نگاهی به ریاضیات پیشرفته/حد و پیوستگی تابع

حد و پیوستگی،دو روش مهم در علم حسابان است که بررسی و بی نهایتی توابع را با دنباله ها بررسی می کند،این دو روش برای محاسبه انتگرال کاربرد دارد.

تعریف حد

به‌طور کلی مفهوم حد در ریاضیات به این صورت است که اگر ورودی‌های تابع رو به یک عدد نزدیک کنیم خروجی‌های تابع به کدام عدد نزدیک می‌شوند. به عبارت دیگر، در حد، مقادیری از تابع سنجیده می‌شوند که برای دامنه آن مقدار مطلق و قابل شناسایی وجود ندارد، و اعدادی بسیار نزدیک به یک عدد خاص (که آن عدد خاص می‌تواند جزء دامنه تابع نباشد) یا اعدادی بسیار بزرگ (بینهایت) مقدار سنجی می‌شوند. فرض کنید در تابع f مقدار متغیر به یک عدد ثابت به نام a میل کند (یعنی به آن نزدیک شود ولی به آن نرسد) آن‌گاه اگر مقدار تابع آن، به عددی ثابت به نام L میل کند، L حد تابع f در نقطهٔ a خواهد بود؛ گرچه a می‌تواند در دامنهٔ تابع وجود نداشته باشد. به عبارت خیلی ساده‌تر می‌توان گفت حد یک تابع برای یک عدد معین روی محور xها، به ما نشان می‌دهد که در صورت قرار دادن مجموعه اعدادی که در همسایگی خیلی خیلی نزدیک آن عدد معین هستند در xهای ضابطه تابع، yها به چه عددی خیلی خیلی نزدیک می‌شوند (تابع در نهایت به چه عددی خواهد رسید).

کاربرد مفهوم حد در ریاضی در توصیف مقداری است که یک تابع یا دنباله به آن نزدیک می‌شود، هنگامی که ورودی آن تابع یا شمارندهٔ آن دنباله به مقداری مشخص نزدیک می‌شود. حد یک مفهوم اساسی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و در حالت کلی در آنالیز ریاضی است و در تعریف پیوستگی، مشتق و انتگرال کاربرد دارد. موضوع حد، به منظور بیان رفتار یک تابع می‌پردازد و می‌تواند رفتار آن را در نقاط روی صفحه یا در بی‌نهایت هم ارزیابی کند.

مفهوم حد یک دنباله به حالت کلی تر حد شبکهٔ مکان‌شناسی گسترش می‌یابد و ارتباط نزدیکی با حد و حد مستقیم در نظریهٔ رده‌ها دارد.

ریاضی‌دانان پیش از آنکه مفهوم دقیق‌تر حد را ارائه کنند، در مورد آن مجادله‌های بسیار کرده‌اند. یونانی‌ها در عصر باستان درکی از مفهوم حد داشته‌اند. برای نمونه ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از پیرامون چند ضلعی‌های منتظم محاط در دایره به شعاع یک، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می‌یابد به دست می‌آورد. در قرون وسطی نیز تا دورهٔ رنسانس مفهوم حد برای بدست آوردن مساحت شکل‌های گوناگون بکار گرفته می‌شد.

در نوشتار ریاضی حد را گاهی به صورت lim نمایش می‌دهند مانند lim(an) = a، گاهی با یک پیکان رو به راست (→) نمایش می‌دهند مانند: an → a و گاهی هم به فارسی حد می‌نویسند.

تعریف پیوستگی

در ریاضیات، تابع پیوسته تابعی است به طوری که یک تغییر پیوسته (یعنی تغییر بدون جهش) آرگومان، تغییر پیوسته مقدار تابع را القا می کند. این بدان معنی است که هیچ تغییر ناگهانی در ارزش وجود ندارد که به عنوان ناپیوستگی شناخته می شود. به طور دقیق تر، یک تابع پیوسته است در صورتی که بتوان تغییرات دلخواه کوچک در مقدار آن را با محدود کردن به تغییرات به اندازه کافی کوچک آرگومان آن تضمین کرد. تابع ناپیوسته تابعی است که پیوسته نباشد. تا قرن 19، ریاضیدانان عمدتاً بر مفاهیم شهودی تداوم تکیه می کردند و فقط توابع پیوسته را در نظر می گرفتند. تعریف اپسیلون-دلتا از یک حد برای رسمی کردن تعریف تداوم معرفی شد.

پیوستگی یکی از مفاهیم اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال و تحلیل ریاضی است که در آن آرگومان ها و مقادیر توابع اعداد واقعی و مختلط هستند. این مفهوم به توابع بین فضاهای متریک و بین فضاهای توپولوژیکی تعمیم داده شده است. دومی کلی ترین توابع پیوسته هستند و تعریف آنها اساس توپولوژی است. یک شکل قوی‌تر از تداوم، تداوم یکنواخت است. در نظریه نظم، به ویژه در نظریه حوزه، مفهوم مرتبط با پیوستگی، تداوم اسکات است.

به عنوان مثال، تابع (H(t که نشان دهنده ارتفاع یک گل در حال رشد در زمان t است پیوسته در نظر گرفته می شود. در مقابل، تابع (M(t که مقدار پول موجود در یک حساب بانکی را در زمان t نشان می‌دهد، ناپیوسته در نظر گرفته می‌شود، زیرا در هر نقطه از زمان که پول واریز یا برداشت می‌شود، "پرش" می‌کند.

منابع

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Continuous_function

https://fa.m.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%AF_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)

در حال تحقیق...