نگاهی به ریاضیات پیشرفته/استوانه

یک استوانه

اُستوانه یا سُتوُن یکی از پایه‌ای‌ترین شکل‌های منحنی فضایی در هندسه است که سطح دور آن را مجموعه نقاطی تشکیل می‌دهد که در فاصلهٔ یکسان از یک خط راست قرار دارند، این خط راست محور نام دارد. دو سر این شکل فضایی به کمک دو صفحهٔ عمود بر محور استوانه بسته می‌شود. سطح و حجم استوانه از گذشته‌های دور برای ریاضی‌دانان معلوم بوده‌است.

در هندسهٔ دیفرانسیل یک استوانه را به صورت یک سطح خط‌کشیده تعریف می‌کنند که مولد آن یک دسته خط موازی می‌باشد. استوانه‌ای که مقطع عرضی آن یک بیضی، سهمی یا هذلولی باشد به ترتیب استوانهٔ بیضی‌گون، استوانهٔ سهمی‌گون و استوانهٔ هذلولی‌گون می‌نامند.

انواع

سطح استوانه ای سطحی است متشکل از تمام نقاط روی تمام خطوط که موازی با یک خط معین هستند و از یک منحنی صفحه ثابت در صفحه ای غیر موازی با خط معین عبور می کنند. هر خطی در این خانواده از خطوط موازی، عنصر سطح استوانه ای نامیده می شود. از دیدگاه سینماتیک ، با توجه به یک منحنی مسطح به نام مستقیم ، سطح استوانه‌ای به سطحی گفته می‌شود که توسط خطی به نام ژنراتیکس ترسیم می‌شود ، نه در صفحه مستقیم، که به موازات خود حرکت می‌کند و همیشه از مسیر مستقیم عبور می‌کند. . هر موقعیت خاص ژنراتیکس عنصری از سطح استوانه ای است.

یک استوانه دایره ای راست و مایل جامدی که توسط یک سطح استوانه ای و دو صفحه موازی محدود شده است، استوانه (جامد) نامیده می شود . قطعات خطی که توسط یک عنصر از سطح استوانه ای بین دو صفحه موازی تعیین می شود، عنصر استوانه نامیده می شود . تمام عناصر یک استوانه دارای طول مساوی هستند. ناحیه ای که توسط سطح استوانه ای در هر یک از صفحات موازی محدود شده است، قاعده استوانه نامیده می شود . دو قاعده یک استوانه شکلهای متجانس هستند. اگر عناصر استوانه بر صفحات حاوی پایه عمود باشند، استوانه یک استوانه راست است و در غیر این صورت استوانه مایل نامیده می شود . اگر پایه ها هستنددیسک ها (منطقه هایی که مرز آنها دایره است ) استوانه را استوانه دایره ای می نامند . در برخی از درمان های ابتدایی، استوانه همیشه به معنای استوانه مدور است.

ارتفاع یک استوانه فاصله عمودی بین پایه های آن است.استوانه ای که با چرخاندن یک پاره خط حول یک خط ثابت که موازی با آن است به دست می آید یک استوانه چرخشی است . استوانه چرخشی یک استوانه دایره ای راست است. ارتفاع یک سیلندر چرخشی طول قطعه خط تولید است. خطی که قطعه به دور آن می چرخد، محور استوانه نامیده می شود و از مرکز دو پایه می گذرد.

سیلندرهای دایره ای سمت راست

اصطلاح سیلندر خالی اغلب به یک استوانه جامد با انتهای دایره ای عمود بر محور اشاره دارد، یعنی یک استوانه دایره ای راست، همانطور که در شکل نشان داده شده است. سطح استوانه ای بدون انتهای آن استوانه باز نامیده می شود . فرمول مساحت سطح و حجم استوانه دایره ای راست از دوران باستان شناخته شده است.

یک استوانه دایره‌ای راست را می‌توان به‌عنوان جامد چرخشی که با چرخاندن یک مستطیل به دور یکی از اضلاع آن ایجاد می‌شود، در نظر گرفت. این سیلندرها در یک تکنیک یکپارچه سازی ("روش دیسک") برای به دست آوردن حجم جامدات چرخشی استفاده می شوند.

حجم و مساحت

حجم

قاعده یک استوانه به صورت دایره ای است و نوعی منشور به حساب می آید.

