نگاهی به ریاضیات پیشرفته/چندوجهی

چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف و منظم(هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

تعریف ها

چندوجهی های محدب تعریف شده اند و خود چندوجهی های محدب نیز خوش تعریف و قابل محاسبه حجم و مساحت هستند و می توان جز احجام هندسی به کار برد. اما چندوجهی های مقعر جز احجام غیر هندسی هستند و تعریف آنها سخت و خیلی سخت است و فرمول مساحت و حجم ثابت نیز ندارند.احجام هندسی و غیرهندسی از نوع چندوجهی ها هستند ولی تفاوت آنها در مقعر و محدب بودن آنها است.

از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• یک تعریف متداول و تا حدودی ساده از چند وجهی این است: شیء جامدی که سطوح بیرونی آن را می‌توان با تعداد زیادی وجه پوشش داد یا اینکه یک جامد است که به صورت اتحاد چندوجهی‌های محدب شکل گرفته‌است. ارتقاء طبیعی این تعریف مستلزم این است که جامد مورد بحث کراندار بوده، فضای داخلی آن و احتمالاً مرز آن نیز همبند باشند. وجوه چنین چندوجهی ای را می‌توان به عنوان فضای همبند قسمتهای مرز درون هر یک از صفحاتی که آن را پوشانده‌اند، و ضلع‌ها و رئوس آنها را به عنوان بخشهای خط و نقاطی که وجوه در آنها به هم می‌رسند، تعریف کرد. با این حال، چندوجهی تعریف شده به این روش شامل چندوجهی‌های ستاره ای متقاطع نیست که ممکن است وجوه آن را چندضلعی‌های ساده تشکیل ندهند و برخی از ضلع‌های آن متعلق به بیش از دو وجه باشد.
• تعاریف مبتنی بر ایده سطح محدود کننده و نه جامد نیز معمول است. به عنوان مثال، اورورک (۱۹۹۳) چندوجهی را به عنوان اجتماع چندضلعی‌های محدب (وجوه آن) تعریف می‌کند. این چند ضلعی‌ها به گونه‌ای در فضا آرایش یافته‌اند که تقاطع (یا اشتراک) هر دو چندضلعی یک راس یا ضلع مشترک یا مجموعه تهی است، به طوری که اجتماعشان یک منیفلد است. اگر یک قسمت مسطح از چنین رویه‌ای خود چندضلعی محدبی نباشد، اورورک این شرط را می‌گذارد که آن قسمت باید به قطعاتی تقسیم‌بندی شوند که هر کدام چندضلعی‌های محدب کوچکتری بوده به گونه‌ای که زوایای دووجهی بینشان تخت باشند. تا حدودی به‌طور کلی تر، برانکو گرونباوم یک چندوجهی را به عنوان مجموعه‌ای از چندضلعی‌های ساده تعریف می‌کند که یک منیفلد تعبیه شده را تشکیل می‌دهند، با هر راس که حداقل سه ضلع به آن می‌رسد و هر دو وجه فقط در راس‌ها و ضلع‌های مشترک هر یک از هم تلاقی می‌کنند. کتاب چندوجهی‌های کرامول تعریف مشابهی ارائه می‌دهد اما بدون محدودیت حداقل سه ضلع در هر راس. باز هم، این نوع تعریف شامل چندوجهی‌های متقاطع نیست مفاهیم مشابه اساس تعاریف توپولوژیک از چند وجهی را تشکیل می‌دهند، به عنوان زیرمجموعه‌های یک منیفلد توپولوژیکی به دیسک‌های توپولوژیک (وجه‌ها) که تقاطع‌های دوتایی آنها به صورت نقطه (رئوس)، قوس‌های توپولوژیکی (ضلع‌ها) یا مجموعه تهی است. با این حال، چندوجهی توپولوژیکی (حتی با مثلث‌های تمام وجه) وجود دارد که نمی‌توان آنها را به عنوان چند وجهی هندسی درک کرد.
