ویکی‌مدرسه/المپیاد ریاضی/دورهٔ تابستانی المپیاد ریاضی ایران/آزمون خلاقیت ۱۳۸۸/چندوجهی محیطی

صورت مسأله

7. چندوجهی محیطی (60 دقیقه)

چندوجهی $P$ بر یک کره محیط است. وجوه $P$ را به گونه‌ای با سیاه و سفید رنگ کرده‌ایم که هیچ دو وجه سیاهی ضلع مشترک ندارند.

ثابت کنید مساحت وجوه سیاه بیش‌‌تر از مساحت وجوه سفید نیست.

حل مسأله

ناقص است.

پیش‌نهاداتی برای تحقیق بیش‌تر

1. آیا می‌توانید شرط محیطی بودن را ضعیف کنید؟ مثلاً فرض کنید کره‌ای داخل چندوجهی $P$ وجود دارد که به وجوه سفید مماس است.

2. در حالت دو بعدی، یعنی یک چندضلعی با ضلع‌های سیاه و سفید، به سؤال قبل فکر کنید.

3. فرض کنید یک $n$ ضلعی دارای این خاصیت است که برای هر رنگ‌آمیزی با دو رنگ سفید و سیاه که دو ضلع سیاه مجاور نباشند طول اضلاع سیاه بیش‌‌تر از طول اضلاع سفید نباشد. آیا با تغییر زوایای چندضلعی می‌توان آن را به یک چندضلعی محیطی تبدیل کرد؟

نوشته‌هایی در این مورد

شما می‌توانید در این قسمت صفحه‌ای با نام خود باز کنید و تحقیقاتی که در راستای این مسأله کرده‌اید را در معرض دید دیگران قرار دهید. لطفاً صفحهٔ خود را این‌گونه نام‌گذاری کنید: در مورد مسألهٔ «نام مسأله» (نام کامل شما).