نگاهی به ریاضیات پیشرفته/چنبره

چَنبَره (به انگلیسی: torus) در هندسه، نوعی رویه دورانی است که از طریق دوران یک دایره در فضای سه‌بعدی، حول یک محور که با دایره هم‌صفحه است، ایجاد می‌شود.

یک چنبره دورانی

در هندسه

چنبره را می‌توان به صورت پارامتری تعریف کرد:

$x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,$

$y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,$

$z(u,v)=r\sin {v}\,$

که در آن:

• پارامتر u و v در بازه ‎[۰, ۲π)‎ قرار دارند.
• R شعاع از مرکز تا محور چنبره است
• r شعاع چنبره است

در دستگاه مختصات دکارتی می‌توان تعریف کرد:

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!$

که به طور ساده‌تر می‌توان نوشت:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$

A مساحت رویه چنبره از معادله:

$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

و V حجمی که یک چنبره محصور می‌کند از

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,$

بدست می‌آید.

در محور چرخش

اگر محور چرخش با دایره تماس نداشته باشد، سطح به شکل حلقه است و به آن چنبره چرخش می گویند. اگر محور چرخش مماس بر دایره باشد، سطح یک چنبره شاخ است. اگر محور چرخش دو بار از دایره عبور کند، سطح یک چنبره دوکی است. اگر محور چرخش از مرکز دایره عبور کند، سطح یک چنبره منحط، یک کره دوپوشیده است. اگر منحنی چرخان یک دایره نباشد، سطح یک شکل مرتبط، یک حلقوی است. اشیاء دنیای واقعی که به یک چنبره انقلاب نزدیک می شوند عبارتند از حلقه های شنا، لوله های داخلی و حلقه های رینگت. عدسی های عینک که ترکیبی از اصلاح کروی و استوانه ای هستند، لنزهای توریک هستند

چگونگی

یک چنبره را نباید با یک چنبره جامد که با چرخش یک دیسک به جای یک دایره حول یک محور تشکیل می شود، اشتباه گرفت. چنبره جامد یک چنبره به اضافه حجم داخل چنبره است. اشیاء دنیای واقعی که تقریباً به یک چنبره جامد می‌رسند عبارتند از حلقه‌های O-Ring، شناورهای نجات غیر قابل باد کردن، دونات حلقه‌ای و شیرینی.

در توپولوژی

در توپولوژی، یک چنبره حلقوی با حاصلضرب دکارتی دو دایره همومورف است: S1 × S1، و دومی به عنوان تعریف در آن زمینه در نظر گرفته می‌شود. این یک 2 منیفولد فشرده از جنس 1 است. چنبره حلقه یکی از راه‌های جاسازی این فضا در فضای اقلیدسی است، اما راه دیگر برای انجام این کار، حاصلضرب دکارتی تعبیه S1 در صفحه با خودش است. این یک جسم هندسی به نام چنبره کلیفورد، سطحی در 4 فضای ایجاد می کند. در زمینه توپولوژی، چنبره هر فضای توپولوژیکی است که با چنبره همومورف باشد.[1] سطح یک فنجان قهوه و یک دونات هر دو توری توپولوژیکی با جنس یک هستند. نمونه ای از چنبره را می توان با برداشتن یک نوار مستطیلی از مواد انعطاف پذیر، به عنوان مثال، یک ورق لاستیکی، و اتصال لبه بالایی به لبه پایین، و لبه سمت چپ به لبه سمت راست، بدون هیچ گونه پیچ و تاب ساخت (مقایسه کنید نوار موبیوس).

تولید چنبره

کره و چنبره حجم‌هایی‌اند که با چرخاندن دایره حول یک محور ایجاد می‌شوند. با چرخاندن دایره به دور محوری که با آن در یک صفحه باشد چنبره به دست می‌آید. بسته به فاصلهٔ محور چرخش از مرکز دایره $(s)$ سه گونهٔ متفاوت چنبره ایجاد می‌شود. اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره کوچکتر باشد $(s<r)$ و محورْ دایره را در دو نقطه قطع کند حجم حاصل «چنبرهٔ دوکی»، اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره با شعاع دایره مساوی باشد (s=r) و محورْ دایره را در یک نقطه لمس کند حجم حاصل «چنبرهٔ شاخی»، و اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره بیشتر باشد $(s>r)$ و محور با دایره تقاطع نداشته باشد حجم حاصل «چنبرهٔ حلقه‌ای» خواهد بود. چنبرهٔ حلقه‌ای در این میان ویژگی خاصی دارد و آن این است که علاوه بر دو خانوادهٔ دوایر نصف‌النهاری و دوایر موازی، دو خانوادهٔ از دوایر دیگر نیز در آن شکل می‌گیرد (یعنی هر نقطه روی سطح چنبرهٔ حلقه‌ای روی محیط چهار دایره روی سطح آن قرار دارد) که به دوایر ولاسیون موسومند.

اگر محور چرخش بر هر کدام از قطرهای دایره منطبق باشد $(s=0)$ حاصل کره خواهد بود (کره را می‌توان حالت خاص چنبره دانست).

سطوح دورانی تولید‌شده با چرخاندن دایره به دور محور ثابت A

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیاس انگلیسی