• تعریف مدرن تری مبتنی بر نظریه چندوجهی‌های مجرد نیز رواج دارد. این چندوجهی‌ها را می‌توان به صورت مجموعه‌هایی با ترتیب جزئی تعریف نمود، به گونه ای که عناصر آنها راس‌ها، ضلع‌ها و وجه‌های یک چند وجهی هستند. هنگامی که راس یا ضلع کوچکتر از ضلع یا وجه باشد، یک عنصر راس یا ضلع کمتر از عنصر ضلع یا وجه است (به این ترتیب جزئی). علاوه بر این، ممکن است یکی از عناصر زیرین ویژه این ترتیب جزئی (نشان دهنده مجموعه تهی) و یک عنصر بالا نشان دهنده کل چندوجهی باشد. اگر بخشهای ترتیب جزئی بین عناصر سه وجه از هم فاصله داشته باشند (یعنی بین هر وجه و عنصر پایین و بین عنصر بالا و هر راس) ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک چند ضلعی را دارند، سپس این مجموعه‌هایی که مرتب شده‌اند دقیقاً همان اطلاعات را با چند وجهی توپولوژیکی حمل می‌کنند. با این حال، این الزامات اغلب سهل گیرانه هستند، در عوض فقط به این نیاز است که مقاطع بین عناصر دو وجه از یکدیگر دارای ساختار مشابه نمایش انتزاعی یک بخش خط باشند. (این بدان معنی است که هر ضلع شامل دو رأس است و به دو وجه تعلق دارد و هر رأس در یک وجه به دو ضلع آن وجه تعلق دارد) چند وجهی هندسی، که به روشهای دیگر تعریف شده‌است، می‌تواند به صورت انتزاعی از این طریق توصیف شود، اما همچنین می‌توان از چندوجهی انتزاعی به عنوان اساس تعریف چندوجهی هندسی استفاده کرد. تحقق یک چندوجهی انتزاعی به‌طور کلی به عنوان نگاشتی از رئوس چندوجهی انتزاعی به نقاط هندسی در نظر گرفته می‌شود، بدین ترتیب که نقاط هر وجه به صورت همسطح است. پس می‌توان یک چندوجهی هندسی را به عنوان تحقق چندوجهی انتزاعی تعریف کرد. تحققاتی که الزام مسطح بودن را حذف می‌کنند، الزامات اضافی تقارن را تحمیل کرده یا رئوس را به فضاهای ابعاد بالاتر می‌نگارند نیز در نظر گرفته شده‌اند. تعریف اخیر، برخلاف تعاریفی که بر مبنای جامدات و رویه‌ها ارائه شده‌اند، برای چندوجهی ستاره ای کاملاً مناسب می‌باشد. با این حال، بدون محدودیت‌های اضافی، این تعریف اجازه می‌دهد تا چندوجهی تبهگن یا بی‌وفا (به عنوان مثال، با نگاشت تمام رئوس در یک نقطه واحد) ساخت و این سؤال که: «چگونه تحقق بخشی از این‌ها را محدود کنیم تا از این تبهگنی‌ها جلوگیری شود؟» نیز لاینحل باقی مانده‌است.

در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.

زاویا

1. زاویه مسطحه:به هر کدام از زوایای گوشه وجوه چندضلعی‌های چندوجهی زاویه مسطحه گویند.
2. زاویه فضایی:به هر کدام از زوایایی که چندوجهی در فضای سه بعدی روی رأس می‌پوشاند زاویه فضایی گویند. هر کدام از این زوایا با سه یا بیشتر از ۳ زاویه زاویه صاف محصور شده‌اند.
3. زاویه دووجهی:به هر کدام از زوایایی که بین دو وجه چندوجهی پدید آیند، زاویه دووجهی گویند.

سطح چندوجهی

«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.

اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.

مقدمات

منظور از مقدمات،موارد جزئی است که به صورا ساده تعریف می کنیم.

وجه

در چندوجهی‌ها، وجه (به انگلیسی: Face) هر يك از چندضلعی هاى داراى مساحت^۱ است که بخشی از مرز یک جسم جامد را تشکیل می دهد. یک جامد سه بعدی که منحصراً توسط وجوه محدود شده است یک چندوجهی است.

در روش‌های فنی‌تر هندسه چند وجهی‌ها و پلی‌توپ‌های با ابعاد بالاتر ، این اصطلاح همچنین به معنای عنصری از هر بعد از یک پلی‌توپ عمومی‌تر (در هر تعداد ابعاد) استفاده می‌شود.

راس

رَأس (به عربی: رأس) (به انگلیسی: vertex) در هندسه، نقطه‌ای است که دو پهلوی مستقیم از یک چندضلعی باز یا بسته به هم می‌رسند. به‌ زبان دیگر، رأس، نوکِ گوشه‌ها یا برخوردگاه‌های خطوط یک شکل هندسی است. از پیوند دادن دو رأس به همدیگر یک خط و از پیوند دادن سه رأس به هم یک سطح پدید می‌آید.

در مدل‌های سه‌بعدی گرافیک رایانه‌ای از رأس‌ها معمولاً برای تعریف سطوح (معمولاً سه‌گوش‌ها) استفاده می‌شود و هر یک از رأس‌ها در این مدل‌ها به عنوان یک بُردار نشان داده می‌شود. در نظریه گراف رأس را گره نیز می‌نامند.

تعداد رئوس هر چندضلعی در صفحه برابر تعداد اضلاع آن است.

ضلع

در هندسه، ضِلع یا بَر یا لَبه پاره‌خطی است که دو رأس مجاور را در یک چندضلعی به هم پیوند دهد؛ بنابراین در عمل، یک ضلع رابطی برای یک پاره‌خط یک‌بعدی و دو شی صفر بعدی است.

ضلع به خط‌های سازنده هر شکل گویند که اغلب تعداد آن‌ها در هر شکل نسبت به اشکال دیگر متفاوت است.برای نمونه مثلث، ۳ ضلع و مربع و مستطیل ۴ ضلع دارند.

توالیِ بستهٔ مسطح از ضلع‌ها، یک چندضلعی (و یک وجه) را شکل می‌دهد. در یک چندوجهی، در هر ضلع دقیقاً دو وجه با یکدیگر تماس دارند، در حالی که در چندبرهای با ابعاد بالاتر، سه یا تعداد بیشتری از وجه‌ها در هر ضلع با یکدیگر تماس دارند.^۲

زوایا

زاویه صاف (به انگلیسی: plane angle) زاويه گوشه يك وجه چندضلعی است.

زاویه فضایی (به انگلیسی: solid angle) زاويه اى در فضاى سه بعدی است كه چندوجهى روى رأس مى پوشاند.اين زاويه با سه يا بيشتر از ٣ زاويه زاویه صاف محصور شده.

زاویه دووجهی (به انگلیسی: dihedral angle) زاويه بين دو وجه مجاور است

---

^{۱.وجه های جانبی دارای مساحت رویه است}

^{۲.منظور از تماس به خاطر مشترک بودن راس آنها است.}

مفاهیم

چندوجهی محدب

چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:

• برای هر جفت از نقاط جسم، خطی که آنها را به هم وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است (این تعریف معمول مجموعه محدب در فضا است).
• برای هر جفت رأس، خطی که آنها را به وصل می‌کند کاملاً در جسم موجود است.
• صفحه حاوی هر وجه، فضا را به دو نیمه تقسیم می‌کند و چند وجهی کاملاً در یکی از این دو نیمه قرار دارد.

چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.

اسکلت چندوجهی

رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.

اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد.

تور

تورِ یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.تور شکل گسترده چندوجهی است.

در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است.

ویژگی ها و مشخصه ها

تعداد وجوه چندوجهی

چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron (چهاروجهی) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron (پنج‌وجهی) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron (شش‌وجهی) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.

زاویه داخلی چندوجهی

چندوجهی ها از چندضلعی های منتظم درست شده اند. چندوجهی ها مثل چندضلعی ها زاویه داخلی و خارجی دارند.

زاویه داخلی چندوجهی ها بر اساس تعداد وجوه و اضلاع راس بدست می آید.

مثلا چهاروجهی چهار تا مثلث متساوی الاضلاع دارد و اندازه زاویه داخلی وجه آن 60 درجه است و مجموع زاویه داخلی آن برابر با180درجه است.ولی چهاروجهی مجموع زاویه داخلی فضایی اش برابر با720 درجه است.

