ویکی‌مدرسه/المپیاد ریاضی/دورهٔ تابستانی المپیاد ریاضی ایران/آزمون خلاقیت ۱۳۸۸/خیلی دور، خیلی نزدیک

صورت مسأله

1. خیلی دور، خیلی نزدیک (120 دقیقه)

فرض کنید $n>2$ و ${A_{1}}$ ، $A_{2}$ ،... و $A_{n}$ نقاطی در صفحه باشند که هیچ سه تایی روی یک خط نیستند.

الف. فرض کنید $M_{1}$ ، $M_{2}$ ،... و $M_{n}$ نقاطی روی پاره‌خط‌های $A_{1}A_{2}$ ، $A_{2}A_{3}$ ،... و $A_{n}A_{1}$ باشند. نشان دهید اگر $B_{1}$ ، $B_{2}$ ،...، $B_{n}$ نقاطی، به ترتیب، درون مثلث‌های ${M_{n}}{A_{1}}{M_{1}}$ ، ${M_{1}}{A_{2}}{M_{2}}$ ،... و ${M_{n-1}}{A_{n}}{M_{n}}$ باشند آن‌گاه

$|{{B_{1}}{B_{2}}}|+|{{B_{2}}{B_{3}}}|+\cdots +|{{B_{n}}{B_{1}}}|\leq |{{A_{1}}{A_{2}}}|+|{{A_{2}}{A_{3}}}|+\cdots +|{{A_{n}}{A_{1}}}|$

که منظور از $|{XY}|$ طول پاره‌خط $XY$ است.

ب. اگر $X$ ، $Y$ و $Z$ سه نقطه در صفحه باشد، آن‌گاه ${H_{XYZ}}$ را نیم‌صفحه‌ای بگیرید که مرز آن نیم‌ساز خارجی زاویهٔ $Y$ در مثلث $XYZ$ باشد و شامل نیم‌ساز داخلی نباشد.

نشان دهید اگر $C_{1}$ ، $C_{2}$ ،... و $C_{n}$ ، به ترتیب، نقاطی در ${H_{{A_{n}}{A_{1}}{A_{2}}}}$، ${H_{{A_{1}}{A_{2}}{A_{3}}}}$ ،... و ${H_{{A_{n-1}}{A_{n}}{A_{1}}}}$ باشند

$|{{A_{1}}{A_{2}}}|+|{{A_{2}}{A_{3}}}|+\cdots +|{{A_{n}}{A_{1}}}|\leq |{{C_{1}}{C_{2}}}|+|{{C_{2}}{C_{3}}}|+\cdots +|{{C_{n}}{C_{1}}}|$ .

پیش‌نهاد: قسمت ب را ابتدا در حالتی حل کنید که هر $C_{i}$ روی نیم‌ساز خارجی زاویهٔ متناظر باشد.

حل مسأله

ناقص است.

پیش‌نهاداتی برای تحقیق بیش‌تر

۱. مسأله را به فضای سه بعدی و بعدهای بالاتر و یا حتی فضاهایی مثل کره و... تعمیم دهید.

۲. حالات تساوی (خم‌هایی که طولشان با خم اول برابر است) و تعداد یا شکل آن‌ها را به دست آورید.

۳. به جای مجموعه‌های ذکر شده در مسأله برای هر رأس (مثلث و نیم‌صفحه) مجموعه‌هایی ماکسیمال (یا متقارن و ماکسیمال) مثال بزنید (یعنی نتوان هیچ نقطهٔ دیگری به آن‌ها اضافه کرد). در مورد خواص چنین مجموعه‌هایی فکر کنید.

۴. مسأله را برای خم‌های پیوسته و هم‌وار تعمیم دهید.

۵. در فضاهایی که بررسی کردید، آیا همواره می‌توان طول خم‌ها را با چنین تغییراتی کم کرد؟ خم‌هایی که پاسخ برای آن‌ها منفی است چه خواصی دارند؟

نوشته‌هایی در این مورد

شما می‌توانید در این قسمت صفحه‌ای با نام خود باز کنید و تحقیقاتی که در راستای این مسأله کرده‌اید را در معرض دید دیگران قرار دهید. لطفاً صفحهٔ خود را این‌گونه نام‌گذاری کنید: در مورد مسألهٔ «نام مسأله» (نام کامل شما).