پرش به محتوا

ویکی‌مدرسه/المپیاد ریاضی/دورهٔ تابستانی المپیاد ریاضی ایران/آزمون خلاقیت ۱۳۸۸/مبنای یک به‌علاوهٔ آی!

ویکی‎کتاب، کتابخانهٔ آزاد

صورت مسأله[ویرایش]

6. مبنای یک به‌علاوهٔ آی! (60 دقیقه)

فرض کنید عددی مختلط و مخالف صفر باشد که قسمت حقیقی و قسمت موهومی آن صحیح است. ثابت کنید این عدد نمایشی یک‌تا به شکل زیر دارد



که و در آن ها صفر یا یک هستند و .

توضیح: بعد از آزمون مشخص شد که این مسأله اشتباه است! سعی کنید با تغییراتی در آن یک سؤال درست بسازید.

حل مسأله[ویرایش]

ناقص است.

پیش‌نهاداتی برای تحقیق بیش‌تر[ویرایش]

1. به جای چه اعدادی می‌توان قرار داد تا مسأله درست باشد؟
2. در مسألهٔ مورد بحث برای نوشتن در مبنای یک به‌علاوهٔ آی از ارقام صفر و یک استفاده شده است. اگر مجموعهٔ ارقام را تغییر دهیم چه می‌توان گفت؟ مثلاً فرض کنید می‌خواهیم با سه رقم صفر، یک و دو و یا سه رقم صفر، یک و منفی یک عددنویسی کنیم. در چه مبنایی چنین کاری ممکن است؟
3. فرض کنید یک عدد مختلط صحیح باشد. آیا می‌توان با انتخاب مجموعه‌ای مناسب از ارقام، در مبنای این عدد، عددنویسی کرد؟
4. همان‌طور که می‌دانید با استفاده از ممیز می‌توان عددنویسی در مبناهای طبیعی بیش‌تر از یک را به اعداد حقیقی گسترش داد. آیا مشابه چنین کاری برای اعداد مختلط ممکن است؟
5. «عددنویسی در مبنای فیبوناتچی»، یعنی نوشتن یک عدد طبیعی به شکل جمع تعدادی از اعضای متمایز دنبالهٔ فیبوناتچی به طوری که دو عضو متوالی در این مجموع به کار نرفته باشد. اگر فرض کنیم دو عضو آغازین دنبالهٔ فیبوناتچی 1 و 2 است، عددنویسی در مبنای فیبوناتچی ممکن است و نمایش هر عدد طبیعی یک‌تاست. سعی کنید این ایده را با عددنویسی در مبناهای مختلط تلفیق کنید.

نوشته‌هایی در این مورد[ویرایش]

شما می‌توانید در این قسمت صفحه‌ای با نام خود باز کنید و تحقیقاتی که در راستای این مسأله کرده‌اید را در معرض دید دیگران قرار دهید. لطفاً صفحهٔ خود را این‌گونه نام‌گذاری کنید: در مورد مسألهٔ «نام مسأله» (نام کامل شما).