پس مجموع زاویه داخلی و اندازه زاویه داخلی به ترتیب بر این اساس نوشته می گردد.

$180n[(n'-2)]$

${\frac {180}{n'}}n[(n'-2)]$

شکل و گوشه ها

برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.

نماد رأس

نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.

نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.

پیکربندی وجه

دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا ^۲(۳٫۴)V است.

حجم

جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.

حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.

به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:

${\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,$

که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است،  نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده،  بردار واحد عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب ضرب داخلی است.

مساحت

مساحت چندوجهی های منتظم دارای یک مساحت رویه دارند.وجه‌های چندوجهی منتظم٬چندضلعی منتظم است.چندوجهی های ثابت مثل منشور٬هرم٬متوازی‌السطوح مساحت های ثابتی دارند.هرم ها و منشورهای چندوپهلو نیز بر اساس مساحت منشور بدست می‌آید اما چون قاعده منشور٬چندضلعی منتظم می‌باشد٬براساس مجموع مساحت چندضلعی و مساحت جانبی منشور(محیط چندضلعی×ارتفاع)بدست می‌آید.

مساحت چندوجهی:$n[{\frac {1}{4}}n'a^{2}cot({\frac {\pi }{n'}})]$.

nدر اینجا تعداد وجه و'nتعداد ضلع چندضلعی است عددπدر اینجا برحسب رادیان است

نماد اشلفلی

نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.

چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.

نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.

چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.

تقارن

بسیاری از چندوجهی‌های مورد مطالعه بسیار متقارن هستند، یعنی با انعکاس یا چرخش فضا، شکل ظاهری آنها تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن‌ها ممکن است محل یک راس، وجه یا ضلع معین را تغییر دهد، اما مجموعه تمام رئوس (به همین ترتیب وجوه، اضلاع) بدون تغییر است. مجموعه تقارن‌های چندوجهی را گروه تقارن آن می‌نامند.

گفته می‌شود که تمام اجزایی که توسط تقارن‌ها بر روی یکدیگر قرار می‌گیرند، یک مدار تقارن را تشکیل می‌دهند. به عنوان مثال، تمام وجه‌های مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام ضلع‌ها در مدار دیگر قرار دارند. اگر تمام اجزا یک بعد معین، مثلاً تمام وجه‌ها، در یک مدار قرار بگیرند، گفته می‌شود که شکل در آن مدار متقارن است. به عنوان مثال، یک مکعب وجه -متقارن است، در حالی که یک مکعب بریده شده دارای دو مدار تقارن وجه است.

گروه‌های تقارنی

بسیاری از تقارن‌ها یا گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد با نام تقارن مرتبط با چند وجهی نامگذاری شده‌اند. این گروه‌های تقارنی شامل:

• T – تقارن چهاروجهی دست‌سان:گروه چرخشی برای چهاروجهی منتظم
• T_d – تقارن چهاروجهی کامل:گروه تقارنی چهاروجهی منتظم
• T_h – تقارن پیریتووجهی:تقارن یک پیریتووجهی (دوازده وجهی با وجوه پنج ضلعی غیر منتظم)
• O – تقارن هشت وجهی دست‌سان:گروه چرخشی مکعب و هشت وجهی
• O_h – تقارن هشت وجهی کامل:گروه تقارنی مکعب و هشت وجهی
• I – تقارن بیست وجهی دست‌سان:گروه چرخشی بیست وجهی و دوازده وجهی
• I_h – تقارن بیست وجهی کامل:گروه تقارنی بیست وجهی و دوازده وجهی
• C_nv – تقارن هرم n-پهلو
• D_nh – تقارن منشور n-پهلو
• D_nv – تقارن پادمنشور n-پهلو

تقارن‌های دست‌سان تقارن انعکاسی ندارند از این رو دارای دو شکل متقارن هستند که بازتابی از یکدیگر هستند.

خانواده‌های مشهور چندوجهی‌ها

منشوروار

چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:

هرم	گوه	متوازی‌السطوح	منشور	پاد منشور			گنبد	هرم ناقص

حجم منشوروار از رابطه $V={\frac {h(A_{1}+4A_{2}+A_{3})}{6}}$ حاصل می‌شود که در آن V حجم، A₁ و A₃ مساحت دو وجه موازی، A₂ مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.