• مساحت دایره(قاعده):$\pi r^{2}$
• ارتفاع:$h$
• حجم استوانه:$\pi r^{2}h$

حجم یک استوانه طبق حجم منشور ها حساب می گردد چون استوانه منشوری است و دوقاعده دارد و دارای ارتفاع نیز هست و قاعده آن نیز دایره ای است پس طبق حجم منشور می نویسیم

$V=Sh=\pi r^{2}h$

حجم استوانه به روش انتگرالی

به طور کلی، بر اساس همین اصل، حجم هر استوانه حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع است. به عنوان مثال، یک استوانه بیضوی با پایه دارای محور نیمه اصلی a ، محور نیمه فرعی b و ارتفاع h دارای حجم V = Ah است که در آن A مساحت بیضی پایه (= π ab ) است. این نتیجه برای استوانه های بیضوی راست را می توان با ادغام نیز به دست آورد، که در آن محور استوانه به عنوان محور x مثبت و A ( x ) = A مساحت هر مقطع بیضوی در نظر گرفته می شود، بنابراین:$V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.$یک جزء از حجم، استوانهٔ راستی است که قاعدهٔ آن مساحتی برابر با Aw_i دارد و ضخامتی برابر با Δ_ix دارد. پس اگر V حجم استوانهٔ دایره‌ای راست باشد، با استفاده از جمع‌های ریمانی داریم:

$\mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x$

$=\int _{0}^{h}A(y)\,dy$

$=\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

با استفاده از مختصات استوانه‌ای حجم را می‌توان بوسیلهٔ انتگرال‌گیری بدست آورد:

$=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

مساحت

با داشتن شعاع r و ارتفاع (ارتفاع) h ، سطح یک استوانه دایره ای سمت راست، به گونه ای که محور آن عمودی باشد، از سه قسمت تشکیل شده است:

• مساحت پایه بالایی:$\pi r^{2}$
• مساحت پایه پایین:$\pi r^{2}$
• مساحت ضلع:$2\pi rh$

مساحت پایه های بالا و پایین یکسان است و مساحت پایه B نامیده می شود . مساحت ضلع به نام ناحیه جانبی ، L شناخته می شود.

یک استوانه باز شامل عناصر بالا و پایین نیست و بنابراین دارای سطح (منطقه جانبی) است.

$2\pi rh$

مساحت استوانه دایره ای راست جامد از مجموع هر سه جزء بالا، پایین و جانبی تشکیل شده است. بنابراین مساحت سطح آن،$A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)$

که در آن d = 2 r قطر بالا یا پایین مدور است .

برای یک حجم معین، استوانه دایره ای سمت راست با کوچکترین سطح دارای h = 2 r است. به طور معادل، برای یک سطح معین، استوانه دایره ای سمت راست با بیشترین حجم دارای h = 2 r است، یعنی استوانه به خوبی در یک مکعب به طول ضلع = ارتفاع (= قطر دایره پایه) قرار می گیرد.

مساحت جانبی، L ، یک استوانه دایره ای، که نیازی به استوانه سمت راست نیست، به طور کلی به صورت زیر نشان داده می شود:

$A=L+2B$

که e طول یک عنصر و p محیط قسمت سمت راست استوانه است.  این فرمول قبلی را برای مساحت جانبی زمانی که استوانه یک استوانه دایره ای راست است، تولید می کند.

خواص

مقاطع استوانه ای

مقطع استوانه ای محل تلاقی سطح استوانه با یک صفحه است. آنها به طور کلی منحنی هستند و انواع خاصی از مقاطع صفحه هستند . مقطع استوانه ای توسط صفحه ای که شامل دو عنصر استوانه است متوازی الاضلاع است.  چنین بخش استوانه ای از یک استوانه راست یک مستطیل است.

مقطع استوانه ای که در آن صفحه متقاطع قطع می شود و بر تمام عناصر استوانه عمود می شود، مقطع راست نامیده می شود .  اگر قسمت سمت راست یک استوانه دایره ای باشد، استوانه یک استوانه دایره ای است. به طور کلی، اگر بخش راست استوانه یک مقطع مخروطی باشد (پارابولا، بیضی، هذلولی) استوانه جامد به ترتیب سهمی، بیضوی و هذلولی گفته می شود.

برای یک استوانه دایره ای راست، راه های مختلفی وجود دارد که هواپیماها می توانند با یک استوانه برخورد کنند. اول، صفحاتی که یک پایه را حداکثر در یک نقطه قطع می کنند. صفحه ای مماس بر استوانه است اگر در یک عنصر با استوانه برخورد کند. بخش های سمت راست دایره هستند و تمام صفحات دیگر سطح استوانه ای را به صورت بیضی قطع می کنند.  اگر صفحه ای پایه استوانه را دقیقاً در دو نقطه قطع کند، پاره خطی که به این نقاط می پیوندد بخشی از بخش استوانه ای است. اگر چنین صفحه ای دارای دو عنصر باشد، یک مستطیل به عنوان بخش استوانه ای دارد، در غیر این صورت اضلاع بخش استوانه ای قسمت هایی از یک بیضی است. در نهایت، اگر صفحه ای بیش از دو نقطه از یک قاعده داشته باشد، کل قاعده را شامل می شود و قسمت استوانه ای یک دایره است.

