نگاهی به ریاضیات پیشرفته/پیشامدهای مستقل

استقلال یک مفهوم اساسی در نظریه احتمال است، مانند آمار و نظریه فرآیندهای تصادفی. دو رویداد مستقل، مستقل از نظر آماری، یا مستقل از تصادفی هستند. اگر، به طور غیررسمی، وقوع یکی بر احتمال وقوع دیگری تأثیری نداشته باشد یا به طور معادل، بر شانس تأثیری نداشته باشد. به طور مشابه، دو متغیر تصادفی مستقل هستند اگر تحقق یکی بر توزیع احتمال دیگری تأثیر نگذارد. هنگام برخورد با مجموعه‌ای از بیش از دو رویداد، دو مفهوم استقلال باید از هم متمایز شوند. اگر هر دو رویداد در مجموعه مستقل از یکدیگر باشند، رویدادها به صورت زوجی مستقل نامیده می شوند، در حالی که استقلال متقابل (یا استقلال جمعی) رویدادها به معنای غیررسمی این است که هر رویداد مستقل از هر ترکیبی از رویدادهای دیگر در مجموعه است. مفهوم مشابهی برای مجموعه ای از متغیرهای تصادفی وجود دارد. استقلال متقابل مستلزم استقلال دوتایی است، اما نه برعکس. در ادبیات استاندارد تئوری احتمال، آمار و فرآیندهای تصادفی، استقلال بدون صلاحیت بیشتر معمولاً به استقلال متقابل اشاره دارد.

نظریه ها

پیشامد مستقل اجتماع

اگر دو پیشامد احتمالیAوBداشتم و باهم در نظریه مجموعه اجتماع هم دیگر شوند،به این صورت پیشامد نوشته می گردد:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

در این پیشامد مستقل،دو احتمال جمع می گردد و پیشامد مسترک آنها در هم کم می گردد

مثال:

اگر دو پیشامد AوB داشته باشیم و(P(Aو(P(B به ترتیب برابر با یک دوم و یک سوم باشد پیشامد اینگونه بدست می آید:

$P(A\cup B)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2.3}}$

که برابر است با:

$P(A\cup B)={\frac {4}{6}}\lor {\frac {2}{3}}$

پیشامد مشترک

اگر دو پیشامدAوB داشتم و باهم در مجموعه محاسبه اشتراک آنهارا بکنم،در هم ضرب می گردند:

$P(A\cap B)=P(A).P(B)$