نگاهی به ریاضیات پیشرفته/جبر و معادله

جبر و معادله،دو واژه عربی هستند که به معنای جبران و تعادل هستند.جبر در ریاضی به مبنای یک عدد انگلیسی یا یونانی یا لاتین به جای اعداد اصلی باشد.معادله به معنای یک ترازه برای دو عبارت که اگر چیزی از عبارت کم شد از عبارت دیگر هم کم شود،یا برعکس اگر بیشتر شد،باید از عبارت دیگر بیشتر شود

خوارزمی،پدرعلم جبر

واژه شناسی

جبر

کلمه جبر از عربی آمده است:(الجبر)«به معنای اتصال مجدد قطعات شکسته،استخوان بندی» از عنوان کتاب اوایل قرن نهم کتاب علم الجبر و المقابله «علم ترمیم و تعادل» توسط ریاضیدان و ستاره شناس ایرانی الخوارزمی. اصطلاح الجبر در اثر او به عملیات جابجایی یک عبارت از یک طرف معادله به سمت دیگر اشاره دارد، المقابلة المقابله «تعادل» به افزودن عبارت مساوی به هر دو طرف اشاره دارد. این کلمه که در لاتین فقط به جبر یا جبر خلاصه شده است، در نهایت در قرن پانزدهم از اسپانیایی، ایتالیایی یا لاتین قرون وسطایی وارد زبان انگلیسی شد. در ابتدا به روش جراحی برای ایجاد استخوان های شکسته یا دررفته اشاره داشت. معنای ریاضی اولین بار (به زبان انگلیسی) در قرن شانزدهم ثبت شد.

معادله

معادله در کتاب خوارزمی از واژه مقابله آمده که به معنای تعادل است.خوارزمی برای تعادل عبارات،الگوریتمی تنظیم کرد که اسم آن مقابله بود که الان به اسم معادله مشهور است.

تعریف معادله

معادله دو نوع است معادله خطی وغیر خطی.البته معادله حجمی هم وجود دارد.معادلاتی که مجهول آن‌ها یک می‌باشد، معادله خطی ومعادلاتی که مجهول آنها دارای توان بیشتر از یک می‌باشد معادله غیر خطی می‌گویند.و معادلاتی که بیش از توان بیشتر دارد،معادله حجمی گویند. در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هردوی آن‌ها متغیر یا متغیرهائی وجود دارند.

معادله‌هائی که فارغ از ارزش (یا مقدار) متغیرها همواره درست باشند، اتحاد نامیده می‌شوند. مثلاً معادله

$x-x=0$

اتحاد است چون $x$ هر چه باشد این برابری همواره درست است؛ ولی معادل

$x+1=2$

اتحاد نیست چون فقط اگر مقدار $x$ عدد ۱ باشد این برابری برقرار است. مقادیری از متغیرها را که باعث برقراری رابطه برابری در معادله می‌شود، «جواب معادله» می‌نامند. مثلاً در مثال قبل عدد ۱ جواب معادله است. پیدا کردن جواب معادله را «حل معادله» می‌نامند.

تعریف جبر

جَبر به همراه نظریه اعداد، هندسه و آنالیز، یکی از وسیع‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. جبر در عمومی‌ترین حالت خود به مطالعه این نمادهای ریاضیاتی می پردازد؛ و ریسمانیست که تقریباً تمام ریاضیات را با هم یکپارچه می کند. این شاخه شامل مباحث زیادی مثل حل معادلات مقدماتی تا مطالعه تجریدهایی چون گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها است. بخش های مقدماتی تر جبر را جبر مقدماتی می نامند؛ و بخش های مدرن آن را جبر مجرد یا جبر مدرن می خوانند. جبر مقدماتی اغلب بخش مهم مطالعه ریاضیات، علوم یا مهندسی به علاوه علوم کاربردی دیگری چون پزشکی و اقتصاد می باشد. جبر مجرد یکی از شاخه های اصلی ریاضیات پیشرفته است که عمدتاً توسط ریاضیدانان حرفه ای مطالعه می شود.

معادله مربعی جواب‌های معادله$ax^{2}+bx+c=0$ را در حالتی که $a$ ناصفر است، بر حسب $a,b$ و $c$ بیان می دارد.