در مورد یک استوانه دایره ای راست با مقطع استوانه ای که بیضی است، خروج از مرکز e بخش استوانه ای و محور نیمه اصلی a از بخش استوانه ای به شعاع استوانه r و زاویه α بین صفحه سکونت بستگی دارد. و محور سیلندر به روش زیر:

$e=\cos \alpha ,$

$a={\frac {r}{\sin \alpha }}.$

استوانه توخالی دایره ای راست (پوسته استوانه ای)

یک استوانه توخالی دایره ای راست (یا پوسته استوانه ای ) ناحیه ای سه بعدی است که توسط دو استوانه دایره ای راست با محور یکسان و دو پایه حلقوی موازی عمود بر محور مشترک استوانه ها، مانند نمودار، محدود شده است.

بگذارید ارتفاع h ، شعاع داخلی r و شعاع خارجی R باشد. حجم داده شده توسط$V=\pi (R^{2}-r^{2})h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).$بنابراین، حجم یک پوسته استوانه ای برابر 2 π (شعاع متوسط) (ارتفاع) (ضخامت) است.

مساحت سطح، از جمله بالا و پایین، توسط داده می شود

$A=2\pi (R+r)h+2\pi (R^{2}-r^{2}).$

پوسته‌های استوانه‌ای در یک تکنیک ادغام رایج برای یافتن حجم‌های جامد چرخشی استفاده می‌شوند.

محاط کره در استوانه

در رساله به این نام نوشته شده ج. 225 قبل از میلاد، ارشمیدس به نتیجه ای دست یافت که بسیار به آن افتخار می کرد، یعنی به دست آوردن فرمول های حجم و سطح یک کره با بهره برداری از رابطه بین یک کره و استوانه دایره ای سمت راست آن با همان ارتفاع و قطر . حجم کره دو سوم حجم استوانه محدود شده و مساحت سطح دو سوم استوانه (شامل پایه ها) است. از آنجایی که مقادیر سیلندر قبلاً مشخص بود، او برای اولین بار مقادیر مربوط به کره را به دست آورد. حجم کره ای به شعاع r برابر با این رابطه${\frac {2}{3}}2\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ است.طبق مساحت استوانه به ارتفاع و قطر برابر مساوی با این $6\pi r^{2}$ است که با ضرب دوسوم برابربا$4\pi r^{2}$است.به درخواست او یک کره و استوانه حجاری شده بر روی مقبره ارشمیدس گذاشته شد.

معادله استوانه

یک استوانهٔ بیضی‌گون یا بیضوی، یک رویهٔ درجهٔ دوم است که در دستگاه مختصات دکارتی از رابطهٔ زیر پیروی می‌کند:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

رابطهٔ بالا که برای یک برای یک استوانهٔ بیضی‌گون نوشته شده‌است، حالت کلی تر رابطهٔ استوانهٔ دایره ای است (a=b). رابطهٔ عمومی تر استوانه برای حالتی است که سطح مقطع یک خم دلخواه باشد.

رابطهٔ استوانه مربوط به یک رویهٔ درجهٔ دوم است چون حداقل یکی از محورهای مختصات (در این مورد، محور zها) در آن ظاهر نشده‌است.

در یک استوانهٔ مایل قاعده‌های بالا و پایین کمی نسبت به یکدیگر جابه‌جا شده‌اند.

گونه‌های دیگری از استوانه وجود دارد که چندان معمول نیستند. این گونه‌ها عبارتند از استوانه‌های بیضی‌گون پنداری:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1$

استوانه‌های هذلولی‌گون:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

استوانه‌های سهمی‌گون:

${x}^{2}+2a{y}=0\,$

برای نمایش سطح استوانه‌ای به دور یک محور دلخواه:

$v=(\alpha ,\beta ,\gamma )\,$

باید از مختصات کروی استفاده کرد:

$\rho =\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\,$

$\theta =arctan\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)$

$\phi =arcsin\left({\frac {\gamma }{\rho }}\right)$

حال از فرمول آشنای:$A^{2}+B^{2}=R^{2}\,$ استفاده می‌کنیم:

که در آن $A=-xsin(\theta )+ycos(\theta )cos(\phi )+zcos(\theta )sin(\phi )$

و $B=-ysin(\phi )+zcos(\phi )$

و $R$ شعاع استوانه‌است. معمولاً این نتیجه‌ها با استفاده از ماتریس‌های دوران بدست می‌آید.

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی