نگاهی به ریاضیات پیشرفته/آنالیز حقیقی

آنالیز حقیقی یا آنالیز واقعی یکی از موارد آنالیز ریاضیات است که به مباحث عددهای حقیقی و محاسبات آنها به همراه تغییرات آنها می‌پردازد. این علم حتی موارد توابع حقیقی را نیز بررسی می‌کند. آنالیز حقیقی برگرفته از آنالیز مختلط است. چون اعداد حقیقی زیر مجموعه اعداد مختلط است.

محدوده

ساخت اعداد حقیقی

قضیه هاب آنالیز واقعی بر اساس ویژگی های سیستم اعداد حقیقی تکیه دارند که حتما باید ایجاد شوند. سیستم اعداد واقعی شامل یک مجموعه غیرقابل شمارش(یعنیR)، همراه با دو عملیات باینری با علامت + و - و یک مرتبه با < . عملیات، اعداد حقیقی را یک فیلد و همراه با ترتیب کردن، یک فیلد مرتب شده حقیقی می سازد. سیستم اعداد واقعی یک فیلد مرتب کامل منحصر به فرد است، به این معنا که هر فیلد مرتب کامل دیگری نسبت به آن هم شکل و شاید متشابه است. به طور شهودی، کامل بودن به این معنی است که هیچ شکافی در اعداد حقیقی وجود ندارد. این ویژگی اعداد واقعی را از سایر فیلدهای مرتب شده متمایز می کند (به عنوان مثال، اعداد گویا[Q]) و برای اثبات چندین ویژگی کلیدی توابع اعداد حقیقی بسیار مهم است. کامل بودن اعداد واقعی اغلب به عنوان ویژگی حداقل کران بالا بیان می شود (به زیر مراجعه کنید).

ترتیب خواص اعداد حقیقی

اعداد حقیقی دارای ویژگی‌های نظری شبکه‌ای مختلفی هستند که در اعداد مختلط وجود ندارند و یافرق دارد. همچنین اعداد حقیقی یک فیلد مرتب تشکیل می دهند که در آن مجموع و حاصل ضرب اعداد مثبت نیز همان مثبت است. علاوه بر این، ترتیب اعداد واقعی کل است و اعداد واقعی دارای کمترین خاصیت کران بالایی و بیشترین خاصیت کران پایینی هستند :

هر زیر مجموعهR غیر خالی از کران بالایی دارد که دارای حداقل کران بالایی و حدااکثر کران پایینی است که آن هم یک عدد حقیقی است.

این ویژگی‌های نظری نظم منجر به تعدادی نتایج اساسی و حقیقی در آنالیز حقیقی می‌شود، مانند قضیه همگرایی یکنواخت و ساختارهای تکراری آن ، قضیه مقدار متوسط.

با این حال، در حالی که نتایج در آنالیز حقیقی برای اعداد حقیقی بیان می شود، بسیاری از این نتایج را می توان به سایر اشیاء ریاضی تعمیم داد. به طور خاص، بسیاری از ایده‌ها در آنالیز تابعی و نظریه عملگرها، ویژگی‌های اعداد حقیقی را تعمیم می‌دهند - چنین تعمیم‌هایی شامل نظریه‌های فضاهای Riesz و عملگرهای مثبت است . همچنین، ریاضیدانان بخش های واقعی و خیالی توالی های پیچیده را در نظر می گیرند یا با ارزیابی نقطه ای دنباله های عملگر .

کلیات

ایده‌های مختلف از آنالیز حقیقی را می‌توان از خط حقیقی به زمینه‌های گسترده‌تر یا انتزاعی تر تعمیم داد. این تعمیم‌ها آنالیز حقیقی را به سایر رشته‌ها و زیرشاخه‌ها پیوند می‌زند. به عنوان مثال، تعمیم ایده‌هایی مانند توابع پیوسته و فشردگی از تحلیل واقعی به فضاهای متریک و فضاهای توپولوژیکی، تحلیل واقعی را به حوزه توپولوژی عمومی متصل می‌کند، در حالی که تعمیم فضاهای اقلیدسی محدود به آنالوگ‌های بی‌بعد منجر به مفاهیم فضاهای باناخ و فضاهای هیلبرت و به طور کلی به تحلیل عملکردی می‌شود.

جورج کانتور بررسی مجموعه‌ها و توالی اعداد حقیقی، نگاشت بین آنها و مسائل اساسی تحلیل واقعی، نظریه مجموعه‌های ساده‌لوحانه را به وجود آورد. مطالعه مسائل مربوط به همگرایی برای دنباله‌ای از توابع در نهایت منجر به تجزیه و تحلیل فوریه به عنوان زیرشاخه‌ای از آنالیز ریاضی شد. بررسی پیامدهای تعمیم تمایزپذیری از توابع یک متغیر واقعی به یک متغیر مختلط، مفهوم توابع هولومورفیک و شروع تحلیل پیچیده را به وجود آورد. از سوی دیگر، تعمیم ادغام از مفهوم ریمان به معنای لبگ منجر به تدوین مفهوم فضاهای اندازه‌گیری انتزاعی شد که یک مفهوم اساسی در نظریه اندازه‌گیری است. در نهایت، تعمیم ادغام از خط حقیقی به منحنی‌ها و سطوح در فضای ابعاد بالاتر (فضای سه بعدی)، باعث مطالعه حساب برداری شد که تعمیم و رسمی‌سازی بیشتر آن نقش مهمی در تکامل مفاهیم اشکال دیفرانسیل و منیفولدهای (؟) صاف (متمایز) ایفا کرد. در هندسه دیفرانسیل و سایر حوزه‌های هندسه نزدیک به هم وتوپولوژی این مبحث کاربردهای زیادی دارد، چون در آنالیز حقیقی در مختصات‌های هندسه دیفرانسیل، در نمادهای خاصیتی توپولوژی استفاده می‌گردد، آنالیز حقیقی در توابع استفاده نیز می‌گردد و تابع را براساس انتگرال به همراه قانون تابع و مختصات‌های تابعی استفاده می‌گردد

منابع

ویکی پدیای انگلیسی