در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.

• هرم:

با اتصال رئوس چند ضلعی B (قاعده) در صفحهٔ P به نقطهٔ v «هرم» تشکیل می‌شود. با برش هرم توسط صفحهٔ E موازی P «بریدهٔ هرمی» ساخته می‌شود. با قرار دادن یک هرم بر روی یک بریدهٔ هرمی، می‌توان ابلیسک ساخت.

«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از اکستروژن مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.

روابط: در هرمی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V همواره رابطه $V={1 \over 3}Sh$ برقرار است.

• گوه:

گوه

گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.

روابط: در گوه مقابل با حجم V همواره رابطه $V=bh\left({\frac {a}{3}}+{\frac {c}{6}}\right)$ برقرار است.

• متوازی‌السطوح:

متوازی‌السطوح

از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای ${\vec {a}}$ و ${\vec {b}}$ و ${\vec {c}}$ شکل زیر محاسبه می‌گردد:

روابط: از آنجا که متوازی السطوح منشوری ناقائم با قاعده متوازی الاضلاع است، بنابرین حجم برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده S در ارتفاع h است.

می‌دانیم:$S=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin \gamma =|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~$ و:$h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos \theta ~|~$ که در اثر یکی شدن:

$V=B\cdot h=(|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \gamma )\cdot |{\vec {c}}||\cos \theta ~|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|~|{\vec {c}}|~|\cos \theta ~|=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|~.$

• منشور

با اکستروژن (بیرون کشیدن) مرکزی، موازی، و موازی راست می‌توان هرم، منشور، و منشور راست ساخت.

منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک متوازی‌الاضلاع است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است. اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی مستطیل هستند. اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام مکعب مستطیل تشکیل می‌شود.

برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.

روابط: در منشور راستی به مساحت قاعده S و ارتفاع h و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

$V=Sh$

$A=2S+Ph$

همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:

$V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

$A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\left({\frac {\pi }{n}}\right)}+nsh$

• پادمنشور:

پادمنشور شش ضلعی

پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.

روابط: در پاد منشوری با وجوه چندضلعی منتظم و قاعده n-ضلعی و طول ضلع a و حجم V و مساحت کل A همواره روابط زیر برقرارند:

$V={\frac {n{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{2n}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{2n}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}~a^{3},$

$A={\frac {n}{2}}\left(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}.$

• گنبد:

گنبد مثلثی

گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.

• هرم ناقص:

هرم ناقص پنج‌ضلعی

یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ ابلیسک نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.

روابط: در هرم ناقصی با مساحت قاعده هرم اولیه B1 و ارتفاع هرم اولیه h1 و مساحت قاعده هرم بریده شده B2 و ارتفاع هرم بریده شده h2 و حجم V همواره رابطه $V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}}$ برقرار است. همچنین در مخروط ناقص راستی با شعاع دو قاعده r1 و r2 و سهم h مساحت کل از رابطه زیر به دست می‌آید:

${\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}$

مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:

$A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]$

• کره

نگارهٔ یک کره به صورت توپولوژی

کره ازنوع احجام‌هندسی است.کره مجموعه‌نقاطی از فضا است که فاصله مرکز کره تا نقاط‌کره را شعاع آن‌گویند.شکل‌فیزیکی یا اسکلتی کره به‌صورت دایره‌ای است که‌درون آن یک‌بیضی قرار دارد.کره از نوع چندوجهی‌ها است ولی‌از نوع منتظم یاد‌ نشده‌است،چون وجه های کره از چندضلعی منتظم نیست و دارای‌انحنا است.کره می‌تواند چندوجهی هارا محاط کند وبر اساس همین محاط‌کردن می‌توانیم حجم چندوجهی ‌هارا محاسبه کرد.اگرچندوجهی در کره محاط شود قطر‌ چندوجهی منتظم با قطر کره برابر می‌شود.

