نگاهی به ریاضیات پیشرفته/مخروط

یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن.

مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.

تعریف ها و تعمیم ها

یک مخروط توسط مجموعه ای از پاره های خط ، نیم خط یا خطوطی تشکیل می شود که یک نقطه مشترک، راس، را به همه نقاط روی یک پایه که در صفحه ای است که راس را شامل نمی شود، متصل می کند. بسته به نویسنده، پایه ممکن است به یک دایره ، هر شکل درجه دوم یک بعدی در صفحه، هر شکل یک بعدی بسته ، یا هر یک از موارد بالا به اضافه تمام نقاط محصور محدود شود. اگر نقاط محصور در پایه قرار گیرند، مخروط یک جسم جامد است . در غیر این صورت دو بعدی استجسم در فضای سه بعدی در مورد یک جسم جامد، مرز تشکیل شده توسط این خطوط یا خطوط جزئی، سطح جانبی نامیده می شود . اگر سطح جانبی نامحدود باشد، سطح مخروطی است .

در مورد پاره های خط، مخروط فراتر از قاعده گسترش نمی یابد، در حالی که در مورد نیمه خطوط، تا بی نهایت فاصله دارد. در مورد خطوط، مخروط در هر دو جهت از راس بی نهایت امتداد دارد، در این صورت گاهی اوقات آن را مخروط دوتایی می نامند.. هر یک از نیمی از مخروط دوتایی در یک طرف راس، ناپ نامیده می شود .

محور یک مخروط ، خط مستقیمی است (در صورت وجود)، که از راس عبور می کند، که قاعده (و کل مخروط) در اطراف آن دارای تقارن دایره ای است .

در استفاده متداول در هندسه ابتدایی ، مخروط ها را دایره راست فرض می کنند ، که در آن دایره به معنای دایره است و راست به این معنی است که محور از مرکز پایه در زوایای قائم به صفحه خود می گذرد.  اگر مخروط دایره ای راست باشد، تقاطع یک صفحه با سطح جانبی یک مقطع مخروطی است. با این حال، به طور کلی، پایه ممکن است به هر شکلی باشد  و راس ممکن است در هر جایی قرار داشته باشد (اگرچه معمولاً فرض می‌شود که پایه محدود است و بنابراین دارای مساحت محدودی است.، و اینکه راس خارج از صفحه قاعده قرار دارد). در تقابل با مخروط‌های راست، مخروط‌های مورب هستند که در آن‌ها محور به‌طور غیر عمود از مرکز قاعده عبور می‌کند.

مخروط با قاعده چند ضلعی هرم نامیده می شود .

بسته به زمینه، "مخروط" ممکن است به طور خاص به معنای مخروط محدب یا مخروط برجسته نیز باشد.

حجم و مساحت

حجم

حجم یک هرم برابر بر این رابطه است که چون سه هرم برابر با حجم منشور است.پس حجم هرم برابر با این رابطه است.

$V={\frac {1}{3}}Sh.$

حجم یک مخروط چون قاعده آن دایره است،به این صورت نوشته می گردد.

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.$

در ریاضیات مدرن، این فرمول را می توان به راحتی با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه کرد - تا مقیاس بندی، انتگرال است.

$$\int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$$بدون استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال، فرمول را می توان با مقایسه مخروط با یک هرم و اعمال اصل کاوالیری - به ویژه، مقایسه مخروط با یک هرم مربع راست (مقیاس عمودی)، که یک سوم مکعب را تشکیل می دهد، اثبات کرد. این فرمول را نمی‌توان بدون استفاده از چنین استدلال‌های بی‌نهایتی اثبات کرد - بر خلاف فرمول‌های دو بعدی برای مساحت چند وجهی، اگرچه شبیه به مساحت دایره است - و از این رو قبل از ظهور حساب دیفرانسیل و انتگرال، اثبات‌های کمتر دقیق‌تری را پذیرفتند، با یونانیان باستان از روش استفاده می‌کردند. فرسودگی . این اساساً محتوای مسئله سوم هیلبرت است - به طور دقیق تر، همه اهرام چند وجهی با قیچی همخوانی ندارند.(می توان آن را به قطعات متناهی تقسیم کرد و به قطعات دیگر مرتب کرد) و بنابراین حجم را نمی توان صرفاً با استفاده از یک آرگومان تجزیه محاسبه کرد

مساحت

مساحت جانبی یک مخروط بر اساس مساحت هرم برابر با این تساوی است.

$A'=\pi rL$

rشعاع مخروط وLکمان مخروط است

ارتفاع اصلی مخروط دایره ای راست، فاصله ای از هر نقطه از دایره قاعده آن تا راس از طریق یک قطعه خط در امتداد سطح مخروط است. توسط آن داده می شود${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$، جایی کهrشعاع پایه است وhارتفاع است این را می توان با قضیه فیثاغورث ثابت کرد.

مساحت کل مخروط بر اساس این رابطه نوشته می گردد.

$A=\pi r^{2}+\pi rL={\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

مساحت کل یعنی مساحت قاعده به علاوه مساحت جانبی

محاسبه کمان مخروط و دور مخروط

اگرrشعاع وhارتفاع باشد.دور و کمان مخروط برابر با این رابطه است.

اگرcدور و Lکمان مخروط باشد،مساحت اینگونه است.

${\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cL}{2}}={\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+L\right)}$

براساس زاویه و ارتفاع راس مساحت مخروط برابر با این رابطه است

$\pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)$

فرم معادلات

سطح یک مخروط را می توان به صورت پارامتربندی کرد

$f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),$

جایی که زاویه تتا برابر با$\theta \in [0,2\pi )$و زاویه اطراف مخروط است و ارتفاع جزئی از اعداد حقیقی باشد یعنی$h\in \mathbb {R}$است.

مخروط دایره ای جامد راست با ارتفاعhو دیافراگم$2\theta$، که محور آن استzمحور مختصات و راس آن مبدا است، به صورت پارامتریک به عنوان توصیف می شود$F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)$

جایی کهu,t,s محدوه بیش از$\in [0,\theta )$$\in [0,2\pi )$$\in [0,h]$، به ترتیب در شکل ضمنی ، همان جامد با نابرابری ها تعریف می شود.

$\{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},$

جایی که$F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,$ به طور کلی، یک مخروط دایره ای راست با راس در مبدا، محور موازی با بردار d و$2\theta$ دیافراگم، توسط معادله برداری ضمنی به دست می آیدجایی که

$F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}$ یا $F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta$

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی