هندسه مقدماتی/مساحت و حجم

حجم و مساحت،دو اصول مهم در علم ریاضیات و هندسه و به خصوص در هندسه فضایی است،دوران،مقطع،برش،رسم سه نما،محاط و... از مهم ترین موارد حجم و مساحت است.

تعریف حجم و مساحت

حجم:به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.

مساحت:نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند.

تعریف احجام هندسی

حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.

مساحت و حجم اشکال هندسی

حجم مکعب:$V=a^{3}\;$

مساحت مکعب:$V=6a^{2}\;$

حجم چهار وجهی:${\textstyle V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,}$

مساحت چهاروجهی:$V={{\sqrt {3}}a^{2}\,}$

حجم هشت وجهی منتظم:

$V={\frac {2}{3}}a^{3}$

مساحت هشت وجهی منتظم:

$V={2a^{2}{\sqrt {3}}\,}$

حجم مکعب مستطیل: ${\textstyle {V=abc}}$

مساحت مکعب مستطیل: ${\textstyle A=2ab+2ac+2cb}$

حجم منشور: $V=Sh$

حجم منشور با قاعده چندضلعی: $V={\frac {n}{4}}ha^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}$

مساحت منشور با قاعده چندضلعی:$A={\frac {n}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nah$

حجم استوانه: ${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$

مساحت منشور: $A=\ Ph+2S$

مساحت استوانه: $A=2\pi r(r+h)\,\!$

حجم هرم: $V={\displaystyle {\frac {1}{3}}Sh}$

حجم مخروط: $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

مساحت هرم: $B+{\frac {PL}{2}}\,\!$

مساحت مخروط: $\pi r(r+l)\,\!$

حجم کره: $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

مساحت کره: $4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره(کره گون): ${4 \over 3}\pi r^{2}h$

حجم کره بیضی گون مختلف: ${4 \over 3}\pi abc$