حجم‌کره و مساحت‌کره به این‌صورت است:

$\!V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

$\!A={4}\pi r^{2}$

رابطه مساحت‌کره و حجم‌کره به این‌صورت است که با مشتق حجم‌کره،مساحت‌کره بدست‌می‌آید ولی با انتگرال‌گیری مساحت‌کره،حجم کره بدست‌می‌آید.

چندوجهی منتظم

چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند. در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.

اجسام افلاطونی

چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.

تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.

مشخصات اجسام افلاطونی

n	جسم افلاطونی	تصویر	شکل وجه و پیکربندی آن	شکل گوشه و نماد آن	تعداد وجه	تعداد یال	تعداد رأس	دوگانش	نماد اشلفلی
۱	چهاروجهی منتظم		V۳٬۳٬۳	۳٬۳٬۳	۴	۶	۴	چهاروجهی منتظم	{۳٬۳}
۲	شش‌وجهی منتظم (مکعب)		V۳٬۳٬۳٬۳	۴٬۴٬۴	۶	۱۲	۸	هشت‌وجهی منتظم	{۴٬۳}
۳	هشت‌وجهی منتظم		V۴٬۴٬۴	۳٬۳٬۳٬۳	۸	۱۲	۶	مکعب	{۳٬۴}
۴	دوازده‌وجهی منتظم		V۳٬۳٬۳٬۳٬۳	۵٬۵٬۵	۱۲	۳۰	۲۰	بیست‌وجهی منتظم	{۵٬۳}
۵	بیست‌وجهی منتظم		V۵٬۵٬۵	۳٬۳٬۳٬۳٬۳	۲۰	۳۰	۱۲	دوازده‌وجهی منتظم	{۳٬۵}

اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:

• همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
• که هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
• تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

چندوجهی کپلر-پوآنسو

هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.

چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.

مشخصات چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو

n	چندوجهی کپلر-پوآنسو	تصویر	شکل وجه و پیکربندی آن	شکل گوشه و نماد آن	تعداد وجه	تعداد یال	تعداد رأس	دوگانش	نماد اشلفلی
۱	دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک		V۵٬۵٬۵٬۵٬۵	۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲	۱۲	۳۰	۱۲	دوازده‌وجهی بزرگ	{۵/۲٬۵}
۲	دوازده‌وجهی بزرگ		V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲٬۵/۲	۵٬۵٬۵٬۵٬۵	۱۲	۳۰	۱۲	دوازده‌وجهی ستاره‌ای کوچک	{۵٬۵/۲}
۳	دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ		V۳٬۳٬۳٬۳٬۳	۵/۲٬۵/۲٬۵/۲	۱۲	۳۰	۲۰	بیست‌وجهی بزرگ	{۵/۲٬۳}
۴	بیست‌وجهی بزرگ		V۵/۲٬۵/۲٬۵/۲	۳٬۳٬۳٬۳٬۳	۲۰	۳۰	۱۲	دوازده‌وجهی ستاره‌ای بزرگ	{۳٬۵/۲}

اجسام ارشمیدسی

گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.

مشخصات اجسام ارشمیدسی

n	جسم ارشمیدسی	تصویر	شکل گوشه و نماد آن	تعداد وجه	تعداد یال	تعداد رأس	دوگانش (جسم کاتالان)
۱	چهاروجهی بریده‌شده		۶٬۳٬۶	۸	۱۸	۱۲	دوازده‌مثلث وجهی
۲	مکعب بریده‌شده		۸٬۳٬۸	۱۴	۳۶	۲۴	بیست‌وچهار مثلث وجهی
۳	مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده		۶٬۸٬۴	۲۶	۷۲	۴۸	چهل وهشت مثلث وجهی
۴	هشت‌وجهی بریده‌شده		۶٬۴٬۶	۱۴	۳۶	۲۴	شش‌وجهی تتراکیس
۵	دوازده‌وجهی بریده‌شده		۱۰٬۳٬۱۰	۳۲	۹۰	۶۰	بیست‌وجهی تریاکیس
۶	بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده		۶٬۱۰٬۴	۶۲	۱۸۰	۱۲۰	صد و بیست‌مثلث وجهی
۷	بیست‌وجهی بریده‌شده		۶٬۵٬۶	۳۲	۹۰	۶۰	شصت‌مثلث وجهی
۸	مکعب‌هشت‌وجهی		۳٬۴٬۳٬۴	۱۴	۲۴	۱۲	دوازده‌لوزوجهی
۹	بیست‌دوازده‌وجهی		۳٬۵٬۳٬۵	۳۲	۶۰	۳۰	سی لوزوجهی
۱۰	لوزمکعب‌هشت‌وجهی		۴٬۴٬۴٬۳	۲۶	۴۸	۲۴	بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی
۱۱	لوزبیست‌دوازده‌وجهی		۴٬۵٬۴٬۳	۶۲	۱۲۰	۶۰	شصت‌چهار ضلعی وجهی
۱۲	مکعب اسناب		۳٬۴٬۳٬۳٬۳	۳۸	۶۰	۲۴	بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی
۱۳	دوازده‌وجهی اسناب		۳٬۵٬۳٬۳٬۳	۹۲	۱۵۰	۶۰	شصت‌پنج ضلعی وجهی

