظم	$17640$	$176.4$	$3.6$
صد و بیست ضلعی منتظم	$21240$	$177$	$3$

منابع

• ریاضیات پایه‌هشتم/فصل سوم/درس چهارم/۱۴۰۱
• ریاضیات پایه‌هشتم/فصل سوم/درس پنجم/۱۴۰۱