نگاهی به ریاضیات پیشرفته/آنالیز مختلط

آنالیز مختلط که در گذشته به عنوان نظریه توابع یک متغیر مختلط شناخته می‌شد، شاخه‌ای از آنالیز ریاضی است که به بررسی توابع اعداد مختلط می‌پردازد. در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات از جمله هندسه جبری، نظریه اعداد، ترکیبات تحلیلی و ریاضیات کاربردی مفید است؛ و همچنین در فیزیک از جمله شاخه‌های هیدرودینامیک، ترمودینامیک و به ویژه مکانیک کوانتومی. با گسترش، استفاده از تجزیه و تحلیل پیچیده در زمینه‌های مهندسی مانند مهندسی هسته‌ای، هوافضا، مکانیک و برق نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. از آنجایی که یک تابع قابل تمایز یک متغیر مختلط برابر با سری تیلور آن است (یعنی تحلیلی است)، تجزیه و تحلیل پیچیده به ویژه به توابع تحلیلی یک متغیر مختلط (یعنی توابع هولومورفیک) مرتبط است.

تاریخ

آنالیز پیچیده یکی از شاخه‌های کلاسیک ریاضیات است که ریشه در قرن هجدهم و کمی قبل از آن دارد. ریاضیدانان مهم مرتبط با اعداد مختلط عبارتند از: اویلر، گاوس، ریمان، کوشی، وایرشتراس و بسیاری دیگر در قرن بیستم. تجزیه و تحلیل پیچیده، به ویژه تئوری نقشه‌های همگام، کاربردهای فیزیکی زیادی دارد و همچنین در سراسر نظریه اعداد تحلیلی استفاده می‌شود. در دوران مدرن، از طریق بهبود جدید دینامیک پیچیده و تصاویر فراکتال‌ها که با تکرار توابع هولومورفیک تولید می‌شوند، بسیار محبوب شده است. یکی دیگر از کاربردهای مهم آنالیز پیچیده در نظریه ریسمان است که به بررسی متغیرهای همسان در نظریه میدان کوانتومی می‌پردازد.

مفاهیم و قضیه‌های اساسی

تابع مختلط

تابعی است که دامنه تعریف و مقدار آن هر دو پیچیده هستند. بنابراین، یک تابع مختلط طبق تعریف یک تابع است

$f\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\;x+iy\mapsto f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$

از آنجا که $\mathbb {C}$ با $\mathbb {R} ^{2}$ هم‌ارز است، گاهی تعریف $f\colon \,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ نیز بکار برده می‌شود.

این توابع به ویژه در مطالعه هندسه فراکتال ها و علوم مهندسی مانند طراحی مدارها و سیستم های مختلف الکترونیکی و مخابراتی کاربرد زیادی دارند. برخلاف توابع واقعی، توابع پیچیده نمی توانند به صورت هندسی روی صفحه نمایش داده شوند و دو بعدی هستند. راه های مختلفی برای نمایش اعداد مختلط وجود دارد. یکی از راه های نمایش این اعداد استفاده از روش دکارتی است. روش دوم نمایش این اعداد، نمایش استاندارد است. سومین و مهمترین روش نمایش اعداد مختلط نمایش قطبی است. فرمول اویلر، ریاضیدان معروف سوئیسی، نقش کلیدی در نمایش اعداد مختلط به شکل قطبی دارد.

مشتق‌پذیری

به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می‌شود و آن زمانی است که زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه $z_{0}$ وجود داشته باشد. در اینجا مسلماً $z$ یک مقدار مختلط است.

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید. $f(z)=u(z)+iv(z),\quad z=x+iy$:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\quad ,\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

فرمول کوشی

فرمول انتگرال کوشی یا به‌طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {f(z')}{z'-z}}dz'$

در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

بسط دادن

بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

منابع

ویکی پدیا فارسی