نگاهی به ریاضیات پیشرفته/لگاریتم

لُگاریتم (به انگلیسی: Logarithm) یک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = b^y باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت $\log _{b}(x)=y\,$ نمایش می‌دهیم. مانند: $\log _{10}(1000)=3\,.$

لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان‌تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:

$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y).\,$

$\log _{2}(32)=\log _{2}(4)+\log _{2}(8).\,$

مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های لئونارد اویلر در قرن ۱۸ گرفته شده‌است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دهد.

لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را لگاریتم اعشاری می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. لگاریتم در مبنای ثابت e یا عدد نپر ≈ ۲٫۷۱۸ را لگاریتم طبیعی می‌نامند. این لگاریتم در ریاضیات محض به ویژه حساب دیفرانسیل و انتگرال بسیار کاربرد دارد. لگاریتم دو دویی نیز در مبنای ۲ نوشته می‌شود و کاربرد زیادی در علوم رایانه دارد.

به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه دسی‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دادن میزان اسیدی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخالها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کردهمچنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود.

تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع نمایی به کار رفته در اعداد مختلط است. لگاریتم گسسته نیز در رمزنگاری کلید عمومی استفاده می‌شود.

انگیزهٔ اولیه و تعریف

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان بوده‌است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲^۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود.

به توان رساندن

توان سوم عددی مانند b برابر است با ۳ بار ضرب b در خودش. حال اگر b به توان یک عدد طبیعی مانند n برسد به معنی n بار ضرب کردن b در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم

$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}.$

در صورتی که n عدد طبیعی نباشد، آنگاه bⁿ جواب دیگری خواهد داشت. مانند ۱- که b^-۱ برابر معکوس b است. برای جزئیات بیشتر، شامل فرمول b^{m + n} = b^m · bⁿ توان را ببینید یا یک رساله مقدماتی.

تعریف

لگاریتم عددی مانند y در پایهٔ b عبارت است از یافتن عددی که اگر b به توان آن عدد برسد برابر با y شود. به عبارت دیگر جواب x معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم y در پایهٔ b خواهد بود.

$b^{x}=y.\,$

پایهٔ b باید یک عدد حقیقی مثبت و نامساوی ۱ باشد و y نیز باید یک عدد مثبت باشد.

$b^{x}=y.\,$

چند نمونه

نمونهٔ یکم

برای نمونه ۴ = (۱۶) log_۲ چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲^۴

نمونهٔ دوم

برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند:

$\log _{2}\!\left({\frac {1}{2}}\right)=-1,\,$

چون

$2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.$

نمونهٔ سوم

(۱۵۰) log_۱۰ تقریباً برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰^۲ و ۱۰۰۰ = ۱۰^۳ همچنین در هر پایه‌ای $\log _{b}(b)=1$ و $\log _{b}(1)=0$ چون به ترتیب: $b^{1}=b$ و $b^{0}=1$ است.

ویژگی‌های ریاضی

مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم تابع است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند. مانند تابع توان x ام عدد حقیقی b که به صورت زیر نوشته می‌شود:

$f(x)=b^{x}.\,$

تابع لگاریتم

برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر:

$b^{x}=y\,$

دارای راه حل و جواب یکتای x است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و b بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از قضیهٔ مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار m و n را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم. می‌توان نشان داد که در تابع $f(x)=b^{x}\,$ نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y> ۰ که میان دو مقدار $f(x_{0})\,$ و $f(x_{1})\,$ به ازای x_۰ و x_۱ قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک x پیدا کرد که $f(x)=y\,$ باشد؛ بنابراین برای معادلهٔ $y=b^{x}\,$ یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b> ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است.

جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم y در پایهٔ b است.

قرینه تابع لگاریتمی

اگر قرینه تابع $y=log_{2}x$ برابر با $y=log_{2}{-x}$ باشد نسبت به محور yها قرینه هم هستند.

اگر قرینه تابع $y=log_{2}x$ برابر با $y=-log_{2}x$ باشد نسبت به محور xها قرینه هم هستند.

تابع وارون

خم تابع لگاریتم (آبی) و خم تابع توانی (قرمز)

لگاریتم تابع توانی برای هر عدد x به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}(b)=x.$

اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو b باشد جواب نهایی رابطهٔ بالا قطعاً خود x خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت y را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود:

$b^{\log _{b}(y)}=y$

بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ b تابع وارون f(x) = b^x است.

دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع $\log _{b}(x)$ اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای b> ۱ به سمت مثبت بی‌نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع $\log _{b}(x)$ اکیداً صعودی است. به ازای b <۱ اگر x به سمت مثبت بی‌نهایت رود، مقدار تابع $\log _{b}(x)$ به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود. وقتی x به سمت صفر می‌رود مقدار تابع $\log _{b}(x)$ برای b> ۱ به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود و برای b <۱ به سمت مثبت بی‌نهایت می‌رود.

مشتق و پادمشتق

خم تابع لگاریتم طبیعی (سبز) و خط مماس با آن در نقطهٔ x = ۱٫۵ (سیاه)

ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد. پس چون یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت$f(x)=b^{x}$که $log_{b}(y)$ نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطهٔ تیزی (نقطهٔ شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که مشتق $f(x)$ برابر با $ln(b)b^{x}$ است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعدهٔ زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق $log_{b}(x)$ برابر است با:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.$

که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم $log_{b}(x)$ است که برابر است با ${\frac {1}{xln(b)}}$. همچنین مشتق $ln(x)$ برابر با ${\frac {1}{x}}$ است که به این معنی است که پادمشتق ${\frac {1}{x}}$ همان $ln(x)+C$ است. اگر به جای x حالت کلی $f{x}$ را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت:

${\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع f از $ln(f(x))$ استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند. پادمشتق لگاریتم طبیعی $ln(x)$ برابر است با:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید.

بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی t برابر است با انتگرال ${\frac {1}{x}}dx$ از ۱ تا t:

$\ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.$

به عبارت دیگر $ln(t)$ برابر است با سطح میان محور xها و نمودار تابع ${\frac {1}{x}}$ از ۱ = x تا $x=t$ (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج قضیهٔ اساسی حسابان و اینکه مشتق $\ln(x)$، ${\frac {1}{x}}$ است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت. برای نمونه $\ln(tu)=\ln(t)+\ln(u)$ را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت:

$\ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).$

بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد ($w=x/t$). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان‌طور که خم در جهت x کشیده شده (t برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال f(x) = ۱/x از ۱ تا u است با سطح زیر آن از t تا tu برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که $\ln(tu)$ یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع $\ln(t)$ و $\ln(u)$ (سطح زرد و آبی)

اثبات نموداری رابطهٔ ضرب در لگاریتم طبیعی.

رابطهٔ توان $\ln(t^{r})=r\ln(t)$ را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد:

$\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).$

در تساوی دوم تغییر متغیر $w=x^{\frac {1}{r}}$ را داریم.

مجموع وارون‌های اعداد طبیعی:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه n به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر:

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند مرتب‌سازی سریع کمک می‌کند.

حالت کلی

شکل قطبی z = x + iy. هم φ هم φ' هر دو به z مربوط می‌شوند.

عدد مختلط a جواب معادلهٔ زیر، یک لگاریتم مختلط است.

$e^{a}=z\,$

z عددی مختلط است. یک عدد مختلط را به صورت z = x + iy نمایش می‌دهیم که x و y هر دو عددی حقیقی و i یکهٔ موهومی است. چنین عددی را می‌توان با یک نقطه بر روی صفحهٔ مختلط نمایش داد (مانند روبرو). فرم قطبی نمایش دهندهٔ عدد ناصفر مختلط z است که قدر مطلق آن برابر است با فاصلهٔ r تا مبدأ مختصات و زاویهٔ میان خط گذرا از z و مبدأ با محور x زاویهٔ مربوط به این عدد مختلط است. قدر مطلق z همان r است که برابر است با:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$

چون φ' = φ + ۲π پس هم φ و هم 'φ هر دو زاویهٔ مربوط به zاند. تنها یک φ است که در رابطهٔ −π <φ صدق می‌کند که به آن آرگومان اصلی گفته می‌شود و به صورت $Arg(z)$نمایش داده می‌شود. گاهی هم به صورت ۰ ≤ Arg(z) <2π تعریف می‌شود.

با بهره‌گیری از تابع‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس یا شکل نمایی اعداد مختلط به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، r و φ را بالاتر تعریف کردیم:

${\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&re^{i\varphi }.\end{array}}\,$

در آغاز معادله‌ای را بیان کردیم که در آن توان a ام e برابر با z می‌شد. با توجه به آنچه گفته شد، مقدار a برابر خواهد بود با:

$a=\ln(r)+i(\varphi +2n\pi ),\,$

در این رابطه، n هر عدد صحیحی می‌تواند باشد.

منابع

ویکی پدیای فارسی