اجسام کاتالان

اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.

مشخصات اجسام کاتالان

n	جسم کاتالان	تصویر	شکل وجه و پیکربندی آن	تعداد وجه	تعداد یال	تعداد رأس	دوگانش (جسم ارشمیدسی)
۱	دوازده‌مثلث وجهی		V۶٬۳٬۶	۱۲	۱۸	۸	چهاروجهی بریده‌شده
۲	بیست‌وچهار مثلث وجهی		V۸٬۳٬۸	۲۴	۳۶	۱۴	مکعب بریده‌شده
۳	چهل وهشت مثلث وجهی		V۶٬۸٬۴	۴۸	۷۲	۲۶	مکعب‌هشت‌وجهی بریده‌شده
۴	شش‌وجهی تتراکیس		V۶٬۴٬۶	۲۴	۳۶	۱۴	هشت‌وجهی بریده‌شده
۵	بیست‌وجهی تریاکیس		V۱۰٬۳٬۱۰	۶۰	۹۰	۳۲	دوازده‌وجهی بریده‌شده
۶	صد و بیست‌مثلث وجهی		V۶٬۱۰٬۴	۱۲۰	۱۸۰	۶۲	بیست‌دوازده‌وجهی بریده‌شده
۷	شصت‌مثلث وجهی		V۶٬۵٬۶	۶۰	۹۰	۳۲	بیست‌وجهی بریده‌شده
۸	دوازده‌لوزوجهی		V۳٬۴٬۳٬۴	۱۲	۲۴	۱۴	مکعب‌هشت‌وجهی
۹	سی لوزوجهی		V۳٬۵٬۳٬۵	۳۰	۶۰	۳۲	بیست‌دوازده‌وجهی
۱۰	بیست‌وچهار چهار ضلعی وجهی		V۴٬۴٬۴٬۳	۲۴	۴۸	۲۶	لوزمکعب‌هشت‌وجهی
۱۱	شصت‌چهار ضلعی وجهی		V۴٬۵٬۴٬۳	۶۰	۱۲۰	۶۲	لوزبیست‌دوازده‌وجهی
۱۲	بیست‌وچهار پنج ضلعی وجهی		V۳٬۴٬۳٬۳٬۳	۲۴	۶۰	۳۸	مکعب اسناب
۱۳	شصت‌پنج ضلعی وجهی		V۳٬۵٬۳٬۳٬۳	۶۰	۱۵۰	۹۲	دوازده‌وجهی اسناب

چندوجهی یکنواخت

یک چندوجهی یکنواخت مقعر

چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.

چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.

دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر:

• دارای بی‌نهایت چندوجهی:
  • منشورها،
  • پادمنشورها.
• استثناهای محدب:
  • ۵ جسم افلاطونی:چندوجهی‌های منتظم محدب،
  • ۱۳ جسم ارشمیدسی:۲ شبه منتظم و ۱۱ نیمه منتظم.
• استثناهای ستاره ای (مقعر):
  • ۴ چندوجهی کپلر-پوآنسو:چندوجهی‌های منتظم مقعر،
  • ۵۳ چندوجهی ستاره ای یکنواخت دیگر:۵ شبه منتظم و ۴۸ نیمه منتظم.

پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.

اجسام جانسون

J92 که آخرین جسم در لیست اجسام جانسون است

اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.

چندوجهی گلدبرگ

یک چندوجهی گلدبرگ

چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند:

1. هر وجه یا پنج ضلعی است یا شش ضلعی.
2. دقیقاً سه وجه در هر راس به هم می‌رسند.
3. دارای تقارن بیست وجهی چرخشی هستند.

این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.

چندوجهی ژئودزیک

یک چندوجهی ژئودزیک

چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.

دلتاوجهی

دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده:

مشخصات دلتاوجهی‌های محدب

دلتاوجهی‌های افلاطونی
تصویر	نام	تعداد وجوه	تعداد یال‌ها	تعداد رئوس	نماد رأس
	چهاروجهی منتظم	۴	۶	۴	۴ × ۳۳
	هشت وجهی منتظم	۸	۱۲	۶	۶ × ۳۴
	بیست وجهی منتظم	۲۰	۳۰	۱۲	۱۲ × ۳۵
دلتاوجهی‌های جانسون
تصویر	نام	تعداد وجوه	تعداد یال‌ها	تعداد رئوس	نماد رأس
	دوهرم مثلثی	۶	۹	۵	۲ × ۳۳ ۳ × ۳۴
	دوهرم مخمسی	۱۰	۱۵	۷	۵ × ۳۴ ۲ × ۳۵
	دوازده دلتاوجهی	۱۲	۱۸	۸	۴ × ۳۴ ۴ × ۳۵
	منشور مثلثی تتراکیس	۱۴	۲۱	۹	۳ × ۳۱ ۶ × ۳۵
	پادمنشور مربعی تتراکیس	۱۶	۲۴	۱۰	۲ × ۳۴ ۸ × ۳۵

دوهرم‌ها

یک دوهرم ده ضلعی.

یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.

فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.

پاددوهرم‌ها

یک پاددوهرم ده ضلعی.

یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.

برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی لوزوجه است.

چندوجهی انعطاف‌پذیر

یک چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف

چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.

دوگانگی

برای هر چندوجهی محدب یک دوگانه چندوجهی وجود دارد. به هر گوشه چند وجهی یک وجه از چندوجهی دوگانه دو وجهی اختصاص داده می‌شود و بالعکس. علاوه بر این، به هر یال یک یال از چند وجهی دوگانه دوطرفه اختصاص داده شده است. دوتایی یک چندوجهی محدب را می توان با حرکت قطبی به سمت جلو به دست آورد. چند وجهی دوتایی به صورت جفت وجود دارد و دوتایی یک دوباره چند وجهی اصلی است. برخی از چندوجهی خود دوگانه هستند، به این معنی که دوگانه چندوجهی با چندوجهی اصلی همخوانی دارد. این چند وجهی‌ها برای مثال چهارضلع، هرم مربع و همه هرم‌های منظم هستند.دوگانه یک جامد افلاطونی خود یک جامد افلاطونی است. هگزا وجهی به هشت وجهی دوتایی است و بالعکس، دوازده وجهی دوتایی به ایکو وجهی و بالعکس، و چهارضلعی دوتایی به خود است. هر یک از 13 جامد ارشمیدسی دوتایی به یکی از 13 جامد کاتالانی است و بالعکس. چند وجهی انتزاعی نیز دارای دوگانه است، که علاوه بر این اطمینان می دهد که آنها همان ویژگی اویلر و جهت گیری را به عنوان چند وجهی اصلی دارند. با این حال، این شکل از دوگانگی شکل یک چندوجهی دوگانه را توصیف نمی کند، فقط ساختار ترکیبی آن را توصیف می کند. برای برخی از تعاریف چندوجهی هندسی غیر محدب، چندوجهی وجود دارد که دو وجهی انتزاعی آنها را نمی توان تحت همین تعریف به عنوان چندوجهی هندسی درک کرد.

منابع

ویکی‌پدیای فارسی (مقاله‌های مربوط به «مساحت و حجم» و «چندضلعی منتظم»)